高級中學名校試卷PAGEPAGE1江西省新八校2024屆高三第二次聯考數學試題一、單選題1.已知角的終邊經過點，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據題意，由三角函數的定義得.故選：A.2.若拋物線的準線經過雙曲線的右焦點，則的值為（）A.4 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗雙曲線的右焦點為，所以拋物線的準線為，，解得.故選：D.3.已知等比數列的前項和為，，且，則（）A.120 B.40 C.48 D.60〖答案〗B〖解析〗因為數列為等比數列，設數列的公比為，若，則，此時，由已知，即，解得，不成立，所以；因為，，則有：，解得，，所以.故選：B4.從甲隊60人、乙隊40人中，按照分層抽樣的方法從兩隊共抽取10人，進行一輪答題．相關統計情況如下：甲隊答對題目的平均數為1，方差為1；乙隊答對題目的平均數為1.5，方差為0.4，則這10人答對題目的方差為（）A.0.8 B.0.675 C.0.74 D.0.82〖答案〗D〖解析〗根據題意，按照分層抽樣的方法從甲隊中抽取人，從乙隊中抽取人，這人答對題目的平均數為，所以這人答對題目的方差為.故選：D.5.已知，，且，則的最小值為（）A.10 B.9 C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知，令，，所以，，代入得：，因為，，所以.當且僅當時，即時等號成立.的最小值為.故選：C.6.已知正方體的棱長為4，點滿足，若在正方形內有一動點滿足平面，則動點的軌跡長為（）A.4 B. C.5 D.〖答案〗C〖解析〗如圖，在棱上分別取點，使得，，連接，因為，，所以，，因為平面，平面，所以平面，因為，所以，又，正方體的棱長為4，所以，，，在棱上取點,使得，則且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又且，則四邊形是平行四邊形，所以，所以，因為，所以，則，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以，平面，因為，平面，所以平面平面，因為平面平面，所以，在正方形內有一動點滿足平面時，點的軌跡為線段，因為，所以，動點的軌跡長為.故選：C.7.已知定義在上的函數滿足且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，可知關于對稱，又，則，又，則，，.故選：A.8.已知，求（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據題意，，由誘導公式，可得，所以，

則.故選：D.二、多選題9.設為復數，且，下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則最大值為3C.若，則D.若，則在復平面對應的點在一條直線上〖答案〗BD〖解析〗對于A，令，滿足，但不成立，故A錯誤；對于B，設，，因為，則復數的對應點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，的幾何意義為到的距離，其最大值為，故B正確；對于C，令，則，，滿足，但，故C錯誤；對于D，因為，設對應的點為，若，則在復平面內對應點到和的距離相等，即在復平面內對應點在線段的垂直平分線上，所以在復平面對應的點在一條直線上，故D正確；故選：BD．10.已知中，為的角平分線，交于點為中點，下列結論正確的是（）A.B.C.的面積為D.在的外接圓上，則的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗在中，由余弦定理得，由角平分線定理得：，所以A正確；由得，解得，所以B錯誤；，所以C正確；在中，設，則，由正弦定理得：，其中，所以D正確.故選：ACD.11.若恒成立，則實數的取值可以是（）A.0 B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由題知，，①當時，在恒成立，②當時，由，則，即恒成立，設，則，令得，所以當時，，則在單調遞減，當時，，則在單調遞增，所以，則，所以，即滿足題意；③當時，設，則，令，，當時，，則在單調遞減，當時，，則在單調遞增，所以在單調遞增，且，，所以，使得；當時，，即，設，則，所以在上單調遞減，所以當時，；當時，即，設，則，設，，設，則，可知在內單調遞增，所以，即，所以，所以，所以在上單調遞增，所以當時，，又因為當時，，所以當時，，解得，又，所以，綜上，，故選：ABD三、填空題12.若集合，，且，則___________.〖答案〗〖解析〗因為，，且，所以且，顯然，所以且，所以，所以，，所以.故〖答案〗為：13.已知分別為雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上且不與頂點重合，滿足，則該雙曲線的離心率為______．〖答案〗〖解析〗因為，所以，所以，故點在左支上，作的內切圓，設內切圓與切于點，與切于點，該內切圓切于點，連接，，，，，則，，，且平分，平分，接下來證明點為雙曲線的左頂點：由雙曲線的定義可知：，因為，，，所以，設點坐標為，則，解得：，故點為雙曲線的左頂點，因為，所以，所以所以，所以，所以，所以．故〖答案〗為：.14.球面上的三個點，每兩個點之間用大圓劣弧相連接，三弧所圍成的球面部分稱為球面三角形．半徑為的球面上有三點，且，則球面三角形的面積為______．〖答案〗〖解析〗如圖1所示，設過的大圓與過的大圓交于直徑，過點分別作，垂足為，連接，則，在中，由余弦定理得，，則，所以，則，在中，由余弦定理得，，即，由二面角定義得，二面角為，在圖2中，設過的大圓與過的大圓交于直徑，過的大圓與過的大圓交于直徑，同理可得，二面角為，二面角為；設球的表面積為，則，設球面三角形的面積為，則所在的大圓和所在的大圓，將球面分成了四個部分，其中面積較大的兩個部分的面積之和等于球的表面積的倍，即，類似可定義，且同理有，，而根據球面被這三個大圓的劃分情況，又有，所以，所以，故〖答案〗為：．四、解答題15.如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形，，為下底面圓周上異于、的點．（1）點為線段的中點，證明：直線平面；（2）若四棱錐的體積為3，求直線與平面夾角的正弦值．解：（1）取中點，連接，則有，，如圖：在等腰梯形中，，所以，，則四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以直線平面．（2）過點作于，在等腰梯形中，，所以梯形的高，所以等腰梯形面積為，所以四棱錐的體積，解得，在中，由射影定理得或，當時，以為坐標原點，以過點平行與的方向，所在直線為坐標軸，建立如圖所示的空間直角坐標系；則有，故，，設平面的法向量，故，令，得，設直線與平面夾角的大小為，則，所以直線與平面夾角的正弦值為；當時，以為坐標原點，以過點平行與的方向，所在直線為坐標軸，建立如圖所示的空間直角坐標系；則有，故，，設平面的法向量，故，令，得，設直線與平面夾角的大小為，則，所以直線與平面夾角的正弦值為，綜上所述，直線與平面夾角的正弦值為或．16.若數列滿足條件：存在正整數，使得對一切都成立，則稱數列為級等差數列．（1）若數列為2級等差數列，且前四項分別為，，，，求數列的前項和；（2）若，且是3級等差數列，求數列的前項和．解：（1）因為數列為2級等差數列，所以，對一切都成立，因為，，若為奇數，由可知奇數項是常數列；若為偶數，由可知偶數項是首項為0，公差為4的等差數列；所以．（2）因為是3級等差數列，所以，對一切都成立，所以，，所以或，當時，，當時，，，又因為，所以，此時由于，所以，所以．17.已知函數（1）當時，求函數的極值；（2）設函數有兩個極值點，且，若恒成立，求最小值．解：（1）當時，有，令，即，解得或，所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增；所以時，取得極大值，極大值為，時，取得極小值，極小值為.（2）因為，所以由已知函數有兩個極值點，所以方程有兩個相異正根所以，即或，又，所以，，所以；所以對稱軸為，二次函數與軸交點為、，且，所以在對稱軸的右側，則有，因為，即，所以，其中，令，則，令，解得均不在定義域內，所以時，，在上單調遞減，，所以，即最小值為.18.已知橢圓，分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓上的動點，直線交橢圓于另一點，直線交橢圓于另一點．（1）求面積的最大值；（2）求與面積之比的最大值．解：（1）設，，設直線的方程為，聯立方程組，得，所以，，則，點到直線距離為：，所以，令，則，當即時面積取得最大值，所以面積的最大值為.（2）設，，，設直線的方程為，聯立方程組，得，即所以，即，同理可得：，所以化簡得：，當時，取得最大值.19.在三維空間中，立方體的坐標可用三維坐標表示,其中，而在維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的頂點坐標可表示為維坐標，其中．現有如下定義：在維空間中兩點間的曼哈頓距離為兩點與坐標差的絕對值之和，即為．回答下列問題：（1）求出維“立方體”的