PAGE13PAGE14專題26圖形的旋轉（31題）一、單選題1．（2024·山東·中考真題）用一個平面截正方體，可以得到以下截面圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，常見的中心對稱圖形有平行四邊形、圓形、正方形、長方形等等．常見的軸對稱圖形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．根據中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，進行判斷即可．把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．【詳解】解：A．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D．該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意．故選：D．2．（2024·廣東深圳·中考真題）下列用七巧板拼成的圖案中，為中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了中心對稱圖形的識別．在同一平面內，如果把一個圖形繞某一點旋轉180度，旋轉后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．【詳解】解：選項A、B、D均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180度后和原圖形完全重合，所以不是中心對稱圖形，選項C能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180度后和原圖形完全重合，所以是中心對稱圖形，故選：C．3．（2024·四川成都·中考真題）在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了求關于原點對稱的點的坐標．關于原點對稱的兩點，則其橫、縱坐標互為相反數，由點關于原點對稱的坐標特征即可求得對稱點的坐標．【詳解】解：點關于原點對稱的點的坐標為；故選：B．4．（2024·吉林·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點C的坐標為．以為邊作矩形，若將矩形繞點O順時針旋轉，得到矩形，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—旋轉，矩形的性質等等，先根據題意得到，再由矩形的性質可得，由旋轉的性質可得，，據此可得答案．【詳解】解：∵點A的坐標為，點C的坐標為，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵將矩形繞點O順時針旋轉，得到矩形，∴，，∴軸，∴點的坐標為，故選：C．5．（2024·江蘇揚州·中考真題）在平面直角坐標系中，點關于原點的對稱點的坐標是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據關于原點對稱的點的坐標特征：橫坐標、縱坐標都變為相反數，即可得答案.【詳解】∵點關于原點的對稱點為，∴的坐標為（-1，-2），故選D．【點睛】本題考查關于原點對稱的點的坐標，其坐標特征為：橫坐標、縱坐標都變為相反數．6．（2024·四川自貢·中考真題）我國漢代數學家趙爽在他所著《勾股圓方圖注》中，運用弦圖（如圖所示）巧妙地證明了勾股定理．“趙爽弦圖”曾作為2002年第24屆國際數學家大會的會徽圖案．下列關于“趙爽弦圖”說法正確的是（

）A．是軸對稱圖形 B．是中心對稱圖形C．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 D．既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形【答案】B【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義、中心對稱圖形的定義；平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，這個圖形就叫做軸對稱圖形；在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，即可作答．【詳解】解：是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形故選：B7．（2024·四川內江·中考真題）2024年6月5日，是二十四節氣的芒種，二十四節氣是中國勞動人民獨創的文化遺產，能反映季節的變化，指導農事活動．下面四副圖片分別代表“芒種”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可．本題主要考查了中心對稱圖形，解題的關鍵在于能夠熟練掌握中心對稱圖形的定義．【詳解】解：A．不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；B．不是中心對稱圖形，故B選項不合題意；C．不是中心對稱圖形，故C選項不合題意；D．是中心對稱圖形，故D選項合題意；故選：D．8．（2024·四川涼山·中考真題）點關于原點對稱的點是，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了關于原點對稱的點的坐標特征，代數式求值，根據關于原點對稱的點，橫縱坐標互為相反數可得，，再代入代數式計算即可求解，掌握關于原點對稱的點的坐標特征是解題的關鍵．【詳解】解：∵點關于原點對稱的點是，∴，，∴，故選：．9．（2024·山東煙臺·中考真題）下圖是由8個大小相同的小正方體組成的幾何體，若從標號為①②③④的小正方體中取走一個，使新幾何體的左視圖既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則應取走（

）

A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】本題考查幾何體的三視圖，熟練掌握三視圖的畫法是解題的關鍵．分別畫出各選項得出的左視圖，再判斷即可．【詳解】解：A、取走①時，左視圖為

，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故選項A符合題意；B、取走②時，左視圖為

，既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故選項B不符合題意；C、取走③時，左視圖為

，既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故選項C不符合題意；D、取走④時，左視圖為

，既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故選項D不符合題意；故選：A．10．（2024·廣東廣州·中考真題）下列圖案中，點為正方形的中心，陰影部分的兩個三角形全等，則陰影部分的兩個三角形關于點對稱的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題考查了圖形關于某點對稱，掌握中心對稱圖形的性質是解題關鍵．根據對應點連線是否過點判斷即可．【詳解】解：由圖形可知，陰影部分的兩個三角形關于點對稱的是C，故選：C．11．（2024·天津·中考真題）如圖，中，，將繞點順時針旋轉得到，點的對應點分別為，延長交于點，下列結論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了旋轉性質以及兩個銳角互余的三角形是直角三角形，平行線的判定，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．先根據旋轉性質得，結合，即可得證，再根據同旁內角互補證明兩直線平行，來分析不一定成立；根據圖形性質以及角的運算或線段的運算得出A和C選項是錯誤的．【詳解】解：記與相交于一點H，如圖所示：∵中，將繞點順時針旋轉得到，∴∵∴在中，∴故D選項是正確的，符合題意；設∴∵∴∴∵不一定等于∴不一定等于∴不一定成立，故B選項不正確，不符合題意；∵不一定等于∴不一定成立，故A選項不正確，不符合題意；∵將繞點順時針旋轉得到，∴∴故C選項不正確，不符合題意；故選：D12．（2024·湖北·中考真題）平面坐標系中，點的坐標為，將線段繞點順時針旋轉，則點的對應點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查坐標系下的旋轉．過點和點分別作軸的垂線，證明，得到，，據此求解即可．【詳解】解：過點和點分別作軸的垂線，垂足分別為，∵點的坐標為，∴，，∵將線段繞點順時針旋轉得到，∴，，∴，∴，∴，，∴點的坐標為，故選：B．13．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，中，，．將繞點A順時針旋轉得到，點與點B是對應點，點與點C是對應點．若點恰好落在BC邊上，下列結論：①點B在旋轉過程中經過的路徑長是；②；③；④．其中正確的結論是（）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，旋轉的性質，弧長公式，等腰三角形的判定和性質，三角形內角和定理．根據旋轉的性質結合等腰三角形的性質求得各角的度數，再逐一判斷各項，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，，由旋轉的性質得，，，，，∴，∴，∴，∴，由旋轉的性質得，∴，①點B在旋轉過程中經過的路徑長是；①說法正確；②∵，∴；②說法正確；③∵，∴，∴；③說法正確；④∵，，∴，∴．④說法正確；綜上，①②③④都是正確的，故選：A．14．（2024·四川內江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，軸，垂足為點，將繞點逆時針旋轉到的位置，使點的對應點落在直線上，再將繞點逆時針旋轉到的位置，使點的對應點也落在直線上，如此下去，……，若點的坐標為，則點的坐標為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平面直角坐標系、一次函數、旋轉的性質、勾股定理等知識點．找出點的坐標規律以及旋轉過程中線段長度的關系是解題的關鍵．通過求出點的坐標，、、的長度，再根據旋轉的特點逐步推導出后續點的位置和坐標，然后結合圖形求解即可．【詳解】軸，點的坐標為，，則點的縱坐標為3，代入，得：，則點的坐標為．，，，由旋轉可知，，，，，，，．設點的坐標為，則，解得或（舍去），則，點的坐標為．故選C．15．（2024·北京·中考真題）如圖，在菱形中，，為對角線的交點.將菱形繞點逆時針旋轉得到菱形，兩個菱形的公共點為，，，.對八邊形給出下面四個結論：①該八邊形各邊長都相等；②該八邊形各內角都相等；③點到該八邊形各頂點的距離都相等；④點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等。上述結論中，所有正確結論的序號是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】根據菱形，，則，，結合旋轉的性質得到點一定在對角線上，且，，繼而得到，，結合，繼而得到，可證，，同理可證，證，繼而得到，得到，可以判定該八邊形各邊長都相等，故①正確；根據角的平分線的性質定理，得點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，可以判定④正確；根據題意，得，結合，，得到，可判定②該八邊形各內角不相等；判定②錯誤，證，進一步可得，可判定點到該八邊形各頂點的距離都相等錯誤即③錯誤，解答即可.本題考查了旋轉的性質，菱形的性質，三角形全等判定和性質，角的平分線性質定理，熟練掌握旋轉的性質，菱形的性質，三角形全等判定和性質是解題的關鍵.【詳解】向兩方分別延長，連接，根據菱形，，則，，∵菱形繞點逆時針旋轉得到菱形，∴點一定在對角線上，且，，∴，，∵，∴，∴，，同理可證，∵，∴，∴，∴，∴該八邊形各邊長都相等，故①正確；根據角的平分線的性質定理，得點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，∴④正確；根據題意，得，∵，，∴，∴該八邊形各內角不相等；∴②錯誤，根據，∴，∴，∵，故，∴點到該八邊形各頂點的距離都相等錯誤∴③錯誤，故選B．二、填空題16．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在中，，，，，線段繞點旋轉，點為的中點，則的最大值是．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形，三角形中位線定理，旋轉的性質，解題的關鍵是找出取最大值時B、P、M三點的位置關系．取的中點M，連接、，利用解三角形求出，利用三角形中位線定理推出，當在下方時，如果B、P、M三點共線，則有最大值．【詳解】解：取的中點M，連接、．∵，，，∴，∴，∴，∵P、M分別是的中點，∴．如圖，當在下方時，如果B、P、M三點共線，則有最大值，最大值為，故答案為：．17．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，直線與軸、軸分別相交于點，，將繞點逆時針方向旋轉得到，則點的坐標為．【答案】【分析】本題考查一次函數圖象與坐標軸的交點，旋轉的性質，正方形的判定和性質等，延長交y軸于點E，先求出點A和點B的坐標，再根據旋轉的性質證明四邊形是正方形，進而求出和的長度即可求解．【詳解】解：如圖，延長交y軸于點E，中，令，則，令，解得，，，，，繞點逆時針方向旋轉得到，，，，四邊形是正方形．，，點的坐標為．故答案為：．18．（2024·吉林長春·中考真題）一塊含角的直角三角板按如圖所示的方式擺放，邊與直線重合，．現將該三角板繞點順時針旋轉，使點的對應點落在直線上，則點A經過的路徑長至少為．（結果保留）【答案】【分析】本題主要考查了旋轉的性質、弧長公式等知識點，掌握弧長公式成為解題的關鍵．由旋轉的性質可得,即，再根據點A經過的路徑長至少為以B為圓心，以為半徑的圓弧的長即可解答．【詳解】解：∵將該三角板繞點順時針旋轉，使點的對應點落在直線上，∴,即，∴點A經過的路徑長至少為．故答案為：．19．（2024·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在中，，，點是的中點，連接，將繞點旋轉，得到．連接，當時，．【答案】/【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質，勾股定理，平行線的性質，全等三角形的性質的綜合，掌握等腰直角三角形的性質，勾股定理，旋轉的性質是解題的關鍵．根據等腰直角三角形的性質可得的值，作，根據平行線的性質可得是等腰直角三角形，可求出的長，在直角中，根據勾股定理可求出的長度，由此即可求解．【詳解】解：∵在中，，，∴，，∵點是的中點，∴，∴在中，，∵將繞點旋轉得到，∴，∴，，，如圖所示，過于點，∵∥，∴，∴是等腰直角三角形，且，∴，在中，，∴，故答案為：．20．（2024·江蘇蘇州·中考真題）直線與x軸交于點A，將直線繞點A逆時針旋轉，得到直線，則直線對應的函數表達式是．【答案】【分析】根據題意可求得與坐標軸的交點A和點B，可得，結合旋轉得到，則，求得，即得點C坐標，利用待定系數法即可求得直線的解析式．【詳解】解：依題意畫出旋轉前的函數圖象和旋轉后的函數圖象，如圖所示∶

設與y軸的交點為點B，令，得；令，即，∴，，∴，，即∵直線繞點A逆時針旋轉，得到直線，∴，，∴，則點，設直線的解析式為，則，解得，那么，直線的解析式為，故答案為：．【點睛】本題主要考查一次函數與坐標軸的交點、直線的旋轉、解直角三角形以及待定系數法求一次函數解析式，解題的關鍵是找到旋轉后對應的直角邊長．三、解答題21．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，中，．(1)尺規作圖：作邊上的中線（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖中，將中線繞點逆時針旋轉得到，連接，．求證：四邊形是矩形．【答案】(1)作圖見解析(2)證明見解析【分析】本題考查的是作線段的垂直平分線，矩形的判定，平行四邊形的判定與性質,旋轉的性質；（1）作出線段的垂直平分線EF，交于點O，連接，則線段即為所求；（2）先證明四邊形為平行四邊形，再結合矩形的判定可得結論．【詳解】（1）解：如圖，線段即為所求；（2）證明：如圖，∵由作圖可得：，由旋轉可得：，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形．22．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，矩形紙片的長為4，寬為3，矩形內已用虛線畫出網格線，每個小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點稱為格點，現沿著網格線對矩形紙片進行剪裁，使其分成兩塊紙片．請在下列備用圖中，用實線畫出符合相應要求的剪裁線．注：①剪裁過程中，在格點處剪裁方向可發生改變但仍須沿著網格線剪裁；②在各種剪法中，若剪裁線通過旋轉、平移或翻折后能完全重合則視為同一情況．【答案】見解析【分析】本題考查的是矩形的性質，全等圖形的定義與性質，同時考查了學生實際的動手操作能力，根據全等圖形的性質分別畫出符合題意的圖形即可.【詳解】解：如圖，23．（2024·山東煙臺·中考真題）在等腰直角中，，，D為直線上任意一點，連接．將線段繞點D按順時針方向旋轉得線段，連接．【嘗試發現】（1）如圖1，當點D在線段上時，線段與的數量關系為________；【類比探究】（2）當點D在線段的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段與的數量關系并證明；【聯系拓廣】（3）若，，請直接寫出的值．【答案】（1）；（2），補圖及證明見解析；（3）或【分析】本題考查三角形全等的判定與性質，三角函數，掌握一線三垂直全等模型是解題的關鍵．（1）過點作延長線于點，利用一線三垂直全等模型證明，再證明即可；（2）同（1）中方法證明，再證明即可；（3）分兩種情況討論：過點作延長線于點，求出，即可．【詳解】解：（1）如圖，過點作延長線于點，由旋轉得，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（2）補全圖形如圖：，理由如下：過點作交于點，由旋轉得，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴；（3）如圖，當在的延長線上時，過點作于點，連接，由（2）得，，∴，∴，∴．當在的延長線上時，過點作于點，如圖，連接，同理可得：，∴，，∴，∴，∴；綜上：或24．（2024·甘肅臨夏·中考真題）根據背景素材，探索解決問題．平面直角坐標系中畫一個邊長為2的正六邊形背景素材六等分圓原理，也稱為圓周六等分問題，是一個古老而經典的幾何問題，旨在解決如何使用直尺和圓規將一個圓分成六等份的問題．這個問題由歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細闡述．已知條件點與坐標原點重合，點在軸的正半軸上且坐標為操作步驟①分別以點，為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點；②以點為圓心，長為半徑作圓；③以的長為半徑，在上順次截取；④順次連接，，，，，得到正六邊形．問題解決任務一根據以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）任務二將正六邊形繞點順時針旋轉，直接寫出此時點所在位置的坐標：______．【答案】任務一：見解析；任務二：【分析】本題考查尺規作圖，弧、弦、圓心角的關系，旋轉的性質．利用數形結合的思想是解題關鍵．任務一：根據操作步驟作出，再根據弧、弦、圓心角的關系，分別作出，即得出，最后順次連接即可；任務二：由旋轉的性質可知，即得出，即此時點所在位置的坐標為．【詳解】解：任務一：如圖，正六邊形即為所作；任務二：如圖，由旋轉可知，∴，∴．故答案為：．25．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實踐：如圖1，這個圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發，數學興趣小組建立了“一線三直角模型”．如圖2，在中，，將線段繞點順時針旋轉得到線段，作交的延長線于點．

(1)【觀察感知】如圖2，通過觀察，線段與的數量關系是______；(2)【問題解決】如圖3，連接并延長交的延長線于點，若，，求的面積；(3)【類比遷移】在(2)的條件下，連接交于點，則______；(4)【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線上找點，使，請直接寫出線段的長度．【答案】(1)(2)10(3)(4)或【分析】（1）根據旋轉的性質可得，，進而證明，即可求解；（2）根據（1）的方法證明，進而證明，求得，則，然后根據三角形的面積公式，即可求解．（3）過點作于點，證明得出，證明，設，則，代入比例式，得出，進而即可求解；（4）當在點的左側時，過點作于點，當在點的右側時，過點作交的延長線于點，分別解直角三角形，即可求解．【詳解】（1）解：∵將線段繞點順時針旋轉得到線段，作交的延長線于點．

，，，，，又且，；（2）解：，，，，，又且，，，，，，，，，，；（3）解：如圖所示，過點作于點，

∵，∴∴，即，即，又∵∴∴，設，則，解得：∴；（4）解：如圖所示，當在點的左側時，過點作于點

∵∴，設，則，又∵，∴，∴∴∴∴，解得：在中，∴∴如圖所示，當在點的右側時，過點作交的延長線于點，

∵∴∵∴設，則，，∵，∴解得：∴∴綜上所述，或．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，解直角三角形，旋轉的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．26．（2024·山東·中考真題）一副三角板分別記作和，其中，，，．作于點，于點，如圖1．(1)求證：；(2)在同一平面內，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點與點重合記為，點與點重合，將圖2中的繞按順時針方向旋轉后，延長交直線于點．①當時，如圖3，求證：四邊形為正方形；②當時，寫出線段，，的數量關系，并證明；當時，直接寫出線段，，的數量關系．【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析；②當時，線段，，的數量關系為；當時，線段，，的數量關系為；【分析】（1）利用等腰直角三角形與含30度角的直角三角形的性質可得結論；（2）①證明，，可得，證明，可得四邊形為矩形，結合，即，而，可得，從而可得結論；②如圖，當時，連接，證明，可得，結合，可得；②如圖，當時，連接，同理，結合，可得【詳解】（1）證明：設，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（2）證明：①∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴四邊形為矩形，∵，即，而，∴，∴四邊形是正方形；②如圖，當時，連接，由（1）可得：，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；②如圖，當時，連接，由（1）可得：，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，正方形的判定，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，銳角三角函數的應用，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.27．（2024·四川眉山·中考真題）綜合與實踐問題提出：在一次綜合與實踐活動中，某數學興趣小組將足夠大的直角三角板的一個頂點放在正方形的中心處，并繞點旋轉，探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況．操作發現：將直角三角板的直角頂點放在點處，在旋轉過程中：（1）若正方形邊長為4，當一條直角邊與對角線重合時，重疊部分的面積為______；當一條直角邊與正方形的一邊垂直時，重疊部分的面積為______．（2）若正方形的面積為，重疊部分的面積為，在旋轉過程中與的關系為______．類比探究：如圖1，若等腰直角三角板的直角頂點與點重合，在旋轉過程中，兩條直角邊分別角交正方形兩邊于，兩點，小宇經過多次實驗得到結論，請你幫他進行證明．拓展延伸：如圖2，若正方形邊長為4，將另一個直角三角板中角的頂點與點重合，在旋轉過程中，當三角板的直角邊交于點，斜邊交于點，且時，請求出重疊部分的面積．（參考數據：，，）【答案】（1）4；4；（2）；類比探究：見解析；拓展延伸：【分析】本題考查了正方形的性質，圖形旋轉的性質，三角形的全等的判定及性質，三角函數的概念等知識點，正確作輔助線證明三角形全等是解題的關鍵．操作發現：（1）根據圖形即可判斷重疊部分即為（對角線分成的四個三角形中的一個）求出面積即可；當一條直角邊與正方形的一邊垂直時，如圖，證明四邊形是正方形，求解面積即可；（2）如圖，過點作于點，于點．證明，從而證明，即可求得結論；類比探究：先證明，從而證明，即可證明結論；拓展延伸：過點作于點，于點．先證明，即可證明，，從而證明，根據，即可求得，由重疊部分的面積，即可求得結果．【詳解】解：操作發現：（1）四邊形是正方形，，當一條直角邊與對角線重合時，重疊部分的面積為；當一條直角邊與正方形的一邊垂直時，如圖，，四邊形是矩形，四邊形是正方形，，，，，四邊形是正方形，，四邊形的面積是4，故答案為：4，4；（2）如圖，過點作于點，于點．是正方形的中心，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，，，，．故答案為：；類比探究：證明：四邊形是正方形，，，，，，，，，，，拓展延伸：過點作于點，于點．同（2）可知四邊形是正方形，，，，，，，，，，，由（1）可知，，，，，重疊部分的面積．28．（2024·廣西·中考真題）如圖1，中，，．的垂直平分線分別交，于點M，O，平分．(1)求證：；(2)如圖2，將繞點O逆時針旋轉得到，旋轉角為．連接，①求面積的最大值及此時旋轉角的度數，并說明理由；②當是直角三角形時，請直接寫出旋轉角的度數．【答案】(1)見解析(2)①，；②或【分析】（1）利用線段垂直平分線的性質得出，利用等邊對等角得出，結合角平分線定義可得出，最后根據相似三角形的判定即可得證；（2）先求出，然后利用含的直角三角形性質求出，，，利用勾股定理求出，，取中點，連接，，作于N，由旋轉的性質知，為旋轉所得線段，則，，，根據點到直線的距離，垂線段最短知，三角形三邊關系得出，故當M、O、三點共線，且點O在線段時，取最大值，最大值為，此時，最后根據三角形面積公式求解即可；②先利用三角形三邊關系判斷出，，則當為直角三角形時，只有，然后分A和重合，和C重合，兩種情況討論即可．【詳解】（1）證明：∵垂直平分，∴，∴，∵平分∴，∴，又；∴；（2）解：①∵，∴，∴，∴，又，∴，，∵垂直平分，∴，，∴，∴，取中點，連接，，作于N，由旋轉的性質知，為旋轉所得線段，∴，，，根據垂線段最短知，又，∴當M、O、三點共線，且點O在線段時，取最大值，最大值為，此時，∴面積的最大值為；②∵，，∴，同理∴為直角三角形時，只有，當A和重合時，如圖，∵∴，，∴，∵，∴，∴，∴、O、M三點共線，∴為直角三角形，此時旋轉角；當和C重合時，如圖，同理，，∴，∵，∴，∴，∴、O、M三點共線，又∴為直角三角形，此時旋轉角；綜上，旋轉角的度數為或時，為直角三角形．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，含的直角三角形的性質，勾股定理，旋轉的性質等知識，明確題意，正確畫出圖形，添加輔助線，合理分類討論是解題的關鍵．29．（2024·廣東·中考真題）【知識技能】（1）如圖1，在中，是的中位線．連接，將繞點D按逆時針方向旋轉，得到．當點E的對應點與點A重合時，求證：．【數學理解】（2）如圖2，在中，是的中位線．連接，將繞點D按逆時針方向旋轉，得到，連接，，作的中線．求證：．【拓展探索】（3）如圖3，在中，，點D在上，．過點D作，垂足為E，，．在四邊形內是否存在點G，使得？若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，證明見解析【分析】（1）根據中位線的性質、旋轉的性質即可證明；（2）利用旋轉的性質、外角定理、中位線的性質證明后即可證明；（3）通過解直角三角形得到，，過點C作于點M，易證，得到，即可求得，進而，從而點M是的中點，過點D作，交于點P，連接，，，根據三線合一得，證明，即可求的，過點P作于點N，則四邊形是矩形，得到，因此點N是的中點，進而，再證，得到，根據，即可推出，因此當點G與點P重合時，滿足．【詳解】證明：（1）是的中位線，且．又繞點D按逆時針方向旋轉得到．（2）由題意可知：，，．作，則且，又，．根據外角定理，，．又，是的中位線，，，，，，．（3）存在點使得．∵，∴，∴在中，，過點C作于點M，∴，∵，∴∴，即，∴，∴，∵，∴，∴點M是的中點，∴是的垂直平分線，過點D作，交于點P，連接，，∴，∴根據三線合一得，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，過點P作于點N，則四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴點N是的中點，∴垂直平分，∴，∴，∵，，∴，又，∴，∴，∵，∴即，∴，∴當點G與點P重合時，滿足．【點睛】本題考查了旋轉的性質、中位線的性質、外角定理、相似三角形的判定與性質、勾股定理、解直角三角形，熟練掌握知識點以及靈活運用是解題的關鍵．30．（2024·廣東廣州·中考真題）已知拋物線過點和點，直線過點，交線段于點，記的周長為，的周長為，且．(1)求拋物線的對稱軸；(2)求的值；(3)直線繞點以每秒的速度順時針旋轉秒后得到直線，當時，直線交拋物線于，兩點．①求的值；②設的面積為，若對于任意的，均有