習題課函數性質的綜合問題【學習目標】(1)理解對稱軸和對稱中心滿意的條件．(2)駕馭函數性質的綜合應用．(3)理解抽象函數的單調性、奇偶性的推斷和應用．題型1函數圖象的對稱性【問題探究】(1)函數y＝f(x)的圖象關于直線對稱會滿意怎樣的條件？(2)函數y＝f(x)的圖象關于點對稱會滿意怎樣的條件？例1(1)奇函數f(x)的定義域為R，若f(x＋2)為偶函數，且f(1)＝1，則f(4)＋f(5)＝()A．－2B．－1C．0D．1(2)已知f(x)是定義在R上的函數且f(x)＋1為奇函數，則下列說法不正確的是()A．函數f(x)不是奇函數B．f(x)＋f(－x)＋2＝0C．函數f(x)的圖象關于點(0，－1)對稱D．函數f(x)的圖象關于點(0，1)對稱學霸筆記：解決對稱性、單調性和奇偶性綜合問題的方法(1)圖象法，依據題意，作出符合要求的草圖，便可得出結論．(2)性質法，依據對稱性、單調性和奇偶性的性質，逐步推導解決求值和比較大小的問題．跟蹤訓練1(1)若函數y＝f(x)在(0，2)上單調遞增，函數y＝f(x＋2)是偶函數，則下列結論正確的是()A．f(1)＜f(52)＜f(7B．f(72)＜f(1)＜f(5C．f(72)＜f(52)＜D．f(52)＜f(1)＜f(7(2)定義在R上的偶函數y＝f(x)，其圖象關于點(12，0)對稱，且x∈[0，1]時，f(x)＝－x＋12，則f(A．－1B．0C．1D．3題型2函數性質的綜合應用例2我們知道，函數y＝f(x)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y＝f(x)為奇函數，有同學發覺可以將其推廣為：函數y＝f(x)的圖象關于點P(a，b)成中心對稱圖形的充要條件是函數y＝f(x＋a)－b為奇函數．(1)求函數f(x)＝xx(2)已知f(x)＝xx-1，g(x)＝mx＋1－2m，若對隨意的x1∈[2，3]，總存在x2∈[2，3]，使f(x1)＝g(x2學霸筆記：奇偶性、單調性和對稱性的綜合應用嫻熟駕馭奇偶性、單調性和對稱性的性質及其變形，適當應用解題技巧，化簡求值，肯定要特殊留意函數的定義域．跟蹤訓練2已知函數f(x＋1)是定義在R上的偶函數，并且對隨意x1，x2∈(－∞，1)，都有fx1-fx2x題型3抽象函數的奇偶性、單調性例3函數f(x)對隨意x，y∈R，總有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當x<0時，f(x)<0，且f(1)＝13(1)證明f(x)是奇函數；(2)證明f(x)在R上是增函數；(3)若f(x)＋f(x－3)≥－1，求實數x的取值范圍．學霸筆記：推斷抽象函數的奇偶性、單調性，主要是利用定義判定：(1)找準方向，奇妙賦值，合理、敏捷地變形配湊，找出f(－x)與f(x)的關系．(2)賦值代換，至于如何賦值，要依據解題目標來確定，一般可通過賦值－1或0或1來達到解題目的．跟蹤訓練3若函數f(x)滿意f(ab)＝－f(a)f(b)，且f(x)的定義域為(－∞，0)∪0，+∞，已知f(－1)＝1，當x(1)f(x)的奇偶性；(2)f(x)的單調性．隨堂練習1.二次函數f(x)＝4x2－mx＋5，對稱軸x＝－2，則f(1)值為()A．－7B．17C．1D．252．已知定義域為R的函數f(x)在(4，＋∞)上單調遞減，且對稱軸為x＝4，則()A．f(2)>f(3)B．f(2)>f(5)C．f(3)>f(5)D．f(3)>f(6)3．奇函數f(x)是定義域為(－2，2)上的增函數，且f(3a－1)＋f(a－1)>0，則a的取值范圍是()A．(－1，32)B．(－2C．(12，1)D．(24．偶函數f(x)的圖象關于點(1，0)對稱，f(4)＝2，則f(2)＝________．課堂小結1.函數對稱軸和對稱中心的推斷及應用．2．函數奇偶性、單調性和對稱性的綜合應用．3．抽象函數的奇偶性和單調性的推斷方法．習題課函數性質的綜合問題問題探究提示：(1)函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱?f(x)＝f(2a－x)?f(a－x)＝f(a＋x)；一般的結論：若函數y＝f(x)滿意f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a+b2(2)一般的中心對稱：①函數y＝f(x)的圖象關于點(a，b)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?2b－f(x)＝f(2a－x)．②若函數y＝f(x)滿意f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則y＝f(x)的圖象關于點(a+b2例1解析：(1)依題意，f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(0)＝0，由于f(x＋2)是偶函數，圖象關于y軸對稱，所以f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，所以f(4)＝f(2＋2)＝f(2－2)＝f(0)＝0，f(5)＝f(2＋3)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，所以f(4)＋f(5)＝－1.故選B.(2)對A、B：∵f(x)＋1是奇函數，x∈R，∴f(－x)＋1＝－f(x)－1，∴f(x)＋f(－x)＋2＝0，∴f(x)不是奇函數，A正確、B正確；對C、D：∵f(x)＋1是奇函數，x∈R，∴f(x)＋f(－x)＝－2，∴y＝f(x)關于(0，－1)對稱，C正確，D不正確．故選D.答案：(1)B(2)D跟蹤訓練1解析：(1)函數y＝f(x)在(0，2)上單調遞增，又函數y＝f(x＋2)為偶函數，可得f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，可得函數y＝f(x)在(2，4)上單調遞減，所以f(52)＞f(1)＝f(3)＞f(7(2)∵f(x)關于(12，0)對稱，∴f(x)＋f(1－x)＝0，∴f32＝－f-12＝－f答案：(1)B(2)B例2解析：(1)因為y＝f(x＋1)－1＝x+1x－1＝1x，而y＝所以y＝f(x)的圖象是關于點(1，1)成中心對稱．(2)若對隨意的x1∈[2，3]，總存在x2∈[2，3]，使f(x1)＝g(x2)成立，只需函數y＝f(x)的值域為函數y＝g(x)的值域的子集．∵函數f(x)＝1＋1x-1，易得函數f(x)在[2，3]上單調遞減，求出函數f(x)的值域為[32，2]，探討g(x)＝①當m＝0時，g(x)為常數，不符合題意舍去；②當m>0時，g(x)的值域為[1，m＋1]，只需m＋1≥2，解得m≥1；③當m<0時，g(x)的值域為[m＋1，1]，不符合題意舍去，綜上，m的取值范圍為m≥1.跟蹤訓練2解析：函數f(x＋1)是定義在R上的偶函數，則f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以f(x)關于直線x＝1對稱，f(0)＝f(2)，對隨意x1，x2∈(－∞，1)，都有fx1-fx2x1-所以，由不等式f(x)>f(2)得x<0或x>2，即不等式f(x)>f(2)的解集為(－∞，0)∪例3解析：(1)令x＝y＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0，令y＝－x，則f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，易知f(x)的定義域為R，關于原點對稱，所以函數f(x)是奇函數．(2)任取x1，x2∈R，且x1<x2，則x1－x2<0，因為當x<0時，f(x)<0，所以f(x1－x2)<0，則f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函數f(x)是R上的增函數．(3)由f(1)＝13，得f(2)＝23，f(3)＝1，又由f(x)是奇函數得由f(x)＋f(x－3)≥－1，得f(2x－3)≥f(－3)，因為函數f(x)是R上的增函數，所以2x－3≥－3，解得x≥0，故實數x的取值范圍為[0，＋∞)．跟蹤訓練3解析：(1)令a＝x，b＝－1，則有f(－x)＝－f(x)f(－1)，因為f(－1)＝1，所以f(－x)＝－f(x)，且函數的定義域為(－∞，0)∪0，+∞，(2)因為f(－1)＝1且由(1)知f(x)為奇函數，所以f(1)＝－1，當x>1時，f(x)>－1，即f(x)>f(1)，先證明f(x)在(0，＋∞)的單調性，由題可知f(x2)＝－f(x)f(x)＝－f2(x)≤0，即當0<x<1時，1x依據題意有f(x·1x)＝－f(x)f(1x)，即f(x)f(1x所以當0<x<1或x>1時f(x)≠0恒成立，且f(1)＝－1≠0，所以當x>0時，f(x)<0，?x1，x2∈(0，＋∞)，x1>x2，則x1x2>1，所以ff(x1)－f(x2)＝f(x2·x1x2)－f(x2)＝－f(x2)f(x1x2)－f(x2)＝－f(x因為x2>0，所以f(x2)<0，且f(x1x2)>－1，則f所以－f(x2)[f(x1x2)＋1]>0，即f(x1)>f(所以f(x)在(0，＋∞)單調遞增，又因為函數為奇函數，所以f(x)在(－∞，0)單調遞增．所以f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)單調遞增．[隨堂練習]1．解析：函數f(x)＝4x2－mx＋5的圖象的對稱軸為x＝－2，可得m8＝－2，解得m則f(1)＝4＋16＋5＝25.故選D.答案：D2．解析：因為f(x)對稱軸為x＝4，則f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5)，C錯誤．又因為定義域為R的函數f(x)在(4，＋∞)上單調遞減，所以f(2)＝f(6)<f(3)＝f(5)，A、B錯誤，D正確．故選D.答案：D3．解析：因為f(x)是定義