第2課時函數的平均變化率

最新課理解函數的平均變化率與函數單調性的關系；了解直線斜率的概念；會

程標準用函數的平均變化率證明函數的增減性.

新知初探舊主學習——突出基礎性

知識點一直線的斜率

一般地，給定平面直角坐標系中的任意兩點A(xi,yi),B(X2，丁2)，當xiWx2時，稱

為直線的斜率；當________時，稱直線的斜率不存在.

知識點二函數的平均變化率

1.一般地，若/是函數y=/(x)的定義域的子集，對任意冗1,入2￡/且工1力冗2,記yi=/(xi),

卜2=氏@),(即2=空3),則：

Axx2-Xi\Axx2-xx/

(l)y=/")在/上是增函數的充要條件是賓_______0在/上恒成立；

(2)y=/(x)在/上是減函數的充要條件是會_______0在/上恒成立.

一般地，當X1WX2時，稱:=f02)-fM)為函數y=/(x)在區間［X1，X2］(X1<X2時)或［&,X1］(X1

>X2時)上的.

2.二次函數"r)=ox2+bx+c(aW0)的單調性為：

(1)當。>0時，/U)在____________上單調遞減，在_______________上單調遞增，函數

沒有最大值，但有最小值________________;

(2)當a<0時，"r)在____________________上單調遞增，在_____________________上

單調遞減，函數沒有最小值，但有最大值_____________________.

基礎自測

1.直線/經過兩點4—1，3),5(-1,6),則直線/的斜率是()

A.1B.-1C.|D.不存在

2.斜率為2的直線過(3,5),(a,7),(―1,b)三點，則a+b等于()

A.4B.-7C.ID.-1

3.已知函數y=3x—4,則*()

A.大于0B.小于0C.等于0D.不確定

4.如圖是函數>=兀0的圖像.

(1)函數1x)在區間［—1,1］上的平均變化率為

(2)函數y(x)在區間［0,2］上的平均變化率為.

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題型1三點共線問題

例1已知平面上三點A、B、C,其中A(2,1),8(3,2),C(x,4),則直線AB的斜率

為,若A、B、C三點共線，則尤=.

激材反思

直線斜率的計算方法

(1)判斷兩點的橫坐標是否相等，若相等，則直線的斜率不存在；

(2)若兩點的橫坐標不相等，則可以用斜率公式上=經0(其中尤1#愈)進行計算；

X2-Xl

(3)判斷三■點共線的問題，就是由這三點任意構造兩條直線，若構造的兩條直線的斜率

相等，則三點共線，否則此三點不共線.

跟蹤訓練1(1)已知直線經過點A(0,4)和點B(l,2),則直線AB的斜率為()

A.3B.-2

C.2D.不存在

(2)求證:4—3,-5),3(1,3),C(5,11)三點共線.

題型2求函數的平均變化率

例2已知函數4苫)=2/+1.

(1)求函數段)在區間［xo,回+Ar］上的平均變化率；

⑵求函數人x)在區間［2,2.01］上的平均變化率；

(3)求當尤o=l，盤=決寸平均變化率的值.

方法核他

求函數Kx)在［XI,X”上的平均變化率的方法步驟是：

(1)先求△x=X2—X1；

(2)再求Ay=Xx2)-Axi)；

(3)由定義求出竺=臉名義.

AxX2-X1

跟蹤訓練2函數段)=—2x2+5在區間［2,2+Ax］上的平均變化率為一

題型3用函數的平均變化率判斷單調性

用函數遞增遞減的充要條件不必關注xi，X2間的大小，只需X1WX2即可.

例3證明函數於)=專在(0,+8)上是減函數.

方法核病

利用函數遞增遞減的充要條件證明單調性的步驟:

(1)設Vxi,定義域，且X1#X2；

(3)判斷哈與0的關系;

(4)依據充要條件得結論.

跟蹤訓練3證明人B=《是定義域上的增函數.

第2課時函數的平均變化率

新知初探咱主學習

知識點一

知識點二

1.(1)>(2)<平均變化率

4ac-b2

4a

+8)T喑

［基礎自測］

1.答案：D

2.解析：由題意得2=乙金=上二，.*.<2=4,b=-3,.\a+b=l.

a—3—1—3

答案：c

3.答案：A

4.解析：⑴函數段)在區間［―1,1］上的平均變化率為

x-3—1<X<1

(2)由函數“X)的圖像知，於)=2_所以函數4工)在區間［0,2］上的平均

x+1,l<x<3,

變化率為?Z%1=匕1=2.

2-024

答案：⑴,(2)：

zq

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例1【解析】直線AB的斜率為￡=1,因為A、B、C三點共線，所以AB與BC

3—2

斜率相等，即==1,解得x=5.

x-3

【答案】15

跟蹤訓練1解析：(1)直線AB的斜率為*=-2,故選B.

0-1

(2)證明：直線4B的斜率為三搭=2,直線BC的斜率為苦=2,因此A,B,C三點

1-(-3)5-1

共線.

答案：(1)B(2)見解析

例2【解析】⑴由已知得Ay=y(xo+Ax)—?xo)

=2(xo+Ax)?+1—2xg—1=2Ax(2xo+Ax),

△y_2Ax(2x+Ax)

0=4xo+2Ax

AxAx

⑵由(1)可知賓=4xo+2Ax,當xo=2,Ax=0.01時，受=4X2+2X0.01=8.02.

(3)由⑴可知弓=4xo+2Ax,當xo=l,Ax=拊，g=4Xl+2x|=5.

跟蹤訓練2解析：VAy=X2+Ax)-/2)=-2(2+A%)2+5-(-2X22+5)=-8Ax-

2(Ax)2,.?.?=-8—2Ax,即平均變化率為-8一2Ax

答案：一8一2Ax

Af_f(X2)-f(Xi)_X2_%1-%2一

例3【證明】設Vxi,X2?(0,+8)且X1#X2,則

AxX2-Xix2—xl指好(％2—%1)

xr+x2

9

vxr>0,x2>0,xr+x2>0,好>o,

.?.q<0,.?.Jx)=q在(0,+8)上是減函數.