§20.1薛定諤方程(SchrodingerEquation)描述粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)和粒子所處條件的關(guān)系首先由薛定諤得出，稱為薛定諤方程。一．動(dòng)量為P、能量為E的自由粒子的薛定諤方程的建立一維自由粒子物質(zhì)波的波函數(shù):第20章薛定諤方程分別對x和t求導(dǎo)

（算符表示）1對一維自由粒子：可得一維自由粒子的薛定諤方程：整理后得能量E和動(dòng)量p的算符表示：三維的：2一維自由粒子的薛定諤方程式中：稱為拉普拉斯算符三維自由粒子的薛定諤方程二．薛定諤一般方程當(dāng)粒子處在勢場中時(shí)，粒子的能量：與上同樣推導(dǎo)：非自由粒子的薛定諤方程引入哈密頓算符：薛定諤一般方程3三．定態(tài)薛定諤方程（StationaryStateSchrodingerEquation）一般地勢場：當(dāng)勢場僅僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)時(shí)，相應(yīng)的波函數(shù)可分解為：此時(shí)微觀粒子所處的狀態(tài)稱為定態(tài)；波函數(shù)稱為定態(tài)波函數(shù)。滿足的方程即是定態(tài)薛定諤方程。薛定諤一般方程：4代入薛定諤一般方程：得（1）（2）兩邊同除=E5定態(tài)薛定諤方程定態(tài)波函數(shù)

波函數(shù)必須是時(shí)間、坐標(biāo)的單值、有限、連續(xù)函數(shù)，這稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。在整個(gè)空間粒子的概率分布是不隨時(shí)間變化的，這就是定態(tài)（穩(wěn)定的態(tài)）的含義。由(1)式可得：由(2)式可得：

6量子力學(xué)處理問題的方法1.分析、找到粒子在勢場中的勢能函數(shù)U，寫出薛定諤方程。2.求解

，并根據(jù)初始條件、邊界條件和歸一化條件確定常數(shù)。3.由

2

得出粒子在不同時(shí)刻、不同區(qū)域出現(xiàn)的概率或具有不同動(dòng)量、不同能量的概率。72.定態(tài)薛定諤方程:令：得

阱內(nèi)：§20.2一維定態(tài)問題一.一維無限深勢阱中的粒子(ParticlesintheOne-dimensioninfinitepotentialwell)

阱外：

必有1.勢函數(shù)(Potentialenergy)

0xU(x)=0

aU83.分區(qū)求通解（B

0）

4.由波函數(shù)自然條件和邊界條件定特解0xU(x)=0

a

阱外：

阱內(nèi)：（這里：）(A和B系數(shù)待定)方程解：9(1)能量本征值（energyeigenvalues)得：

能量取分立值,每一個(gè)值對應(yīng)一個(gè)能級

當(dāng)時(shí)，量子化能量轉(zhuǎn)為連續(xù)能量

最低能量(零點(diǎn)能或基態(tài))En能量或能級是量子化的能量本征值主量子數(shù)波動(dòng)性(Principlequantumnumber)10(2)本征函數(shù)(eigenfunction)由歸一化波函數(shù)求系數(shù)B：能量的本征函數(shù)含時(shí)的能量本征函數(shù)由每個(gè)本征函數(shù)所描述的粒子的狀態(tài)稱為粒子的能量本征態(tài)。歸一化條件：11(3)概率密度當(dāng)時(shí)，量子→經(jīng)典當(dāng)a為宏觀距離時(shí)，

En0,這也相當(dāng)于過渡到經(jīng)典物理學(xué)中連續(xù)能量的情況。

從能級上看：12(4)勢阱中粒子的動(dòng)量粒子的德布羅意波長波長也是量子化的無限深方勢阱中粒子的每一個(gè)能量本征態(tài)對應(yīng)于一個(gè)德布羅意駐波；并有相應(yīng)的特定波長

n

。兩端是波節(jié)的情況——駐波(取實(shí)部）13例題設(shè)無限深勢阱中粒子的一個(gè)量子態(tài)是基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的疊加態(tài)，而且粒子處于基態(tài)的概率為1/4，第一激發(fā)態(tài)的概率為3/4。求這一疊加態(tài)的概率分布。解：一維無限深勢阱的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)為：由題處于各態(tài)的概率，可得疊加態(tài)的波函數(shù)為：此疊加態(tài)的概率分布為：141．梯形勢二、

隧道效應(yīng)(TunnelingEffect)定態(tài)薛定諤方程：0xU=U0U=0EU通解：通解：15特解：

電子逸出金屬表面的模型（E

U＝U0,衰減解）(E

U＝0,振動(dòng)解）通解：

162.隧道效應(yīng)（勢壘貫穿）(PotentialBarrierandTunneling)0xU=U0U=0EUx1x2U=0①②③入射能量E<U0

經(jīng)典理論：粒子不能進(jìn)入E<U0的區(qū)域（動(dòng)能<0）和穿過勢壘。將完全被彈回。量子理論：粒子可透入勢壘。一維定態(tài)薛定諤方程：①區(qū)：②區(qū)：③區(qū)：17穿透概率：0xU=U0U=0EUx1x2U=0①②③待定常數(shù)，由問題的邊界條件和歸一化條件決定①區(qū):波動(dòng)形式②區(qū):指數(shù)衰減③區(qū):波動(dòng)形式區(qū)域③中的波函數(shù)不為零。量子隧穿效應(yīng)：在區(qū)域①中的粒子具有穿透勢壘進(jìn)入?yún)^(qū)域③的概率，這種現(xiàn)象稱為量子隧穿效應(yīng)。當(dāng)U0?E=5eV，勢壘寬度a約50nm以上時(shí)，此時(shí)隧道效應(yīng)穿透系數(shù)會(huì)小于6個(gè)數(shù)量級以上。此時(shí)隧道效應(yīng)實(shí)際上已沒有意義了，量子概念過渡到了經(jīng)典。18怎樣理解粒子通過勢壘區(qū)?Δx=a很小時(shí)，ΔP很大，使ΔE也很大，以至可以有：

ΔE>U0

?E→

E+ΔE>U0經(jīng)典物理：從能量守恒角度看是不可能的。量子物理：粒子有波動(dòng)性，遵守不確定關(guān)系。只要?jiǎng)輭緟^(qū)寬度Δx=a不是無限大，粒子能量就有不確定量ΔE。0xU=U0U=0EUx1x2U=0①②③19201.測樣品表面：控制Ｓ，使I保持恒定；2.分辨樣品表面離散的原子，分辨率橫向0.1nm，縱向0.01nm，電子顯微鏡（0.3~0.5nm）3.重新排列原子（1990年用35個(gè)Xe原子在Ni表面拼綴出IBM——納米技術(shù)正式誕生）。3、掃描隧道顯微鏡(STM)(ScanningTunnelingMicroscopy)1982年IBM公司金屬樣品電子云Ub——微小電壓s隧道電流I電子云重疊4.放大倍數(shù)可達(dá)1億倍。21

為獲得單個(gè)的原子，科學(xué)家們在一真空室內(nèi)設(shè)置了一個(gè)“陷阱”，它們將6條激光束聚焦在一個(gè)點(diǎn)上，然后注入氣態(tài)銫。當(dāng)一個(gè)原子進(jìn)入激光束，便拍攝一張照片，需拍攝上百萬張照片。每當(dāng)一個(gè)原子進(jìn)入陷阱，科學(xué)家便用光學(xué)鉗即兩條激光束將其抓住。這兩條光與上述用6條激光束組成的光陷阱不同，因?yàn)樽鳛楣鈱W(xué)鉗的兩條激光束的光子不僅作為微型球通過這一區(qū)域，在球內(nèi)還有一電場，靠電場的力抓住單個(gè)原子。但激光的抓力太弱，為提高抓力，科學(xué)家將激光束聚焦到1/30毫米的一個(gè)點(diǎn)上，這樣就可以準(zhǔn)確地在該點(diǎn)上抓住原子。1990年，IBM兩位科學(xué)家用顯微鏡探針移動(dòng)了吸附在金屬鎳表面上的氙原子，他們經(jīng)過22小時(shí)的操作，把35個(gè)氙原子排成了“IBM”的字樣。這幾個(gè)字母高度約是一般印刷用字母的二百萬分之一，原子間間距只有1.3納米左右。這是人類有目的、有規(guī)律地移動(dòng)和排布單個(gè)原子的開端。2248個(gè)Fe原子形成“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波.Fe原子間距：0.95nm，圓圈平均半徑：7.13nm。1991年恩格勒等用STM在鎳單晶表面逐個(gè)移動(dòng)氙原子，拼成了字母IBM，每個(gè)字母長5納米。231991年2月IBM的“原子書法”小組又創(chuàng)造出“分子繪畫”藝術(shù)—“CO小人”圖中每個(gè)白團(tuán)是單個(gè)CO分子豎在鉑片表面上的圖象，上端為氧原子CO分子的間距：0.5nm“分子人”身高：5nm堪稱世界上最小的“小人圖”移動(dòng)分子實(shí)驗(yàn)的成功，表明人們朝著用單一原子和小分子構(gòu)成新分子的目標(biāo)又前進(jìn)了一步，其內(nèi)在意義目前尚無法估量。2425三、一維諧振子(one-dimensionharmonicoscillator)1.勢函數(shù)m—振子質(zhì)量，

—固有頻率，x—位移2.哈密頓量3.定態(tài)薛定諤方程26

能量本征值