專題2.7電磁感應中的電路問題綜合【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【題型1感生中的電路問題】 【題型2含有電容器的電路問題】 【題型3動生、感生綜合的電路問題】 【題型1感生中的電路問題】【例1】(多選)如圖甲，固定在光滑水平面上的正三角形金屬線框，匝數n＝20，總電阻R＝2.5Ω，邊長L＝0.3m，處在兩個半徑均為r＝eq\f(L,3)的圓形勻強磁場區域中．線框頂點與右側圓心重合，線框底邊中點與左側圓心重合．磁感應強度B1垂直水平面向上，大小不變；B2垂直水平面向下，大小隨時間變化．B1、B2的值如圖乙所示，則()A．通過線框的感應電流方向為逆時針方向B．t＝0時刻穿過線框的磁通量為0.1WbC．在0.6s內通過線框中的電荷量約為0.13CD．經過0.6s線框中產生的熱量約為0.07J【變式1-1】(多選)如圖(a)所示，一個電阻值為R、匝數為n的圓形金屬線圈與阻值為2R的電阻R1連接成閉合回路．線圈的半徑為r1.在線圈中半徑為r2的圓形區域內存在垂直于線圈平面向里的勻強磁場，磁感應強度B隨時間t變化的關系圖線如圖(b)所示．圖線與橫、縱軸的交點坐標分別為t0和B0.導線的電阻不計．在0至t1時間內，下列說法正確的是()A．R1中電流的方向由a到b通過R1B．電流的大小為eq\f(nπB0r\o\al(2,2),3Rt0)C．線圈兩端的電壓大小為eq\f(nπB0r\o\al(2,2),3t0)D．通過電阻R1的電荷量為eq\f(nπB0r\o\al(2,2)t1,3Rt0)【變式1-2】(多選)如圖(a)所示，半徑為r的帶缺口剛性金屬圓環固定在水平面內，缺口兩端引出兩根導線，與電阻R構成閉合回路．若圓環內加一垂直于紙面的變化的磁場，變化規律如圖(b)所示．規定磁場方向垂直紙面向里為正，不計金屬圓環的電阻．以下說法正確的是()A．0～1s內，流過電阻R的電流方向為b→R→aB．2～3s內，穿過金屬圓環的磁通量在減小C．t＝2s時，流過電阻R的電流方向發生改變D．t＝2s時，Uab＝πr2B0(V)【變式1-3】(多選)在如圖甲所示的虛線框內有勻強磁場，設圖甲所示磁場方向為正，磁感應強度隨時間的變化規律如圖乙所示．邊長為l、電阻為R的正方形均勻線框abcd有一半處在磁場中，磁場方向垂直于線框平面，此時線框ab邊的發熱功率為P，則()A．線框中的感應電動勢為eq\f(B0,l2T)B．線框中感應電流為2eq\r(\f(P,R))C．線框cd邊的發熱功率為eq\f(P,2)D．c、d兩端電勢差Ucd＝eq\f(3B0l2,4T)【題型2含有電容器的電路問題】【例2】(多選)如圖甲所示的電路中，電阻R1＝R，R2＝2R，單匝圓形金屬線圈半徑為r2，圓心為O，線圈的電阻為R，其余導線的電阻不計。半徑為r1(r1<r2)、圓心為O的圓形區域內存在垂直于線圈平面向里的勻強磁場，磁感應強度大小B隨時間t變化的關系圖像如圖乙所示，電容器的電容為C。閉合開關S，t1時刻開始電路中的電流穩定不變，下列說法正確的是()A．電容器上極板帶正電B．t1時刻，電容器所帶的電荷量為eq\f(CB1πr12,4t1)C．t1時刻之后，線圈兩端的電壓為eq\f(3B1πr12,4t1)D．t1時刻之后，R1兩端的電壓為eq\f(B2πr22,4t2)【變式2-1】在同一水平面上的光滑平行導軌P、Q相距l＝1m，導軌左端接有如圖所示的電路。其中水平放置的平行板電容器兩極板M、N相距d＝10mm，定值電阻R1＝R2＝12Ω，R3＝2Ω，金屬棒ab的電阻r＝2Ω，其他電阻不計。磁感應強度B＝0.5T的勻強磁場豎直穿過導軌平面，當金屬棒ab沿導軌向右勻速運動時，懸浮于電容器兩極板之間的質量m＝1×10－14kg、電荷量q＝－1×10－14C的微粒恰好靜止不動。取g＝10m/s2，在整個運動過程中金屬棒與導軌接觸良好，且速度保持恒定。試求：(1)勻強磁場的方向；(2)ab兩端的路端電壓；(3)金屬棒ab運動的速度。【變式2-2】如圖所示，間距為L＝0.8m、傾角為θ＝37°的兩根平行傾斜光滑導軌與間距相同的兩根平行水平光滑導軌在b、e處平滑連接，導軌全部固定，其中MN、PQ兩段用絕緣材料制成，其余部分用電阻不計的金屬材料制成。cf兩點間有一個電容為C=58F的電容器，整個導軌區域存在豎直方向的磁感應強度為B＝0.5T的勻強磁場（圖中未標注）將長度比導軌間距略大、質量均為m＝0.4kg、電阻均為R＝0.1Ω的導體棒A和B靜止置于導軌上，鎖定導體棒B，給導體棒A施加一個在傾斜導軌平面內且垂直于導體棒A的外力F，使其沿傾斜導軌向下做初速度為0的勻加速直線運動。外力作用t0＝2s時間，導體棒A恰好以v0＝3m/s的速度運動至be處并進入水平導軌，此時撤去外力F，同時釋放導體棒B。兩根導體棒在到達MP前發生彈性相碰，碰撞剛結束，馬上移去導體棒A。整個過程中兩根導體棒始終與導軌垂直，水平導軌右側部分足夠長。導體棒B初始所在位置離傾斜導軌末端be的距離x＝0.5m，試求：（1）外力F作用期間，其大小隨時間t的變化關系式；（2）從釋放導體棒B至發生彈性碰撞前，導體棒B上產生的焦耳熱QB；（3）最終穩定時，電容器所帶電量q。【變式2-3】如圖所示，甲、乙兩水平面高度差為2h，甲水平面內有間距為2L的兩光滑金屬導軌平行放置，乙水平面內有間距分別為2L、L的光滑金屬導軌平行放置，光滑的絕緣斜導軌緊挨甲、乙兩個平面內的水平軌道放置，斜軌道的傾角為53°，斜軌道底端有一小段高度可忽略的光滑圓弧與金屬導軌平滑連接。水平面甲內軌道左端連接一充滿電的電容器C，右邊緣垂直軌道放置長度為2L，質量為m，電阻為R的均勻金屬棒ab，在水平面乙內垂直間距為L的軌道左端放置與ab完全相同的金屬棒cd，導軌MM'與NN'、PP'與QQ'均足夠長，所有導軌的電阻都不計。所有導軌的水平部分均有豎直向下的、磁感應強度為B的勻強磁場，斜面部分無磁場。閉合開關S，金屬棒αb迅速獲得水平向右的速度做平拋運動，剛好落在斜面底端，沒有機械能損失，之后沿著水平面乙運動。已知重力加速度為g，，。求：（1）金屬棒ab做平拋運動的初速度v0；（2）電容器C釋放的電荷量q；（3）從金屬棒ab開始沿水平面乙內的光滑軌道運動起，至勻速運動止，這一過程中金屬棒ab上產生的熱量。【題型3動生、感生綜合中的電路問題】【例3】如圖甲所示，在右側區域有垂直于紙面向里的勻強磁場，其磁感應強度B隨時間t變化的關系如圖乙所示.邊長為L、電阻為R的正三角形金屬線框向右勻速運動，運動過程中邊始終與保持平行.在時刻，邊恰好到達處，在時刻，線框恰好完全進入磁場.在線框勻速進入磁場的過程中()A.線框中的電流方向先沿順時針方向，后沿逆時針方向B.線框中的電流方向始終沿逆時針方向C.在時刻，流過線框的電流大小為【變式3-1】如圖，導體軌道OPQS固定，其中PQS是半圓弧，Q為半圓弧的中心，O為圓心。軌道的電阻忽略不計。OM是有一定電阻。可繞O轉動的金屬桿。M端位于PQS上，OM與軌道接觸良好。空間存在半圓所在平面垂直的勻強磁場，磁感應強度的大小為B，現使OQ位置以恒定的角速度逆時針轉到OS位置并固定（過程Ⅰ）；再使磁感應強度的大小以一定的變化率從B增加到B'（過程Ⅱ）。在過程Ⅰ、Ⅱ中，流過OM的電荷量相等，則等于（）A.B.C.D.2【變式3-2】如圖甲所示，間距為的長直平行金屬導軌水平放置，其右端接有阻值為的電阻，一阻值為、質量為、長度為L的金屬棒垂直導軌放置于距導軌右端處，與兩導軌保持良好接觸。整個裝置處在豎直向上的勻強磁場中，磁感應強度的大小隨時間變化的情況如圖乙示。在0~1.0s內金屬棒保持靜止，1.0s后金屬棒在水平外力的作用下運動，使回路的電流為零。導軌電阻不計，重力加速度，滑動摩擦力等于最大靜摩擦力。下列說法正確的是()A.動摩擦因數需等于0.5 B.前2s內通過電阻R的電荷量為2CC.1s后金屬棒做勻加速直線運動 D.第2s內金屬棒的位移為1m【變式3-3】如圖甲所示，兩條相距l的光滑平行金屬導軌位于同一豎直面（紙面）內，其上端接一阻值為R的電阻，在兩導軌間下方區域內有垂直導軌平面向里的勻強磁場，磁感應強度為B。現使長為l、電阻為r、質量為m的金屬棒由靜止開始自位置釋放，向下運動距離d后速度不再變化（棒與導軌始終保持良好的接觸且下落過程中始終保持水平，忽略空氣阻力，導軌電阻不計）。（1）求棒在向下運動距離d過程中回路產生的總焦耳熱；（2）棒從靜止釋放經過時間下降了，求此時刻的速度大小；（3）如圖乙所示，在上方區域加一面積為S的垂直于紙面向里的勻強磁場，棒由靜止開始自上方某一高度處釋放，自棒運動到位置時開始計時，隨時間t的變化關系，式中k為已知常量；棒以速度進入下方磁場后立即施加一豎直外力使其保持勻速運動。求在t時刻穿過回路的總磁通量和電阻R的電功率。

參考答案【題型1感生中的電路問題】【例1】(多選)如圖甲，固定在光滑水平面上的正三角形金屬線框，匝數n＝20，總電阻R＝2.5Ω，邊長L＝0.3m，處在兩個半徑均為r＝eq\f(L,3)的圓形勻強磁場區域中．線框頂點與右側圓心重合，線框底邊中點與左側圓心重合．磁感應強度B1垂直水平面向上，大小不變；B2垂直水平面向下，大小隨時間變化．B1、B2的值如圖乙所示，則()A．通過線框的感應電流方向為逆時針方向B．t＝0時刻穿過線框的磁通量為0.1WbC．在0.6s內通過線框中的電荷量約為0.13CD．經過0.6s線框中產生的熱量約為0.07J答案ACD解析磁感應強度B1垂直水平面向上，大小不變，B2垂直水平面向下，大小隨時間增大，故線框向上的磁通量減小，由楞次定律可得，線框中感應電流方向為逆時針方向，選項A正確．t＝0時刻穿過線框的磁通量Φ＝B1×eq\f(1,2)πr2＋B2×eq\f(1,6)πr2≈－0.0052Wb，選項B錯誤．在0.6s內通過線框的電荷量q＝neq\f(ΔΦ,R)＝eq\f(20×5－2×\f(1,6)π×0.12,2.5)C≈0.13C，選項C正確．經過0.6s線框中產生的熱量Q＝I2RΔt＝eq\f(nΔΦ2,RΔt)≈0.07J，選項D正確．【變式1-1】(多選)如圖(a)所示，一個電阻值為R、匝數為n的圓形金屬線圈與阻值為2R的電阻R1連接成閉合回路．線圈的半徑為r1.在線圈中半徑為r2的圓形區域內存在垂直于線圈平面向里的勻強磁場，磁感應強度B隨時間t變化的關系圖線如圖(b)所示．圖線與橫、縱軸的交點坐標分別為t0和B0.導線的電阻不計．在0至t1時間內，下列說法正確的是()A．R1中電流的方向由a到b通過R1B．電流的大小為eq\f(nπB0r\o\al(2,2),3Rt0)C．線圈兩端的電壓大小為eq\f(nπB0r\o\al(2,2),3t0)D．通過電阻R1的電荷量為eq\f(nπB0r\o\al(2,2)t1,3Rt0)答案BD解析由圖象分析可以知道，0至t1時間內由法拉第電磁感應定律有E＝neq\f(ΔΦ,Δt)＝neq\f(ΔB,Δt)S，面積為S＝πreq\o\al(2,2)，由閉合電路歐姆定律有I＝eq\f(E,R1＋R)，聯立以上各式解得，通過電阻R1的電流大小為I＝eq\f(nπB0r\o\al(2,2),3Rt0)，由楞次定律可判斷通過電阻R1的電流方向為從b到a，故A錯誤，B正確；線圈兩端的電壓大小為U＝I·2R＝eq\f(2nπB0r\o\al(2,2),3t0)，故C錯誤；通過電阻R1的電荷量為q＝It1＝eq\f(nπB0r\o\al(2,2)t1,3Rt0)，故D正確．【變式1-2】(多選)如圖(a)所示，半徑為r的帶缺口剛性金屬圓環固定在水平面內，缺口兩端引出兩根導線，與電阻R構成閉合回路．若圓環內加一垂直于紙面的變化的磁場，變化規律如圖(b)所示．規定磁場方向垂直紙面向里為正，不計金屬圓環的電阻．以下說法正確的是()A．0～1s內，流過電阻R的電流方向為b→R→aB．2～3s內，穿過金屬圓環的磁通量在減小C．t＝2s時，流過電阻R的電流方向發生改變D．t＝2s時，Uab＝πr2B0(V)答案AD解析規定磁場方向垂直紙面向里為正，根據楞次定律，在0～1s內，穿過金屬圓環向里的磁通量增大，則金屬圓環中產生逆時針方向的感應電流，那么流過電阻R的電流方向為b→R→a，故A正確；由題圖(b)可知，在2～3s內，穿過金屬圓環的磁通量在增大，故B錯誤；1～2s內，穿過金屬圓環的磁通量向里減小，由楞次定律可知，產生的電流方向為a→R→b，2～3s穿過金屬圓環的磁通量增大，且磁場反向，由楞次定律可知，產生的電流方向為a→R→b，故C錯誤；當t＝2s時，根據法拉第電磁感應定律E＝eq\f(ΔB,Δt)S＝πr2B0(V)，因不計金屬圓環的電阻，因此Uab＝E＝πr2B0(V)，故D正確．【變式1-3】(多選)在如圖甲所示的虛線框內有勻強磁場，設圖甲所示磁場方向為正，磁感應強度隨時間的變化規律如圖乙所示．邊長為l、電阻為R的正方形均勻線框abcd有一半處在磁場中，磁場方向垂直于線框平面，此時線框ab邊的發熱功率為P，則()A．線框中的感應電動勢為eq\f(B0,l2T)B．線框中感應電流為2eq\r(\f(P,R))C．線框cd邊的發熱功率為eq\f(P,2)D．c、d兩端電勢差Ucd＝eq\f(3B0l2,4T)答案BD解析由題圖乙可知，在每個周期內磁感應強度隨時間均勻變化，線框中產生大小恒定的感應電流，設感應電流為I，則對ab邊有，P＝I2·eq\f(1,4)R，得I＝2eq\r(\f(P,R))，選項B正確；由閉合電路歐姆定律得，感應電動勢為E＝IR＝2eq\r(PR)，根據法拉第電磁感應定律得E＝eq\f(ΔΦ,Δt)＝eq\f(ΔB,Δt)·eq\f(1,2)l2，由題圖乙知，eq\f(ΔB,Δt)＝eq\f(2B0,T)，聯立解得E＝eq\f(B0l2,T)，故選項A錯誤；線框的四邊電阻相等，電流相等，則發熱功率相等，都為P，故選項C錯誤；由楞次定律判斷可知，線框中感應電流方向為逆時針，則c端電勢高于d端電勢，Ucd＝eq\f(3,4)E＝eq\f(3B0l2,4T)，故選項D正確．【題型2含有電容器的電路問題】【例2】(多選)如圖甲所示的電路中，電阻R1＝R，R2＝2R，單匝圓形金屬線圈半徑為r2，圓心為O，線圈的電阻為R，其余導線的電阻不計。半徑為r1(r1<r2)、圓心為O的圓形區域內存在垂直于線圈平面向里的勻強磁場，磁感應強度大小B隨時間t變化的關系圖像如圖乙所示，電容器的電容為C。閉合開關S，t1時刻開始電路中的電流穩定不變，下列說法正確的是()A．電容器上極板帶正電B．t1時刻，電容器所帶的電荷量為eq\f(CB1πr12,4t1)C．t1時刻之后，線圈兩端的電壓為eq\f(3B1πr12,4t1)D．t1時刻之后，R1兩端的電壓為eq\f(B2πr22,4t2)解析：選AC根據楞次定律可知，線圈產生沿逆時針方向的感應電流，則電容器上極板帶正電，故A正確；根據法拉第電磁感應定律有E＝eq\f(ΔΦ,Δt)＝eq\f(ΔB,Δt)S＝eq\f(B1πr12,t1)，穩定電流為I＝eq\f(E,R1＋R2＋R)＝eq\f(B1πr12,4Rt1)，UR2＝IR2＝eq\f(B1πr12,4Rt1)·2R＝eq\f(B1πr12,2t1)，電容器所帶的電荷量為Q＝CUR2＝eq\f(CB1πr12,2t1)，故B錯誤；t1時刻之后，線圈兩端的電壓為U＝I(R1＋R2)＝eq\f(3B1πr12,4t1)，故C正確；t1時刻之后，R1兩端的電壓為U＝IR1＝eq\f(B1πr12,4t1)＝eq\f(B2πr12,4t2)，故D錯誤。【變式2-1】在同一水平面上的光滑平行導軌P、Q相距l＝1m，導軌左端接有如圖所示的電路。其中水平放置的平行板電容器兩極板M、N相距d＝10mm，定值電阻R1＝R2＝12Ω，R3＝2Ω，金屬棒ab的電阻r＝2Ω，其他電阻不計。磁感應強度B＝0.5T的勻強磁場豎直穿過導軌平面，當金屬棒ab沿導軌向右勻速運動時，懸浮于電容器兩極板之間的質量m＝1×10－14kg、電荷量q＝－1×10－14C的微粒恰好靜止不動。取g＝10m/s2，在整個運動過程中金屬棒與導軌接觸良好，且速度保持恒定。試求：(1)勻強磁場的方向；(2)ab兩端的路端電壓；(3)金屬棒ab運動的速度。解析：(1)帶負電荷微粒受到重力和電場力的作用處于靜止狀態，因為重力豎直向下，所以電場力豎直向上，故M板帶正電。ab棒向右做切割磁感線運動產生感應電動勢，ab棒等效于電源，感應電流方向由b→a，其a端為電源的正極，由右手定則可判斷，磁場方向豎直向下。(2)微粒受到重力和電場力的作用處于靜止狀態，根據平衡條件有mg＝Eq又E＝eq\f(UMN,d)所以UMN＝eq\f(mgd,q)＝0.1VR3兩端電壓與電容器兩端電壓相等，由歐姆定律得通過R3的電流為I＝eq\f(UMN,R3)＝0.05A則ab棒兩端的電壓為Uab＝UMN＋Ieq\f(R1R2,R1＋R2)＝0.4V。(3)由法拉第電磁感應定律得感應電動勢E＝Blv由閉合電路的歐姆定律得E＝Uab＋Ir＝0.5V聯立解得v＝1m/s。答案：(1)豎直向下(2)0.4V(3)1m/s【變式2-2】如圖所示，間距為L＝0.8m、傾角為θ＝37°的兩根平行傾斜光滑導軌與間距相同的兩根平行水平光滑導軌在b、e處平滑連接，導軌全部固定，其中MN、PQ兩段用絕緣材料制成，其余部分用電阻不計的金屬材料制成。cf兩點間有一個電容為C=58F的電容器，整個導軌區域存在豎直方向的磁感應強度為B＝0.5T的勻強磁場（圖中未標注）將長度比導軌間距略大、質量均為m＝0.4kg、電阻均為R＝0.1Ω的導體棒A和B靜止置于導軌上，鎖定導體棒B，給導體棒A施加一個在傾斜導軌平面內且垂直于導體棒A的外力F，使其沿傾斜導軌向下做初速度為0的勻加速直線運動。外力作用t0＝2s時間，導體棒A恰好以v（1）外力F作用期間，其大小隨時間t的變化關系式；（2）從釋放導體棒B至發生彈性碰撞前，導體棒B上產生的焦耳熱QB；（3）最終穩定時，電容器所帶電量q。【解答】解：（1）由加速度的定義可得：a=v0根據牛頓第二定律得：F+mgsin37°?B解得：F＝0.768t﹣1.8（N）故外力F的大小為F＝1.8﹣0.768t（N），其中0≤t≤2s（2）對A棒有：?∑B?BLΔv而因為：ΣΔv?Δt＝x而：vA＝2m/s對B棒有：?∑B?而：vB＝1m/s根據能量守恒可得：Q熱＝EkB=1又：QB（3）彈性碰撞，兩棒質量等，故速度互換，即有vB′＝2m/s最終穩定時，導體棒B向右勻速滑行，則有：BLvm＝Um又因為：﹣ΣBiL?Δt＝mvm﹣mvB′又因為：q＝Σi?Δt＝CUm得到：vm＝1.6m/s，q＝0.4C答：（1）外力F作用期間，其大小隨時間t的變化關系式為F＝1.8﹣0.768t（N），其中0≤t≤2s；（2）從釋放導體棒B至發生彈性碰撞前，導體棒B上產生的焦耳熱QB為0.4J；（3）最終穩定時，電容器所帶電量q為0.4C。【變式2-3】如圖所示，甲、乙兩水平面高度差為2h，甲水平面內有間距為2L的兩光滑金屬導軌平行放置，乙水平面內有間距分別為2L、L的光滑金屬導軌平行放置，光滑的絕緣斜導軌緊挨甲、乙兩個平面內的水平軌道放置，斜軌道的傾角為53°，斜軌道底端有一小段高度可忽略的光滑圓弧與金屬導軌平滑連接。水平面甲內軌道左端連接一充滿電的電容器C，右邊緣垂直軌道放置長度為2L，質量為m，電阻為R的均勻金屬棒ab，在水平面乙內垂直間距為L的軌道左端放置與ab完全相同的金屬棒cd，導軌MM'與NN'、PP'與QQ'均足夠長，所有導軌的電阻都不計。所有導軌的水平部分均有豎直向下的、磁感應強度為B的勻強磁場，斜面部分無磁場。閉合開關S，金屬棒αb迅速獲得水平向右的速度做平拋運動，剛好落在斜面底端，沒有機械能損失，之后沿著水平面乙運動。已知重力加速度為g，，。求：（1）金屬棒ab做平拋運動的初速度v0；（2）電容器C釋放的電荷量q；（3）從金屬棒ab開始沿水平面乙內的光滑軌道運動起，至勻速運動止，這一過程中金屬棒ab上產生的熱量。【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）金屬棒ab落到斜面底端時，在豎直方向上有解得由幾何關系解得（2）金屬棒ab彈出瞬間，根據動量定理得又因為聯立解得電容器C釋放的電荷量為（3）金屬棒ab落在水平軌道時，根據動能定理有解得最終勻速運動時，電路中無電流，所以金屬棒ab和金屬棒cd產生的感應電動勢相等，即此過程中，對金屬棒ab根據動量定理得對金屬棒cd分析，根據動量定理得解得該過程中ab、cd產生的總熱量為解得因cd棒接入電路中的電阻為ab棒的二分之一，則ab棒上產生的熱量為【題型3動生、感生綜合中的電路問題】【例3】如圖甲所示，在右側區域有垂直于紙面向里的勻強磁場，其磁感應強度B隨時間t變化的關系如圖乙所示.邊長為L、電阻為R的正三角形金屬線框向右勻速運動，運動過程中邊始終與保持平行.在時刻，邊恰好到達處，在時刻，線框恰好完全進入磁場.在線框勻速進入磁場的過程中()A.線框中的電流方向先沿順時針方向，后沿逆時針方向B.線框中的電流方向始終沿逆時針方向C.在時刻，流過線框的電流大小為答案：BC解析：磁感應強度B隨時間t始終是增加的，根據楞次定律，產生的感應電流的方向始終沿逆時針方向，B正確，A錯誤；在時刻，線框的有效切割長度為，設三角形的高為h，勻速運動的速度為，動生電動勢，產生的感應電流大小為，C正確，D錯誤.【變式3-1】如圖，導體軌道OPQS固定，其中PQS是半圓弧，Q為半圓弧的中心，O為圓心。軌道的電阻忽略不計。OM是有一定電阻。可繞O轉動的金屬桿。M端位于PQS上，OM與軌道接觸良好。空間存在半圓所在平面垂直的勻強磁場，磁感應強度的大小為B，現使OQ位置以恒定的角速度逆時針轉到OS位置并固定（過程Ⅰ）；再使磁感應強度的大小以一定的變化率從B增加到B'（過程Ⅱ）。在過程Ⅰ、Ⅱ中，流過OM的電荷量相等，則等于（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】本題考查電磁感應及其相關的知識點。過程I回路中磁通量變化△Φ1=BπR2，設OM的電阻為R，流過OM的電荷量Q1=△Φ1/R。過程II回路中磁通量變化△Φ2=（B’-B）πR2，流過OM的電荷量Q2=△Φ2/R。Q2=Q1，聯立解得：B’/B=3/2，選項B正確。【變式3-2】如圖甲所示，間距為的長直平行金屬導軌水平放置，其右端接有阻值為的電阻，一阻值為、質量為、長度為L的金屬棒垂直導軌放置于距導軌右端處，與兩導軌保持良好接觸。整個裝置處在豎直向上的勻強磁場中，磁感應強度的大小隨時間變化的情況如圖乙示。在0~1.0s內金屬棒保持靜止，1.0s后金屬棒在水平外力的作用下運動，使回路的電流為零。導軌電阻不計，重力加速度，滑動摩擦力等于最大靜摩擦力。下列說法正確的是()A.動摩擦因數需等于0.5 B.前2s內通過電阻R的電荷量為2CC.1s后金屬棒做勻加速直線運動 D.第2s內金屬棒的位移為1m

答案：D解析：在0~1.0s內，由法拉第電磁感應定律可得電動勢為由閉合電路的歐姆定律得電流的大小為由金屬棒靜止可知最大靜摩擦力大于等于安培力，解得，A選項錯誤。0~1s內電流恒定為1A，1~2s內電流為零，故前兩秒內通過的電荷量。B選項錯誤。由法拉第電磁感應定律知，1s后回路磁通量不變。時，t時刻（）導體棒的位移設為x，由圖像知t時刻磁感應強度t時刻（）回路磁通量解得，金屬棒不是做勻加速直線運動。C選項錯誤。時，金屬棒第2s內的位移為。D選項正確。【變式3-3】如圖甲所示，兩條相距l的光滑平行金屬導軌位于同一豎直面（紙面）內，其上端接一阻值為R的電阻，在兩導軌間下方區域內有垂直導軌平面向里的勻強磁場，磁感應強度為B。現使長為l、電阻為r、質量為m的金屬棒由靜止開始自位置釋放，向下運動距離d后速度不再變化（棒與導軌始終保持良好的接觸且下落過程中始終保持水平，忽略空氣阻力，導軌電阻不計）。（1）求棒在向下運動距離d過程中回路產生的總焦耳熱；（2）棒從靜止釋放經過時間下降了，求此時刻的速度大小；（3）如圖乙所示，在上方區域加一面積為S的垂直于紙面向里的勻強磁場，棒由靜止開始自上方某一高度處釋放，自棒運動到位置時開始計時，隨時間t的變化關系，式中k為已知常量；棒以速度進入下方磁場后立即施加一豎直外力使其保持勻速運動。求在t時刻穿過回路的總磁通量和電阻R的電功率。答案：（1）（2）解析：（1）對閉合回路由平衡條件可知解得由功能關系解得（2）由動量定理可知即又解得（3）答案：，解析：因為由法拉第電磁感應定律可得解得專題2.7電磁感應中的電路問題綜合【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【題型1感生中的電路問題】 【題型2含有電容器的電路問題】 【題型3動生、感生綜合的電路問題】 【題型1感生中的電路問題】【例1】(多選)如圖甲，固定在光滑水平面上的正三角形金屬線框，匝數n＝20，總電阻R＝2.5Ω，邊長L＝0.3m，處在兩個半徑均為r＝eq\f(L,3)的圓形勻強磁場區域中．線框頂點與右側圓心重合，線框底邊中點與左側圓心重合．磁感應強度B1垂直水平面向上，大小不變；B2垂直水平面向下，大小隨時間變化．B1、B2的值如圖乙所示，則()A．通過線框的感應電流方向為逆時針方向B．t＝0時刻穿過線框的磁通量為0.1WbC．在0.6s內通過線框中的電荷量約為0.13CD．經過0.6s線框中產生的熱量約為0.07J答案ACD解析磁感應強度B1垂直水平面向上，大小不變，B2垂直水平面向下，大小隨時間增大，故線框向上的磁通量減小，由楞次定律可得，線框中感應電流方向為逆時針方向，選項A正確．t＝0時刻穿過線框的磁通量Φ＝B1×eq\f(1,2)πr2＋B2×eq\f(1,6)πr2≈－0.0052Wb，選項B錯誤．在0.6s內通過線框的電荷量q＝neq\f(ΔΦ,R)＝eq\f(20×5－2×\f(1,6)π×0.12,2.5)C≈0.13C，選項C正確．經過0.6s線框中產生的熱量Q＝I2RΔt＝eq\f(nΔΦ2,RΔt)≈0.07J，選項D正確．【變式1-1】(多選)如圖(a)所示，一個電阻值為R、匝數為n的圓形金屬線圈與阻值為2R的電阻R1連接成閉合回路．線圈的半徑為r1.在線圈中半徑為r2的圓形區域內存在垂直于線圈平面向里的勻強磁場，磁感應強度B隨時間t變化的關系圖線如圖(b)所示．圖線與橫、縱軸的交點坐標分別為t0和B0.導線的電阻不計．在0至t1時間內，下列說法正確的是()A．R1中電流的方向由a到b通過R1B．電流的大小為eq\f(nπB0r\o\al(2,2),3Rt0)C．線圈兩端的電壓大小為eq\f(nπB0r\o\al(2,2),3t0)D．通過電阻R1的電荷量為eq\f(nπB0r\o\al(2,2)t1,3Rt0)答案BD解析由圖象分析可以知道，0至t1時間內由法拉第電磁感應定律有E＝neq\f(ΔΦ,Δt)＝neq\f(ΔB,Δt)S，面積為S＝πreq\o\al(2,2)，由閉合電路歐姆定律有I＝eq\f(E,R1＋R)，聯立以上各式解得，通過電阻R1的電流大小為I＝eq\f(nπB0r\o\al(2,2),3Rt0)，由楞次定律可判斷通過電阻R1的電流方向為從b到a，故A錯誤，B正確；線圈兩端的電壓大小為U＝I·2R＝eq\f(2nπB0r\o\al(2,2),3t0)，故C錯誤；通過電阻R1的電荷量為q＝It1＝eq\f(nπB0r\o\al(2,2)t1,3Rt0)，故D正確．【變式1-2】(多選)如圖(a)所示，半徑為r的帶缺口剛性金屬圓環固定在水平面內，缺口兩端引出兩根導線，與電阻R構成閉合回路．若圓環內加一垂直于紙面的變化的磁場，變化規律如圖(b)所示．規定磁場方向垂直紙面向里為正，不計金屬圓環的電阻．以下說法正確的是()A．0～1s內，流過電阻R的電流方向為b→R→aB．2～3s內，穿過金屬圓環的磁通量在減小C．t＝2s時，流過電阻R的電流方向發生改變D．t＝2s時，Uab＝πr2B0(V)答案AD解析規定磁場方向垂直紙面向里為正，根據楞次定律，在0～1s內，穿過金屬圓環向里的磁通量增大，則金屬圓環中產生逆時針方向的感應電流，那么流過電阻R的電流方向為b→R→a，故A正確；由題圖(b)可知，在2～3s內，穿過金屬圓環的磁通量在增大，故B錯誤；1～2s內，穿過金屬圓環的磁通量向里減小，由楞次定律可知，產生的電流方向為a→R→b，2～3s穿過金屬圓環的磁通量增大，且磁場反向，由楞次定律可知，產生的電流方向為a→R→b，故C錯誤；當t＝2s時，根據法拉第電磁感應定律E＝eq\f(ΔB,Δt)S＝πr2B0(V)，因不計金屬圓環的電阻，因此Uab＝E＝πr2B0(V)，故D正確．【變式1-3】(多選)在如圖甲所示的虛線框內有勻強磁場，設圖甲所示磁場方向為正，磁感應強度隨時間的變化規律如圖乙所示．邊長為l、電阻為R的正方形均勻線框abcd有一半處在磁場中，磁場方向垂直于線框平面，此時線框ab邊的發熱功率為P，則()A．線框中的感應電動勢為eq\f(B0,l2T)B．線框中感應電流為2eq\r(\f(P,R))C．線框cd邊的發熱功率為eq\f(P,2)D．c、d兩端電勢差Ucd＝eq\f(3B0l2,4T)答案BD解析由題圖乙可知，在每個周期內磁感應強度隨時間均勻變化，線框中產生大小恒定的感應電流，設感應電流為I，則對ab邊有，P＝I2·eq\f(1,4)R，得I＝2eq\r(\f(P,R))，選項B正確；由閉合電路歐姆定律得，感應電動勢為E＝IR＝2eq\r(PR)，根據法拉第電磁感應定律得E＝eq\f(ΔΦ,Δt)＝eq\f(ΔB,Δt)·eq\f(1,2)l2，由題圖乙知，eq\f(ΔB,Δt)＝eq\f(2B0,T)，聯立解得E＝eq\f(B0l2,T)，故選項A錯誤；線框的四邊電阻相等，電流相等，則發熱功率相等，都為P，故選項C錯誤；由楞次定律判斷可知，線框中感應電流方向為逆時針，則c端電勢高于d端電勢，Ucd＝eq\f(3,4)E＝eq\f(3B0l2,4T)，故選項D正確．【題型2含有電容器的電路問題】【例2】(多選)如圖甲所示的電路中，電阻R1＝R，R2＝2R，單匝圓形金屬線圈半徑為r2，圓心為O，線圈的電阻為R，其余導線的電阻不計。半徑為r1(r1<r2)、圓心為O的圓形區域內存在垂直于線圈平面向里的勻強磁場，磁感應強度大小B隨時間t變化的關系圖像如圖乙所示，電容器的電容為C。閉合開關S，t1時刻開始電路中的電流穩定不變，下列說法正確的是()A．電容器上極板帶正電B．t1時刻，電容器所帶的電荷量為eq\f(CB1πr12,4t1)C．t1時刻之后，線圈兩端的電壓為eq\f(3B1πr12,4t1)D．t1時刻之后，R1兩端的電壓為eq\f(B2πr22,4t2)解析：選AC根據楞次定律可知，線圈產生沿逆時針方向的感應電流，則電容器上極板帶正電，故A正確；根據法拉第電磁感應定律有E＝eq\f(ΔΦ,Δt)＝eq\f(ΔB,Δt)S＝eq\f(B1πr12,t1)，穩定電流為I＝eq\f(E,R1＋R2＋R)＝eq\f(B1πr12,4Rt1)，UR2＝IR2＝eq\f(B1πr12,4Rt1)·2R＝eq\f(B1πr12,2t1)，電容器所帶的電荷量為Q＝CUR2＝eq\f(CB1πr12,2t1)，故B錯誤；t1時刻之后，線圈兩端的電壓為U＝I(R1＋R2)＝eq\f(3B1πr12,4t1)，故C正確；t1時刻之后，R1兩端的電壓為U＝IR1＝eq\f(B1πr12,4t1)＝eq\f(B2πr12,4t2)，故D錯誤。【變式2-1】在同一水平面上的光滑平行導軌P、Q相距l＝1m，導軌左端接有如圖所示的電路。其中水平放置的平行板電容器兩極板M、N相距d＝10mm，定值電阻R1＝R2＝12Ω，R3＝2Ω，金屬棒ab的電阻r＝2Ω，其他電阻不計。磁感應強度B＝0.5T的勻強磁場豎直穿過導軌平面，當金屬棒ab沿導軌向右勻速運動時，懸浮于電容器兩極板之間的質量m＝1×10－14kg、電荷量q＝－1×10－14C的微粒恰好靜止不動。取g＝10m/s2，在整個運動過程中金屬棒與導軌接觸良好，且速度保持恒定。試求：(1)勻強磁場的方向；(2)ab兩端的路端電壓；(3)金屬棒ab運動的速度。解析：(1)帶負電荷微粒受到重力和電場力的作用處于靜止狀態，因為重力豎直向下，所以電場力豎直向上，故M板帶正電。ab棒向右做切割磁感線運動產生感應電動勢，ab棒等效于電源，感應電流方向由b→a，其a端為電源的正極，由右手定則可判斷，磁場方向豎直向下。(2)微粒受到重力和電場力的作用處于靜止狀態，根據平衡條件有mg＝Eq又E＝eq\f(UMN,d)所以UMN＝eq\f(mgd,q)＝0.1VR3兩端電壓與電容器兩端電壓相等，由歐姆定律得通過R3的電流為I＝eq\f(UMN,R3)＝0.05A則ab棒兩端的電壓為Uab＝UMN＋Ieq\f(R1R2,R1＋R2)＝0.4V。(3)由法拉第電磁感應定律得感應電動勢E＝Blv由閉合電路的歐姆定律得E＝Uab＋Ir＝0.5V聯立解得v＝1m/s。答案：(1)豎直向下(2)0.4V(3)1m/s【變式2-2】如圖所示，間距為L＝0.8m、傾角為θ＝37°的兩根平行傾斜光滑導軌與間距相同的兩根平行水平光滑導軌在b、e處平滑連接，導軌全部固定，其中MN、PQ兩段用絕緣材料制成，其余部分用電阻不計的金屬材料制成。cf兩點間有一個電容為C=58F的電容器，整個導軌區域存在豎直方向的磁感應強度為B＝0.5T的勻強磁場（圖中未標注）將長度比導軌間距略大、質量均為m＝0.4kg、電阻均為R＝0.1Ω的導體棒A和B靜止置于導軌上，鎖定導體棒B，給導體棒A施加一個在傾斜導軌平面內且垂直于導體棒A的外力F，使其沿傾斜導軌向下做初速度為0的勻加速直線運動。外力作用t0＝2s時間，導體棒A恰好以v（1）外力F作用期間，其大小隨時間t的變化關系式；（2）從釋放導體棒B至發生彈性碰撞前，導體棒B上產生的焦耳熱QB；（3）最終穩定時，電容器所帶電量q。【解答】解：（1）由加速度的定義可得：a=v0根據牛頓第二定律得：F+mgsin37°?B解得：F＝0.768t﹣1.8（N）故外力F的大小為F＝1.8﹣0.768t（N），其中0≤t≤2s（2）對A棒有：?∑B?BLΔv而因為：ΣΔv?Δt＝x而：vA＝2m/s對B棒有：?∑B?而：vB＝1m/s根據能量守恒可得：Q熱＝EkB=1又：QB（3）彈性碰撞，兩棒質量等，故速度互換，即有vB′＝2m/s最終穩定時，導體棒B向右勻速滑行，則有：BLvm＝Um又因為：﹣ΣBiL?Δt＝mvm﹣mvB′又因為：q＝Σi?Δt＝CUm得到：vm＝1.6m/s，q＝0.4C答：（1）外力F作用期間，其大小隨時間t的變化關系式為F＝1.8﹣0.768t（N），其中0≤t≤2s；（2）從釋放導體棒B至發生彈性碰撞前，導體棒B上產生的焦耳熱QB為0.4J；（3）最終穩定時，電容器所帶電量q為0.4C。【變式2-3】如圖所示，甲、乙兩水平面高度差為2h，甲水平面內有間距為2L的兩光滑金屬導軌平行放置，乙水平面內有間距分別為2L、L的光滑金屬導軌平行放置，光滑的絕緣斜導軌緊挨甲、乙兩個平面內的水平軌道放置，斜軌道的傾角為53°，斜軌道底端有一小段高度可忽略的光滑圓弧與金屬導軌平滑連接。水平面甲內軌道左端連接一充滿電的電容器C，右邊緣垂直軌道放置長度為2L，質量為m，電阻為R的均勻金屬棒ab，在水平面乙內垂直間距為L的軌道左端放置與ab完全相同的金屬棒cd，導軌MM'與NN'、PP'與QQ'均足夠長，所有導軌的電阻都不計。所有導軌的水平部分均有豎直向下的、磁感應強度為B的勻強磁場，斜面部分無磁場。閉合開關S，金屬棒αb迅速獲得水平向右的速度做平拋運動，剛好落在斜面底端，沒有機械能損失，之后沿著水平面乙運動。已知重力加速度為g，，。求：（1）金屬棒ab做平拋運動的初速度v0；（2）電容器C釋放的電荷量q；（3）從金屬棒ab開始沿水平面乙內的光滑軌道運動起，至勻速運動止，這一過程中金屬棒ab上產生的熱量。【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）金屬棒ab落到斜面底端時，在豎直方向上有解得由幾何關系解得（2）金屬棒ab彈出瞬間，根據動量定理得又因為聯立解得電容器C釋放的電荷量為（3）金屬棒ab落在水平軌道時，根據動能定理有解得最終勻速運動時，電路中無電流，所以金屬棒ab和金屬棒cd產生的感應電動勢相等，即此過程中，對金屬棒a