【大題精編】2023屆江蘇省中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題6圓綜合問題解答題30題專項提分計劃（江蘇省通用）1．（2022·江蘇泰州·校考三模）如圖，是的直徑，點(diǎn)是外一點(diǎn)，切于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，．(1)與有怎樣的位置關(guān)系？為什么？(2)求的長．【答案】(1)為的切線，原因見解答過程(2)【分析】（1）連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論；（2）連接、、，過點(diǎn)作于，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計算，得到答案．【詳解】（1）解：為的切線．理由如下：連接，如圖所示：，，，，，，在和中，，，，切于點(diǎn)，，，是的半徑，為的切線；（2）連接、、，過點(diǎn)作于，如圖所示：，是的直徑，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，由勾股定理得：，．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校校考模擬預(yù)測）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，，垂足為，平分．(1)求證：是的切線；(2)若，，求和的長．【答案】(1)見解析(2)，【分析】（1）連接，推出，推出，推出，即可得出答案；（2）求出，求出，求出，即可求出，連接，繼而求得半徑，，根據(jù)弧長公式求得，即可求解．【詳解】（1）連接．∵，∴．∵平分，∴，∴，∴．∵，∴．∵是的半徑，∴是的切線．（2）∵是的直徑，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．連接，∴，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)和判定，弧長公式，三角形的內(nèi)角和定理，含30度角的直徑三角形，勾股定理，等腰三角形等知識點(diǎn)的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇鹽城·鹽城市第四中學(xué)（鹽城市藝術(shù)高級中學(xué)、鹽城市逸夫中學(xué)）校考模擬預(yù)測）如圖，以為直徑的與相切于點(diǎn)，點(diǎn)、在上，連接、、，連接并延長交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，的半徑為，，求的長．【答案】(1)見解析(2)8【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得，再由為的直徑，可得，從而得到，再由圓周角定理，即可求證；（2）根據(jù)點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，可得，再由，可得，從而得到，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】（1）證明：∵與相切，∴，即，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴，∵，∴；（2）解：∵點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，∴，∵，，，∴，∴，設(shè)，則，∵的半徑為，∴，在中，，∴，解得：，即．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用同角的余角相等求得．4．（2022·江蘇南京·南京大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，為的直徑，點(diǎn)D在上，連接、，過點(diǎn)D的切線與的延長線交于點(diǎn)A，，與交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)當(dāng)?shù)陌霃綖椋瑫r，求的長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理的推論、切線的性質(zhì)得到，再由圓的基本性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及等量代換得到，然后根據(jù)平行線的判定即可得證結(jié)論；（2）由（1）知，，在中依據(jù)求得，再根據(jù)三角形中位線定理求得，在中，=，求得，最后依據(jù)可得解．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵與相切，∴，∴，∵為直徑，∴，即，∴，∵，∴，而，∴，∴；（2）解：由（1）知，，∴，在中，，∴，∵，∴，在中，=，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、圓周角定理的推論、平行線的判定和性質(zhì)、三角形中位線性質(zhì)以及解直角三角形等知識；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用知識解決問題、學(xué)會添加輔助線、正確尋找相似三角形解決問題．5．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，與交于點(diǎn)，切于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)圓周角定理和切線的性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）由三角形外角的性質(zhì)求出，得到，由圓周角的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的判定即可證得．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，∴，∵切于點(diǎn)，∴，∴，即；（2）由（1）知，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，圓周角定理，切線的性質(zhì)，根據(jù)圓周角定理和切線的性質(zhì)證得是解決問題的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）已知：如圖，是半圓O的直徑，C是延長線上的一點(diǎn)，，交CD的延長線于點(diǎn)E，交半圓O于點(diǎn)F，且D為弧的中點(diǎn)．(1)求證：是半圓O的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)8【分析】（1）連接，根據(jù)D是弧的中點(diǎn)可以得到，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可以得到，則，因而可以證得，從而證得是半圓O的切線；（2）先證明，求出的長，再證明，求出的長即可．【詳解】（1）證明：連接，∵D為弧的中點(diǎn)，∴，又∵AB是半圓O的直徑，∴，又，∴，∴，∴是半圓O的切線；（2）解：∵切半圓O于點(diǎn)D，∴，又，，，，∵是半圓O的直徑，∴，∴，∴，∵．∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，，，，∴，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理的推論、相似三角形的性質(zhì)與判定以及切線的判定，判定切線的問題常用的方法是轉(zhuǎn)化成證明垂直問題．7．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，已知點(diǎn)A、B、C在上，點(diǎn)D在外，，交于E點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為5，，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接并延長交于F點(diǎn)，連接，根據(jù)圓周角定理得到，求得，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到，求得，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）連接，交于點(diǎn)G，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)圓周角定理求出，解直角三角形求出即可．【詳解】（1）證明：連接并延長交于F點(diǎn)，連接，∴，∵，∴，∵為直徑，∴，∴，∴，即，∵是的直徑，∴是的切線；（2）解：連接，交于點(diǎn)G，∵，∴，即，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，垂徑定理以及解直角三角形等知識，判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”；有切線時，常常“遇到切點(diǎn)連圓心得半徑”．8．（2022·江蘇揚(yáng)州·校考三模）如圖，Rt△ABC中，，，為上一點(diǎn)，，以為圓心，以為半徑作圓與相交于點(diǎn)，點(diǎn)是⊙O與線段BC的公共點(diǎn)，連接，并且．(1)求證：是⊙O的切線；(2)求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由是直徑，得出，進(jìn)而得出，由圓周角定理得出，進(jìn)而得出，然后得出，再證明，得出，再證明是等邊三角形，進(jìn)而得出，證明，即可得出，即可得出結(jié)論．（2）先求出等邊三角形的面積為：，由（1）可得出，求出扇形的面積為：，再由勾股定理得出，求出的面積為：，然后可求得陰影部分的面積．【詳解】（1）如圖，連接，∵是直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴∴，∵是半徑，∴是⊙O的切線．（2）∵是等邊三角形，∴，∵，∴的面積為：，∵，∴扇形的面積為：，∵，，，∴，∴，∴，∴由勾股定理可得：，∴的面積為：，∴陰影部分的面積為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，切線的判定，扇形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確作輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校校考二模）如圖，為⊙O直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，于E，于F．(1)求證：是⊙O的切線；(2)若，求的長度．【答案】(1)見解析(2)8【分析】（1）連接，根據(jù)點(diǎn)D是的中點(diǎn)，得出，進(jìn)而根據(jù)內(nèi)錯角相等，得出，最后根據(jù)，即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)O作，垂足為H，可得，再由平行線的性質(zhì)得出，再證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）連接．∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴．∴．∴．∴．∵于E，∴．∴．∴．又∵是半徑，∴是⊙O的切線．（2）過點(diǎn)O作，垂足為H．∴，∵，∴．又∵，∴，∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理等，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·江蘇淮安·淮陰中學(xué)新城校區(qū)校聯(lián)考二模）如圖，是的直徑，點(diǎn)C在的延長線上，平分交于點(diǎn)D，且，垂足為點(diǎn)E．(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的長．【答案】(1)是的切線，理由見解析；(2)．【分析】（1）連接，可根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形綜合得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，即可證出是的切線；（2）根據(jù)勾股定理可求得，可得，，三角形為等腰三角形，，最后在三角形中根據(jù)“所對的直角邊等于斜邊的一半”即可求得答案．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：設(shè)，在中，由勾股定理得，，即，解得，即，，∴，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理，直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識．11．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，求的度數(shù)．【答案】50°【分析】利用得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)圓周角定理得到∠BOC的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴．∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了平行線的性質(zhì)．12．（2020·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）如圖，已知AB、AC分別為⊙O的直徑和弦，D為弧BC的中點(diǎn)，DE⊥AC于E，DE=6，AC=16．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)求直徑AB的長．【答案】(1)見解析(2)20【分析】（1）連接OD，BC，要證明DE是⊙O的切線只要證明OD⊥DE即可，根據(jù)已知條件可以證明OD⊥BC；（2）由（1）可得四邊形CFDE為矩形，從而得到CF=DE=6，BC=2CF=12，利用勾股定理即可求得AB的長．【詳解】（1）證明：如圖，連接OD，BC；∵AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴BCDE；∵D為弧BC的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切線．（2）設(shè)BC與DO交于點(diǎn)F，由（1）可得四邊形CFDE為矩形；∴CF=DE=6，∵OD⊥BC，∴BC=2CF=12，在Rt△ABC中，AB==20．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證它們垂直即可解決問題．13．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑．(1)若⊙O的半徑為2cm，且AB＝2BC，求陰影部分的面積；(2)若∠ACB的平分線CD交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E為CA延長線上的一點(diǎn)，且∠ADE＝∠BCD，判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)相切，理由見解析【分析】（1）連接OC，利用弓形的面積=扇形的面積—三角形的面積，進(jìn)行計算即可；（2）連接OD，證明OD⊥DE，即可得證．【詳解】（1）解：連接OC，∵AB為直徑，∴，，又∵AB＝2BC，∴，，∴，，∴，∴；作OF⊥AC，交AC于點(diǎn)F，則：，，∴，∴；∴．（2）相切，證明如下：證明：如圖，連接DO并延長，交圓于點(diǎn)H，連接HA，則：，，∴∵CD是∠ACB的平分線，∴，又∵∠ADE＝∠BCD，∴，∴∴∴DE是⊙O的切線．【點(diǎn)睛】本題考查圓中陰影部分面積的求法以及切線的證明，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積之間的關(guān)系是求陰影面積的關(guān)鍵．14．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）如圖，直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，OA＝10．C是直線l上一點(diǎn)，連接CP并延長交⊙O于另一點(diǎn)B，且AB=AC．(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為6，求線段BP的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接OB，由AB＝AC得∠ABC＝∠ACB，由OP＝OB得∠OPB＝∠OBP，由OA⊥l得∠OAC＝90°，則∠ACB＋∠APC＝90°，而∠APC＝∠OPB＝∠OBP，所以∠OBP＋∠ABC＝90°，即∠OBA＝90°，于是根據(jù)切線的判定定理得到直線AB是⊙O的切線；（2）根據(jù)勾股定理求得AB＝8，PC＝4，過O作OD⊥PB于D，則PD＝DB，通過證得△ODP∽△CAP，求得PD，即可求得BP．(1)證明：如圖，連接OB，∵OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB，又∵∠OPB＝∠CPA∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，而OA⊥l，即∠OAC＝90°，∴∠ACB+∠CPA＝90°，即∠ABP+∠OBP＝90°，∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，故AB是⊙O的切線；(2)解：由（1）知：∠ABO＝90°，而OA＝10，OB＝OP＝6，由勾股定理，得：AB＝8，過O作OD⊥PB于D，則PB＝2PD＝2DB，∵∠OPD＝∠CPA，∠ODP＝∠CAP＝90°，∴△ODP∽△CAP，∴，又∵AC＝AB＝8，AP＝OA﹣OP＝4，∴CP＝＝4，∴PD＝＝，∴BP＝2PD＝．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用研究三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．15．（2021·江蘇揚(yáng)州·校考一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD交AC于點(diǎn)E，延長AD，BC交于點(diǎn)F，且CF=AC．(1)求證∶CD=AD；(2)若AD=，AB=，求FD的長．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAF=∠F，再由圓周角定理即可證明；（2）過點(diǎn)C作CG⊥AF于點(diǎn)G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AG=FG，然后根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】（1）證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵CF=AC，∴∠CAF=∠F，∴∠ACB=∠CAF+∠F=2∠CAD，∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACD+∠CAD，∴2∠CAD=∠ACD+∠CAD，∴∠CAD=∠ACD，∴CD=AD；（2）如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AF于點(diǎn)G，∵AC=CF=AB=2，∴AG=FG，在Rt?ACG中，根據(jù)勾股定理可得：，在Rt?DCG中，根據(jù)勾股定理可得：，∴，由（1）知：CD=AD=，∴AG=AD+DG=+DG，∴8-3=，解得：，∴AG=，∴FD=，∴FD的長為．【點(diǎn)睛】題目主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理等知識點(diǎn)，熟練運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．16．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，已知AD是⊙O的直徑，B、C為圓上的點(diǎn)，OE⊥AB、BC⊥AD，垂足分別為E、F．(1)求證：2OE=CD；(2)若∠BAD+∠EOF=150°，AD=4，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)2π-【分析】（1）連接BD，先證，，再根據(jù)垂徑定理，證得，最后通過等量代換證得結(jié)論．（2）將代入∠BAD+∠EOF=150°，結(jié)合，解得，，由，分別求得、、，計算即可．【詳解】（1）證明：連接BD，∵AD是⊙O的直徑，B為圓上的點(diǎn)，∴，∵OE⊥AB，∴，∴，∴，∵AD是⊙O的直徑，即O為AD的中點(diǎn)，∴E為AB的中點(diǎn)，∴．∵AD是⊙O的直徑，B、C為圓上的點(diǎn)，BC⊥AD，∴，∴，即．（2）解：∵，又∵∠BAD+∠EOF=150°，∴，即．∵，∴，∴，．如圖，連接BD，∵AD=4，AD是⊙O的直徑，，∴．同理，，，，∴，．∵AD是⊙O的直徑，B、C為圓上的點(diǎn)，BC⊥AD，∴．∵AD=4，，∴．，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，中位線的判定及性質(zhì)，扇形相關(guān)的陰影面積計算，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．17．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考二模）如圖，AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，AD⊥CD，且∠BAC＝∠CAD．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若AD＝1，CD＝2，求⊙O的直徑．【答案】(1)見解析(2)⊙的直徑為5【分析】（1）連接OC，證明，推出∥，再根據(jù)，即可證明結(jié)論；（2）連接，證明⊿∽⊿，推出，利用勾股定理求出AC的長，即可求出AB的長．（1）證明：連接OC，，，∥，，，，，是⊙的切線；（2）解：連接，是⊙的直徑，，△∽△，，，，∴⊙的直徑為5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，直徑所對的圓周角是直角等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，內(nèi)接于⊙O，的平分線AF交⊙O于點(diǎn)G，過G作分別交AB，AC的延長線于點(diǎn)D，E．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)已知，，點(diǎn)I為的內(nèi)心，求GI的長．【答案】(1)見詳解(2)GI的長為4【分析】（1）連接OG，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAG=∠CAG，根據(jù)垂徑定理得到OG⊥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OG⊥EF，然后問題可求證；（2）連接BI，BG，根據(jù)角平分線定義得到∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI，推出∠BIG=∠GBI，得到BG=IG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接OG，∵∠BAC的平分線AF交⊙O于點(diǎn)G，∴∠BAG=∠CAG，∴，∴OG⊥BC，∵，∴OG⊥EF，∵OG是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：連接BI，BG，∵點(diǎn)I為的內(nèi)心，∴BI平分∠ABC，AG平分∠BAC，∴∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI，∵，，，∴，∴∠BIG=∠GBI，∴，∵，∴，∴，∵，∴AF=6，∴FG=2，∵，∴，∴，∴，∴（負(fù)根舍去），∴GI的長為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的判定與性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．19．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)，點(diǎn)均在上，連接交于點(diǎn)，，．(1)若，求的長；(2)若記的面積為，的面積為，求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）如圖，連接，證明，，結(jié)合，求解，再利用勾股定理可得答案；（2）過作于，由，設(shè)，可得，，，證明，可得，，，，再利用三角形的面積公式進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∴，而，∴，∴，∴．（2）過作于，∵，設(shè)，∴，，∴，在中，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，垂徑定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助線，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)解題是關(guān)鍵．20．（2022·江蘇鹽城·校考一模）如圖，四邊形是平行四邊形，以為直徑的切于點(diǎn)A，與交于點(diǎn)．(1)求證：直線是的切線；(2)若，弦的長為，求的半徑長．【答案】(1)見解析(2)10【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，從而利用平行線的性質(zhì)求出，即可證明直線是的切線；（2）連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，再利用同角的余角相等可得，從而可證，利用相似三角形的性質(zhì)求出的長，最后在中，利用勾股定理求出的長，從而得出的半徑．【詳解】（1）證明：與相切于點(diǎn)A，．四邊形是平行四邊形，，．是的半徑，直線是的切線；（2）解：如圖，連接，是的直徑，，，．，，，，，即，解得：（舍去負(fù)值），在中，，，的半徑長為10．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．熟練掌握上述知識，并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．在解（2）時，連接常用的輔助線也是關(guān)鍵．21．（2022·江蘇蘇州·校考模擬預(yù)測）如圖在中，以為圓心，以為半徑作，交于，連接，．(1)求證：與相切．(2)取上一點(diǎn)，連接，若，求證：．(3)在（2）的條件下，若是的中點(diǎn)，，延長交于，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）設(shè)，則，則，即可求解；（2）證明，得到，進(jìn)而求解；（3）證明，得到，在中，由勾股定理得：，解得，進(jìn)而求解．【詳解】（1）設(shè)，則，∵∴∴∴∵為圓的半徑，∴與相切．（2）在上取點(diǎn)，使，連接，∵∴，∴∵∴設(shè)∴∴∴∴∵∴∴；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，設(shè)交于點(diǎn)，由（2）知，∴∴則∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，∴∴∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴∴則，則，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，解得，故設(shè)，則，則，解得，則．【點(diǎn)睛】本題是圓綜合題，主要考查了三角形全等和相似、三角形中位線的判定與性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用等．22．（2022·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）如圖，在中，，點(diǎn)在上，經(jīng)過點(diǎn)的與相切于點(diǎn)，與，分別相交于點(diǎn)，，連接與相交于點(diǎn)．(1)求證：平分；(2)若于點(diǎn)，平分，．①求的值；②求的長度．【答案】(1)見解析(2)①1；②3【分析】（1）連接，根據(jù)切線性質(zhì)證明，得到，再根據(jù)半徑相等得到，推出，得到平分；（2）①根據(jù)角平分線定義得到，根據(jù)，推出，得到，根據(jù)，推出，得到；設(shè)，，得到，證明，得到，求得，，得到．【詳解】（1）證明：連接．∵與相切于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分．（2）①∵平分，∴，∵，∴，即，∴，∵是的直徑，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；解：設(shè)，由可知，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線，角平分線，垂徑定理，相似三角形，銳角三角函數(shù)等，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握圓切線的性質(zhì)，角平分線定義，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切定義及特殊角的三角函數(shù)值．23．（2022·江蘇蘇州·校考一模）如圖，在四邊形中，，以為直徑的與邊相切于點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)F，連接．(1)求證：；(2)若，求證：四邊形是平行四邊形；(3)若平分，且的面積為8，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接，利用切線的性質(zhì)定理和平行線的性質(zhì)可得，利用同圓的半徑相等和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）先證明，利用平行線的性質(zhì)與判定可得，利用有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，連接，利用圓周角定理和角平分線的定義可得，則為等腰直角三角形，設(shè)，則，，利用，列出方程求得；在中，利用勾股定理即可求得結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵為的切線，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）證明：∵為的直徑，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．∴四邊形是平行四邊形；（3）解：過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，連接，如圖，∵平分，∴，∵，∴．∵，∴為等腰直角三角形，∴．設(shè)，則，∴，，∵，∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴．∵的面積為8，∴，∴．∵，∴．在中，∵，∴＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理及其推論，圓的切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，連接過切點(diǎn)的半徑和作出線段的垂線構(gòu)造直角三角形是解決此類問題常添加的輔助線．24．（2022·江蘇泰州·校聯(lián)考三模）如圖，是等邊的內(nèi)切圓，與AB、AC兩邊分別切于D、E兩點(diǎn)，連接DE．點(diǎn)P是劣弧上的一動點(diǎn)（不與D、E重合），過點(diǎn)P作于M，于N，于K，PK交DE于L點(diǎn)．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連結(jié)，連結(jié)交于點(diǎn)Q．連結(jié)，根據(jù)題意得，，，從而得出N、P、L、E四點(diǎn)共圓，M、P、L、D四點(diǎn)共圓；再根據(jù)“同弧所對圓周角相等”可得；再進(jìn)一步通過圓周角定理、平行線性質(zhì)和等量代換得出；再根據(jù)四點(diǎn)共圓推導(dǎo)出，從而由這兩角相等證明，即可證明結(jié)論．3、第（2）題需要通過的面積來推導(dǎo)相關(guān)邊的關(guān)系，可設(shè)的邊長是，則其高可用a表示，通過三角形中位線定理，的邊長和高也可以用a表示；再分兩次寫出的面積，一次直接利用公式，一次把它拆分為三個小三角形，從而得出邊長的關(guān)系；再利用（1）中的結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo)即可．【詳解】（1）證明：連結(jié)，連結(jié)交于點(diǎn)Q．連結(jié)．根據(jù)題意，可得，，∴，，∴N、P、L、E四點(diǎn)共圓，M、P、L、D四點(diǎn)共圓．∴，∵DQ是直徑，∴，，∵，，∴，∴，又∵M(jìn)、P、L、D四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴．∵，，∴，∴，∴．∵，，∴，∴，即．（2）證明：∵，是等邊的內(nèi)切圓，∴，同理可得，∴DE是的中位線，∴的邊長和高都是的一半．設(shè)的高為h，其邊長為2a，根據(jù)勾股定理，得．∴的高，∴．∴．又，∴，∴，又．∴，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題是幾何綜合考題，解題關(guān)鍵是掌握等邊三角形性質(zhì)、圓周角定理及其推論、四點(diǎn)共圓性質(zhì)、相似三角形的判定、平行線的性質(zhì)、三角形中位線定理．25．（2022·江蘇連云港·校考三模）（1）[問題提出]如圖1，為的直徑，點(diǎn)C為上一點(diǎn)，連接，若，則面積的最大值為．（2）[問題探究]如圖2，在四邊形中，，，點(diǎn)分別在邊上．且，若，求的長；（3）[問題解決]為進(jìn)一步落實國家“雙減”政策，豐富學(xué)生的校園生活，某校計劃為同學(xué)們開設(shè)實踐探究課.按規(guī)劃要求，需設(shè)計一個正方形的研學(xué)基地，如圖3．點(diǎn)分別在正方形的邊上，將區(qū)域修建為種植采摘區(qū)，基地內(nèi)其余部分為研學(xué)探究區(qū)，的長為40m，．為了讓更多的學(xué)生能夠同時進(jìn)行種植，要求種植采摘區(qū)（）的面積盡可能大，則種植采摘區(qū)的面積的最大值為_______m2，此時正方形的邊長為_______m．【答案】（1）；（2）；（3）；【分析】（1）連接，過點(diǎn)作，由題意可得：，即可求解；（2）將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，即可求解；（3）將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，可得，由（1）可得，當(dāng)垂直平分時，面積最大，即可求解．【詳解】（1）如圖1中，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)．∵，∴，∵，∴，∴的最大值為3，此時垂直平分，∴的面積的最大值為．（2）將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到．則，∵，∴，∴共線，∵，∴∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（3）將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，如下圖：則，，，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，由（1）可得，當(dāng)垂直平分時，最大，此時面積也最大，則，設(shè)，則，由勾股定理可得：，即，解得，（負(fù)值舍去），，故答案為：；【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形．26．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考二模）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，連接AO，并延長交于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作的切線，與BA的延長線交于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若，求線段AE的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接OC，根據(jù)CE是⊙O的切線，可得∠OCE＝90°，根據(jù)圓周角定理，可得∠AOC=90°，從而得到∠AOC+∠OCE＝180°，即可求證；（2）過點(diǎn)A作AF⊥EC交EC于點(diǎn)F，由∠AOC＝90°，OA＝OC，可得∠OAC＝45°，從而得到∠BAD＝30°，再由AD∥EC，可得∠E=30°，然后證得四邊形OAFC是正方形，可得AF=OA，從而得到AF=3，再由直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）證明：連接OC，∵CE是的切線，∴，∵，，∴，∵，∴．（2）解：過點(diǎn)A作交EC于點(diǎn)F，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，，∴四邊形OAFC是正方形，∴，∵，∴，在中，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．27．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，且CD＝CB，連接AD，與⊙O交于點(diǎn)E．(1)求證AD＝AB；(2)若AE＝5，BC＝6，求⊙O的半徑．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（1）連接CO并延長交⊙O于點(diǎn)F，連接AF.由切線的性質(zhì)和圓周角定理分別得到與及與之間的關(guān)系，從而得到，再證得，從而得證；（2）連接AO并延長交BC于點(diǎn)H，連接CE，OB，OC，先證得，得到，解得DE,在和中，由勾股定理可求出圓的半徑．【詳解】（1）證明：如圖，連接CO并延長交⊙O于點(diǎn)F，連接AF．∵CD是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，∴，∴，∴，∵CF是⊙O的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∵AB＝AC，CD＝CB，∴，∴，∴，（2）連接AO并延長交BC于點(diǎn)H，連接CE，OB，OC．∵AB＝AC，OB＝OC，∴，，∵四邊形ABCE內(nèi)接于⊙O，∴，又，∴，由（1）得，∴，又，∴，∴，∴，∵AE＝5，CD＝BC＝6，∴，解得ED＝4或ED＝－9（舍去），∴AC＝AD＝AE＋ED＝9，由（1），，∴，在中，由勾股定理，設(shè)⊙O的半徑為r，在中,由勾股定理，即，解得：，即⊙O的半徑為．【點(diǎn)睛】此題綜合考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理及推理、垂徑定理的推理、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定及勾股定理，熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)和定理是解決本題關(guān)鍵．28．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考二模）（1）如圖①，在等腰中，，D是AB邊上一點(diǎn)，以CD為腰作等腰，連接BE，則AD與BE的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；（2）如圖②，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上兩點(diǎn)，且，若，，小航同學(xué)想探究CD的長，他想到了利用第（1）問中的解題方法：以CD為腰作等腰直角三角形．請你幫小航同學(xué)完成探究過程；（3）如圖③是某公園的一個面積為36πm2的圓形廣場示意圖，點(diǎn)O為圓心，公園開發(fā)部門計劃在該廣場內(nèi)設(shè)計一個四邊形運(yùn)動區(qū)域ABDC，連接BC、AD，其中等邊為球類運(yùn)動區(qū)域，為散步區(qū)域，設(shè)AD的長為x，的面積為S．①求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②按照設(shè)計要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)D為弧BC的中點(diǎn)時，布局設(shè)計最佳，直接寫出此時四邊形運(yùn)動區(qū)域ABDC的面積．【答案】（1）相等，垂直；（2）；（3）①；②m2【分析】（1）證明△ACD≌△BCE，即可求解；（2）過點(diǎn)C作CE⊥CD交AD于點(diǎn)E，先證明△DCE是等腰直角三角形，可證得△ACE≌△BCD，可得AE＝BD＝3，從而得到DE＝6，即可求解；（3）①在DA上截取DE＝CD，連接CE，過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，過O作OH⊥AB于H，可得△CDE是等邊三角形，從而得到CE＝CD，再由⊙O的面積為36π，可得OA=6cm，從而得到，再證明△BCD≌△ACE，可得，設(shè)CD＝2a，則EF＝DF＝a，由勾股定理可得，再由，即可求解；②在DA上截取DE＝CD，連接CE，連接OC，OB，根據(jù)垂徑定理可得，從而得到∠ACD=90°，進(jìn)而得到AD⊥BC，，再由，即可求解．【詳解】解：（1）等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，AC=BC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠DCE=∠ACB=90°，DC=EC，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CBE=∠A=45°，∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°，∴AD⊥BE，故答案為：相等，垂直；（2）過點(diǎn)C作CE⊥CD交AD于點(diǎn)E，如圖：∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ADC＝45°，∵CE⊥CD，∴∠ACB=∠DCE=90°，∠CED=45°，∴∠ACE＝90°－∠ECB＝∠BCD，△DCE是等腰直角三角形，∴CD=CE，∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD＝3，∴DE＝AD－AE＝9－3＝6，在等腰中，；（3）①在DA上截取DE＝CD，連接CE，過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，過O作OH⊥AB于H，如圖：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∵DE＝CD，∴△CDE是等邊三角形，∴CE＝CD，∵⊙O的面積為36π，∴⊙O的半徑為6，即OA＝6cm，∵△ABC是等邊三角形，OH⊥AB，∴∠OAH=30°，∴AB＝2AH，∠AOH＝60°，在Rt△AOH中，，∴，∵△ABC、△CDE是等邊三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CE＝CD，AC＝BC，∴∠ACE＝60°－∠ECB＝∠BCD，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴，設(shè)CD＝2a，則EF＝DF＝a，∴，∵AD＝x，Rt△ACF中，，∴，化簡變形得：，∴②如圖，在DA上截取DE＝CD，連接CE，連接OC，OB，由（3）①得：△CDE是等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，CE=CD，∵點(diǎn)D為弧BC的中點(diǎn)，∴，∴∠ACD=90°，∴AD為圓O的直徑，∴AD⊥BC，，在中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，并作出適當(dāng)?shù)妮o助線解答是解題的關(guān)鍵．29．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖，在平行四邊形中，是對角線，，以點(diǎn)為圓心，以的長為半徑作，交邊于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(1)求證：與相切；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）連接AE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）連接E