專題04一元二次方程的解法（因式分解法）（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)4種題型2個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)中考2種考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)五種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：因式分解法（重難點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2：靈活運(yùn)用合適的方法解一元二次方程（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1：利用因式分解法解一元二次方程（1）利用提公因式法（2）利用平方差公式（3）利用完全平方公式（4）十字相乘法因式分解題型2：選擇合適的方法解一元二次方程題型3：一題多解——解一元二次方程題型4：由兩方程的公共根求方程中字母的值【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1：在方程兩邊同時(shí)除以含有未知數(shù)的式子，導(dǎo)致丟根。易錯(cuò)點(diǎn)2：用因式分解法解一元二次方程時(shí)，忽略整體取值范圍導(dǎo)致出錯(cuò)【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：用因式分解法解一元二次方程考法2：解一元二次方程與三角形綜合【方法五】成果評(píng)定法【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：因式分解法（重難點(diǎn)）（1）用因式分解法解一元二次方程的步驟①將方程右邊化為0；

②將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；

③令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；

④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要點(diǎn)詮釋：

（1）能用分解因式法來(lái)解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個(gè)一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個(gè)因式的積為0，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.知識(shí)點(diǎn)2：靈活運(yùn)用合適的方法解一元二次方程（難點(diǎn)）例1.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（2）；（3）；（4）．【方法二】實(shí)例探索法題型1：利用因式分解法解一元二次方程利用提公因式法例2.方程：的較小的根是（ ）A． B． C． D．例3.解關(guān)于的方程（因式分解方法）：（1）；（2）．（2）利用平方差公式例4.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．例5.解關(guān)于的一元二次方程：．（3）利用完全平方公式例6.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；十字相乘法因式分解例7.用合適的方法解下列關(guān)于的方程：（1）；（2）；題型2：選擇合適的方法解一元二次方程例8.解關(guān)于的方程（合適的方法）：（1）；（2）．例9.解關(guān)于的方程（合適的方法）：（1）；（2）．題型3：一題多解——解一元二次方程例10.(2023秋?昆都侖區(qū)期末）解方程：x2+2x＝3．（用兩種方法解方程）題型4：由兩方程的公共根求方程中字母的值例11.方程的解相同，求的值．例12.已知方程有共同的根是，求a的值．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1：在方程兩邊同時(shí)除以含有未知數(shù)的式子，導(dǎo)致丟根。例13.解關(guān)于的方程：（1）；（2）（3）． 易錯(cuò)點(diǎn)2：用因式分解法解一元二次方程時(shí)，忽略整體取值范圍導(dǎo)致出錯(cuò)例14.如果，請(qǐng)你求出的值．【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：用因式分解法解一元二次方程1．(2023?臨沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（）A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝﹣4 C．x1＝﹣6，x2＝4 D．x1＝﹣6，x2＝﹣42．(2023?包頭）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1?x22的值為（）A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或63．(2023?天津）方程x2+4x+3＝0的兩個(gè)根為（）A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣34．(2023?梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是．5．(2023?云南）方程2x2+1＝3x的解為．6．(2023?涼山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．7．(2023?貴陽(yáng)）（1）a，b兩個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示．用“＜”或“＞”填空：ab，ab0；（2）在初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法；它們分別是配方法、公式法和因式分解法，請(qǐng)從下列一元二次方程中任選兩個(gè)，并解這兩個(gè)方程．①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．考法2：解一元二次方程與三角形綜合8．(2023?雅安）若直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是方程x2﹣7x+12＝0的兩根，則該直角三角形的面積是（）A．6 B．12 C．12或 D．6或9．(2023?黔西南州）三角形兩邊的長(zhǎng)分別為2和5，第三邊的長(zhǎng)是方程x2﹣8x+15＝0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為．10．(2023?廣安）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，第三邊長(zhǎng)是方程x2﹣6x+8＝0的根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為．【方法五】成果評(píng)定法一、單選題1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程的根為（

）A．或 B．或 C．或 D．2．(2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）已知，則的值為（）A．0 B．4 C．4或 D．3．(2023秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校考期中）解方程）最適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ牵ǎ〢．直接開(kāi)方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法4．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）方程的解是（

）A． B．C． D．5．（2011秋·江蘇·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，，且，則的值為（）A．4 B． C．或1 D．或4二、填空題6．(2023秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如果滿足一元二次方程，則代數(shù)式的值是______．7．(2023秋·江蘇·九年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考周測(cè)）已知關(guān)于x的方程（a、m、p為常數(shù)，）的解是，，那么方程的解為_(kāi)___．8．(2023秋·江蘇連云港·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知是一元二次方程的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是______．9．(2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為，則______．10．(2023秋·江蘇南京·九年級(jí)校考期中）已知一元二次方程的兩個(gè)根分別是的兩邊長(zhǎng)，則第3條邊長(zhǎng)___________．11．(2023春·江蘇淮安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別是方程兩根，求此等腰三角形的周長(zhǎng)_____．12．（2023秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）三角形兩邊的長(zhǎng)為3和4，第三邊長(zhǎng)是方程的根，則該三角形的周長(zhǎng)是______．三、解答題13．(2023秋·江蘇鹽城·九年級(jí)濱海縣第一初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）解方程．(1)；(2)．14．(2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）解下列方程(1)(2)(3)15．(2023秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：(1)(2)16．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?1)；(2)．17．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）定義一種新的運(yùn)算方式：（其中且n是整數(shù)），例如，．(1)若，求n的值；(2)記，當(dāng)時(shí)，求n的取值范圍．18．(2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的一種極其重要的數(shù)學(xué)思想，實(shí)質(zhì)是把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)，把未知轉(zhuǎn)化為已知，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題．例如，解方程x4－3x2－4＝0時(shí)，我們就可以通過(guò)換元法，設(shè)x2＝y(tǒng)，將原方程轉(zhuǎn)化為y2－3y－4＝0，解方程得到y(tǒng)1＝－1，y2＝4，因?yàn)閤2＝y(tǒng)≥0，所以y＝－1舍去，所以得到x2＝4，所以x1＝2，x2＝－2．請(qǐng)參考例題解法，解方程：．19．(2023秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，回答問(wèn)題：解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)椋獾茫?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；原方程有四個(gè)根：，，，．仿照上面方法，解方程：．20．(2023秋·江蘇南京·九年級(jí)南師附中樹(shù)人學(xué)校校考階段練習(xí)）閱讀下面的材料，回答問(wèn)題：(1)將關(guān)于x的一元二次方程+bx+c＝0變形為＝﹣bx﹣c，就可以將x2表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，我們稱這樣的方法為“降次法”．已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______．(2)解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)＝y(tǒng)，那么，于是原方程可變?yōu)椋?），解得＝1，＝4．當(dāng)y＝1時(shí)，＝1，∴x＝±1；當(dāng)y＝4時(shí)，＝4，∴x＝±2；∴原方程有四個(gè)根．請(qǐng)你用（2）中的方法求出方程的實(shí)數(shù)解．21．(2023秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，解決問(wèn)題：解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)椋獾茫?dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴；∴原方程有四個(gè)根：，，，．請(qǐng)參照例題，解方程．22．(2023秋·江蘇南京·九年級(jí)校考階段練習(xí)）解題時(shí)，最容易想到的方法未必是最簡(jiǎn)單的，你可以再想一想，盡量?jī)?yōu)化解法．【例題呈現(xiàn)】關(guān)于x的方程的解是，（均為常數(shù)，），則方程的解是．【解法探討】（1）小明的思路如圖所示，請(qǐng)你按照他的思路解決這個(gè)問(wèn)題：（2）小紅仔細(xì)觀察兩個(gè)方程，她把第二個(gè)方程中的“”看做第一個(gè)方程中的“x”，則“”的值為，從而更簡(jiǎn)單地解決了問(wèn)題．【策略應(yīng)用】（3）小明和小紅認(rèn)真思考后認(rèn)為，利用方程結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，就能輕松解決以下問(wèn)題，請(qǐng)用他們說(shuō)的方法解決如下問(wèn)題：已知，求出的值．23．(2023秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，回答問(wèn)題：解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常采用換元法降次：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)椋獾茫?dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴；∴原方程有四個(gè)根：，，，．仿照上述換元法解下列方程：．24．(2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考期末）閱讀下列材料：為解方程可將方程變形為然后設(shè)，則，原方程化為①，解①得，．當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，舍去；當(dāng)時(shí)，，解得；∴原方程的解為，；上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題．利用以上學(xué)習(xí)到的方法解下列方程：（1）；（2）．25．(2023秋·江蘇常州·九年級(jí)常州市北郊高級(jí)中學(xué)校考期中）我們知道，解一元二次方程，可以把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解，其實(shí)用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想我們還可以解一些新的方程例如一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通過(guò)因式分解把它轉(zhuǎn)化為x（x2+x﹣2）＝0，通過(guò)解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝．（2）用“轉(zhuǎn)化”的思想求方程＝x的解．（3）試直接寫(xiě)出的解．26．(2023秋·江蘇·九年級(jí)期中）【閱讀材料】求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為的形式．求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)解；類似的，求解三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組；求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解；求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來(lái)解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個(gè)共同的基本數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知．用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通過(guò)因式分解把它轉(zhuǎn)化為，解方程和，可得方程的解．【直接應(yīng)用】方程的解是，________，________．【類比遷移】解方程：．【問(wèn)題解決】如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，若，求的長(zhǎng)．27．(2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)泰州市第二中學(xué)附屬初中校考期中）假如我們規(guī)定符號(hào)表示兩個(gè)數(shù)中較小的一個(gè)，表示兩個(gè)數(shù)中較大的一個(gè)，例如：，，，．(1)已知，求的值．(2)已知代數(shù)式值為1，試說(shuō)明當(dāng)是常數(shù)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)使得代數(shù)式與代數(shù)式的值相等，如存在，求出的值（用含的式子表示），如不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)，且平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)，滿足（為常數(shù)），求的取值范圍．專題04一元二次方程的解法（因式分解法）（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)4種題型2個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)中考2種考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)五種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：因式分解法（重難點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2：靈活運(yùn)用合適的方法解一元二次方程（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1：利用因式分解法解一元二次方程（1）利用提公因式法（2）利用平方差公式（3）利用完全平方公式（4）十字相乘法因式分解題型2：選擇合適的方法解一元二次方程題型3：一題多解——解一元二次方程題型4：由兩方程的公共根求方程中字母的值【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1：在方程兩邊同時(shí)除以含有未知數(shù)的式子，導(dǎo)致丟根。易錯(cuò)點(diǎn)2：用因式分解法解一元二次方程時(shí)，忽略整體取值范圍導(dǎo)致出錯(cuò)【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：用因式分解法解一元二次方程考法2：解一元二次方程與三角形綜合【方法五】成果評(píng)定法【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：因式分解法（重難點(diǎn)）（1）用因式分解法解一元二次方程的步驟①將方程右邊化為0；

②將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；

③令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；

④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要點(diǎn)詮釋：

（1）能用分解因式法來(lái)解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個(gè)一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個(gè)因式的積為0，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.知識(shí)點(diǎn)2：靈活運(yùn)用合適的方法解一元二次方程（難點(diǎn)）例1.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（2）；（3）；（4）．答案:（1）；（2）；（3）；（4）．解析：（1）（2），②，，解得：；解得：；（3）整理得：（4）∵原方程是一元二次方程，，，，解得：；，解得：．【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰當(dāng)選擇．【方法二】實(shí)例探索法題型1：利用因式分解法解一元二次方程利用提公因式法例2.方程：的較小的根是（ ）A． B． C． D．答案:A解析：提公因式，得：，整理得：，∴，∵，故選擇D．【總結(jié)】本題考查了因式分解法解一元二次方程．例3.解關(guān)于的方程（因式分解方法）：（1）；（2）．答案:（1）；（2）．解析：（1）（2）①②∴；②∴．【總結(jié)】本題考查了因式分解法解一元二次方程．（2）利用平方差公式例4.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．【答案與解析】(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴2x-2＝0或2x+8＝0，∴x1＝1，x2＝-4．例5.解關(guān)于的一元二次方程：．答案:．解析：移項(xiàng)，得：，，，，，解得：．【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的解法，當(dāng)系數(shù)比較大時(shí)，要注意尋找規(guī)律進(jìn)行變型求解．（3）利用完全平方公式例6.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；【答案與解析】(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即，∴．十字相乘法因式分解例7.用合適的方法解下列關(guān)于的方程：（1）；（2）；答案:（1）；（2）；解析：（1），，解得：；（2），解得：；【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的解法．題型2：選擇合適的方法解一元二次方程例8.解關(guān)于的方程（合適的方法）：（1）；（2）．答案:（1）；（2）．解析：（1）因式分解法（2）直接開(kāi)方法①②∴；∴．【總結(jié)】本題考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的寫(xiě)法！例9.解關(guān)于的方程（合適的方法）：（1）；（2）．答案:（1）；（2）．解析：（1）因式分解法（2）把看作一個(gè)整體，因式分解①②∴；②∴．【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的解法，注意整體意識(shí)的建立．題型3：一題多解——解一元二次方程例10.(2023秋?昆都侖區(qū)期末）解方程：x2+2x＝3．（用兩種方法解方程）分析：利用因式分解法和配方法求解即可．【解答】解：解法一：x2+2x＝3，x2+2x﹣3＝0，（x+3）（x﹣1）＝0，x+3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1；解法二：x2+2x＝3，x2+2x+1＝3+1，（x+1）2＝4，x+1＝±2，x+1＝2或x+1＝﹣2，解得x1＝﹣3，x2＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和配方法是解答本題的關(guān)鍵．題型4：由兩方程的公共根求方程中字母的值例11.方程的解相同，求的值．答案:12．解析：由已知得兩個(gè)方程是同一個(gè)方程，將左右兩邊同時(shí)乘以3，得：，∴．【總結(jié)】本題考查了方程的解的概念．例12.已知方程有共同的根是，求a的值．答案:．解析：將代入，得：，×2+②，得：，解得：．【總結(jié)】本題考查了方程的解的概念．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1：在方程兩邊同時(shí)除以含有未知數(shù)的式子，導(dǎo)致丟根。例13.解關(guān)于的方程：（1）；（2）（3）． 答案:（1），；（2）當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，原方程有無(wú)數(shù)解；（3）當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．解析：（1），，∴，；①當(dāng)即時(shí)，原方程是一元二次方程∴，；②當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，原方程是一元一次方程；③當(dāng)，等式恒成立，原方程有無(wú)數(shù)解；綜上：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，原方程有無(wú)數(shù)解；（3）整理得：①當(dāng)即時(shí)，原方程是一元二次方程∴，；②當(dāng)時(shí)，原方程為：，解得：；③當(dāng)時(shí)，原方程為：，解得：；綜上：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；【總結(jié)】本題考查了含參數(shù)一元二次方程的解法，一定要分類討論！是一元二次方程時(shí)，一般利用因式分解法．易錯(cuò)點(diǎn)2：用因式分解法解一元二次方程時(shí)，忽略整體取值范圍導(dǎo)致出錯(cuò)例14.如果，請(qǐng)你求出的值．【答案與解析】設(shè)，∴z(z-2)＝3．整理得：，∴(z-3)(z+1)＝0．∴z1＝3，z2＝-1．∵，∴z＝-1(不合題意，舍去)∴z＝3．即的值為3．【總結(jié)升華】如果把視為一個(gè)整體，則已知條件可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)一元二次方程的形式，用因式分解法可以解這個(gè)一元二次方程．此題看似求x、y的值，然后計(jì)算，但實(shí)際上如果把看成一個(gè)整體，那么原方程便可化簡(jiǎn)求解。這里巧設(shè)再求z值，從而求出的值實(shí)際就是換元思想的運(yùn)用．易錯(cuò)提示:忽視，而得或．【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：用因式分解法解一元二次方程1．(2023?臨沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（）A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝﹣4 C．x1＝﹣6，x2＝4 D．x1＝﹣6，x2＝﹣4分析：利用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：x2﹣2x﹣24＝0，（x﹣6）（x+4）＝0，x﹣6＝0或x+4＝0，解得x1＝6，x2＝﹣4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法因式分解是解答本題的關(guān)鍵．2．(2023?包頭）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1?x22的值為（）A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或6分析：先用因式分解法解出方程，然后分情況討論，然后計(jì)算．【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x＝3或x＝﹣1，①x1＝3，x2＝﹣1時(shí)，＝3，②x1＝﹣1，x2＝3時(shí)，＝﹣9，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，掌握因式分解法解出方程的步驟，分情況討論是解題關(guān)鍵．3．(2023?天津）方程x2+4x+3＝0的兩個(gè)根為（）A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3分析：根據(jù)解一元二次方程﹣因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：x2+4x+3＝0，（x+3）（x+1）＝0，x+3＝0或x+1＝0，x1＝﹣3，x2＝﹣1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解題的關(guān)鍵．4．(2023?梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是x1＝2，x2＝﹣7．分析：利用解一元二次方程﹣因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（x﹣2）（x+7）＝0，x﹣2＝0或x+7＝0，x1＝2，x2＝﹣7，故答案為：x1＝2，x2＝﹣7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解題的關(guān)鍵．5．(2023?云南）方程2x2+1＝3x的解為x1＝1，x2＝．分析：方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：2x2+1＝3x，2x2﹣3x+1＝0，（x﹣1）（2x﹣1）＝0，解得：x1＝1，x2＝．故答案為：x1＝1，x2＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：掌握十字相乘法解方程是本題的關(guān)鍵．6．(2023?涼山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．分析：通過(guò)觀察方程形式，本題可用因式分解法進(jìn)行解答．【解答】解：原方程可以變形為（x﹣3）（x+1）＝0x﹣3＝0或x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】熟練運(yùn)用因式分解法解一元二次方程．注意：常數(shù)項(xiàng)應(yīng)分解成兩個(gè)數(shù)的積，且這兩個(gè)的和應(yīng)等于一次項(xiàng)系數(shù)．7．(2023?貴陽(yáng)）（1）a，b兩個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示．用“＜”或“＞”填空：a＜b，ab＜0；（2）在初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法；它們分別是配方法、公式法和因式分解法，請(qǐng)從下列一元二次方程中任選兩個(gè)，并解這兩個(gè)方程．①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．分析：（1）先根據(jù)數(shù)軸確定a、b的正負(fù)，再利用乘法法則確定ab；（2）根據(jù)方程的系數(shù)特點(diǎn)，選擇配方法、公式法或因式分解法．【解答】解：（1）由數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)知：a＜0＜b，∴a＜b，ab＜0．故答案為：＜，＜．（2）①利用公式法：x2+2x﹣1＝0，Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝4+4＝8，∴x＝＝＝＝﹣1±．∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；②利用因式分解法：x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0．∴x1＝0，x2＝3；③利用配方法：x2﹣4x＝4，兩邊都加上4，得x2﹣4x+4＝8，∴（x﹣2）2＝8．∴x﹣2＝±2．∴x1＝2+2，x2＝2﹣2；④利用因式分解法：x2﹣4＝0，∴（x+2）（x﹣2）＝0．∴x1＝﹣2，x2＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)軸、一元二次方程的解法，掌握數(shù)軸的意義、一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．考法2：解一元二次方程與三角形綜合8．(2023?雅安）若直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是方程x2﹣7x+12＝0的兩根，則該直角三角形的面積是（）A．6 B．12 C．12或 D．6或分析：先解出方程x2﹣7x+12＝0的兩個(gè)根為3和4，再分長(zhǎng)是4的邊是直角邊和斜邊兩種情況進(jìn)行討論，然后根據(jù)直角三角形的面積公式即可求解．【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，∴x＝3或x＝4．①當(dāng)長(zhǎng)是4的邊是直角邊時(shí)，該直角三角形的面積是×3×4＝6；②當(dāng)長(zhǎng)是4的邊是斜邊時(shí)，第三邊是＝，該直角三角形的面積是×3×＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法，三角形的面積，正確求解方程的兩根，能夠分兩種情況進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵．9．(2023?黔西南州）三角形兩邊的長(zhǎng)分別為2和5，第三邊的長(zhǎng)是方程x2﹣8x+15＝0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為12．分析：先求出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷能否組成三角形，最后求出三角形的周長(zhǎng)即可．【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0得：x＝3或5，當(dāng)?shù)谌厼?時(shí)，2+3＝5，不符合三角形三邊關(guān)系定理，不能組成三角形，舍去；當(dāng)?shù)谌厼?時(shí)，符合三角形三邊關(guān)系定理，能組成三角形，此時(shí)三角形的周長(zhǎng)是2+5+5＝12，故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，三角形的三邊關(guān)系定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出方程的解是解此題的關(guān)鍵．10．(2023?廣安）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，第三邊長(zhǎng)是方程x2﹣6x+8＝0的根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為12．分析：先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，然后利用三角形三邊的關(guān)系得到三角形第三邊的長(zhǎng)為4，從而得到計(jì)算三角形的周長(zhǎng)．【解答】解：x2﹣6x+8＝0，（x﹣2）（x﹣4）＝0，x﹣2＝0或x﹣4＝0，所以x1＝2，x2＝4，若三角形第三邊長(zhǎng)為2，而2+3＝5，不符合三角形三邊的關(guān)系舍去；若三角形第三邊長(zhǎng)為3，而4+3＞5，符合三角形三邊的關(guān)系舍去；所以三角形第三邊的長(zhǎng)為4，所以三角形的周長(zhǎng)為3+4+5＝12．故答案為12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．也考查了三角形三邊的關(guān)系．【方法五】成果評(píng)定法一、單選題1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程的根為（

）A．或 B．或 C．或 D．答案:B分析：根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】解：∴或，解得：或，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．2．(2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）已知，則的值為（）A．0 B．4 C．4或 D．答案:B分析：令，原式化為，解關(guān)于的一元二次方程，即可求解．【詳解】令，，原式化為，即∴解得：或（舍去）故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．3．(2023秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校考期中）解方程）最適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ牵ǎ〢．直接開(kāi)方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法答案:D分析：方程的兩邊都有因式，分析可知分解因式法最為合適．【詳解】解：可化為：故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程——直接開(kāi)平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟練掌握解一元二次方程時(shí)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）方程的解是（

）A． B．C． D．答案:A分析：方程運(yùn)用因式分解法求出方程的解即可．【詳解】解：∴∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．5．（2011秋·江蘇·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，，且，則的值為（）A．4 B． C．或1 D．或4答案:A分析：將與的值代入，以為整體，求出它的值即可．【詳解】解：，，，，，解得或4，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵注意．二、填空題6．(2023秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如果滿足一元二次方程，則代數(shù)式的值是______．答案:或分析：解一元二次方程，求出根，代入計(jì)算即可．【詳解】解：一元二次方程的解為，，∴或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解，代入求值，掌握解一元二次方程，代入求值，有理數(shù)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．7．(2023秋·江蘇·九年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考周測(cè)）已知關(guān)于x的方程（a、m、p為常數(shù)，）的解是，，那么方程的解為_(kāi)___．答案:，/，分析：理解方程解的含義，在中解是x，則在中解是，進(jìn)行換元計(jì)算即可．【詳解】解：關(guān)于x的方程（a、m、p為常數(shù)，）的解是，，方程變形為，即此方程中的或，解得，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，掌握如何換元是解題的關(guān)鍵．8．(2023秋·江蘇連云港·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知是一元二次方程的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是______．答案:分析：將代入，解得，即得出原一元二次方程為，再根據(jù)因式分解法解方程即得出方程的另一個(gè)根．【詳解】將代入，得：，解得：，∴原一元二次方程為，，解得：，∴方程的另一個(gè)根是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解和解一元二次方程．掌握方程的解就是使方程成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵．9．(2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為，則______．答案:分析：直接利用常數(shù)項(xiàng)為0，得出關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，再根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵常數(shù)項(xiàng)為0，∴，解得：或2，又∵，即，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，解一元二次方程以及一元二次方程的定義，正確解方程是解題關(guān)鍵．10．(2023秋·江蘇南京·九年級(jí)校考期中）已知一元二次方程的兩個(gè)根分別是的兩邊長(zhǎng)，則第3條邊長(zhǎng)___________．答案:或4/4或分析：先解方程求出一元二次方程的兩個(gè)根是3和5，再分兩種情況：當(dāng)3和5都是直角邊時(shí)；當(dāng)5是斜邊長(zhǎng)時(shí)；分別利用勾股定理計(jì)算出第三邊長(zhǎng)即可．【詳解】解∶，解得，當(dāng)3和5都是直角邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)為∶；當(dāng)5是斜邊長(zhǎng)時(shí)，第三邊長(zhǎng)為：．故答案為∶或4．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解一元二次方程-因式分解法，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是當(dāng)已知條件中沒(méi)有明確哪是斜邊時(shí)，要注意討論，一些學(xué)生往往忽略這一點(diǎn)，造成丟解．11．(2023春·江蘇淮安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別是方程兩根，求此等腰三角形的周長(zhǎng)_____．答案:11或13/13或11分析：先利用因式分解法解得到，，然后分類討論：當(dāng)腰為3，底邊為5或當(dāng)腰為5，底邊為3，再分別計(jì)算三角形的周長(zhǎng)．【詳解】解：，，所以，，當(dāng)腰為3，底邊為5時(shí)，三角形的周長(zhǎng)；當(dāng)腰為5，底邊為3時(shí)，三角形的周長(zhǎng)．故答案為：11或13．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．也考查了等腰三角形的定義和三角形三邊的關(guān)系．12．（2023秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）三角形兩邊的長(zhǎng)為3和4，第三邊長(zhǎng)是方程的根，則該三角形的周長(zhǎng)是______．答案:9分析：求出方程的解，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系看是否能組成三角形，再求出三角形的周長(zhǎng)即可．【詳解】解：，∴，∴，∴，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理，能組成三角形，不能組成三角形，當(dāng)?shù)谌叺拈L(zhǎng)是2時(shí)，周長(zhǎng)，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)三角形的三邊關(guān)系定理，解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能求出第三邊的長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵．三、解答題13．(2023秋·江蘇鹽城·九年級(jí)濱海縣第一初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）解方程．(1)；(2)．答案:(1)(2)分析：（1）先移項(xiàng)，然后根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解；（2）先移項(xiàng)，然后根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：，，解得：；（2）解：解得：，即，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．14．(2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）解下列方程(1)(2)(3)答案:(1)，(2)，(3)，分析：（1）利用因式分解法解方程；（2）利用配方法得到，然后利用直接開(kāi)平方法解方程；（3）利用因式分解法解方程．【詳解】（1）解：，，，，或，∴，；（2），，，，∴，；（3），，或，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程—因式分解法：先把方程的右邊化為，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．15．(2023秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：(1)(2)答案:(1)，(2)，分析：（1）因式分解法解一元二次方程即可；（2）因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，；（2）解：∵，∴，即：，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程．熟練掌握因式分解法解一元二次方程，是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?1)；(2)．答案:(1)(2)分析：（1）利用配方法解方程即可；（2）先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解方程即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴，解得；（2）解：∵，∴，∴，∴或，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．17．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）定義一種新的運(yùn)算方式：（其中且n是整數(shù)），例如，．(1)若，求n的值；(2)記，當(dāng)時(shí)，求n的取值范圍．答案:(1)10(2)且n是整數(shù)分析：根據(jù)新定義可得，解出，即可；（2）根據(jù)新定義可得，解出，即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，即，解得：或，∵且n是整數(shù)，∴；（2）根據(jù)題意得：，∵，∴，即，∴，解得：或，∵且n是整數(shù)，∴且n是整數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解新定義是解題的關(guān)鍵．18．(2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的一種極其重要的數(shù)學(xué)思想，實(shí)質(zhì)是把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)，把未知轉(zhuǎn)化為已知，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題．例如，解方程x4－3x2－4＝0時(shí)，我們就可以通過(guò)換元法，設(shè)x2＝y(tǒng)，將原方程轉(zhuǎn)化為y2－3y－4＝0，解方程得到y(tǒng)1＝－1，y2＝4，因?yàn)閤2＝y(tǒng)≥0，所以y＝－1舍去，所以得到x2＝4，所以x1＝2，x2＝－2．請(qǐng)參考例題解法，解方程：．答案:x1＝1，x2＝－4分析：利用題中給出的方法設(shè)=y，把方程轉(zhuǎn)化為含y的一元二次方程，求出y的值，再求解無(wú)理方程，求出x的值．【詳解】解：設(shè)＝y(tǒng)，則x2＋3x=y2，原方程可化為：y2－y－2＝0，∴y1＝－1，y2＝2，∵＝y(tǒng)≥0，∴y1＝－1舍去，∴＝2，∴x2＋3x＝4，∴x2＋3x－4＝0，∴x1＝1，x2＝－4．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程及換元法，掌握換元法的一般步驟是解決本題的關(guān)鍵，換元法的一般步驟：設(shè)元(未知數(shù))，換元，解元，還原四步．19．(2023秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，回答問(wèn)題：解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)椋獾茫?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；原方程有四個(gè)根：，，，．仿照上面方法，解方程：．答案:，．分析：設(shè)x2+3x=y，則原方程變?yōu)閥2+4y+3=0，求出y=-1，或y=-3，再分別解方程即可．【詳解】解：設(shè)x2+3x=y，則原方程變?yōu)閥2+4y+3=0，∴（y+1）（y+3）=0，解得y=-1，或y=-3，當(dāng)y=-1時(shí)，x2+3x=-1，即x2+3x+1=0，解得x=，當(dāng)y=-3時(shí)，x2+3x=-3，即x2+3x+3=0，因?yàn)?=32-4×3<0，所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，舍去；∴原方程有兩個(gè)根：，．【點(diǎn)睛】此題考查了換元法解一元二次方程，正確理解已知中的解題方法并仿照解題是解題的關(guān)鍵．20．(2023秋·江蘇南京·九年級(jí)南師附中樹(shù)人學(xué)校校考階段練習(xí)）閱讀下面的材料，回答問(wèn)題：(1)將關(guān)于x的一元二次方程+bx+c＝0變形為＝﹣bx﹣c，就可以將x2表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，我們稱這樣的方法為“降次法”．已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______．(2)解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)＝y(tǒng)，那么，于是原方程可變?yōu)椋?），解得＝1，＝4．當(dāng)y＝1時(shí)，＝1，∴x＝±1；當(dāng)y＝4時(shí)，＝4，∴x＝±2；∴原方程有四個(gè)根．請(qǐng)你用（2）中的方法求出方程的實(shí)數(shù)解．答案:(1)2022(2)，分析：（1）根據(jù)題目所提供的方法即可求出答案；（2）根據(jù)換元法即可求解．（1）解：∵﹣x﹣1＝0，∴＝x+1，∴﹣3x+2020＝＝﹣x+2021＝x+1﹣x+2021＝2022．故答案為：2022；（2）解：設(shè)+x＝y(tǒng)，那么，于是原方程可變?yōu)椋獾茫僵?，＝4．當(dāng)y＝﹣2時(shí)，+x+2＝0，Δ＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴方程無(wú)解；當(dāng)y＝4時(shí)，+x﹣4＝0，∴x＝；∴原方程有兩個(gè)根：x1＝，x2＝．【點(diǎn)睛】本題考查了降次法求代數(shù)式的值和換元法解一元二次方程，能夠降次是解此題的關(guān)鍵．21．(2023秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，解決問(wèn)題：解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)椋獾茫?dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴；∴原方程有四個(gè)根：，，，．請(qǐng)參照例題，解方程．答案:；分析：仿照例題，設(shè)，則，再解一元二次方程即可．【詳解】解：設(shè)，則，∴原方程可變?yōu)椋獾茫?dāng)時(shí)，，∴；；當(dāng)時(shí)，，∴此方程無(wú)解；∴原方程有兩個(gè)根：；．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程，正確掌握解一元二次方程的解法及理解題意是解題的關(guān)鍵．22．(2023秋·江蘇南京·九年級(jí)校考階段練習(xí)）解題時(shí)，最容易想到的方法未必是最簡(jiǎn)單的，你可以再想一想，盡量?jī)?yōu)化解法．【例題呈現(xiàn)】關(guān)于x的方程的解是，（均為常數(shù)，），則方程的解是．【解法探討】（1）小明的思路如圖所示，請(qǐng)你按照他的思路解決這個(gè)問(wèn)題：（2）小紅仔細(xì)觀察兩個(gè)方程，她把第二個(gè)方程中的“”看做第一個(gè)方程中的“x”，則“”的值為，從而更簡(jiǎn)單地解決了問(wèn)題．【策略應(yīng)用】（3）小明和小紅認(rèn)真思考后認(rèn)為，利用方程結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，就能輕松解決以下問(wèn)題，請(qǐng)用他們說(shuō)的方法解決如下問(wèn)題：已知，求出的值．答案:（1）；（2）1或；（3）5分析：（1）把分別代入原方程求得，于是得到原方程為：，求得，將和代入第2個(gè)方程，于是可得到結(jié)論；（2）把第二個(gè)方程中的“”看作第一個(gè)方程中的“x”，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)原方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)得到，再根據(jù)因式分解法解方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）把x1=1，x2=-2分別代入原方程得，，解得：，∴原方程為：，∴，將和代入第2個(gè)方程得，，解得：；故答案為：；（2）把第二個(gè)方程中的“”看作第一個(gè)方程中的“x”，則的值為1或；故答案為：1或；（3）∴∵∴【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的定義，因式分解法解一元二次方程，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．23．(2023秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，回答問(wèn)題：解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常采用換元法降次：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)椋獾茫?dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴；∴原方程有四個(gè)根：，，，．仿照上述換元法解下列方程：．答案:，分析：設(shè)，則原方程可變?yōu)椋靡蚴椒纸夥ń獾茫?dāng)時(shí)，，即，利用判別式可判斷此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，利用求根公式法解得，從而得到原方程的2個(gè)根．【詳解】解：，設(shè)，原方程可變?yōu)椋獾茫?dāng)時(shí)，，即，因?yàn)椋匠虥](méi)有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，，解得．∴原方程有2個(gè)根：，．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立．也考查了解一元二次方程和換元法的思想．24．(2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考期末）閱讀下列材料：為解方程可將方程變形為然后設(shè)，則，原方程化為①，解①得，．當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，舍去；當(dāng)時(shí)，，解得；∴原方程的解為，；上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題．利用以上學(xué)習(xí)到的方法解下列方程：（1）；（2）．答案:（1）