高中數學北師大版（2019）必修第一冊第三章指數

運算與指數函數培優專練2

第I卷（選擇題）

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一、單選題

1.己知函數/（》）=§*（04x41）,函數g（x）=（〃Ll）x（14x42）.若任意的玉

存在We[l,2],使得/（xj=g（x2）,則實數機的取值范圍為（）

A.[1,—B.[2,31C.2,—D.—

（3」L1[2」[32」

2.定義在R上的函數滿足〃x+l）=2〃x）+l,當xe[0,l）時，

/（x）=（2^-l）（2'-2）,若/（x）在5〃+1）上的最小值為23,則〃=

A.4B.5C.6D.7

3.設/（x）=|2，-2|,a,beR+,且標b,則下列關系式中不可能成立的是（）

A.以瓢）＞f（"）B./（名）力竽）于商）

2a+ba+b2

c./（名問（而）＞/（竽）D.f（箍）＞以”）＞以粵）

a+b2a+b2

4.已知函數/（x）=4'Z?2'+匕2T+4、若對于任意的王、12、&￡卜1』，以"X）、

/（%）、/（毛）為長度的線段都可以圍成三角形，則攵的取值范圍為（）

11D.已，+8）

A.-,4-00B.一,+8C.—,4-00

236

f(x),f(x)?k

5.對于給定的正數3定義函數￡。）=若對于函數f{x）=2匚屋/的

k,于(x)>k

定義域內的任意實數x,恒有￡（x）=/（x）,則

A.k的最大值為2近B.我的最小值為2式

C.%的最大值為1D.左的最小值為1

6.已知m6,c>0且2=1°§!(-)*=log,/?,(l)c=log,c,則

3252

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.a>c>b

二、多選題

7.下列函數f(x)對任意的正數X1,x2,與滿足f(X|+工2+*3)4/(占)+/。2)+/(王)的

有

A./(x)=4+2sinxB.f(x)=4xC./(x)=/D./(x)=ln(x+l)

8.設a>0,函數y=*'+時的圖象可能是()

第II卷(非選擇題)

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三、填空題

x2+4、c

-----x22

9.已知函數/(x)=,x-，若對任意的％e［2,+oo),都存在唯一的々€(T?,2),

x<2

滿足/(/)=/(與)，則實數。的取值范圍是.

10.設函數y=f(x)和y=/(-x),若兩函數在區間［〃?,〃］上的單調性相同，則把區間

加,〃］叫做y=/(x)的“穩定區間”.已知區間［1,2019］為函數”出+?的“穩定區間”，則

實數。的取值范圍是

11.已知函數/(X)=*T,gM=-x+e,/i(x)=max{/(x),g(x)},其中max{a,用表示中

“力最大的數，若〃(x)>e對xwR恒成立，則實數f的取值范圍是.

12.對于函數中的任意再,為(為工々)有如下結論：

①〃%+9)=/(%>/(々)；②/(%?9)=/(4)+/(&)；

試卷第2頁，共4頁

③"％)T<O(x尸0)；④/(西)-./(々)>0；

X]X,-x2

⑤d空卜/叫〃々);⑥，(-%)=志

\J2J\Ai/

當〃力=(;)'時，上述結論正確的是-

四、解答題

13.設aeR,函數/(力=與士.

2-a

(1)若。=1,求證:函數y=.f(x)是奇函數；

(2)若”0,判斷并證明函數y=/(x)的單調性；

(3)設awo,k<(),若存在實數相，n(，”<"),使得函數y=/(x)在區間際網上

的取值范圍是已，目，求&的取值范圍.

22」a

14.已知/(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，且

/(x)+g(x)=a，(a>O,awl).

(1)求〃x),g(x)的解析式；

(2)若4=3時，對一切log,(>/2-1),log,>使得

"-2)/(x)+mg(2x)-4機>0恒成立，求實數，”的取值范圍.

15.設函數〃力=礦呼？1)(。>0,且是定義域為R的奇函數.

(1)求，的值；

(2)若/(】)>0,求使不等式/(丘-x2)+/(x-i)<。對一切XCR恒成立的實數G的取

值范圍；

(3)若函數f(x)的圖象過點”,|,是否存在正數〃？(〃-1),使函數

g(x)=log“,［f+a3-時(x)］在［LlogzR上的最大值為0,若存在，求出〃?的值；若

不存在，請說明理由.

16.已知函數"x)=，0?-2ax+l的定義域為R,其中〃為實數.

(I)求。的取值范圍;

（II）當a=l時，是否存在實數m滿足對任意辦e[-1,1],都存在&eR,使得

9、，+9』+神（3*-35）-12/（王）成立？若存在，求實數機的取值范圍；若不存在，請

說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案

1.D

【分析】

問題轉化為函數/(X)的值域是g(x)值域的子集，分別求出/(X)和g(x)的值域，得到關于m

的不等式組，解出即可.

【詳解】

對任意的玉存在赴?1,2］,使得/(X|)=g(w),

即f(x)在［0,1］上的值域是g(x)在［1,2］上的值域的子集,

2'+m2'+1+機一1im-\

fM=----------------=1+--------

2V+12A+12A+1

當〃z<1時，?*-m—1<0,

加+1加+2

“X)在［0,1］上單調遞增,???/(X)的值域為

~2~,3

又?.?g(x)=(ni-l)x在［1,2］上單調遞減，，g(x)的值域為：［2m-2,m-l］,

/n+1"1+2

C[2/T?-2,/77-1],

2'3

三2時2

2

,方程無解

m+2.

-------<777-1

3

m+2"?+1

當機＞1時，”X)在［0』上單調遞減，.?"(X)的值域為

3'2

g（元）的值域為：何-1,2加-2］,J.絲9,c［/n-1,2/?7-2］

"7+1」c八

------<2m-2

2

/駕+2.

------->m-i

3

當m=l時，/(x)=l,g(x)=0,顯然不滿足題意.

綜上，實數〃，的取值范圍為

故選：D.

【點睛】

關鍵點睛：解決此題的關鍵是將所求問題轉化為函數/(x)的值域是g(x)值域的子集.

2.B

【分析】

答案第1頁，共17頁

根據Xe[0,1]時，f(X)=(2:1)(2*-2)=2*-3.2,+2=(2*-一；，研究其最小值，再考慮當方?口，

2]、[2,3]時，相應函數的最小值，總結規律即可得到結論.

【詳解】

①當xe[0,1)時，/(x)=(2、-l)(2*-2)

=22V-3,2*+2=(2*-$2一]，

,.,Q,,x<l,「.L,2v<2,

33cl

當2"=/,X=log2]時，fU),?m=--；

②當〃=I,即xe[l,2]時，有x-lw[0,1],/(x-l)=(2x-'-1)2-^

f(x)=2/(x-I)+1=2(2"告+g,

???0M-11,1碗i2,當2T=g,x=log]3時，f=1,

3i

③當"=2,即xe[2,3],有x-2e[0,1],/(x-2)=(2x-2-^)2--,

f(,x-1)=2/(x—2)+1—2(2*——1)-+萬，

fM=27(x-l)+l=4(2-一乎+2,

則2-=不，即x=log26時，f(x)取得最小值2；

同理可得當〃=3,即xe[3,4],f(x)的最小值為2x2+1=5,

當〃=4,即xe[4,5],7(x)的最小值為2x5+1=11,

當〃=5,即xe[5,6],f(x)的最小值為2x11+1=23.

故選：B.

【點睛】

本題考查函數的最值的求法，注意運用指數函數和二次函數的性質，考查學生分析解決問題

的能力，有一定的難度.

3.D

【分析】

由條件a,6eR+,且償b分析出冬，而，絲的大小關系，再討論函數Ax)的單調性即

2a+b

可逐一判斷作答

【詳解】

答案第2頁，共17頁

因9eR-,且〃b,則有甲,而且高<氏=怒〈而，于是得

2—2xx<1

函數/（幻=（…",,貝l」/（X）在（0,1］上遞減，在［1,+OO）上遞增，

當當21時，有/（粵）"（而）"（學）成立，A選項可能成立；

a+h2a+b

當0<W±41時，有/（當）"（掠）>/（字）成立，C選項可能成立；

2a+b2

由0<2*-2<1知l<x<log,3,即空?。?,log,3）某個數，存在

2a+h

使得人當）3（小討（癡）成立，如圖，即B選項可能成立；

空.疝I"+

a+b2

對于D,由/（而）于當）成立知，必有而>1,由于面）>f（學）成立知，必有點<1,

即出現矛盾，D選項不可能成立，

所以不可能成立的是D.

故選：D

4.C

【分析】

設/=2，+2-飛2,|,可得〃x）=*+2-2,設硝=產+h-2,由鳳。>0對任意的

te2,|求得%>-1,進而可求得函數y=〃（/）在區間2,|的值域，由題意可得出關于k的

不等式，由此可解得實數A的取值范圍.

【詳解】

令》=2，+2-=2'+3，則2%；,2,

令〃?=2%1,2，由雙勾函數的單調性可知，函數g（，"）=M7+5在區間上單調遞減，

在區間（1,2］上單調遞增，

答案第3頁，共17頁

所以,當相1,2時,g⑹=〃,+/2,|,則止2,|

產=（2*+27）2=4"+4一*+2,貝1」4，+4T=/一2,：.f^x）=t2+kt-2,

52

構造函數〃(7)=/+"—2’其中/￡2,-,由〃(/)=〃+々一2>。，可得攵>：一/,

2「5一

由于函數丁=-T在區間2,-上單調遞減，則%ax=T,可得4>T.

tL2」

ki

二次函數/!(￡)=?+公一2的對稱軸為直線

則函數人。)=產+&-2在區間2,|上單調遞增,

當fe2,|時,力⑵4/7（心.|）,即2Z+2K〃⑺Kg%17

+T

由于以/(X)、/(w)、/($)為長度的線段都可以圍成三角形,

所以，2(2k+2)>5,+號17，解得1

因此，實數4的取值范圍是(，，+8).

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了參數取值范圍的求解，以及構成三角形的條件和利用函數單調性求函數值域,

屬于難題.

5.B

【分析】

先根據人(x)=/(x)得到a與/(x)最值的關系，然后利用換元法求解函數“X)的值域，即

可確定左的取值范圍，則上的最值可確定.

【詳解】

因為￡(X)=因玉,所以由定義知生J(X)max，

因為_d+x+2N0,所以xe[-l,2],則函數〃x)的定義域為11,2],

r3]

令t=y/-x2+x+2<則tw0.-，所以/(x)皿=2四，因此k..242.

故選B.

【點睛】

指數型函數/(》)=屋3值域的求解方法：利用換元法令f=g(x),求解出g(x)的值域即為f

答案第4頁，共17頁

的取值范圍，根據指數函數y="的單調性即可求解出f（x）的值域.

6.C

【解析】

【分析】

先確定a,b,c范圍，再將a,b轉化為函數產2匕產分別與產“gt的圖象對應交點

的橫坐標，結合圖象確定選項.

【點睛】

本題考查判斷大小關系、指對數函數圖象，考查數形結合思想解決數學問題的能力.

7.ABD

【分析】

根據四個選項中的函數證明不等式/3+々+與）4/（占）+/5）+/（天）成立或舉反例說明

不成立(舉反例時中讓X=%=九3).

【詳解】

A./(%1+x2+￡)=4+2sin(斗+x2+x3)<6,

/(%)+/(%2)+/(工3)=4+2sinX]+4+2sinx24-4+2sinx3>6,A正確;

答案第5頁，共17頁

B.(y/x^++yfx^)2=玉+/+"+2,占馬+2J%,+2J1%>芯+%+毛，

.?.Jx+/+為〈募+&+嘉,B正確；

C.X1=x?=w=1時，e*E*-=/>e+e+e,C錯；

D.(%+1)(%,+1)(W+1)=X^X2Xy+XfX2+X2Xy+%,%,+x,+x,+%,+1>%,+x2+x3+1,

/.ln［(Xj+1)(*2+1)(玉+1)］=ln(X1+1)+ln(x2+l)+ln(x3+1)>In^+x2+x3+l),D正確.

故選：ABD.

【點睛】

本題考查正弦函數、幕函數、指數函數、對數函數的性質，對于函數的性質

/(%,+x2+x3)</(x,)+f(x2)+f(x3),正確的需進行證明，錯誤的可舉一反例說明.

8.BD

【分析】

令8(力=以2+》+1,。>0,得到拋物線的開口向上，對稱軸的方程為x=-［,再根據

△=06<0和A>o三種情形分類討論，結合復合函數的單調性，即可求解.

【詳解】

由題意，函數>=**-"］，令8(X)=加+3+1,。>0,

可得拋物線的開口向上，對稱軸的方程為x=-二<0,

2a

當△=l-4a=0時，即“=:時，可得g(x)=；d+x+l*O,

此時函數y=|g(x)|在(7,-5］單調遞減，在［-(,+℃)上單調遞增，且g(-2)=0

可得y=在遞減，在上遞增，且/<-2>=1：

J2a2a

當△=1一4〃<0時，即“時，可得g(x)>0,

此時函數y=|g(x)|在(7,-1】單調遞減，在-［，+°°)上單調遞增，

由復合函數的單調性，可得丫=*'+同在(7，-4］遞減，在［-1，+8)上遞增，且)>1,

J2a2a

此時選項B符合題意；

當當△=1一4a>0時，即0<。<；時，止匕時函數8(工)="2+x+l有兩個零點，

答案第6頁，共17頁

不妨設另個零點分別為X”與且芭<-1<々，

此時函數y=|g（x）|在]單調遞減，在[-鼠,+℃）上單調遞增，

可得y=g（x）在（-°°,玉]」--^-，可遞減，在[網,-[],[%,+°°）上遞增，且ga）=g（x2）=o,

2a2a

則尸+訓在（-*xj,[--L,3]遞減，在[Xp-3MXz,+O上遞增，且e"=*川=1,

2a2a

此時選項D符合題意.

綜上可得，函數的圖象可能是選項BD.

故選：BD.

【點睛】

本題主要考查了根據函數的解析式識別函數的圖象，其中解答中熟記指數幕的運算性質，二

次函數的圖象與性質，以及復合函數的單調性的判定方法是解答的關鍵，著重考查分析問題

和解答問題的能力，以及分類討論思想的應用.

9.0<a<4

【分析】

由題意可得函數/（X）在[2,+8）時的值域包含于函數/（X）在（-00,2）時的值域，利用

基本不等式先求出函數/（x）在xW[2,+oo）時的值域，當xG（-00,2）時，對。分情況

討論，分別利用函數的單調性求出值域，從而求出”的取值范圍.

【詳解】

解：設函數8（力=可芋，xN2的值域為A,函數妝同=產4,x<2的值域為B,

因為對任意的％e[2,+oo）,都存在唯一的馬e（-00,2）,滿足f（W）=f（不）,

則A±B,且B中若有元素與A中元素對應，則只有一個.

當Xiw[2,+oo）時，g（x）=%+4=x+3,

xx

因為1+24之2I人4二=4,當且僅當工=4一，即x=2時，等號成立，

xVxx

所以A=[4,+8）,

當,W（YO,2）時,/I（X）=2M,X<2

①當a22時，〃（力=2"、x<2,此時^二修巳”），

答案第7頁，共17頁

:.2a~2<4.解得24a<4,

2r

②當a<2時，〃(x)=

2x~a,a<x<2

此時〃(X)在(-00,4)上是減函數，取值范圍是

力⑴在&2)上是增函數，取值范圍是［1,2*),

22-a<4)解得0Va<2,

綜合得04a<4.

故答案為：04a<4

【點睛】

關鍵點點睛：本題即有恒成立問題，又有存在性問題，最后可轉化為函數值域之間的包含關

系問題，最終轉化為最值問題，體現了轉化與化歸的思想.

「c11

10.-2,--

_2_

【分析】

題目等價于函數y=(；)+。與函數y=,+。|在區間［12)19］上同增或者同減，分別討論兩個

函數同增或同減的情況列出不等式可求解.

【詳解】

函數y=在R上單調遞減，函數y=2*在R上單調遞增，

若區間［1,2019］為函數y=(￡|+。的“穩定區間”，

則函數丫=0+。與函數y=|2'+a|在區間［1,2019］上同增或者同減，

①若兩函數在區間II，2019］上單調遞增，

flY+fl<0L-W'

則(2)~在區間［12019［上恒成立，即-12),

2x+a>0a>-2'

所以-24a4-1；

2

②若兩函數在區間U2019］上單調遞減，

答案第8頁，共17頁

則入句+“2。在區間［1,2019］上恒成立，即，一⑸,不等式無解；

2x+a<0a<-22019

綜上所述：?e-2,-；，

故答案為：-2，-g.

11.t<-l

【分析】

在同一坐標系中作出.f(x)和g(x)圖象，h(x)的圖象是由f(x)和g(x)圖象中較大部分構成，

當x<0時，g(x)=-x+e>e,而當xNO時，g(x)4e,故只需/(x)>e即可，利用數形結合

即可得出結果.

【詳解】

當x<0時,g(x)=-x+e>e,所以由/z(x)=max{/(x),g(x)}>e成立；

當xNO時，g(x)4e,所以只要〃x)>e即可，

如圖將、=加的圖象向左平移1個單位(如圖①)，得到函數y=*+"的圖象，此時有

若圖象再向左平移(如圖②)則滿足>e(x>0,-/>1),所以，<一1.

、\4/抬尸片"［危尸

''、小、g(x)=-x+e\/2卜g(x)=

-x+e

.??I.1一」一

-3-2-1(71123x-3-2-l(9l123*

①②

故答案為：r<—1

【點睛】

本題主要考查利用數形結合處理恒成立問題，屬于中檔題

12.①③⑤⑥

【分析】

由函數解析式代入各個結論檢驗.①②直接代入變形判斷,③分類討論，按士的正負分類,

答案第9頁，共17頁

④中々=0時，左邊的式子就是③中的式子，由③可得，⑤中作差比較，⑥由負指數累的定

義可得.

【詳解】

由于=

所以,/(%,+x2)=(g戶伙=(g)w?(g戶=/(再)/(%2),①正確；

“王?當)=《嚴*(》*+?)*=/(玉)+/優)，②錯誤；

當王>0時，/(%,)<1,當占<0時，/(%,)>1,③正確,

x\

_/(x)-/(x)f(x.)-1c

在④中若令占=0,則?八92j八”<0,④錯誤，

%-x2X]

因為百。無2，

一+工

/(百)+/(%)_f盧+占)1+Jp12

=-2-(-)2]

2222

,(J*1+g產一2.(；戶.(；)句=；[(產一(；)如>0,⑤正確,

〃-%)=(；)』=-/-1

f(x).⑥正確,

9"t

故答案為：①③⑤⑥

【點睛】

本題考查指數函數的性質，考查基的運算法則.問題不難只是內容較多.⑤反映了指數函數

的凹凸性，說明指數函數是下凸的函數(凹下去的).

13.

(1)證明見詳解；

(2)定義域上單調遞增，證明見詳解；

(3)(0,3-2V2)o{-l)

【分析】

(1)”=1代入解析式，根據函數式知定義域為XH0且f(-x)=-f(x),即f(x)為奇函數;

答案第10頁，共17頁

2a(2X2-2X,)

(2)利用單調性定義令判斷/(%)-、的符號，即可知

一c,八，一CI)

“Xj"(X2)大小關系，從而可得結論.

(3)因為％<0,分。>0,。<0兩種情況討論函數八x)在區間[〃?，n](In<n)上的取值范

圍是伙GR),進而得出結論.

(1)

21+1

。=1時，有/(x)=r—且定義域為XHO,

2'x+11+2*

f(-)=--------=--------=-/(x),

'x2-x-1]一2*

綜上有：的定義域關于原點對稱且f(-x)=-/(%),即f(x)為奇函數;

(2)

a<0時，有即f(x)定義域為R,結論為：Ax)在R上單調遞增.

設對任意兩個實數：芭<當，則

而寸⑷=上_拉=⑵+4)(2“-幻-⑵+?⑵-。)2a(2X2-2x')

1224—a2X2-a(2*_〃)(2電—a)(2—)(2通—a)

2%—2演>0,2演一。>0,2"2<0,

???含方。,即/(%)</區)得證.

(3)

〈awO,所以a>0或〃<(),

.,?當。<0時，由(2)知/")在R上單調遞增，結合題意有，

C,、k2加+1_k

/⑴)=懣

―1-7V+1k

：,得，i■,即他，〃是戶=工的兩個不同的實根，

2〃+1_k2X-12X

/(〃)T2n-\"F

，令—,則產+(a-Q，+成=0,(。/<0)在經0上有兩個不同實根,

a-k八

-------->0

2

故”\2.八，可得Ovk—<3-2立，

{{a-k7)一4成>0a

ak>0

當a>0時，/(%)=1+在(F,log?a),(log?〃,”)上都遞減，

2—。

若卜%“仁(kga,+00),有/(x)>l,貝與％<0矛盾，舍去；

若口”]±(-oo,k>g2a),有即有

答案第11頁，共17頁

zZ

z口

/l=

\F=

F,,mm

Z,2(2+?)=jt(2-a)

^2R，所以《

zmn

/()=r2(2"+a)=k(2-a)

x2;F=F

兩式相減得(a+現2"-2*)=0,又2小<2"，故2"-2"’>0,

從而4+女=0,-=-1

K

綜上所述，加取值范圍(0,3-2⑹口{-1}.

l/lz1\r/X優—ClX優+〃、/C、m>5+^^或加4一1.

14.(1)/(x)=---,g(x)=---;(2)

2

【分析】

(1)用-X替換X后，根據題中奇偶性,利用奇偶性性質得到方程組，即可解得答案;

(2)代入解析式化簡后換元，將問題轉化成恒成立問題，通過討論對稱軸和區間的關系研

究最值解決恒成立問題.

【詳解】

解：(1),.?/(x)+g(x)=ax(D,f(-x)+g(-x)=a~x,

f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,

:,-f(x)+g(x)=a~'@,由①②可知/(x)=

⑵當"領'放)=

令寸W-2),

即/(x)=：,g(2x)=^^，-.-VxG(log(V2-1),log

22)),

(m2-2)/(x)+mg(2x)-4m>0恒成立,

mt2+(w2-2)/-6，">0在rw(1,2)恒成立

令/z(r)=mt2+(m2-2)t-6m

(i)當加=0時,一2f>0(舍);

(ii)法一：當時,

答案第12頁，共17頁

m>0m>0m>0

m2-2-尤工2

41或<1<----------<2或,_IX4

2m2m2m

/?(l)>0//(2)>0

解得加之心匡

2

m>0

-牛解得力2出且

法二：由于人(0)=-6m<0,所以或,

2m2

/?(1)>0

(iii)當，〃<0時，｛“ewe，解得加4—1

["(2)>0

綜上，“2土叵或m4-L

2

【點睛】

解決恒成立問題的常用方法：

①數形結合法：畫圖像，對關鍵點限制條件；②分離參數法：轉化成參數與函數最值的關系;

③構造函數法：轉化成函數最值(含參數)的范圍.

15.(1)t=2,(2)-3<jt<l,(3)不存在，理由見解析

【分析】

(1)結合函數奇偶性，利用/(0)=0可求；

(2)根據/⑴>0可得結合奇偶性和單調性把所求解的不等式轉化為二次不等式，

然后進行求解；

(3)根據函數圖象過點可得a=2,利用換元法進行求解.

【詳解】

Q)?.?“X)是定義域為R的奇函數，

.?./(o)=o,

：.t=2；經檢驗知符合題意.

(2)由⑴得〃x)=—

答案第13頁，共17頁

得a——>0,又〃>0

??,/(X)為奇函數，

.-./(Ax-x2)</(l-x),

Qa>1,.?J(x)="—Q為R上的增函數，

:.kx-^<l-x對一切xeR恒成立，即x2-(A+l)x+l>0對一切xeR恒成立,

故△=(%+1『-4<0解得

：.a-2,假設存在正數修，且加H1符合題意，

由a=2得

g(x)=log,”[22'+23-M2*-2-')],

設r=2,-2T則(2*-2T『-利(2'-2-*)+2=/_制+2,

-.-xe[l,log23],

38~

tG—,記/z(f)=/+2,

?/函數g(X)在[l,log23]上的最大值為0,

「38-

...⑴若0＜帆＜1時，則函數力。)=/-社+2在有最小值為1,

由于對稱軸/=，

22

,/、17313丁人由*

???/%,1)=■彳=7_彳川=1=＞機="，不合題意.

J4Zo

5)若心1時，則函數咐)=產-加+2＞0在上恒成立，且最大值為1,最小值大于

0,

答案第14頁，共17頁

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