第03講平面向量的線性運算（核心考點講與練）【基礎知識】一：實數與向量相乘1.平面向量的相關概念向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；向量的長度：向量的大小也叫做向量的長度（或向量的模）；零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作；相等的向量：方向相同且長度相等的兩個向量叫做相等的向量；互為相反向量：方向相反且長度相等的兩個向量叫做互為相反向量；平行向量：方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量．2.平面向量的加減法則幾個向量相加的多邊形法則；向量減法的三角形法則；向量加法的平行四邊形法則．3.實數與向量相乘的運算設k是一個實數，是向量，那么k與相乘所得的積是一個向量，記作．如果，且，那么的長度；的方向：當k>0時與同方向；當k<0時與反方向．如果k=0或，那么．4.實數與向量相乘的運算律設m、n為實數，則；；．平行向量定理如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實數m，使．5.單位向量單位向量：長度為1的向量叫做單位向量．設為單位向量，則．單位向量有無數個；不同的單位向量，是指它們的方向不同．對于任意非零向量，與它同方向的單位向量記作．由實數與向量的乘積可知：，．二：向量的線性運算1.向量的線性運算向量加法、減法、實數與向量相乘以及它們的混合運算叫做向量的線性運算．如、、、等，都是向量的線性運算．一般來說，如果、是兩個不平行的向量，是平面內的一個向量，那么可以用、表示，并且通常將其表達式整理成的形式，其中x、y是實數．2.向量的合成與分解如果、是兩個不平行的向量，（m、n是實數），那么向量就是向量與的合成；也可以說向量分解為、兩個向量，這時，向量與是向量分別在、方向上的分向量，是向量關于、的分解式．平面上任意一個向量都可以在給定的兩個不平行向量的方向上分解【考點剖析】【考點1】實數與向量相乘例題1（川中南2019期中8）__________例題2（閔行2020期末11）為單位向量，與的方向相反，且長度為6，那么=_____.例題3（普陀2019期中19）如圖，已知兩個不平行的向量、.先化簡，再求作：.（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結論的向量）【考點2】向量的線性運算例題4（川中南2019期中20）如圖，中，點為上的一點，，與相交于點，如果.(1)用向量分別表示下列向量:.(2)在圖中求作分別在和方向上的分向量(不寫作法但要寫出畫圖結果)【過關檢測】一．選擇題（共6小題）1．(2023?普陀區二模）已知|a→|＝1，|b→|＝2，且b→A．a→=2b→ B．a→=?2b→ C．b→2．(2023秋?徐匯區期末）已知點C是線段AB的中點，下列結論中正確的是（）A．AC→=BC→ B．AC+BC=0 C．BC→3．(2023?青浦區二模）已知非零向量a→和單位向量eA．|a→|=|e→|a→ 4．(2023?徐匯區二模）如圖，?ABCD的對角線AC和BD交于點O，下列選項中錯誤的是（）A．AB→=DC→ B．OA→+OC→=0 C．|5．(2023春?浦東新區校級期中）已知a→，b→非零向量，且|a→+bA．a→=b→ B．a→∥b→C．a→=b→ D．a→∥b6．(2023春?浦東新區校級期中）在?ABCD中，AB→A．BD→ B．AC→ C．DB→二．填空題（共7小題）7．(2023春?松江區校級期中）已知向量e→為單位向量，則|﹣3e→|＝8．(2023春?黃浦區期中）已知AD、BE是△ABC的中線，交于點O，設OB→=a→，OD→=b→，那么向量9．(2023?長寧區二模）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，且ADBD=23，點E是AC的中點，BA→=a→，AC→=10．(2023?浦東新區二模）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，如果AC→=a→，AB→=b→，那么用11．(2023?嘉定區二模）如圖，點D，E，F分別是△ABC邊AB，BC，CA上的中點，AB→=a→，BC→=b→12．(2023春?靜安區期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O．已知OD→=a→，CO→=b→13．(2023?青浦區二模）如圖，已知平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，ED＝2AE，聯結BE交AC于F，若向量BA→=a→，向量BC三．解答題（共5小題）14．(2023秋?浦東新區期末）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，且DE=23（1）如果AC＝6，求AE的長；（2）設AB→=a→，AC→=b15．(2023秋?楊浦區期末）如圖，已知在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，且DE=23（1）如果AC＝6，求AE的長；（2）設AB→=a→，AC→=b16．(2023秋?寶山區期末）如圖，已知在四邊形ABCD中，F是邊AD上一點，AF＝2DF，BF交AC于點E，又AF→（1）設AB→=a→，AD→=b→，用向量a→（2）如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的長．17．(2023秋?長寧區期末）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB：CD＝3：2，點E是邊CD的中點，聯結BE交對角線AC于點F，若AB→=m（1）用m→、n→表示AC→（2）求作BF在BA→、BC（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結論的分向量）18．(2023春?黃浦區期末）如圖，點E在平行四邊形ABCD的對角線BD的延長線上．（1）填空：DA→+DC→=（2）求作：AB→第03講平面向量的線性運算（核心考點講與練）【基礎知識】一：實數與向量相乘1.平面向量的相關概念向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；向量的長度：向量的大小也叫做向量的長度（或向量的模）；零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作；相等的向量：方向相同且長度相等的兩個向量叫做相等的向量；互為相反向量：方向相反且長度相等的兩個向量叫做互為相反向量；平行向量：方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量．2.平面向量的加減法則幾個向量相加的多邊形法則；向量減法的三角形法則；向量加法的平行四邊形法則．3.實數與向量相乘的運算設k是一個實數，是向量，那么k與相乘所得的積是一個向量，記作．如果，且，那么的長度；的方向：當k>0時與同方向；當k<0時與反方向．如果k=0或，那么．4.實數與向量相乘的運算律設m、n為實數，則；；．平行向量定理如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實數m，使．5.單位向量單位向量：長度為1的向量叫做單位向量．設為單位向量，則．單位向量有無數個；不同的單位向量，是指它們的方向不同．對于任意非零向量，與它同方向的單位向量記作．由實數與向量的乘積可知：，．二：向量的線性運算1.向量的線性運算向量加法、減法、實數與向量相乘以及它們的混合運算叫做向量的線性運算．如、、、等，都是向量的線性運算．一般來說，如果、是兩個不平行的向量，是平面內的一個向量，那么可以用、表示，并且通常將其表達式整理成的形式，其中x、y是實數．2.向量的合成與分解如果、是兩個不平行的向量，（m、n是實數），那么向量就是向量與的合成；也可以說向量分解為、兩個向量，這時，向量與是向量分別在、方向上的分向量，是向量關于、的分解式．平面上任意一個向量都可以在給定的兩個不平行向量的方向上分解【考點剖析】【考點1】實數與向量相乘例題1（川中南2019期中8）__________答案:；解析：解：原式=.例題2（閔行2020期末11）為單位向量，與的方向相反，且長度為6，那么=_____.答案:-6；解析：解：根據題意，得，故答案為-6.例題3（普陀2019期中19）如圖，已知兩個不平行的向量、.先化簡，再求作：.（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結論的向量）答案:；解析：解：==.如圖即為所求．【考點2】向量的線性運算例題4（川中南2019期中20）如圖，中，點為上的一點，，與相交于點，如果.(1)用向量分別表示下列向量:.(2)在圖中求作分別在和方向上的分向量(不寫作法但要寫出畫圖結果)答案:解析：解：（1）；；；（2）如圖所示，分別在和方向上的分向量分別是和.【過關檢測】一．選擇題（共6小題）1．(2023?普陀區二模）已知|a→|＝1，|b→|＝2，且b→A．a→=2b→ B．a→=?2b→ C．b→分析：根據平面向量的性質即可解決問題．【解答】解：∵|a→|＝1，|b→|＝2，且b→∴b→=?2故選：D．【點評】本題考查平面向量的性質，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．2．(2023秋?徐匯區期末）已知點C是線段AB的中點，下列結論中正確的是（）A．AC→=BC→ B．AC+BC=0 C．BC→分析：根據平面向量的定義與性質逐一判斷即可．【解答】解：∵點C是線段AB的中點，∴AC→=CB→；AC→+BC→=∴A，B，C錯誤，D正確，故選：D．【點評】本題考查了平面向量的定義與性質，熟練掌握平面向量的定義與性質是解題的關鍵．3．(2023?青浦區二模）已知非零向量a→和單位向量eA．|a→|=|e→|a→ 分析：根據向量既有長度也有方向對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、|aB、e→=1|aC、a→D、a→=|a→|故選：C．【點評】本題考查了向量的運算，向量的問題一定要注意從方向與模兩方面考慮．4．(2023?徐匯區二模）如圖，?ABCD的對角線AC和BD交于點O，下列選項中錯誤的是（）A．AB→=DC→ B．OA→+OC→=0 C．|分析：利用平行四邊形的性質和三角形法則進行判斷．【解答】解：A、在?ABCD中，AB＝DC，且AB∥DC，則AB→B、在?ABCD中，OA＝OC，則OA→C、在?ABCD中，OB＝OD，則|OB→|＝|ODD、在?ABCD中，AC＝2AO，則AC→=2故選：B．【點評】本題主要考查了平面向量和平行四邊形的性質，注意：平面向量既有大小又有方向．5．(2023春?浦東新區校級期中）已知a→，b→非零向量，且|a→+bA．a→=b→ B．a→∥b→C．a→=b→ D．a→∥b分析：根據向量數量積的應用，利用平方法進行判斷即可．【解答】解：∵a→，b→非零向量，且|a→+b∴平方得|a→|2+|b→|2+2a→?b→=|a→|2+|b→即a→?b→=|a∴|a→|?|b→|cos＜a→，b→則cos＜a→，b→＞=1，即a→∥b故選：B．【點評】本題主要考查向量數量積的應用，利用平方法是解決本題的關鍵．6．(2023春?浦東新區校級期中）在?ABCD中，AB→A．BD→ B．AC→ C．DB→分析：利用平行四邊形的對邊平行且相等的性質和共線向量的性質得到AD→=BC【解答】解：在?ABCD中，∵AD∥BC，AD＝BC，∴AD→∴AB→故選：B．【點評】本題主要考查了平面向量和平行四邊形的性質，利用“平行四邊形的對邊平行且相等”的性質推知AD→二．填空題（共7小題）7．(2023春?松江區校級期中）已知向量e→為單位向量，則|﹣3e→|＝分析：根據平面向量的模的幾何意義作答．【解答】解：∵向量e→∴|﹣3e→故答案是：3．【點評】本題主要考查了平面向量，平面向量的模即為某線段的長度．8．(2023春?黃浦區期中）已知AD、BE是△ABC的中線，交于點O，設OB→=a→，OD→=b→，那么向量AB→分析：求出AO→，再根據AB【解答】解：∵AD、BE是△ABC的中線，交于點O，∴AO＝2OD，∴AO→=2∵AB→∴AB→=2故答案為：2b→【點評】本題考查平面向量，三角形法則，三角形的重心的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．9．(2023?長寧區二模）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，且ADBD=23，點E是AC的中點，BA→=a→，AC→=b→分析：求出DA→，AE【解答】解：∵ADBD∴AD=25∴DA→∵E是AC的中點，∴AE＝EC，∴AE→∴DE→故答案為：25【點評】本題考查平面向量，三角形法則等知識，解題的關鍵是掌握三角形法則，屬于中考?？碱}型．10．(2023?浦東新區二模）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，如果AC→=a→，AB→=b→，那么用a→、b分析：首先證明OA＝OC，OB＝OD，求出BO→【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BO→∴BD→=2BO→故答案為：a→?2【點評】本題考查平面向量，三角形法則，平行四邊形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握三角形法則，屬于中考?？碱}型．11．(2023?嘉定區二模）如圖，點D，E，F分別是△ABC邊AB，BC，CA上的中點，AB→=a→，BC→=b→，用a分析：首先利用三角形法則求得AC→【解答】解：在△ABC中，AB→=a→，∵點D，E分別是△ABC邊AB，BC上的中點，∴DE是△ABC的中位線．∴DE∥AC，DE=12∴DE→故答案是：12【點評】本題主要考查了平面向量和三角形中位線定理，掌握共線向量的定義和性質是解題的關鍵．12．(2023春?靜安區期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O．已知OD→=a→，CO→=b→，那么BC分析：利用平行四邊形的對邊平行且相等的性質和共線向量的性質推知OA→=b【解答】解：在平行四邊形ABCD中，AO＝CO，AD∥BC，AD＝BC，∵CO→∴OA→∵OD→∴AD→∴BC→故答案是：a→【點評】本題主要考查了平面向量的線性運算和平行四邊形的性質，解題時，需要掌握三角形法則和共線向量的性質．13．(2023?青浦區二模）如圖，已知平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，ED＝2AE，聯結BE交AC于F，若向量BA→=a→，向量BC→=分析：利用三角形法則，可求得CA→，易證得△AEF∽△CBF，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得AF【解答】解：（1）∵向量BA→=a∴CA→∵?ABCD中，ED＝2AE，∴AE=13AD=13BC，∴△AEF∽△CBF，∴AFFC∴FA→故答案是：14【點評】此題考查了平面向量的知識．此題難度適中，注意掌握三角形法則的應用，注意掌握數形結合思想的應用．三．解答題（共5小題）14．(2023秋?浦東新區期末）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，且DE=23（1）如果AC＝6，求AE的長；（2）設AB→=a→，AC→=b分析：（1）由平行線截線段成比例求得AE的長度；（2）利用平面向量的三角形法則解答．【解答】解：（1）如圖，∵DE∥BC，且DE=23∴AEAC又AC＝6，∴AE＝4．（2）∵AB→=a∴BC→又DE∥BC，DE=23∴DE→=2【點評】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法則和平行向量的定義．15．(2023秋?楊浦區期末）如圖，已知在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，且DE=23（1）如果AC＝6，求AE的長；（2）設AB→=a→，AC→=b分析：（1）根據相似三角形的性質得出等式求解即可；（2）根據平面向量的加減運算法則即可求解．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC∵DE=2∴AE＝4；（2）由（1）知，DEBC∴DE=2∵BC→∴DE→【點評】本題考查了平面向量，相似三角形的性質等知識，熟練掌握平面向量的加減運算法則是解題的關鍵．16．(2023秋?寶山區期末）如圖，已知在四邊形ABCD中，F是邊AD上一點，AF＝2DF，BF交AC于點E，又AF→（1）設AB→=a→，AD→=b→，用向量a→、b→表示向量（2）如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的長．分析：（1）根據平面向量的加減運算法則即可求解；（2）先證明△ABF∽△BCA，得∠ABF＝∠BCA，從而得出△ABF∽△ECB，再根據相似三角形對應邊成比例得出比例式求解即可．【解答】解：（1）∵AF＝2DF，∴AF=2∵AD→∴AF→∴BF=2∵AF→∴BC→∴AC=8故答案為：23b→（2）∵AF→∴AF