初中數學《相似三角形模型》六種基礎模型及習題

1:相似三角形模型

相似三角形判定的基本模型

（一）A字型、反A字型（斜A字型）

（平行）（不平行）

基礎模型識別

1.（密云18期末1）如圖，AABC中，D、E分別是A3、AC上點，DE//BC,

AD=2,DB=l,AE=3,貝1JEC長（）

2.（懷柔18期末4）如圖，在△A3C中，點。E分別為邊AB,AC上的點，且

DE//BC,若AD=4,BD=8,AE=2,則CE的長為（）

A.2B.4

C.6D.8D^\r

3.（石景山18期末10）如圖，在△ABC中，點。、E分別在邊AB、AC上.若

ZADE=AC,AB=6,AC=4,AD=2,貝【JEC=.

例題精講

1.如圖，已知aABC中，CELAB于E,BFLAC于F,求證：△AEFs^ACB.

2.如圖，AD與BC相交于E,點F在BD上，且AB〃EF〃CD,求證：±+上=白.

練習_：_^\\

1.（大興18期末19）已知：如圖，在AABC中，D,E今W以石人。邊上

3B年

的點，且=—AE,連接。￡若AC=4,AB=5.求證：△AOEsaACB

5

2.（豐臺18期末18）如圖，^ABC中，DE//BCy如果AO=2,DB=3,AE=

4,求AC的長.

BC

3、已知：如圖，在AABC中，點D,E,F分別在邊AB,AC,BC±,且DE〃BC,DF〃AC,

求證：AADE^ADBF.

4、如圖，在aABC中，4ACB=90°,BC=16cm,AC=12cm,點P從點B出發，以2cm/秒

的速度向點C移動，同時點Q從點C出發，以1cm/秒的速度向點A移動，設運動時間為t

秒，當1=秒，ZXCPQ與AABC相似.

（二）8字型、反8字型

A

X;

C（蝴蝶型）

（平行）（不平行）

一、基本模式識別

1.（海淀18期末3）如圖，線段8。CE相交于點A,

DE〃BC.若AB=4,AD=2,DE=1.5,則BC的長為（）?

A.1B.2

2、（順義18期末19）如圖，E是O48C。的邊8C延長線上一點，c

AE交CD于點F,FG//AD交AB于點G.

（1）填空：圖中與△CEE相似的三角形有______________________________

（寫出圖中與△0石/相似的所有三角形）一

（2）從（1）中選出一個三角形，并證明它與△CEF相似.

3、如下左圖，在。。中，弦AB與CD相交于點P,已知

PA=3cm,PB=4cm,PC=2cm,那么PD=cm.

二、例題精講：

1、如圖，在AABC中，D為BC邊上的中點，在AD上任取一點0,過。作B0

交AC于點F,作C0交AB于E,邊結EF。

求證：EF〃BC

2、如圖，把RTAABC繞直角頂點C順時針旋轉90°得到RtADCE,連接AD,

延長AB交DE于F,當DF=2,EF=3,時，過D作DG〃AE,交AF的延長線于

G,連接GE,求GE的長。

練習

1.（恩施中考）如圖，在nABCD中，AC與BD交于點0,E為0D的中點，連接AE并延長交DC

于點F,則DF：FC等于（）

A.1：4B.1：3

C.2：3D.1：2

2.（黔東南中考）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則聲的值是一

3.如圖，已知NADE=NACB,BD=8,CE=4,CF=2,求DF的長.

（三）母子型

AA

D

一、模式識別:

1、如圖，點。為△ABC的AB邊上一點,AD=2,DB=3.^ZB=ZACD,則

AC=.

2、如圖，等邊三角形ABC中，D,E分別在BC,A3上，且CE=BE,AD.CE相

交于求證：AEAMkECA

3、如圖，在0中，AB是0的切線，AO是。的割線，則題意中滿足

AB2=AC-AD

B

二例題精講

例1：如圖，梯形A8CO中，AD//BC,對角線AC、BD交于點O,BE〃。交C4延長線

于E.

求證：。。2=。4?。￡

例2：已知：如圖，AABC中，點E在中線AO上，ZDEB=ZABC.

求證：(1)DB?=DE?DA；(2)NDCE=NDAC.

例3：已知：如圖，等腰4ABC中，A8=AC,AO_LBC于。，CG//AB,8G分別交A。、AC

于E、F.

求證：BE?=EF?EG

4、如圖，已知AO為AABC的角平分線,EF為AQ的垂直平分線.求證：FD?=FB?FC.

練習：

1、己知：AD是RSABC中NA的平分線，ZC=90°,EF是AD的垂直平分線交AD于

M,EF、BC的延長線交于一點N。求證：(l)AAMEs^NMD;(2)ND2=NCNB

A

J>

2、已知：如圖，在AABC中，ZACB=90°,CDLAB于D,E是AC上一點，CF_LBE于

F,

求證：EBDF=AEDB

3.在中，AB=AC,高AD與BE交于H,EF1BC,垂足為E延長AD到G,使DG=EF,

M是AH的中點。求證：=90°

A

5已知：如圖，在RtZkABC中，ZC=90°,BC=2,AC=4,P是斜邊A8上的一個動點，PD

±AB,交邊AC于點D(點D與點A、C都不重合)，E是射線DC上一點，且NEPZAN

A.設A、P兩點的距離為x,ABEP的面積為y.(1)求證：AE=2PE；

(2)求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；

(3)當A8EP與"BC相似時，求""的面積.

B

匕

ADEC

（四）一線三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一

個與等腰三角形的底角相等的頂點在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形

的兩邊相交如圖所示：

一、模式識別：

1s如圖，在AABC中,AB=AC,P、M分別在BC、AC邊上,

HZAPM=ZB,AP=MP,求證：△APBS^PMC。

M

BPC

2、如果把第1題中的等腰三角形改為等邊三角形，如圖，

△ABC為等邊三角形，NAPV=60",BP=1,求AABC的邊長。

3、：如圖，等邊AABC中，邊長為6,。是BC上動點，Z￡DF=60°

1)求證：ABDEs4CFD(2)當BD=l,FC=3時，求BE

二、例題精講

1、如圖，在AA8C中，A3=AC=8,BC=1(),。是3c邊上的一個動點，點E1在AC

邊上，且NADE=NC.

(1)求證：zABDsADCE；

(2)如果=AE=y,求y與x的函數解析式，并寫出自變量元的定義域；

(3)當點。是BC的中點時，試說明AAOE是什么三角形，并說明理由.

A

2、如圖，已知在AABC中，AB=AC=6,BC=5,。是AB上一點，BD=2,E是BC上一動

點，聯結。E,并作NDEF=NB,射線EF交線段AC于F.

(1)求證：ADBEsAECF；

(2)當F是線段AC中點時，求線段BE的長；

(3)聯結。F,如果△/)￡；/與△￡>%：相似，求”1的長.

3、如圖，己知邊長為3的等邊A48C,點尸在邊3c上，6^=1,點E是射線84上一動

點，以線段￡尸為邊向右側作等邊AEFG,直線EG,FG交直線AC于點M,N,

(1)寫出圖中與ABE尸相似的三角形；

(2)證明其中一對三角形相似；

(3)設8E=x,MN=y,求V與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍;

(4)若AE=1,試求AGMN的面積.

(五)一線三直角型:

三直角相似可以看著是“一線三等角”中當角為直角時的特例，三直角型相似通常是以

矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個頂點在該直線上移動或者旋轉的直角，

幾種常見的基本圖形如下：

當題目的條件中只有一個或者兩個直角時，就要考慮通過添加輔助線構造完整的

三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進而將三角型的條件進行轉化。

一、模式識別：

1、如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,ABLBC,點E在AB上，ZDEC=90°.

(1)求證：MADEsXBEC.(2)若AD=1,BC=3,AE=2,求A8的長.

2、如圖，在△ABC中，48=90。，AB=4,BC=2,以AC為邊作△ACE,

乙ACE=90。，AC=CE,延長BC至點。使CD=5,連接。E.

求證：△ABC』△CEO.

A

3、如圖，ABLBD,CD1BD,且AB=6c、，〃,C。=4cm,B￡>=14c〃z,

問：在BD上是否存在P點，使以P、B、A為頂點的三角形與以P、D、C

為頂點的三角形相似？如果存在，求BP的長；如果不存在，請說明理由。

1.(大興18期末24)已知：如圖，AB是半圓。的直徑，。是半圓上的一個動

點(點D不與點A,B重合)，ACAD=AB.

(1)求證：AC是半圓。的切線；

(2)過點。作BD的平行線，交AC于點E,交AD于點F,且EF=4,

AD=6,求BD的長.

二、例題精講

1.(石景山18期末23)如圖，四邊形A8CO是平行四邊形，CELAO于點E,

DF1BA交BA的延長線于點F.

⑴求證：XADFs'DCE；(2)當AF=2,AD=6,且點E恰為AD中點時,

求A3的長.

2、如圖，邊長為1的正方形OABC的頂點為坐標原點，點A在

x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上。動點D在線段BC上移動

(不與B、C重合)，連結0D,過點D作。交邊AB于點E,

連結0E,設CD=t。

(1)當，=；時，求直線DE的函數表達式；

(2)當。。?+。爐的算術平方根取最小值時，求點E的坐標。

3、(豐臺18期末25)如圖，點E是矩形ABC。邊A8上一動點(不與點B重

合)，過點E作E/UOE交于點尸，連接。尸.已知A8=4cm,AO=2cm,

設A,E兩點間的距離為xcm,△￡)￡1尸面積為ycm?.

小明根據學習函數的經驗，對函數》隨自變量x的變化而變化的規律進

行了探究.

下面是小明的探究過程，請補充完整：

(1)確定自變量x的取值范圍是；

(2)通過取點、畫圖、測量、分析，得到了x與y的幾組值，如下表：

x/cm00.511.522.533.5???

1

y/cm4.03.73.93.83.32.0???

(說明：補全表格時相關數值保留一位小數)

(3)建立平面直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫

出該函數的圖象；

(4)結合畫出的函數圖象，解決問題：當△OEF面積最大時，AE的長

度為

cm.

4、如圖，在矩形ABCD中，AB=m(m是大于0的常數)，

BC=8,E為線段BC上的動點(不與B、C重合)，連結DE,

作EELOE,EF與射線BA交于點F,設CE=x,B/=y。

(1)求y關于x的函數關系式；

(2)若〃2=8,求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

(3)若＞=",要使4DEF為等腰三角形，m的值應為多少？

練習

1、已知二次函數^=九2+庶+4圖象的對稱軸為直線*=-2,且經過A(0,3).

(1)求二次函數的解析式

(2)二次函數的圖象與x軸有兩個交點，設與x軸的左交點為5,點P為拋物線對稱軸上

一點，若△目8為直角三角形，請求出所有滿足條件的點。的坐標.

2、已知矩形ABCD中，CD=2,AD=3,點P是AD上的一個動點，且和點A,D不重合，過

點P作PE_LCP,交邊AB于點E,設PO=x,AE=y,求y關于x的函數關系式，并寫

出x的取值范圍。

3、正方形ABCD邊長為4,M、N分別是BC、CD上的兩個動點，

當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直，如圖。

(1)證明Rt^ABMsRSMCN；

(2)設梯形ABCN的面積為y,求y與x之間的函數

關系式；當M點運動到什么位置時，四邊形ABCN面積最大，并求出

最大面積；

(3)當M點運動到什么位置時RMABMsRMAMN,求x的值。

BMC

4、如圖，正方形ABCD的邊長為4cm,點P是BC邊上不與點

B、C重合的任意一點，連結AP,過點P作交DC于點Q,

設BP的長為xcm,CQ的長為ycmo

(1)求點P在BC上運動的過程中y的最大值；

(2)當y='c加時，求x的值。

5、如圖,已知在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,P是線段AD邊

上的任意一點(不含端點A、D),連結PC,過點P作PE_LPC交

AB于E。

(1)在線段AD上是否存在不同于P的點Q,使得QC_LQE?若存在，求線

段AP與AQ之間的數量關系；若不存在，請說明理由；

(2)當點P在AD上運動時，對應的點E也隨之在AB上運動，求BE的取值

范圍。

E

BC

6、在四邊形ABCD中ABJ.BC,OCJ.BC,A3=a,OC=4=a+匕，且aW。,

取AD的中點P,連結PB、PC。

(1)試判斷三角形PBC的形狀；

(2)在線段BC上，是否存在點可使若存在，

請求出BM的長；若不存在，請說明理由。

(六)雙垂型:

一、模式識別：

1、Rt^ACB中，乙ACB=