2/2專題08奇偶性、對稱性與周期性（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 12【考點1】函數的奇偶性 12【考點2】函數的周期性及應用 16【考點3】函數的對稱性 22【考點4】函數性質的綜合應用 28【分層檢測】 33【基礎篇】 33【能力篇】 40【培優篇】 42考試要求：1.理解函數奇偶性的含義.2.了解函數的最小正周期的含義.3.會利用函數的奇偶性、單調性、對稱性、周期性解決函數性質的綜合問題.知識梳理知識梳理1.函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數關于y軸對稱奇函數一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數關于原點對稱2.函數的周期性(1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.1.函數周期性的常用結論對f(x)定義域內任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).2.對稱性的四個常用結論(1)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.(2)若函數y＝f(x＋b)是奇函數，則函數y＝f(x)的圖象關于點(b，0)中心對稱.(3)若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱；特別地，當a＝b時，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)時，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.(4)若函數y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關于點(a，b)對稱.特別地，當b＝0時，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時，則y＝f(x)的圖象關于點(a，0)對稱.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知是偶函數，則（

）A． B． C．1 D．22．（2023·全國·高考真題）若為偶函數，則（

）．A． B．0 C． D．13．（2022·全國·高考真題）已知函數的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．14．（2022·全國·高考真題）已知函數的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．5．（2021·全國·高考真題）已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（

）A． B． C． D．6．（2021·全國·高考真題）設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（

）A． B． C． D．二、多選題7．（2023·全國·高考真題）已知函數的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數 D．為的極小值點8．（2022·全國·高考真題）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（

）A． B． C． D．三、填空題9．（2023·全國·高考真題）若為偶函數，則．10．（2021·全國·高考真題）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數．①；②當時，；③是奇函數．11．（2021·全國·高考真題）已知函數是偶函數，則.考點突破考點突破【考點1】函數的奇偶性一、單選題1．（2024·重慶·三模）設函數，則下列函數中為奇函數的是（

）A． B．C． D．2．（2024·廣東佛山·一模）已知為奇函數，則在處的切線方程為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·全國·模擬預測）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若均為奇函數，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．4．（2024·湖南邵陽·模擬預測）已知函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，且對任意的，，都有，則（

）A．是奇函數 B．C．的圖象關于對稱 D．三、填空題5．（2024·河南三門峽·模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則的值為.6．（2024·廣東佛山·二模）已知定義在上的偶函數在上單調遞減，且，則滿足的實數x的取值范圍為.反思提升：1.判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數))是否成立.2.利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區間上的函數或得到參數的恒等式，利用方程思想求參數的值.3.畫函數圖象：利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題.【考點2】函數的周期性及應用一、單選題1．（2024·陜西渭南·模擬預測）已知定義在R上的函數滿足，為奇函數，則（

）A． B．0 C．1 D．22．（21-22高三上·四川攀枝花·階段練習）定義在R上的函數滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．的值域為B．圖象的對稱軸為直線C．當時，D．方程恰有5個實數解二、多選題3．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）已知函數，及其導函數，的定義域均為，若的圖象關于直線對稱，，，且，則（

）A．為偶函數 B．的圖象關于點對稱C． D．4．（2024·廣西·二模）已知定義在上的函數滿足.若的圖象關于點對稱，且，則（

）A．的圖象關于點對稱B．函數的圖象關于直線對稱C．函數的周期為2D．三、填空題5．（2024·山東棗莊·一模）已知為偶函數，且，則．6．（2024·寧夏銀川·一模）若定義在上的函數滿足是奇函數，，，則．反思提升：1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常數，且a≠0)，則2a為函數f(x)的一個周期.2.利用函數的周期性，可將其他區間上的求值、求零點個數、求解析式等問題，轉化到已知區間上，進而解決問題.【考點3】函數的對稱性一、單選題1．（2024·內蒙古呼倫貝爾·二模）已知定義在R上的函數滿足．若的圖象關于點對稱，且，則（

）A．0 B．50 C．2509 D．24992．（22-23高三上·遼寧營口·期末）設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2020·山東淄博·一模）已知函數是R上的奇函數，對于任意，都有成立，當時，，給出下列結論，其中正確的是（

）A．B．點是函數的圖象的一個對稱中心C．函數在上單調遞增D．函數在上有3個零點4．（2024·全國·模擬預測）已知函數下列結論中正確的是（

）A．若，則是的極值點B．，使得C．若是的極小值點，則在區間上單調遞減D．函數的圖象是中心對稱圖形三、填空題5．（23-24高三下·河南濮陽·開學考試）已知函數的定義域為，且的圖象關于點中心對稱，若，則.6．（2024·寧夏固原·一模）已知定義在R上的函數滿足對任意實數都有，成立，若，則．反思提升：對稱性的三個常用結論(1)若函數f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱.(2)若函數f(x)滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))對稱.(3)若函數f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則函數f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))對稱.【考點4】函數性質的綜合應用一、單選題1．（2024·遼寧撫順·一模）函數滿足：當時，，是奇函數．記關于的方程的根為，若，則的值可以為（

）A． B． C． D．12．（2024·安徽合肥·一模）已知函數的定義域為，且，記，則（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·河南開封·三模）已知函數的定義域為，且，，則（

）A． B．C．是周期函數 D．的解析式可能為4．（2024·全國·模擬預測）已知，，則（

）A． B．恒成立C． D．滿足條件的不止一個三、填空題5．（2024·陜西西安·二模）已知函數滿足，.則.6．（2023·全國·模擬預測）已知定義在上的函數滿足，且當時，，則方程的所有解的和為.反思提升：1.比較函數值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調區間上的兩個或多個自變量的函數值轉化到同一單調區間上，再利用函數的單調性比較大小；2.對于抽象函數不等式的求解，應變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結合單調性，脫去“f”變成常規不等式，轉化為x1<x2(或x1>x2)求解.3.周期性與奇偶性結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行轉換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解.4.函數f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數圖象的對稱性，函數f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數的周期性，在使用這兩個關系時不要混淆.分層檢測分層檢測【基礎篇】一、單選題1．（2023·福建福州·模擬預測）函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．2．（2023高三上·江蘇徐州·學業考試）已知函數為偶函數，且在上單調遞增，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．3．（2024·廣東茂名·一模）函數和均為上的奇函數，若，則（

）A． B． C．0 D．24．（2024·全國·模擬預測）函數，則（

）A．2024 B． C．e D．二、多選題5．（2021·江蘇連云港·模擬預測）函數的定義域為，且與都為奇函數，則（

）A．為奇函數 B．為周期函數C．為奇函數 D．為偶函數6．（23-24高一上·云南昆明·期中）函數，則下列結論正確的是（

）A． B．的值域為C．是偶函數 D．，7．（2024·全國·模擬預測）已知，，則（

）A．將的圖象向左平移個單位長度可以得到的圖象B．將的圖象向右平移個單位長度可以得到的圖象C．的圖象與的圖象關于直線對稱D．的圖象與的圖象關于直線對稱三、填空題8．（23-24高一下·內蒙古·期中）已知，函數是奇函數，則，．9．（2024·陜西西安·二模）已知定義域為的函數滿足，且當時，，則.10．（2024·四川成都·模擬預測）函數，若，則.四、解答題11．（2023·陜西西安·模擬預測）已知奇函數在處取得極大值2.(1)求的解析式；(2)求在上的最值.12．（2020·廣東中山·模擬預測）已知函數的定義域為，當時，，且對任意滿足．（1）求的值；（2）判斷的單調性，并加以說明；（3）當時，試比較與的大小．【能力篇】一、單選題1．（2024·山東濟南·二模）已知函數的定義域為R，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題2．（2024·全國·模擬預測）已知函數的定義域為，且的圖象關于點對稱，，則下列結論正確的是（

）A．是偶函數B．的圖象關于直線對稱C．的最小正周期為4D．若，則三、填空題3．（2024·全國·模擬預測）寫出一個同時滿足下列三個條件的函數的解析式．①；②；③的導數為且．四、解答題4．（2024·上海徐匯