第05講空間向量及其應用高考一輪復習講練測01020304目錄CONTENTS考情分析網絡構建知識梳理

題型歸納真題感悟02網絡構建03知識梳理

題型歸納1.空間向量的有關概念名稱定義空間向量在空間中，具有

和

的量相等向量方向

且模

的向量相反向量方向

且模

的向量共線向量(或平行向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相

或

的向量共面向量平行于

的向量大小方向相同相等相反相等平行重合同一個平面2.空間向量的有關定理(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使

.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在

的有序實數對(x，y)，使p＝

.(3)空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝

，{a，b，c}叫做空間的一個基底.a＝λb唯一xa＋ybxa＋yb＋zc3.空間向量的數量積及運算律(1)數量積非零向量a，b的數量積a·b＝

.(2)空間向量的坐標表示及其應用設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).|a||b|cos〈a，b〉

向量表示坐標表示數量積a·b_________________共線a＝λb(b≠0，λ∈R)_________________________a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)_____________________模|a|______________夾角余弦值cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝_______________________a1b1＋a2b2＋a3b3＝04.空間位置關系的向量表示(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a為平面α的法向量.(3)空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l?αl∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m＝05.異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝_____.6.直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝＝_____.7.平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補角.設平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝_______.8.點到直線的距離9.點到平面的距離如圖，已知平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則n是直線l的方向向量，且點P到平面α的距離就常用結論題型一：空間向量的加法、減法、數乘運算題型一：空間向量的加法、減法、數乘運算題型一：空間向量的加法、減法、數乘運算題型二：空間共線向量定理的應用題型二：空間共線向量定理的應用題型三：空間向量的數量積運算題型三：空間向量的數量積運算題型三：空間向量的數量積運算題型四：證明三點共線題型四：證明三點共線題型五：證明多點共面的方法題型五：證明多點共面的方法題型五：證明多點共面的方法題型六：證明直線和直線平行題型六：證明直線和直線平行題型七：證明直線和平面平行題型七：證明直線和平面平行題型八：證明平面與平面平行題型八：證明平面與平面平行題型九：證明直線與直線垂直題型九：證明直線與直線垂直題型十：證明直線與平面垂直題型十：證明直線與平面垂直【解題方法總結】（1）證明直線和平面內的兩天相交直線垂直．（2）證明直線和平面內的任一直線垂直．（3）轉化為證明直線與平面的法向量共線．題型十一：證明平面和平面垂直題型十一：證明平面和平面垂直【解題方法總結】（1）轉化為證明兩平面的法向量互相垂直（2）轉化為證明一平面內的一條直線垂直于另一個平面．題型十二：求兩異面直線所成角題型十二：求兩異面直線所成角題型十三：求直線與平面所成角題型十三：求