2024中考數學全國真題分類卷第十八講矩形、菱形、正方形命題點1矩形的相關證明與計算1.(2023陜西)在下列條件中，能夠判定?ABCD為矩形的是()A.AB＝ACB.AC⊥BDC.AB＝ADD.AC＝BD2.(2023邵陽)已知矩形的一邊長為6cm，一條對角線的長為10cm，則矩形的面積為________cm2.3.(2023十堰)“美麗鄉村”建設使我市農村住宅舊貌變新顏，如圖所示為一農村民居側面截圖，屋坡AF，AG分別架在墻體的點B，C處，且AB＝AC，側面四邊形BDEC為矩形．若測得∠FBD＝55°，則∠A＝________°.第3題圖4.(2023吉林省卷)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是邊AD的中點，點F在對角線AC上，且AF＝eq\f(1,4)AC，連接EF.若AC＝10，則EF＝________．第4題圖5.(2022紹興)圖①是一種矩形時鐘，圖②是時鐘示意圖，時鐘數字2的刻度在矩形ABCD的對角線BD上，時鐘中心在矩形ABCD對角線的交點O上，若AB＝30cm，則BC長為________cm(結果保留根號).第5題圖6.(2023黔東南州)如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD.若AC＝10，則四邊形OCED的周長是________．第6題圖7.(2023青海省卷)如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，過點O的直線交AD，BC于點E，F，若AB＝3，BC＝4，則圖中陰影部分的面積為________．第7題圖8.(2023甘肅省卷)如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，點E，F分別在邊AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于點G，若G是EF的中點，則BG的長為________cm.第8題圖9.(2023宜昌)如圖，在矩形ABCD中，E是邊AD上一點，F，G分別是BE，CE的中點，連接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，矩形ABCD的面積為________．第9題圖10.(2022貴港)如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E.連接CE，若tan∠ADB＝eq\f(1,2)，則tan∠DEC的值是________．第10題圖11.(2023蘇州)如圖，將矩形ABCD沿對角線AC折疊，點B的對應點為點E，AE與CD交于點F.(1)求證：△DAF≌△ECF；(2)若∠FCE＝40°，求∠CAB的度數．第11題圖12.(2022金華)已知：如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∠BOC＝120°，AB＝2.(1)求矩形對角線的長；(2)過O作OE⊥AD于點E，連接BE.記∠ABE＝α，求tanα的值．第12題圖13.(2023云南)如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF＝90°.(1)求證：四邊形ABDF是矩形；(2)若AD＝5，DF＝3，求四邊形ABCF的面積S.第13題圖源自北師九上P19第3題14.(挑戰題)(2023自貢)如圖，用四根木條釘成矩形框ABCD，把邊BC固定在地面上，向右邊推動矩形框，矩形的形狀會發生改變(四邊形具有不穩定性).(1)通過觀察分析，我們發現圖中線段存在等量關系，如線段EB由AB旋轉得到，所以EB＝AB.我們還可以得到FC＝________，EF＝________；(2)進一步觀察，我們還會發現EF∥AD，請證明這一結論；(3)已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好經過原矩形DC邊的中點H，求EF與BC之間的距離．第14題圖命題點2菱形的相關證明與計算15.(2023河池)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，下列結論中錯誤的是()第15題圖A.AB＝ADB.AC⊥BDC.AC＝BDD.∠DAC＝∠BAC16.(2023河南)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E為CD的中點，若OE＝3，則菱形ABCD的周長為()第16題圖A.6B.12C.24D.4817.(2023自貢)如圖，菱形ABCD對角線交點與坐標原點O重合，點A(－2，5)，則點C的坐標是()第17題圖A.(5，－2)B.(2，－5)C.(2，5)D.(－2，－5)18.(2022紹興)如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，點P從點B出發，沿折線BC→CD方向移動，移動到點D停止．在△ABP形狀的變化過程中，依次出現的特殊三角形是()第18題圖A.直角三角形→等邊三角形→等腰三角形→直角三角形B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等邊三角形C.直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰三角形D.等腰三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰三角形19.(2023仙桃)由4個形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網格，菱形的頂點稱為格點，點A，B，C都在格點上，∠O＝60°，則tan∠ABC＝()第19題圖A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)20.(2023株洲)如圖所示，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點C作CE∥BD交AB的延長線于點E，下列結論不一定正確的是()第20題圖A.OB＝eq\f(1,2)CEB.△ACE是直角三角形C.BC＝eq\f(1,2)AED.BE＝CE21.(2023海南)如圖，菱形ABCD中，點E是邊CD的中點，EF垂直AB交AB的延長線于點F，若BF∶CE＝1∶2，EF＝eq\r(7)，則菱形ABCD的邊長是()第21題圖A.3B.4C.5D.eq\f(4\r(7),5)22.(新趨勢)·條件開放性問題(2023齊齊哈爾)如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，AB∥CD，要使四邊形ABCD為菱形，應添加的條件是________________．(只需寫出一個條件即可)第22題圖23.(2023樂山)已知菱形ABCD的兩條對角線AC，BD的長分別是8cm和6cm，則菱形的面積為________cm2.24.(2023溫州)如圖，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°.在其內部作形狀、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使點E，F，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，點M，N在對角線AC上．若AE＝3BE，則MN的長為________．第24題圖25.(2023陜西)如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7.若M，N分別是邊AD，BC上的動點，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分別為E，F，則ME＋NF的值為________．第25題圖26.(2023天津)如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠DAB＝60°，E為AB的中點，F為CE的中點，AF與DE相交于點G，則GF的長等于________．第26題圖27.(新趨勢)·注重學習過程(2023嘉興)小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AC⊥BD，OB＝OD.求證：四邊形ABCD是菱形”，并將自己的證明過程與同學小潔交流．小惠：證明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD.∴AB＝AD，CB＝CD，∴四邊形ABCD是菱形．eq\x(\a\al(小潔：,這個題目還缺少條件，需,要補充一個條件才能證明．))若贊同小惠的證法，請在第一個方框內打“√”；若贊成小潔的說法，請你補充一個條件，并證明．第27題圖28.(2023北京)如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點O，點E，F在AC上，AE＝CF.(1)求證：四邊形EBFD是平行四邊形；(2)若∠BAC＝∠DAC，求證：四邊形EBFD是菱形．第28題圖29.(2023連云港)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點E，使DE＝AD，且BE⊥DC.(1)求證：四邊形DBCE為菱形；(2)若△DBC是邊長為2的等邊三角形，點P，M，N分別在線段BE，BC，CE上運動，求PM＋PN的最小值．第29題圖30.(2023婁底)如圖①，以BC為邊分別作菱形BCDE和菱形BCFG(點C，D，F共線)，動點A在以BC為直徑且處于菱形BCFG內的圓弧上，連接EF交BC于點O.設∠G＝θ.(1)求證：無論θ為何值，EF與BC相互平分；并請直接寫出使EF⊥BC成立的θ值；(2)如圖②，當θ＝90°時，試給出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，請說明理由．第30題圖31.(2023宜昌)已知菱形ABCD中，E是邊AB的中點，F是邊AD上一點．(1)如圖①，連接CE，CF.CE⊥AB，CF⊥AD.①求證：CE＝CF；②若AE＝2，求CE的長；(2)如圖②，連接CE，EF.若AE＝3，EF＝2AF＝4，求CE的長．第31題圖命題點3正方形的相關證明與計算32.(2023玉林)若順次連接四邊形ABCD各邊的中點所得的四邊形是正方形，則四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD一定是()A.互相平分B.互相垂直C.互相平分且相等D.互相垂直且相等33.(2023重慶A卷)如圖，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于點E，點F是邊AB上一點，連接DF，若BE＝AF，則∠CDF的度數為()A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°第33題圖34.(2023濱州)正方形ABCD的對角線相交于點O(如圖①)，如果∠BOC繞點O按順時針方向旋轉，其兩邊分別與邊AB，BC相交于點E，F(如圖②)，連接EF，那么在點E由B到A的過程中，線段EF的中點G經過的路線是()第34題圖A.線段B.圓弧C.折線D.波浪線35.(2022仙桃)如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E為對角線AC上與A，C不重合的一個動點，過點E作EF⊥AB于點F，EG⊥BC于點G，連接DE，FG.下列結論：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值為3，其中正確結論的個數有()A.1個B.2個C.3個D.4個第35題圖36.(2023紹興)如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是對角線BD上的動點，且BE＝DF，M，N分別是邊AD，邊BC上的動點．下列四種說法：①存在無數個平行四邊形MENF；②存在無數個矩形MENF；③存在無數個菱形MENF；④存在無數個正方形MENF.其中正確的個數是()第36題圖A.1B.2C.3D.437.(新趨勢)·數學文化(2023江西)沐沐用七巧板拼了一個對角線長為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個長方形(如圖所示)，則長方形的對角線長為________．第37題圖38.(2020天水)如圖所示，將正方形OEFG放在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點E的坐標為(2，3)，則點F的坐標為________．第38題圖39.(2023無錫)如圖，正方形ABCD的邊長為8，點E是CD的中點，HG垂直平分AE且分別交AE，BC于點H，G，則BG＝________．第39題圖40.(2023海南)如圖，正方形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，AE＝AF，∠EAF＝30°，則∠AEB＝________°；若△AEF的面積等于1，則AB的值是________．第40題圖41.(2023泰安)如圖，四邊形ABCD為正方形，點E是BC的中點，將正方形ABCD沿AE折疊，得到點B的對應點為點F，延長EF交線段DC于點P，若AB＝6，則DP的長度為________．第41題圖42.(2023山西)如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC上的一點，點F在邊CD的延長線上，且BE＝DF，連接EF交邊AD于點G.過點A作AN⊥EF，垂足為點M，交邊CD于點N.若BE＝5，CN＝8，則線段AN的長為________．第42題圖43.(2023安徽)如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點M，N，過點F作AD的垂線交AD的延長線于點G.連接DF，請完成下列問題：(1)∠FDG＝________°；(2)若DE＝1，DF＝2eq\r(2)，則MN＝________．第43題圖44.(2023邵陽)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F在對角線BD上，且BE＝DF，OE＝OA.求證：四邊形AECF是正方形．第44題圖45.(2023遵義)將正方形ABCD和菱形EFGH按照如圖所示擺放，頂點D與頂點H重合，菱形EFGH的對角線HF經過點B，點E，G分別在AB，BC上．(1)求證：△ADE≌△CDG；(2)若AE＝BE＝2，求BF的長．第45題圖46.(挑戰題)(2023臺州)圖①中有四條優美的“螺旋折線”，它們是怎樣畫出來的呢？如圖②，在正方形ABCD各邊上分別取點B1，C1，D1，A1，使AB1＝BC1＝CD1＝DA1＝eq\f(4,5)AB，依次連接它們，得到四邊形A1B1C1D1；再在四邊形A1B1C1D1各邊上分別取點B2，C2，D2，A2，使A1B2＝B1C2＝C1D2＝D1A2＝eq\f(4,5)A1B1，依次連接它們，得到四邊形A2B2C2D2；…如此繼續下去，得到四條螺旋折線．第46題圖(1)求證：四邊形A1B1C1D1是正方形；(2)求eq\f(A1B1,AB)的值；(3)請研究螺旋折線BB1B2B3…中相鄰線段之間的關系，寫出一個正確結論并加以證明．參考答案與解析1.D2.48【解析】∵矩形的一邊長為6cm，一條對角線的長為10cm，由勾股定理可得矩形的另一邊長為8cm，∴矩形的面積為6×8＝48(cm2).3.1104.eq\f(5,2)【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝2AO＝2OD＝10，∴OD＝eq\f(1,2)AC＝5，∵AF＝eq\f(1,4)AC，∴AF＝eq\f(1,2)OA，∵E是AD的中點，∴EF是△AOD的中位線，∴EF＝eq\f(1,2)OD＝eq\f(5,2).5.30eq\r(3)【解析】∵鐘表數字2和數字3之間的夾角為eq\f(360°,12)＝30°且鐘表數字2的刻度在矩形ABCD的對角線BD上，AB＝30cm，∴∠DBC＝∠ADB＝30°，∴BC＝AD＝eq\f(AB,tan∠ADB)＝eq\f(AB,tan30°)＝eq\f(30,\f(\r(3),3))＝30eq\r(3)(cm).6.20【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝10，OA＝OC，OB＝OD，∴OC＝OD＝eq\f(1,2)BD＝5，∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形CODE是平行四邊形，∵OC＝OD＝5，∴四邊形CODE是菱形，∴四邊形CODE的周長為4OC＝4×5＝20.7.6【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，AO＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAO＝∠FCO,OA＝OC,∠AOE＝∠COF))，∴△AEO≌△CFO(ASA)，∴S△AEO＝S△CFO，∴陰影部分的面積等于矩形ABCD的面積的一半，∵矩形面積為AB·BC＝3×4＝12，∴陰影部分的面積為eq\f(1,2)×12＝6.8.eq\r(13)【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∵AE＝2cm，∴BE＝AB－AE＝6－2＝4cm，∵G是EF的中點，∴EG＝BG＝eq\f(1,2)EF，∴∠BEG＝∠ABD，∠BEG＝∠BDC，∴△EBF∽△DCB，∴eq\f(EB,DC)＝eq\f(BF,CB)，∴eq\f(4,6)＝eq\f(BF,9)，∴BF＝6，∴EF＝eq\r(BE2＋BF2)＝eq\r(42＋62)＝2eq\r(13)(cm)，∴BG＝eq\f(1,2)EF＝eq\r(13)cm.9.48【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠CDA＝90°.∵F，G為BE，CE中點，∴在Rt△ABE中，AF＝BF＝EF＝eq\f(1,2)BE，在Rt△CDE中，DG＝CG＝EG＝eq\f(1,2)CE，∴BE＝6，CE＝8，∵EF＝3，EG＝4，FG＝5，EF2＋EG2＝FG2，∴△EFG為直角三角形，∠FEG＝90°，∴S矩形ABCD＝2S△BEC＝2×eq\f(1,2)BE·CE＝48.10.eq\f(2,3)【解析】如解圖，過點C作CF⊥BD于點F，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE與△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEB＝∠CFD,∠ABE＝∠CDF,AB＝CD))，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF，BE＝DF.∵AE⊥BD，tan∠ADB＝eq\f(AB,AD)＝eq\f(1,2)，∴設AB＝a，則AD＝2a，∴BD＝eq\r(5)a，∵S△ABD＝eq\f(1,2)BD·AE＝eq\f(1,2)AB·AD，∴AE＝CF＝eq\f(2\r(5),5)a，∴BE＝DF＝eq\r(AB2－AE2)＝eq\r(a2－（\f(2\r(5),5)a）2)＝eq\f(\r(5),5)a，∴EF＝BD－2BE＝eq\r(5)a－2×eq\f(\r(5),5)a＝eq\f(3\r(5),5)a，∵CF⊥BD，∴tan∠DEC＝eq\f(CF,EF)＝eq\f(2,3).第10題解圖11.(1)證明：將矩形ABCD沿對角線AC折疊，則AD＝BC＝EC，∠D＝∠B＝∠E＝90°，在△DAF和△ECF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DFA＝∠EFC,∠D＝∠E,DA＝EC))，∴△DAF≌△ECF(AAS)；(2)解：∵△DAF≌△ECF，∴∠DAF＝∠ECF＝40°.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°.∴∠EAB＝∠DAB－∠DAF＝90°－40°＝50°.∵由折疊的性質得∠EAC＝∠CAB，∴∠CAB＝25°.12.解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝eq\f(1,2)AC，OB＝OD＝eq\f(1,2)BD，∴OA＝OC＝OB＝OD.∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OB＝AB＝2，∴AC＝BD＝2OB＝4；(2)∵在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，∴AD＝eq\r(BD2－AB2)＝eq\r(16－4)＝2eq\r(3).由(1)得，OA＝OD.又∵OE⊥AD，∴AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\r(3)，在Rt△ABE中，tanα＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(\r(3),2).13.(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴AB∥DF，∴∠DFE＝∠ABE.∵E為線段AD的中點，∴DE＝AE.在△DFE和△ABE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DFE＝∠ABE,∠DEF＝∠AEB,DE＝AE))，∴△DFE≌△ABE(AAS)，∴DF＝AB.又∵AB∥DF，∴四邊形ABDF是平行四邊形．∵∠BDF＝90°，∴平行四邊形ABDF是矩形；(2)解：∵四邊形ABDF是矩形，∴∠ABD＝90°，AF＝BD，AB＝DF.∵AD＝5，DF＝3，∴在Rt△ADF中，AF＝eq\r(AD2－DF2)＝eq\r(52－32)＝4，∴AF＝BD＝4，AB＝DF＝3.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝3.∵∠BDF＝90°，∴∠BDC＝90°.∴S＝S矩形ABDF＋S△BCD＝DF·BD＋eq\f(1,2)CD·BD＝3×4＋eq\f(1,2)×3×4＝12＋6＝18.14.(1)解：DC，AD；(2)證明：∵EF＝AD，AD＝BC，∴EF＝BC，同理可得FC＝EB，∴四邊形EFCB為平行四邊形，∴EF∥BC，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∴EF∥AD；(3)解：如解圖，過點E作EG⊥BC交BC延長線于點G，EG即為EF與BC之間的距離，由題意可得，HC＝40cm，BC＝30cm，BE＝DC＝80cm，第14題解圖在Rt△HBC中，HB＝eq\r(HC2＋BC2)＝eq\r(402＋302)＝50cm，∵HC∥EG，∴△BCH∽△BGE，∴eq\f(HC,EG)＝eq\f(BH,BE)，即eq\f(40,EG)＝eq\f(50,80)，解得EG＝64cm，∴EF與BC之間的距離為64cm.15.C16.C17.B【解析】菱形為中心對稱圖形，對角線的交點即為對稱中心，∵A點坐標為(－2，5)，∴相應的C點坐標為(2，－5).18.C【解析】由∠B＝60°知，菱形由兩個等邊三角形組合而成，當AP⊥BC時，此時△ABP為直角三角形；當點P到達點C處時，此時△ABP為等邊三角形；當點P在CD上且位于CD的中垂線時，則△ABP為直角三角形；當點P與點D重合時，此時△ABP為等腰三角形．19.C【解析】如解圖，由題意可得，∠BDC＝60°，BD＝CD＝AC，∴△BCD是等邊三角形，∴BC＝BD，∠BCD＝60°，∴AC＝BC，∠ACB＝120°，∴∠BAC＝∠ABC＝eq\f(1,2)×(180°－120°)＝30°，∴tan∠ABC＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).第19題解圖20.D【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∵AO＝CO＝eq\f(1,2)AC，AC⊥BD，∵CE∥BD，∴△AOB∽△ACE，∠AOB＝∠ACE＝90°，∴eq\f(AO,AC)＝eq\f(OB,CE)＝eq\f(AB,AE)＝eq\f(1,2)，∴△ACE是直角三角形，OB＝eq\f(1,2)CE，∴BC＝eq\f(1,2)AE，故選D.21.B【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，DC＝BC，∠A＝∠C，設BF＝x，則CE＝2x，∵點E是CD的中點，∴CD＝AB＝AD＝4x，如解圖，過點D作DH⊥AB于點H，∵EF⊥AB，∴四邊形DEFH為矩形，∴EF＝DH＝eq\r(7)，HF＝DE＝2x，∴AH＝3x，在Rt△ADH中，AD2＝AH2＋DH2，即(4x)2＝(3x)2＋(eq\r(7))2，解得x＝1(負值已舍去)，∴AD＝4x＝4.第21題解圖22.AB＝CD(答案不唯一)【解析】由題中條件AC⊥BD可知，只需四邊形ABCD為平行四邊形即可，又AB∥CD，故添加AB＝CD(答案不唯一).23.24【解析】S＝eq\f(1,2)×8×6＝24(cm2).24.eq\f(\r(3),2)【解析】如解圖，連接BD，交AC于O，連接EF，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC，∵菱形AENH和菱形CGMF大小相同，∴AE＝CF，∴EF∥AC，由題意知，四邊形AEFM，EFCN均為平行四邊形，∴EF＝AM＝CN，∵EF∥AC，∴△BFE∽△BCA，∴eq\f(EF,AC)＝eq\f(BE,BA)，∵AE＝3BE，AB＝1，∴AB＝4BE，∴eq\f(EF,AC)＝eq\f(BE,BA)＝eq\f(1,4)，∴AM＝CN＝eq\f(1,4)AC，∴MN＝eq\f(1,2)AC＝OA，∵∠BAD＝60°，AB＝AD＝1，AO垂直平分BD，∴OD＝eq\f(1,2)，∴OA＝eq\r(AD2－OD2)＝eq\r(12－（\f(1,2)）2)＝eq\f(\r(3),2)，∴MN＝eq\f(\r(3),2).第24題解圖25.eq\f(\r(15),2)【解析】如解圖①，連接AC交BD于點O，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，OD＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(7,2)，CD＝4，∴OC＝OA＝eq\r(42－（\f(7,2)）2)＝eq\f(\r(15),2)，設AM＝BN＝a，則DM＝4－a，∵ME⊥BD，NF⊥BD，∴△DME∽△DAO，△BNF∽△BCO，∴eq\f(ME,OA)＝eq\f(DM,DA)＝eq\f(4－a,4)，eq\f(NF,OC)＝eq\f(BN,BC)＝eq\f(a,4)，∴eq\f(ME,OA)＋eq\f(NF,OC)＝eq\f(4－a,4)＋eq\f(a,4)＝1，∴ME＋NF＝OA＝eq\f(\r(15),2).第25題解圖①【一題多解】如解圖②，連接AC交BD于點O，過點M作MG⊥AC于點G，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，OD＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(7,2)，CD＝4，∴OC＝OA＝eq\r(42－（\f(7,2)）2)＝eq\f(\r(15),2)，∵AC⊥BD，ME⊥BD，∴∠AMG＝∠ADO＝∠CBO，ME＝GO，又∵AM＝BN，NF⊥BD，∴△AMG≌△NBF，∴NF＝AG，∴ME＋NF＝GO＋AG＝AO＝eq\f(\r(15),2).第25題解圖②26.eq\f(\r(19),4)【解析】如解圖，過點F作FM⊥DE于點M，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD＝CD＝2.∵E為AB的中點，∠DAB＝60°，∴AE＝1，∠AED＝90°，由勾股定理，得DE＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\r(3).∵四邊形ABCD為菱形，∴AB∥CD，∴∠ADC＝120°，∠CDE＝90°.∵FM⊥DE，F為CE的中點，∴M為DE的中點，即FM∥CD，FM＝eq\f(1,2)CD＝1，ME＝DM＝eq\f(1,2)DE＝eq\f(\r(3),2)，∴FM∥AB，FM＝AE，∴∠EAG＝∠MFG，∵∠AGE＝∠FGM，∴△AEG≌△FMG(AAS)，∴EG＝MG＝eq\f(1,2)ME＝eq\f(\r(3),4)，又∵FM∥CD，∴∠FMG＝∠CDE＝90°，在Rt△FMG中，由勾股定理，得FG＝eq\r(MG2＋FM2)＝eq\r(（\f(\r(3),4)）2＋12)＝eq\f(\r(19),4).第26題解圖27.解：贊成小潔的說法，補充：AB＝CB.證明：由小惠證法得：AB＝AD，CB＝CD，又∵AB＝CB，∴AB＝AD＝CB＝CD，∴四邊形ABCD是菱形．28.證明：(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BO＝DO，AO＝CO.又∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF，即OE＝OF，∴四邊形EBFD為平行四邊形；(2)∵∠BAC＝∠DAC，DO＝BO，∴AO⊥BD.由(1)得四邊形EBFD為平行四邊形，∴四邊形EBFD是菱形．29.(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且AD＝BC.∵DE＝AD，∴DE＝BC.又∵點E在AD的延長線上，∴DE∥BC，∴四邊形DBCE為平行四邊形．又∵BE⊥DC，∴四邊形DBCE為菱形；(2)解：如解圖，由菱形對稱性得，點N關于BE的對稱點N′在DE上，第29題解圖∴PM＋PN＝PM＋PN′.當P，M，N′三點共線時，PM＋PN＝PM＋PN′＝MN′.過點D作DH⊥BC，垂足為H，∵DE∥BC，∴MN′的最小值即為平行線間的距離DH的長．∵△DBC是邊長為2的等邊三角形，∴在Rt△DBH中，∠DBH＝60°，DB＝2，∴DH＝DB·sin∠DBH＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴PM＋PN的最小值為eq\r(3).30.解：(1)①∵四邊形BCDE和四邊形BCFG都是菱形，∴BE＝BC＝CF，CF∥GE，∴∠OCF＝∠OBE，∵∠COF＝∠BOE，∴△COF≌△BOE(AAS)，∴OC＝OB，OF＝OE，∴無論θ為何值，EF與BC相互平分；②θ＝60°；【解法提示】∵OC＝OB，∴OB＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)BE，∵EF⊥BC.∴∠BOE＝90°，∴∠OEB＝30°，∴∠OBE＝60°，∵GF∥BC，∴∠G＝∠OBE＝60°，即當θ＝60°時，EF⊥BC.(2)tan∠ABC＝2，理由如下：由(1)知BC＝BE＝2OB，當θ＝90°時，則四邊形BCDE和四邊形BCFG都是正方形，∴∠OBE＝90°，∴tan∠BOE＝eq\f(BE,OB)＝2，∵BC為動點A所在圓弧對應圓的直徑，∴∠BAC＝90°，∵EF垂直平分AC，∴EF∥AB，∴∠ABC＝∠BOE，∴tan∠ABC＝tan∠BOE＝2.∴當θ＝90°時，tan∠ABC＝2，使得EF垂直平分AC.31.(1)①證明：∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠BEC＝∠DFC＝90°.∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，BC＝DC，∴△BEC≌△DFC(AAS)，∴CE＝CF；②解：∵E是邊AB的中點，AE＝2，∴BE＝AE＝2.∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝BA＝4.∵CE⊥AB，∴在Rt△BEC中，CE＝eq\r(BC2－BE2)＝2eq\r(3)；(2)解：如解圖①，延長FE交CB的延長線于點M，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，AB＝BC，∴∠AFE＝∠M，∠A＝∠EBM.∵E是邊AB的中點，∴AE＝BE，∴△AEF≌△BEM(AAS)，∴EM＝EF，BM＝AF.∵AE＝3，EF＝2AF＝4，∴EM＝4，BM＝2，BE＝3，∴BC＝AB＝2AE＝6，∴CM＝8，∴eq\f(BM,EM)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，eq\f(EM,CM)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(BM,EM)＝eq\f(EM,CM)，∵∠BME＝∠EMC，∴△MEB∽△MCE，∴eq\f(BE,EC)＝eq\f(BM,EM)＝eq\f(1,2)，∵BE＝3，∴CE＝6.注：延長CE交DA的延長線于點N，方法類似．第31題解圖①【一題多解】如解圖②，延長FE交CB的延長線于點M，過點E作EN⊥BC于點N.∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，AB＝BC，∴∠AFE＝∠M，∠A＝∠EBM，∵E是邊AB的中點，∴AE＝BE，∴△AEF≌△BEM(AAS)，∴EM＝EF，BM＝AF.∵AE＝3，EF＝2AF＝4，∴EM＝4，BM＝2，BE＝3，∴BC＝AB＝2AE＝6，∴CM＝8.∵在Rt△MEN和Rt△BEN中，EM2－MN2＝EN2，BE2－BN2＝EN2，∴EM2－MN2＝BE2－BN2，∴42－(2＋BN)2＝32－BN2，解得BN＝eq\f(3,4)，則CN＝6－eq\f(3,4)＝eq\f(21,4)，∴EN2＝BE2－BN2＝32－(eq\f(3,4))2＝eq\f(135,16)，∴在Rt△ENC中，CE2＝EN2＋CN2＝eq\f(135,16)＋eq\f(441,16)＝36，∴CE＝6(負值已舍去).第31題解圖②32.D【解析】如解圖，E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，則EH∥DB∥GF，HG∥AC∥EF，EF＝eq\f(1,2)AC，FG＝eq\f(1,2)BD，∴四邊形EFGH為平行四邊形．要使其為正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，則AC⊥BD，AC＝BD，即對角線一定互相垂直且相等．第32題解圖33.C【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BAD＝90°，∠BAC＝45°，AB＝AD，又∵BE＝AF，∴△ABE≌△DAF，∴∠ADF＝∠BAE.∵AE平分∠BAC，∴∠ADF＝∠BAE＝eq\f(1,2)∠BAC＝22.5°，∴∠CDF＝∠ADC－∠ADF＝90°－22.5°＝67.5°.34.A【解析】如解圖，以點B為坐標原點，建立平面直角坐標系xBy，設正方形ABCD的邊長為1，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠OAE＝∠OBF＝45°，OA＝OB.∵∠AOB＝∠EOF＝90°，∴∠AOB－∠EOB＝∠EOF－∠EOB，即∠AOE＝∠BOF，∴△AOE≌△BOF(ASA)，∴AE＝BF.設AE＝BF＝a，則F(a，0)，E(0，1－a).∵點G是EF的中點，∴G(eq\f(1,2)a，eq\f(1,2)－eq\f(1,2)a)，∴點G在直線y＝－x＋eq\f(1,2)上運動，又∵點E，F分別在線段AB，BC上，∴點G的運動軌跡是線段．第34題解圖35.C【解析】①如解圖，過點E分別作EM⊥CD于點M，EN⊥AD于點N，由題意得，EN＝EF＝BG，EM＝EG＝ND，在Rt△DEN和Rt△GFE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(EN＝EF,∠END＝∠FEG,ND＝EG))，∴Rt△DEN≌Rt△GFE(SAS)，∴DE＝FG，故結論①正確；②如解圖，延長DE交FG于點P，由Rt△DEN≌Rt△GFE可得∠NDE＝∠EGF，∵∠PEG＝∠DEN，∴∠DPG＝∠DNE＝90°，∴DE⊥FG，故結論②正確；③在Rt△DEN和Rt△FGB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DE＝FG,NE＝BG))，∴Rt△DEN≌Rt△FGB(HL)，∴∠BFG＝∠ADE，故結論③正確；④當點E為對角線AC，BD的交點時，FG取得最小值，最小值為2eq\r(2)，故結論④錯誤．綜上所述，正確的結論為①②③，共3個．第35題解圖36.C【解析】∵對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，∴當MN的連線過BD的中點O時，∵BE＝DF，∴BD的中點也是EF的中點，同時平分MN，∴存在無數個平行四邊形MENF，說法①正確；當MN過點O時，四邊形MENF為平行四邊形，當EF＝MN時，四邊形MENF為矩形，∴存在無數個矩形MENF，當MN過點O且垂直于BD時，四邊形MENF恒定為菱形，∴存在無數個菱形MENF，∴說法②③正確；當MN過點O且垂直于BD時，若MN＝EF，則四邊形MENF為正方形，∵此時MN的長度恒定，∴EF的長度恒定，此時只存在一個正方形MENF，說法④錯誤．37.eq\r(5)【解析】由題圖可知①②是兩個全等的等腰直角三角形，∵拼成的正方形的對角線長為2，∴①②兩個等腰直角三角形的直角邊的長度為1，∴結合題圖可知拼成的長方形的長為2，寬為1，∴其對角線的長為eq\r(22＋12)＝eq\r(5).38.(－1，5)【解析】如解圖，過點F作FQ⊥x軸于點Q，過點E分別作EM⊥x軸于點M，作EN⊥FQ于點N，∴四邊形NQME是矩形，∴NQ＝EM＝3，∠NEM＝90°.∵∠FEN＋∠NEO＝90°，∠NEO＋∠OEM＝90°，∴∠FEN＝∠OEM.∵EF＝EO，∠FNE＝∠EMO，∴△EFN≌△EOM，∴EN＝EM＝3，FN＝OM＝2，∴FQ＝FN＋NQ＝5，QO＝EN－OM＝1.∵F在第二象限，∴F(－1，5).第38題解圖39.1【解析】如解圖，連接AG，EG，∵正方形ABCD的邊長為8，∴AB＝BC＝CD＝8，∠B＝∠C＝90°，∵E是CD的中點，∴CE＝4.設BG＝x，則CG＝8－x，在Rt△ABG中，AG2＝AB2＋BG2，即AG2＝82＋x2，在Rt△CEG中，EG2＝CE2＋CG2，即EG2＝42＋(8－x)2.∵HG垂直平分AE，∴AG＝EG，∴AG2＝EG2，∴82＋x2＝42＋(8－x)2，解得x＝1，即BG＝1.第39題解圖40.60，eq\r(3)【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴∠BAE＝∠DAF＝eq\f(1,2)×(90°－30°)＝30°，∴∠AEB＝∠AFD＝60°，∴BE＝eq\f(1,2)AE，如解圖，過點E作EG⊥AF于點G，∵∠BAE＝∠GAE，∴BE＝GE.∵S△AEF＝eq\f(1,2)AF·EG＝eq\f(1,2)×2BE·BE＝1，∴BE＝1(負值已舍去)，∴AB＝eq\r(3)BE＝eq\r(3).第40題解圖41.2【解析】如解圖，連接AP，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵點E是BC的中點，∴BE＝CE＝eq\f(1,2)BC＝3，根據折疊的性質，得AF＝AB＝6，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，∴AF＝AD，在Rt△APF和Rt△APD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AF＝AD,AP＝AP))，∴Rt△APF≌Rt△APD(HL)，∴DP＝FP.設DP＝FP＝x，則EP＝x＋3，CP＝6－x，在Rt△PEC中，根據勾股定理得CE2＋CP2＝EP2，即32＋(6－x)2＝(x＋3)2，解得x＝2，∴DP＝2.第41題解圖42.4eq\r(34)【解析】∵AN⊥EF，四邊形ABCD為正方形，∴∠AMF＝∠ADF＝90°，∴∠DAN＋∠AGM＝∠FGD＋∠GFD＝90°，∵∠AGM＝∠FGD，∴∠DAN＝∠GFD，設DN＝x，∵BE＝DF＝5，CN＝8，∴AD＝BC＝CD＝DN＋CN＝x＋8，EC＝BC－BE＝x＋8－5＝x＋3，CF＝CD＋DF＝x＋8＋5＝x＋13，在Rt△FEC中，tan∠GFD＝eq\f(EC,CF)＝eq\f(x＋3,x＋13)，在Rt△ADN中，tan∠DAN＝eq\f(DN,AD)＝eq\f(x,x＋8)，∵∠DAN＝∠GFD，∴tan∠GFD＝tan∠DAN，即eq\f(x＋3,x＋13)＝eq\f(x,x＋8)，解得x＝12，在Rt△AND中，∠ADN＝90°，AD＝x＋8＝12＋8＝20，DN＝x＝12，則AN＝eq\r(AD2＋DN2)＝4eq\r(34).【一題多解】如解圖，過點G作GH⊥BC于點H，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝DC＝BC＝GH，∠ADC＝∠AGH＝∠GHE＝90°，∴∠AGM＋∠EGH＝90°，∵AN⊥EF，∴∠NAD＋∠AGM＝90°，∴∠EGH＝∠NAD，在△GHE和△ADN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠GHE＝∠ADN，,GH＝AD，,∠EGH＝∠NAD，))∴△GHE≌△ADN(ASA)，∴HE＝DN.設DN＝x，則HE＝x，AD＝BC＝CD＝x＋8，CH＝GD＝BC－BE－EH＝3，CF＝CD＋DF＝x＋13，CE＝x＋3，∵tanF＝eq\f(GD,DF)＝eq\f(EC,CF)，∴eq\f(3,5)＝eq\f(x＋3,x＋13)，解得x＝12，∴DN＝12，AD＝20，∴在Rt△ADN中，AN＝eq\r(202＋122)＝4eq\r(34).第42題解圖43.(1)45；(2)eq\f(26,15)【解析】(1)∵△BEF為等腰直角三角形，∴BE＝FE，∠BEF＝90°，∵FG⊥AG，∴∠G＝90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠A＝90°，∴∠A＝∠G，∵∠AEB＋∠GEF＝∠GEF＋∠GFE＝90°，∴∠AEB＝∠GFE，∴△AEB≌△GFE(AAS)，∴AE＝GF，AB＝EG，又∵AD＝AB，∴EG＝AD，∴DG＝AE，∴DG＝GF，∴∠FDG＝45°；(2)如解圖①，過點F作FO⊥CD于點O，則四邊形DGFO為正方形，又∵DE＝1，DF＝2eq\r(2)，∴FO＝2，AD＝AE＋DE＝GF＋DE＝3，∴DC＝AD＝BC＝AB＝EG＝3，OD＝OF＝2，∴OC＝DC－DO＝1，∵FO∥AG，∴△EDM∽△FOM，∴eq\f(DM,OM)＝eq\f(DE,OF)＝eq\f(1,2)，∴DM＝eq\f(2,3)，∴OM＝eq\f(4,3)，∵FO∥BC，∴△OFN∽△CBN，∴eq\f(ON,CN)＝eq\f(OF,CB)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(ON,OC)＝eq\f(ON,ON＋CN)＝eq\f(2,5)，∴ON＝eq\f(2,5)，∴MN＝OM＋ON＝eq\f(4,3)＋eq\f(2,5)＝eq\f(26,15).第43題解圖①第43題解圖②【一題多解】解法一：如解圖②，延長BC交GF的延長線于點H，∵DE＝1，DF＝2eq\r(2)，∠FDG＝45°，∴DG＝FG＝2，∴AE＝DG＝2，∴AD＝AE＋DE＝3，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝3，∵DC∥GH，∠CDG＝∠DGH＝∠DCH＝90°，∴四邊形DCHG為矩形，∴CH＝DG＝2，FH＝GH－GF＝DC－GF＝1，∴△EDM∽△EGF，△BCN∽△BHF，∴eq\f(ED,EG)＝eq\f(DM,GF)，eq\f(BC,BH)＝eq\f(NC,FH)，即eq\f(1,3)＝eq\f(DM,2)，eq\f(3,5)＝eq\f(NC,1)，∴DM＝eq\f(2,3)，NC＝eq\f(3,5)，∴MN＝DC－DM－NC＝3－eq\f(2,3)－eq\f(3,5)＝eq\f(26,15).解法二：由(1)得AE＝GF，AB＝GE，∵DE＝1，DF＝2eq\r(2)，∠FDG＝45°，∴AE＝GF＝2，∴AB＝AD＝GE＝3，如解圖③，以點D為坐標原點，建立平面直角坐標系，∴B(－3，－3)，F(2，－2)，E(－1，0)，設直線BF的解析式為y1＝k1x