第12講對數與對數函數【學習目標】1.理解對數的概念和運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數2.通過具體實例，了解對數函數的概念，能用描點法或借助計算工具畫出具體對數函數的圖象，探索并了解對數函數的單調性和特殊點3.知道對數函數與指數函數互為反函數【基礎知識】一、對數的概念1.對數的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數．2.兩種特殊的對數①常用對數：通常以10為底的對數叫做常用對數，N的常用對數log10N簡記為lg_N；②自然對數：以e為底的對數稱為自然對數，N的自然對數logeN簡記為lnN(其中e＝2.71828…)．二、對數與指數的關系1.對數的基本性質①零和負數沒有對數，即真數N>0；②1的對數為0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)；③底數的對數等于eq\o(□,\s\up3(04))1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)．2.兩個重要的對數恒等式①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)；②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．三、對數運算性質如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么，(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．四、換底公式1.對數的換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)．2.三個較為常用的推論①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不為1)；②logab＝eq\f(1,logba)(a>0，b>0，且均不為1)；③logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，b>0，且均不為1，m≠0)．五、對數函數y＝logax(a＞0，且a≠1)的性質1.定義域：(0，＋∞)．2.值域：(－∞，＋∞)．3.定點：(1,0)．4.單調性：a>1時，在(0，＋∞)上是增函數；0<a<1時，在(0，＋∞)上是減函數．5.函數值變化當a>1，x>1時，y∈(0，＋∞)，0<x<1時，y∈(－∞，0)；當0<a<1，x>1時，y∈(－∞，0)，0<x<1時，y∈eq\o(□,\s\up1(09))(0，＋∞)．六、函數的概念對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)與指數函數y＝ax互為反函數，它們的圖象關于直線y＝x對稱．對數函數y＝logax的定義域是指數函數y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定義域．【考點剖析】考點一：指數式與對數式的互化例1．已知，則(

)A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】因為，所以.故選D考點二：利用對數恒等式求值例2．(2022學年湖南省衡陽市衡南縣高一上學期期末)下列各式，，分別等于(

)A．2，5， B．2，5，35C．2，3， D．4，3，【答案】B【解析】，，，故選B.考點三：對數運算性質的應用例3．(2022學年山西省長治市第四中學校高一上學期期末)計算：(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】；故選B考點四：換底公式的應用例4．(2022學年安徽省安慶市高一上學期期末)已知，，用，表示，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，故選D．考點五：求對數型函數的定義域與值域例5.(2022學年河南省扶溝縣二高高一上學期考試)函數的定義域為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，，解得故選D考點六：求對數型函數的單調區間例6．(2022學年河北省唐縣第一中學高一下學期5月月考)設函數，則的單調遞增區間為_________．【答案】【解析】記，因為為減函數，所以當單調遞增時，單調遞減，由得或，又當時，單調遞減.故．故答案為.考點七：利用對數函數的單調性比較大小例7．(2022學年新疆喀什地區疏附縣高一上學期期末)已知，則(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，因為，所以，因為，即，所以.故選C考點八：利用對數函數的單調性求參數范圍例8．(2022學年陜西省西安市長安區第一中學高一上學期期末)已知函數是上的增函數，則實數的取值范圍為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】函數是上的增函數，所以，解得，所以實數的取值范圍是，故選A.考點九：對數型函數的奇偶性例9．(2022學年廣東省珠海市斗門第一中學高一上學期12月月考)已知函數，.(1)證明：為偶函數；(2)若函數，，是否存在，使最小值為0.若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【解析】(1)證明：定義域為，，即為，則為偶函數；(2)解：，當時，，令，則，，當時，即，在上單調遞增，所以時，，解得，當時即，時，，解得：不成立；當時，即，在上單調遞減，所以時，，解得不成立．故存在滿足條件的．【真題演練】1.(2021年高考全國甲卷理科)青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄表的數據V的滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數據為4．9，則其視力的小數記錄法的數據為 ()()A．1．5 B．1．2 C．0．8 D．0．6【答案】C【解析】由，當時，，則．故選C．2.(2021新高考全國卷Ⅱ)已知,,,則下列判斷正確的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】,即.故選C.3．(2020年高考數學課標Ⅱ卷理科)若，則 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，令，為上的增函數，為上的減函數，為上的增函數，，，，，則A正確，B錯誤；與的大小不確定，故CD無法確定．故選A．4．(2020年高考數學課標Ⅱ卷理科)設函數，則f(x) ()A．是偶函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減C．是偶函數，且在單調遞增 D．是奇函數，且在單調遞減【答案】D【解析】由得定義域為，關于坐標原點對稱，又，為定義域上的奇函數，可排除AC；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，排除B；當時，，在上單調遞減，在定義域內單調遞增，根據復合函數單調性可知：在上單調遞減，D正確．故選D．5.(多選)(2022學年廣東省揭陽市揭西縣高一上學期期末)已知函數，下列說法中正確的是(

)A．若的定義域為R，則B．若的值域為R，則或C．若，則的單調減區間為D．若在上單調遞減，則【答案】BD【解析】對于A，若的定義域為R，則在R上恒成立，所以，所以，所以A錯誤；對于B，若的值域為R，則，所以或，所以B正確：對于C，若，則，函數的定義域為，設，即求函數的減區間，由復合函數的單調性原理得函數的單減區間為，所以C錯誤；對于D，若在上單調遞減，則且，所以，所以D正確．故選BD6.(多選)(2022學年河南省焦作市高一上學期期末)已知，，則(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因為，所以，同理可得：，所以.所以.故選D7．(2021新高考Ⅰ卷)已知函數是偶函數,則1．【答案】1【解析】因為函數是偶函數,為上的奇函數,故也為上的奇函數,所以,所以．8.(2020-2021學年云南省德宏州高一上學期期末統一監測)已知函數的圖象關于原點對稱，其中為常數．(1)求的值；(2)當時，恒成立，求實數的取值范圍．【解析】(1)函數的圖象關于原點對稱，則函數為奇函數，有，即，解得，當時，不滿足題意，所以；(2)由，得，即，令，易知在上單調遞減，則的最大值為.又因為當時，恒成立，即在恒成立，所以.【過關檢測】1.(2022學年安徽省亳州市利辛縣第一中學高一下學期4月聯考)已知，，，則a，b，c的大小關系為(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】依題意，，，而，即，故.故選C．2.(2022學年浙江省北斗聯盟高一下學期期中)在同一直角坐標系中，函數，，(且)的圖像可能是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】若，則在定義域內為增函數，在定義域內為減函數，且是由的圖象向左平移個單位得到的，則其與軸的交點在區間上，所以AB錯誤，D正確，若，則則在定義域內為減函數，在定義域內為增函數，且是由的圖象向左平移個單位得到的，則其與軸的交點在區間上，所以C錯誤，故選D3.(2022學年湖南省衡陽市衡南縣高一上學期期末)若非零實數，，滿足，則(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由已知，得，得，，，所以，，，而，所以.故選A．4.(2022學年湖南省長沙市南雅中學高一下學期期中)已知函數，則關于不等式的解集為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】設，則函數的定義域為，，即函數為奇函數，因為函數、均為上的增函數，故函數為上的增函數，設，，，則，故函數的定義域為，且，所以，，則函數為上的奇函數，當時，由于內層函數為增函數，外層函數為增函數，所以，函數在上為增函數，由奇函數的性質可知，函數在上也為增函數，因為函數在上連續，故函數在上為增函數，令，則函數在上為增函數，且，即函數為奇函數，由可得，即，所以，，解得.因此，不等式的解集為.故選C.5.(2022學年廣西柳州市高一4月期中聯考)已知函數在R上存在最小值，則實數m的可能取值為(

)A． B．0 C．1 D．2【答案】AB【解析】當時，函數是單調遞減的，，，當時，是單調遞增的，，，因函數在R上存在最小值，則當且僅當，解得，所以實數m的可能取值為-1，0.故選AB6.(2022學年江蘇省徐州市第三十六中學高一上學期10月月考)若，，則(

)A． B．C． D．【答案】AD【解析】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選AD.7.(2022學年湖北省部分重點中學(六校)高一下學期五月聯考)已知函數是函數且的反函數，且的圖像過點，則___________.【答案】4【解析】因為函數是函數且的反函數，所以由，解得.8.(2022學年浙江省臺州市玉環中學高一上學期月考)函數沒有最小值，則的取值范圍是______．【答案】【解析】令，則外函數為，因為在定義域上單調遞增，要使函數沒有最小值，即的值域能夠取到，且不恒小于等于，當時，符合題意，當時開口向下，只需，解得，即；當時開口向上，只需，解得，即；綜上可得，即；9.(1)已知，，試用表示；(2)已知，，試用表示．【解析】(1)，，，，；(2