高中數(shù)學(xué)：23個(gè)求極值

和值域的經(jīng)典例題

高中數(shù)學(xué)：23個(gè)求極值和值域的經(jīng)典例題

23個(gè)求極值和值域?qū)ｎ}

1、求函數(shù)/(x)=x+"-3x+2的值域.

2、求函數(shù)，(x)=Jx+27+J73-X+Jx的值域.

3、求函數(shù)/(x)=Vx-5+<24-3x的值域.

4X2+1

4、求函數(shù)/(")=--------的值域.

x—1

2Y*+bx+c

5、已知函數(shù)/(x)=-------------------(其中bv")的值域是[人3],求實(shí)數(shù)6,c.

x2+l

6、已知：x,為正實(shí)數(shù)，月+求函數(shù)/(*,>、2)="+_+"的最小值.

xyz

7、已知：2x2+3xy+2y2=1,求：x+j，+AJ的最:小值.

8、設(shè)函數(shù)/(x)=-gx2+—在區(qū)間M向的最小值為2",最大值為26.求區(qū)間

9、已知：x2+j2=25.求函數(shù)f(x,y)=N8y-6:x+50+<8y+6x+50的最大值.

10、求函數(shù)：/(")=+2x++Vx:+16x+68的最小值.

11.求函數(shù)：/(x)=―—J的值域.

x2—4K+4

22

12、已知實(shí)數(shù)X2^X3滿(mǎn)足Xj+--=1和X；+H—六=3,求Xj的最小值.

13、求函數(shù)：/(“,j，)=(Z—-3)2+(2x+p—匕)？的最小值.

14、已知：\/x4-7+yfy~-2=5.求函數(shù)：/(<…)=x+’的最小值.

//

15、巳知點(diǎn)P(x,*)在橢圜----F--=/上.求/(x,y)=2x—>，的最大值.

49

16、求函數(shù)：f(x)=<2+x+—3”的值域.

17、求函數(shù)；/(x)=7+/+、'*2+2x+2的值域.

18求函數(shù)

/(“)=>//+sinx+\!1-sinx+—2+§inx+:2-sinAT+J3+sinx+-sinx

的最大值.

19、設(shè)：Xj(7=1,2,3,…,2。。3)為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足、G7+J石十…十J"2003=2003.

++xxxx

試求：y=yjx,4-x2++X3???yj2002~^2003+\]2003^J的最小值-

20、已知x,)，,z為正實(shí)數(shù).H滿(mǎn)足一^方+上=+―J=2,

Z+x2/+j，7+N

求：—丁+一^+―的最大值.

/+"2z+j.2z+J

21、設(shè)a為銳角.求：/(ar)=(74----)(7+—--)的最小值.

sinacosa

22、設(shè)a為銳角.求證：2avsina+tuna.

23、已知x,.y,z為正實(shí)數(shù)，求證：xy+2yz<

x+y+z2

1

高中數(shù)學(xué)：23個(gè)求極值和值域的經(jīng)典例題

23個(gè)求極值和值域?qū)ｎ}解析

1、求函數(shù)/(x)=x+Vx?-3x+2的值域.

解析：函數(shù)/(x)=x+/x2—3x+2=x+J(x-7Xx—2)的定義域?yàn)?(—QO,/J|J(2,-H3O).

3

x----

函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：/g=1+/2

3

彳X一不

(D當(dāng)xe(-<?,功時(shí).x一則1-------------2---------<-/

2，告一夕

即：函數(shù)/(X)在xe(y),〃區(qū)間為能調(diào)遞減函數(shù)，故：/(x)>/(/)=/；

f(x)<lim/(x)=lim/(一*)

.VT-QOX—>-HJO

故：函數(shù)在該區(qū)間的值域是[7,g).

3

3*---------------------------------------

⑵當(dāng)*e[2,+?o)時(shí)，x-->0,則/'(x)=7+j2>。

22二一

即：函數(shù)/(X)在“￡[2,+8)區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故：/(x)>/(2)=2；

f'(x)<lim/(x)=lim(\AT：+3x+2+x)=?+?)

X—>-HX>X->-HX>

故；函數(shù)在該區(qū)間的值域是[2,+8).

2

高中數(shù)學(xué)：23個(gè)求極值和值域的經(jīng)典例題

球上.函數(shù)的值域是口與U[2,+>).

本題采用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)未碉定函數(shù)的增減.此法稱(chēng)為“華調(diào)性法”一

2、求函數(shù)/'(—)=7x+27+Jl3—JV+JX的值域.

解析：函數(shù)/(內(nèi))的定義城是：ATe|^,J3J.待定系數(shù)法用于柯西不籌在來(lái)解本題.

設(shè)：A,R、C>O,則柯西不等式為：

[('C?\fx~-i-~27廠+(Y13——+H-7+—+—]2

ARC

即：f2(xy<[CA-B+C)X-￥(27A++—+—]

/"c

令；A-R+C=0.即："=4+C①

由枸西不等式的等號(hào)成立條件.即函數(shù)取極值時(shí)條件得：

Ajx+27=Cx/jr②B^/13—x=C^x③

27d4274”

將①?代入③得：(/+C)2(/3—一7.)=C'2-,

C2—A2C2-A2?

即：(A+Cy2(13C2-13A2-27A2)=27A2C2

即：(A+Cy2(13C2-4OA2y=27A2C2,即：(N+。/(與一名)=27⑤

A2C2

試解⑤,由于27=3x3x3,則⑤式剛好也是3項(xiàng)相乘，不妨試解采用各項(xiàng)都是3.

則：A+C=3,且與一名=3.貝h.4=1.C=2.B=3

A2C2

代入④得：.二，71_=9即“=g時(shí)函數(shù)取得極大值.

C2-A222-1

函數(shù)極大值為/(x=9)=<9+27+,13-9+亞=6+2+3=11

⑴當(dāng)xe［0,9］時(shí)，函數(shù)/(*)在本區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù).故：

/(x)Nf(fi)=427+V7J+Q=3+J77

即：函數(shù)/(<)在xw［0,9］區(qū)間的值域是［3JJ+

⑵當(dāng)xe［9.73］時(shí).函數(shù)/(內(nèi))在本區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù).故：

/(x)>413)=y/is-t-27+^J13-134-V77=440+J13=2410+、/77

即：函數(shù)/(x)在xe［9./3］區(qū)間的值域是［21而+J萬(wàn)，〃］

3

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綜上.函數(shù)/(幻的值域是[3，J+

本題采用“待定系數(shù)法”、“相西不等式”和“單調(diào)性法”.

3,求函數(shù)/(x)=Jx-5+J24-3X的值域.

解析：函數(shù)/(x)的定義域是：.V€[5,?J.待定系數(shù)法用于柯西不等式來(lái)第本題.

設(shè)：A,B>0.則柯西不等式為：

[(、5Jx-59+(、如J24-3x)2]也+2.Jnf2J)

AB

即：/2(x)<1(.4-3S)x+(-5T4+24B)\\—+—]

AB

令：A-3B=0,即：A=3B①

由柯西不等式的等號(hào)成立條件，即函數(shù)取極值時(shí)條件得：A、&-5=BC24-3x

②

，2,__?、x—53B~x—5+8—x3B*+A*

即：4/(x-5)=B”(24-3x),1即1n：-------=―-.即：------------------=-------；——

8-xA28-xA2

2222

mi33B+AmD3Amo3A

即：--------=-------；——.即：8-x=―；---------,即：x=8------------------

S-xA23B2+A23B~+1

將①式代入③式得：x=8------：----------=8――—=8=—

3B?+9JJZ1244

當(dāng)*=，時(shí).函數(shù)f(x)達(dá)到極大值.極大值為：

八爭(zhēng)=4+、曰=生產(chǎn)產(chǎn)--

'巨+、匹旦=正+且=2石

、47422

2.0aHs/，/、13xj24-3x—3yJx—5

函n鈕數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：f'(x)=—.------/=——,/

2yJx-52124-3x-5、/24-3x

⑴當(dāng)xe[5,d]區(qū)同時(shí).f\x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增.故：

4

f(x)Nf(5)=0+d24-35=3

4

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即：函數(shù)/(x)在本區(qū)間的值域是［3,2J7］.

⑵當(dāng)xc［子，8］區(qū)間時(shí)，f\x)>0.函數(shù)/(x)單調(diào)遞減.故：

/(x)Nf(8)=<8-5+。="

即：函數(shù)/(x)在本區(qū)間的值域是

壕上，函數(shù)/(X)的值域是［0,2工?］.

木遇采用“待定系數(shù)法二“枸西不等式”和“學(xué)調(diào)性法”.

4.求函數(shù)/(K)-心士的值域.

X—1

解析：函數(shù)/(X)的定義域是：xW(-8,7)U(7,+°°).則函數(shù)/U)為：

/(x)=-7=±.12=±jg(x)(當(dāng)XVI時(shí)取負(fù)號(hào).當(dāng)時(shí)取正號(hào))

x-i\(x-/r

于是函數(shù)的極值在：g\x)=o

2(x—+1)—2x{^x—7)，2.j

即：g'(*)=----------------------------=---------7［("2+7w)—x(x-1)1=0

即：(X*/+/)—x(x—1)=〃.即：X=—/

&-1)2+IVJ

⑴在xe(-8,-Z)區(qū)間，函數(shù)/(X)的極值為:-7)----------------

在區(qū)間的邊界有：

Hm/(")=lim(-J+2)=Hm(-

r-?-cox—>coV(x-1)*f-8,

+Z、

lim/(JV)=lim(—.-------7)=—℃

Kf/(x-Z)2

故：函數(shù)/(x)在該區(qū)間的值域是(y>,

⑵在xe(/,T8)區(qū)間.函數(shù)/?(*)=/上土0=7+—衛(wèi)工為單調(diào)遞減函數(shù).

Y(X-/)27(AT-/)2

2

IX+J

故有:f(x)<lim/*(x)=lim(/-------------)=-4-oo；

-v->zx->iy(jr-7r

2x

/(x)Nlim/(x)=lim(j丫)=lim(1T----)=J

X—>-H?X—>-H?\(x_1)X—^-haoy(x_7)

5

高中數(shù)學(xué)：23個(gè)求極值和值域的經(jīng)典例題

故：函數(shù)/(X)在該區(qū)間的值域是([,+?)).

縹上，函數(shù)/(X)的值域是(70,—￥]11(7,+6).本題方法屬“單調(diào)性法”

2v*+bx+c

5、已知函數(shù)/(x)=十以十口(其中〃<0)的值域是[八3],求實(shí)數(shù)6,c.

x2

解析：函數(shù)的定義域?yàn)閤eK.

將函數(shù)變形為：y(x2+1)=2x2+bx+c?即：(2—F).V'+bx+(c—j)=6/

其判別式不等式為：A=b2-4(2-yXc-j)=(A2-8c)+4(2+c)y-4y2>0

即：[(1)2-2c\+[2+c)y-y2^0①

而函數(shù)/(x)的值域是U，3J,即：(j，一/X3-$)N0,即：_3+4y_/2②

對(duì)比①@兩式得：c=2.(g)2—2c=-3,即(g)2=I,因6<〃，故：b=-2

故：實(shí)數(shù)b=-2.c=2.此法稱(chēng)為“判別式法”.

/+J+z?

6、巳知：x,y,g為正實(shí)數(shù)，且x+y+zNxyz.求函數(shù)/(x,P,Z)=-------:------的最小值.

xyz

解析：首先設(shè)x=y=z=“，代入x+F+1七得：3a=a3,即："=J7.則：

⑴當(dāng)書(shū)乞=3仃時(shí),由均值不等式2”24.即：x2+J；+[2[/+;+;：)得:

/+/+八

則：=針=半=0

x1,z3xyz3

⑵當(dāng)；9工<3仃時(shí)，由均值不等式/4“2G",即：*+S+Z之旅巧)2得:

x2+y2+z2>3,3，Z)2

、X+F+：、3也xyw)23

則：/(x,…)=------------------>=-----------=-T7—>

xyzxyz中(xyG

(3)當(dāng)中，？>3小時(shí),由均值不等式。“24”.即：/+/+八(=+廣)

6

高中數(shù)學(xué)：23個(gè)求極值和值域的經(jīng)典例題

代入已知條件x+y+zZR，；：.得：*2+12+z2A(*+￡+切-N(寸:廣

+V**4-一./—

故：由(1)、⑵、⑶得./(X,F,Z)=-—————的量小值是

xyz

本題先確定可舊=均值.然后在AJN>均值和甲zV均值下求極值.此法稱(chēng)為“分別討論

法”.

7、已知：2”？+3g，+2j，=Z,求：/(x,.p)=x+p+f的最小值.

解析：由已知條件2“2+3個(gè)，+2j~=7得：xv=2(x+y)2—J

代入/(x,j)=x+j，+AJ得：/(X,y)=Z=x+j?+號(hào)=x+j，+2(x+y)2-1

即：2(x+.*):+("+『)一(1+2)=0

令：f=x+y9則方程變?yōu)椋?一+，一(Z+N)="

采用判別式法得；I2+4-2{l+z}^0.即；(7+GN-，.即；ZN-2

S8

9

故：/3,"="十P十號(hào)的最小值是一'.此題采用的是“判別式法”

S

8、設(shè)函數(shù)/(x)=—gx2+g在區(qū)間［“，句的最小值為2。.最大值為26,求區(qū)間［“,6〉

解析：旨先./(x)是一個(gè)偶函數(shù).在(一,0)區(qū)間單調(diào)遞增，在(0,+8)區(qū)間單調(diào)遞減.

(1)當(dāng)時(shí)，/(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，即：/(a)>/(A).

故：/(“)是最大值為26./(b)是最小值為2”.即：

/(")=02~~=2h2八-

J''22a4b—13=0

//即：1(*)

“與二一夕?+*=2a{b2+4a-13=0

(*)兩式相減得：{u2—b2)—4(a—b)=0.即：a+b=4①

則：(a+b)2=16,即：(。2+。2)=/6—2。6②

(*)兩式相加得：("2+〃2)+4(。+6)=26

將①@式代入后化簡(jiǎn)得：ah=3③

由①@得：a=l.b=3.則區(qū)間［外㈤為［7,3］.

7

高中數(shù)學(xué)：23個(gè)求極值和值域的經(jīng)典例題

(2)當(dāng)“＜，、時(shí)./Xx)的最大值是=即：*=-y.

i.若同則/(x)的最小值為：/"(?)———a2+-2a,

即：a2+4a-13=0,解之及可得：?=-2-x77,

故此時(shí)區(qū)間句為［一2一、萬(wàn),生］.

4

ii.老同v|6|則y(x)的最小值為：f⑻=一孑+g=2a.

則：a＞0.不符合題設(shè).即此時(shí)無(wú)解.

(3)當(dāng)。＜力＜。時(shí)，由/(x)是一個(gè)偶函數(shù)可得：/(?)＜/(*),故二

/(“)是最小侑為2o./(6)是最大值為2人.即：

a2+4a-13=0

b2+4h-lS=0

則：明〃為一元二次方程X2+4X-73=0的兩個(gè)根，

由韋達(dá)定理得：」"+'=T,則由加,=一/3得：

ah=-13

a,b異號(hào).不符合題設(shè).即此時(shí)無(wú)解.

綜上，區(qū)間可為”,3]或I-2-J/7,—].本題采用“分別討論法”和“極值法”.

4

9、已知：x2+j2=25.求函數(shù)f(x,j)={8j，-6x+50+《8y+6x+50的最大值.

解析：由—+/=25可知，函數(shù)的定義域是：XG1-5,5].je[-5,5J

有均值不等式4〃，即：

個(gè)8v—6x+50+,8y+6x+50/(——。x+5〃)*+(、，8y4-6x+5。)'

2"Li~~：

m,“!(Jgy-6x+50)2+(J8r+6x+50)2,r-———

即：/(x,j)<----------------2-------------=2^8y+50

8

高中數(shù)學(xué)：23個(gè)求極值和值域的經(jīng)典例題

即：/(x,y)<2<8x5+5。=6y!7o

當(dāng)j，=5時(shí).x=0,/(<?,5)=6x/7o.即可以取到不等式的等號(hào).

故：函數(shù)/■(“，￥)的最大值是6J7萬(wàn).本題采用4,40,.稱(chēng)為“均值不等式”.

10、求函數(shù)：/(x)=Jx?+2x+/"+7x2+/6x+68的最小值.

解析：函數(shù)f(x)=《x2+2x+10+卜2+16x+68=yj(,x+1/+33+&x+8『+2?

其定義域?yàn)椋簒eR

令：nt=(—(X+7),3),布=(JV+8,2)

WJ：師|=J(x+7)2+32.同=q(x+8)2+2?.而+)=(7,5)

于是：/(x)=|??|+同N\m+司=^73+52=<49+25=5

當(dāng)"，//，i時(shí).丑%+Q=』.即：3(x+g)+2(x+/)=。，

x+82

即：5x+26=0,則：x=—彳

/(-y-)=/1一半『+32+J(8—汐+2?

=上+5?=449+25=474

所以.、歷7是可以取到的.故/(*)的最小值是

正是由于而//厲時(shí).函數(shù)/(*)=\'(工+/)2+32±4(工+8)2+22取到極值.所以有

人總結(jié)出此類(lèi)題的解法用而//力來(lái)斜，即設(shè)所=4萬(wàn)，代入而=(-(*+7),3),

萬(wàn)=(x+8,±2)后得:

th=(―(x+7),3)=/i(x+8,±2)=(/lx+8丸,不22)

{—x—1—A,x4-8A,A=±-

[3=±2A2

(N+7)x=—8A,—1

即：x=_J?Ai/=_±72±7=_±2￡±2t即：x

3

2+7±+/E+2

這兩個(gè)結(jié)果分別對(duì)應(yīng)ff(*)=dx2+2X+1Q+\X2+I6x+68的極小值

9

高中數(shù)學(xué)：23個(gè)求極值和值域的經(jīng)典例題

和f(x)=yx~+2x+10-yx2+16x+68的極大值.

本題采用的是“向量法”.

11、求函數(shù)：/(*)=：.一_的值域.

x2—4x+4

解析：先求函數(shù)的定義域.定義域?yàn)椋簒*2

本題采用判別式法解題.

x2_

由j，=-------------------等價(jià)變形為：yx2—4yx+4y=x2—x

x2—4x+4

即：([—J，)*。+(4.y—Z)x—4p=0

式上面方程有解得判別式是：A=(4y-I)2+44y(l-y)0

即：A=16y2-8y+i+J6y-i6y2=8y+J>0.即：y>--

8

故：函數(shù)/(x)=J-"的值域?yàn)閇一,，2).此法稱(chēng)為“判別式法”

x2—4x^48

本題亦可以采用換元法和配方法未做.

令：，=x—2,貝x=，+2

當(dāng)，=一』時(shí)，即：當(dāng)x=a時(shí)，/(X)達(dá)到極小值一’.此注就是“換元配方法”

338

12、巳知實(shí)數(shù)X/,X2，X3滿(mǎn)足》/+”+等=/和X：+苧+學(xué)=3.求X3的最小值.

解析：由巳知得：Xj+=1-―^-①xj-i——=3----②

2523

2

則由柯西不等式得：(x/+^-)(7+1)>(Xj+^)③

將①、②代入③得：1(3-^-)>(7-^-)2

2

即：9(9-xj)>2(3-x5),即：81-9xj>2xj-12x3+18

10

高中數(shù)學(xué)：23個(gè)求極值和值域的經(jīng)典例題

即：Ilxj-12x3-63<o④

其判別式為：/1=(-72)2-4-11-^-63)=4-62+11-7-62=92-62

'3

,,一~一口一3=_1?772±6?96±27

故二方程等號(hào)下的兩根為：x3=---------------=------------=21

根據(jù)柯西不等式等號(hào)成立的條件得：x,=x2

代人①式得：督=/一（*/+.）=7-^^.即：x3=30-⑤

J-222

代入②式得：q=3一（工；+*）=3（7——1-）,即：xi=9（1--）d

3222

由⑤?兩式得：9（7-夸^）2=%？一言）.即：（7—苫與2=（，一沫）

2

即：C2-3XJ）=（4-2.vf）.即：4-12xt+9x]=4-2xj

0

即：llxj-12xj=0,即：(llx1-12)x1=0.即：XL12

JI

則：(Ox/—x2—09此時(shí)：“3=3：此為最大值.

(2)x,=x,=—?此時(shí)：x,=3(1-------)=3(1-------—)=3(1------)=------

7211322111111

所以，9的最小值為一帶.此題斛法為“柯西不等式”.

13、求函數(shù)：/(x,.y)=(7—『)2+(x+.y—3)2+(2_r+的最小值.

解析：待定系數(shù)法用于柯西不等式來(lái)解本題.

設(shè)：A,B,C^R,則枸西不等式為：

[(/-J)2+(X+J-3)2+(2X+J-6)2][/12+?2+C2]

之[/(/-J，)+3(X+『-3)+C(2K+J，-6)|2=^(X,J,Z)

即：/(X,J\Z)M2+?2+C2]>^(X,J,Z)①

11

高中數(shù)學(xué)：23個(gè)求極值和值域的經(jīng)典例題

則：g(x,J、：)=\(A—3B—6C)+iB+2C)x+{—A+B+C)jl2

令：B+2C=0,(-A+B+C}=0,則：If=-2C,A=B+C=-2C+C=-C

故：設(shè)C=7,則；A=-l.B=-2.A2+ft--t-C2=1+4+1=6②

則：g(.x,y\z)=CA-3B-6C)2=(-/+6-6)2=1③

(X，，Z)

將②、③代入①得：f(x,y,z)>f^=-?

A2+B2+C276

.4cj7—Fx+_y-32x-\-y-6

柯西不等式①中.等?成立的條件是：-----=-=------:-------=-----------------

ABC

即：產(chǎn)一7二—9(AT+戶(hù)-3)=2x+>一6=4.則：y=k1

則：一+y—3)=2x+.y—6,即：3—x-y=4x-k-2y—12

即：5x——3y+75=—3(4+7)+75=—3k+72.即:x=7.

將j，=4+7和x=—‘2代入2x+j，-6=k得：+k+l—6=k

即：YA+24=25,即：k=一一

6

射2

iM-3k122255/,5

于是：當(dāng)x=-------------=----------=----=—?V-----------F7=一時(shí)L.柯西不等式④中.

55102’66

等號(hào)成立.

即：/("?J?)=(l—J，)？+(x+產(chǎn)—3了+(2K+."一6』的最小值是

6

本題系“待定系數(shù)法”用于“枸西不等式”.

14、已知：yjx-￥1+yjy—2=5,求函數(shù)：="+.卜的最小值.

解析：函數(shù)/(AT,J，)的定義域?yàn)椋簒e|—7,-H?).ye|2,-H?)

由均值不等式?

當(dāng)、/x+Z=Jj—2='時(shí),即：X=—.j，=曳時(shí)，/(",3)=工.

2442

12

高中數(shù)學(xué)：23個(gè)求極值和值域的經(jīng)典例題

故：函數(shù)/(",了)的最小值是此法果用“均值不等式法”.

15、已知點(diǎn)尸(:T,.F)在橢圓—I--—=7上.求=2x—尸的最大值.

49

解析：函數(shù)/(“,#的定義域?yàn)椋簒e[-2,21.yw[-3,3]

由軻西不等式得：(2”—「)2V(y)2+(^)2][^-?+(-3)2]=7-52=52

即：|2工一》|二5.即：/(.v,.r)=^x-.rel-5,5]

由柯西不等式的等號(hào)成立的條件得：—=^~,即：—=-^

8-929

所以，函數(shù)/(X，F(xiàn))=2X-J，的最大值是5.此法是用“村西不等式”.

本題也可以采用“權(quán)方和不等式”

I_*2?/(2x)2?(_J,)2.(2x—J,)2(2*-『)2

49~169~16+952

即：|2x-j|<5,即：/(.r,y)=2x-je(-5,5]

此法為“權(quán)方和不等式”.

16、求函數(shù)；/(x)=j2+x+18—3x的值域.

Q

解析：函數(shù)/(X)的定義域是：xe[-2,-J.

待定系數(shù)法用于柯西不等式來(lái)解本題.

設(shè)：A.B>0,則柯西不等式為：

[('^^4\J2+x廠+(yfH\J8-3x)*11—+—]N(J2+x+\js-3x)'=/.(*)

AB

即：/2(x)<[A(2+x)+3(8-3x)吟+夕=\(2A+8B)+(4-36)x哈十—|

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高中數(shù)學(xué)：23個(gè)求極值和值域的經(jīng)典例題

①

令：A-3B=0、則：A=3B②

由柯西不等式的等號(hào)成立條件,即函數(shù)取極值時(shí)條件得：

/j2+x=R，8-3x,即：A2Q2^X)=B2{8-3x),

即：(/2+382)”=8笈2—242,則：X=8B-2/③

A2^3B2

八、8B2-18B2105

將②代入③得：X=------z---------丁=-----=——

9B2^3B2726

函數(shù)的極值為：/'(——?)=,2—三十「8—3(一』)=/—+./—=2^^

6X6y6y6\63

⑴在xe［—2,一馬區(qū)間.函數(shù)/(x)單調(diào)遞增.故：

6

/?(X)>/(-2)=J2+—2)+—=414

于是.函數(shù)/(“)在該區(qū)間的值域是［J77,馬卓］.

⑵在區(qū)間.函數(shù)/(x)單調(diào)遞減.故：

63

于是，函數(shù)/(x)在該區(qū)間的值域是［岑，上乎］.

綜上.函數(shù)/(x)的值域是［華，當(dāng)絲］.

此法為“待定系數(shù)法”用于“柯西不等式*最后用“單調(diào)性法”得到值城.

17、求函數(shù)：/(X)=1+,+DX2+2X+2的值域.

解析：函數(shù)/(x)=「+>Jx2+2x+2的定義域是:XWK.本題采用判別式法.

①

則：y——=>lx~+2x+2>0

14

高中數(shù)學(xué)：23個(gè)求極值和值域的經(jīng)典例題

22

即：(產(chǎn)一土)，=*2+2*+2?即：y—yx-F―x4-2x2

'24

即：—x2+(2+y)x+(2-y2)=0③

4