必備知識·逐點夯實第二節等差數列第七章數列核心考點·分類突破【課標解讀】【課程標準】1.理解等差數列的概念并掌握其通項公式與前n項和公式.2.能在具體的問題情境中,發現數列的等差關系,并解決相應的問題.3.體會等差數列與一次函數的關系.【核心素養】數學建模、數學運算、邏輯推理【命題說明】考向考法高考命題常以等差數列為載體,考查基本量的運算、求和及性質的應用.等差數列前n項和的性質是高考的熱點,常以選擇題的形式出現.預測2025年高考將會從以下兩個角度來考查:(1)等差數列及其前n項和的基本運算與性質;(2)等差數列的綜合應用,可能與等比數列、函數、方程、不等式相結合考查.必備知識·逐點夯實知識梳理·歸納1.等差數列的有關概念定義通項公式設{an}是首項為a1,公差為d的等差數列,則通項公式為an=_________等差中項由三個數a,A,b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列.這時,___叫做a與b的等差中項.根據等差數列的定義可以知道,2A=____同一個常數a1+(n-1)dAa+b

已知條件前n項和公式a1,an,na1,d,nSn=___________

(n-m)dak+al=am+anmd常用結論

1.已知數列{an}的通項公式是an=pn+q(其中p,q為常數),則數列{an}一定是等差數列,且公差為p.2.在等差數列{an}中,a1>0,d<0,則Sn存在最大值;若a1<0,d>0,則Sn存在最小值.3.等差數列{an}的單調性:當d>0時,{an}是遞增數列;當d<0時,{an}是遞減數列;當d=0時,{an}是常數列.4.數列{an}是等差數列?Sn=An2+Bn(A,B為常數).基礎診斷·自測1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若一個數列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數,則這個數列是等差數列.(

)提示:(1)第2項起每一項與它的前一項的差應是同一個常數;

(2)數列{an}為等差數列的充要條件是對任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(

)類型辨析易錯高考題號132,4×√(3)數列{an}為等差數列的充要條件是其通項公式為n的一次函數.(

)提示:(3)如果數列為0,0,0,0,則其通項公式不是一次函數.(4)已知數列{an}的通項公式是an=pn+q(其中p,q為常數),則數列{an}一定是等差數列.(

)×√

4.(2022·全國乙卷)記Sn為等差數列{an}的前n項和.若2S3=3S2+6,則公差d=

.

【解析】因為2S3=3S2+6,所以2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6,化簡得3d=6,解得d=2.2核心考點·分類突破

解題技法等差數列基本量運算的常見類型及解題策略(1)求公差d或項數n:在求解時,一般要運用方程思想;(2)求通項:a1和d是等差數列的兩個基本元素;(3)求特定項:利用等差數列的通項公式或等差數列的性質求解;(4)求前n項和:利用等差數列的前n項和公式直接求解或利用等差中項間接求解.

考點二等差數列的判定與證明教考銜接教材情境·研習·典題類

解題技法等差數列的判定與證明的常用方法提醒:若要判定一個數列不是等差數列,則只需找出三項an,an+1,an+2,使得這三項不滿足2an+1=an+an+2即可.主要方法定義法對任意n∈N*,an+1-an是同一常數?{an}為等差數列.等差中項法2an+1=an+an+2?{an}為等差數列.常用結論通項公式法an=pn+q(p,q為常數)?{an}是等差數列.前n項和公式法Sn=An2+Bn(A,B為常數)?{an}是等差數列.問題的最終判定還是利用定義對點訓練已知數列{an}滿足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求a2,a3;【解析】(1)由已知,得a2-2a1=4,則a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.

角度2

等差數列求和[例3](1)設等差數列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9等于(

)A.63 B.45 C.36 D.27【解析】選B.由{an}是等差數列,得S3,S6-S3,S9-S6為等差數列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9-S6=2S6-3S3=45.

角度3

等差數列求最值[例4](一題多法)等差數列{an}的前n項和為Sn,已知a1=13,S3=S11,當Sn最大時,n的值是(

)A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選C.方法一(鄰項變號法):由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根據等差數列的性質,可得a7+a8=0.根據首項等于13可推知這個數列為遞減數列,從而得到a7>0,a8<0,故n=7時Sn最大.方法二(函數法):由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,得d=-2,故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n.根據二次函數的性質,知當n=7時Sn最大.

對點訓練1.已知等差數列{an}的前n項和為Sn.若S5=7,S10=21,則S15=(

)A.35

B.42

C.49

D.63【解析】選B.在等差數列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10成等差數列,即7,14,S15-21成等差數列,所以7+(S15-21)=2×14,解得S15=42.

解題技法等差數列實際應用的解題策略(1)審清題意,確定是否為等差問題,依據就是相鄰項之間的差是否為同一個常數;(2)對于等差問題,確定其首項、公差、項數、通項公式、前n項和,把實際問題轉化為等差數列基本量的運算.對點訓練我國二十四節氣依次為:大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、處暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒種