第六章數據的分析回顧與思考數學八年級上冊BS版要點回顧典例講練目錄CONTENTS

1.

平均數與加權平均數.

注意：權的形式可以是整數、比和百分數.

大小順序

最中間

兩個數據

平均數

3.

眾數.一組數據中出現次數

的那個數據叫做這組數據的眾數.

眾數是出現次數最多的數，而不是數據出現的次數.一組數據的

中位數只有一個，但眾數可能有多個，甚至沒有.4.

平均數、中位數和眾數的相同與區別.相同：都是用來描述數據

的統計量；都可用來反

映數據的一般水平；都可用來作為一組數據的代表.最多

集中趨勢

區別：平均數用來代表數據的總體“

水平”；平均數

與每一個數據都有關，其中任何數據的變動都會引起平均數的

變動；缺點是易受極端值的影響.中位數用來代表一組數據的

“

水平”；中位數與數據的排列位置有關，不受數據

極端值的影響；眾數是一組數據中出現次數最多的數據，用來

代表一組數據的“

水平”，但當一組數據中的每一個

數據都出現相同次數時，這組數據就沒有眾數.平均

中等

多數

離散程度

最大數據

最小數據

（4）數據的穩定性：一般而言，一組數據的極差、方差或標準差越小，這組數據就

越穩定.①極差僅表示一組數據變化范圍的大小，只對極端值較為敏

感，而不能表示其他意義.②方差和標準差都是用來描述一組數據波動情況的特征數，

常用來比較兩組數據的波動大小.方差較大的波動較大，方

差較小的波動較小.在解決實際問題時，常用樣本的方差估

計總體的方差.6.

平均數、方差、標準差的性質.樣本數據平均數方差標準差

x1，

x2，

x3，…，

xn

s2

s

x1＋

a

，

x2＋

a

，

x3＋

a

，…，

xn

＋

a

?

?

?

kx1，

kx2，

kx3，…，

kxn

?

?

?

kx1＋

a

，

kx2＋

a

，

kx3＋

a

，…，

kxn

＋

a

?

?

?

s2

s

k2

s2

ks

k2

s2

ks

數學八年級上冊BS版02典例講練

要點一

平均數、中位數與眾數

某校對所有九年級學生進行了數學運算水平（數學核心素

養組成部分）的測試，并隨機抽取了50名學生的測試成績進行

整理和分析.成績等級

D

等

C

等

B

等

A

等分數60＜

x

≤7070＜

x

≤8080＜

x

≤9090＜

x

≤100人數

a

131216其中B等成績（單位：分）分別為：81，82，84，85，85，86，

87，89，90，90，90，90.成績頻數分布表根據以上信息，解答下列問題：（1）在80＜

x

≤90這一組成績的眾數是

?；（2）表中

a

＝

，本次測試成績的中位數為

?；（3）測試成績高于85分為優秀，請估計該校九年級400名學生

中測試成績為優秀的人數.【思路導航】（1）根據眾數的定義求解即可；（2）根據各等

級人數之和等于總人數可得

a

的值，再依據中位數的定義可

得；（3）根據樣本估計總體的方法計算即可.9

84.5

90

（1）【解析】在80＜

x

≤90這一組成績的眾數是90.故答案為

90.

1.

王同學調查了本班學生最喜歡的體育項目情況，并繪制成如

圖所示的扇形統計圖和條形統計圖，其中條形統計圖被撕壞了

一部分，則

m

與

n

的和為（

C

）

CA.24B.26C.52D.54

2.

若數據1，2，

a

的平均數為2，數據－2，

a

，2，1，

b

的眾數

為－2，則數據－2，

a

，2，1，

b

的中位數為

?.1

要點二

極差、方差與標準差

（1）甲、乙兩位同學5次數學選拔賽的成績（百分制）統

計的情況如下表（單位：分）已知他們5次考試的總成績相同.參賽者第1次第2次第3次第4次第5次甲8040705060乙705070

a

70①根據以上信息，可知

a

＝

，甲同學成績的極差

為

?；40

40

【思路導航】①用甲的總成績減去乙第1，2，3，5次的成績可

得

a

的值，用甲成績的最大值減去最小值可得其極差；②根據

平均數和方差的定義求解即可得答案；③根據平均數和方差對

穩定性的影響即可得答案.①【解析】

a

＝（80＋40＋70＋50＋60）－（70＋50＋70＋

70）＝40，甲同學成績的極差為80－40＝40.故答案為40，40.

【點撥】在比較兩組數據的穩定性時，一般先看平均數，在平

均數相同或相近的情況下，再分析穩定性.方差是反映數據波動

大小的量，因此可通過比較方差的大小來解決問題.（2）已知數據

x1，

x2，

x3的平均數為

a

，方差是

b

，則數據2

x1

＋1，2

x2＋1，2

x3＋1的平均數為

，方差為

?.【思路導航】根據數據都加上一個數（或減去一個數）時，平

均數加上或減去同一個數，方差不變；數據都乘同一個數，平

均數乘這個數，方差乘這個數的平方求解.【解析】因為數據

x1，

x2，

x3的平均數為

a

，方差是

b

，所以數據2

x1＋1，2

x2＋1，2

x3＋1的平均數為2

a

＋1，方差為22

b

＝4

b

.故答案為2

a

＋1，4

b

.【點撥】平均數、方差的性質：2

a

＋1

4

b

樣本數據平均數方差標準差

x1，

x2，

x3，…，

xn

s2

s

x1＋

a

，

x2＋

a

，

x3＋

a

，…，

xn

＋

a

s2

s

kx1，

kx2，

kx3，…，

kxn

k2

s2

ks

kx1＋

a

，

kx2＋

a

，

kx3＋

a

，…，

kxn

＋

a

k2

s2

ks

1.

若數據

x1，

x2，

x3，

x4，

x5，

x6的平均數是2，方差是5，則數

據2

x1＋3，2

x2＋3，2

x3＋3，2

x4＋3，2

x5＋3，2

x6＋3的平均數

和方差分別是

和

?.2.

已知一組數據－1，0，3，5，

x

的極差是7，則

x

的值可能

是

?.3.

小冬與小夏是某中學籃球隊的隊員，在最近五場球賽中的得

分如下表所示（單位：分）：7

20

－2或6

3.

小冬與小夏是某中學籃球隊的隊員，在最近五場球賽中的得

分如下表所示（單位：分）：隊員第一場第二場第三場第四場第五場小冬10139810小夏12213212（1）根據上述信息，將下表補充完整.隊員平均數/分中位數/分眾數/分方差小冬10

?102.8小夏1012

?52.410

2

（1）【解析】由題意可知，小冬得分的中位數是10，小夏得分

的眾數是2.故從上到下的答案為10，2.（2）若教練選小冬去參加下一場比賽，你認為教練選擇小冬的

理由是什么？（2）解：教練選擇小冬的理由：小冬和小夏的平均分相同，小

冬得分的方差小于小夏得分的方差，即小冬的得分更穩定.（3）解：由題意，得小冬六場球賽的得分情況從小到大的排列

是8，9，10，10，10，13.

（3）若小冬的下一場球賽的得分是10分，則小冬得分的四個統

計量（平均數，眾數，中位數，方差）中，哪些發生了變化？

變大了還是變小了？要點三

統計圖表中的數據分析

為了引導學生學習禁毒知識、遠離毒品侵害，某中學開展

了“全民禁毒，共享幸福”的知識競賽活動.現從該校七、八年

級中各隨機抽取20名學生的競賽成績進行了整理分析，制成如

下統計圖表.七年級20名學生的競賽成績統計圖抽取七、八年級各20名學生的競賽成績分析表八年級20名學生的競賽成績統計圖年級平均數/分眾數/分中位數/分方差七7.557

a

2.75八7.55

b

82.25請根據相關信息，回答下列問題：（1）

a

＝

，

b

＝

?.7

8

（2）你認為該校七、八年級中哪個年級學生掌握“禁毒知識”

較好？請說明理由（一條理由即可）.【思路導航】（1）根據眾數和中位數的概念求解即可；（2）

在七、八年級學生掌握“禁毒知識”的平均數相同的前提下，

比較方差的大小，從而得出答案（理由不唯一）.

（2）解：八年級學生掌握“禁毒知識”較好，因為在七、八年

級學生掌握“禁毒知識”的平均數相同的前提下，八年級學生

成績的方差小，成績更穩定.【點撥】（1）在扇形統計圖中：①所占比例最大部分所對應的

數就是眾數；②按從小到大的順序計算所占百分比之和，找到

50％和51％對應的部分的平均數就是中位數；③求平均數時，

先求出對應部分的權，再求解加權平均數.（2）在條形統計圖

中：①最高的直條所對的橫軸上的數就是眾數，②平均數一般

來說是加權平均數；③求中位數時，按大小排序，取最中間的

數或最中間兩個的數的平均數.（3）在折線統計圖中：①出現

次數最多的數是眾數；②所求平均數是算術平均數；③求中位

數的方法同條形統計圖.（4）數據的平均數、中位數代表的是集中趨勢，方差代表的是數據的離散程度