湖南省岳陽市2024屆高三數學上學期教學質量監測(一)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.在復平面內，復數z對應的點為，則（）A.i B.－i C.2i D.－2i【答案】B【解析】【分析】由題可得，再由復數除法法則即可求解.【詳解】因為復數z對應點的坐標為，所以，所以.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式，即，再依據并集的運算求解即可.【詳解】因為，所以，即，又，所以,故選：C3.已知直線l：和圓，則“”是“直線l與圓C相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】依據直線和圓相切求得的值，由此求得正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，若直線與圓相切，則，解得.所以“”是“直線l與圓C相切的充要條件.故選：C4.已知函數的一個零點是，將函數的圖象向左平移個單位長度后所得圖象的表達式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得，然后依據三角函數圖象變換、誘導公式等學問求得正確答案.【詳解】依題意，，所以，，向左平移個單位長度得到.故選：D5.核電站只需消耗很少的核燃料，就可以產生大量的電能，每千瓦時電能的成本比火電站要低20%以上.核電無污染，幾乎是零排放，對于環境壓力較大的中國來說，符合能源產業的發展方向，2024年10月26日，國務院發布《2030年前碳達峰行動方案》，提出要主動平安有序發展核電.但核電造福人類時，核電站的核泄漏核污染也時時威逼著人類，如2011年，日本大地震導致福島第一核電站發生爆炸，核泄漏導致事故所在地被嚴峻污染，主要的核污染物是鍶90，它每年的衰減率為2.47%.專家估計，要基本消退這次核事故對自然環境的影響至少須要800年，到那時，原有的鍶90大約剩（）（參考數據）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據題意，每年的剩余量可構成等比數列，據此求出800年后剩余量即可得解.【詳解】由題意，設一起先鍶90質量為1，則每年的剩余量構成以為公比的等比數列，則經過800年鍶90剩余質量為，兩邊取常用對數可得：，所以，故選：B6.已知兩個等差數列2，6，10，…及2，8，14，…，200，將這兩個等差數列的公共項按從小到大的依次組成一個新數列，則數列的各項之和為（）A.1666 B.1654 C.1472 D.1460【答案】A【解析】【分析】依據題意求出兩個數列相同的項組成的數列，求出項數，然后求出它們的和即可.【詳解】有兩個等差數列2，6，10，…及2，8，14，…，200，由這兩個等差數列的公共項按從小到大的依次組成一個新數列：2，14，26，38，50，…，182，194，共有項，是公差為12的等差數列，故新數列前17項的和為，即數列的各項之和為1666.故選：A.7.已知三棱錐的全部頂點都在球O的球面上，是球O的直徑.若平面平面，，，球O的體積為，則三棱錐的體積為（）A.9 B.18 C.27 D.36【答案】A【解析】【分析】由題意可得，，進而說明平面，再求得球的半徑，依據即可求得答案.【詳解】如圖，三棱錐的全部頂點都在球O的球面上，是球O的直徑O為中點，∴，，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，設，由球O的體積為，可得，則，∴三棱錐的體積為9，故選∶A．8.已知正實數x，y滿意，則下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用特別值推斷AC，利用不等式性質及指數函數單調性推斷B，依據解除法推斷D.【詳解】取，則不成立，故A錯誤；由，當時，，所以，即，故B錯誤；取時，，而，所以，故C錯誤；由ABC錯誤，解除法知，故D正確.故選：D二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）9.已知函數，則（）A.是周期函數 B.函數在定義域上是單調遞增函數C.函數是偶函數 D.函數的圖象關于點對稱【答案】ABD【解析】【分析】依據正弦函數周期推斷A，由指數函數、反比例函數的單調性推斷B，依據奇偶性定義推斷C，由函數中心對稱充要條件推斷D.【詳解】令，則，所以函數為周期函數，故A正確；因為，因為在定義域上單調遞減，且，所以由復合函數的單調性質可得在定義域上是單調遞增函數，故B正確；令，則，所以函數是奇函數，故C錯誤；因為，所以函數的圖象關于點對稱，故D正確.故選：ABD10.甲、乙、丙、丁四名同學報名參與假期社區服務活動，社區服務活動共有“關懷老人”、“環境檢測”、“圖書義賣”這三個項目，每人都要報名且限報其中一項.記事務A為“恰有兩名同學所報項目相同”，事務B為“只有甲同學一人報‘關懷老人’項目”，則（）A.四名同學的報名狀況共有種B.“每個項目都有人報名”的報名狀況共有72種C.“四名同學最終只報了兩個項目”的概率是D.【答案】ACD【解析】【分析】依據分步乘法計數原理可求得四名同學的報名狀況的種數，推斷A;依據古典概型的概率公式可推斷；依據條件概率的概率公式，可推斷D.【詳解】由題意甲、乙、丙、丁四名同學每人都要報名且限報一項，每人都有3種選擇，則共有種，A正確；“每個項目都有人報名”，則必有兩人報同一個項目，故此時報名狀況有種，B錯誤；“四名同學最終只報了兩個項目”，此時可先選出兩個項目，報名狀況為分別有兩人報這兩個項目，或者一人報其中一個，另三人報名另一個項目，故共有種報名狀況，則“四名同學最終只報了兩個項目”的概率是，C正確；事務A為“恰有兩名同學所報項目相同”，有種報名方法，則，事務B為“只有甲同學一人報關懷老人項目”，若同時發生，即恰有2名同學所報項目相同且只有甲同學一人報關懷老人項目，則有種報名方法，則，故，D正確，故選：11.正方體的棱長為1，點P在線段BC上運動，則下列結論正確的是（）A.異面直線與所成的角為60°B.異面直線與所成角的取值范圍是C.二面角的正切值為D.直線與平面所成的角為45°【答案】BC【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法確定AB，由二面角的平面角的定義法確定C，利用向量法求線面角推斷D.【詳解】如圖，在正方體中建立空間直角坐標系，則，設，對A，由，，即異面直線與所成的角為90°，故A錯誤；對B，，則，當時，，，當時，，因為的對稱軸為，所以當時，，即，由，知，綜上，，故B正確；對C，取中點，連接，則，所以為二面角的平面角，在中，，故C正確；對D，在正方體中，,平面，所以平面，即平面一個法向量為,又，所以，故D錯誤.故選：BC12.已知拋物線上的兩點，及拋物線上的動點，直線PA，PB的斜率分別為，，坐標軸原點記為O，下列結論正確的是（）A.拋物線的準線方程為B.三角形AOB為正三角形時，它的面積為C.當為定值時，為定值D.過三點，，的圓的周長大于【答案】BCD【解析】【分析】由拋物線方程推斷A，依據正三角形求出直線斜率，聯立拋物線求點A坐標即可推斷B，干脆計算結合在拋物線方程上化簡可推斷C，依據題意及圓的性質求出半徑，結合點在拋物線上可得出半徑范圍，即可推斷D.【詳解】對A，由拋物線知準線方程為，故A錯誤；對B，當三角形AOB為正三角形時，不妨設A在第一象限，則，直線方程為，聯立，可得，故，所以，故B正確；對C，，當為定值時，為定值，故C正確；對D，因為圓過三點，，，所以可設圓心為，則，平方后可得，故，因為，所以，即，故，所以圓的周長，故D正確.故選：BCD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上.）13.已知，，，均為銳角，則______.【答案】【解析】【分析】依據同角三角函數的基本關系、誘導公式、兩角和的余弦公式求解.【詳解】因為，，且，均為銳角，所以，，所以.故答案：14.已知某車間在上半年的六個月中，每個月的銷售額y（萬元）與月份（）滿意線性回來方程，則該車間上半年的總銷售額約為______萬元.【答案】198【解析】【分析】依據線性回來方程，分別將x的值代入，結果相加，即可得答案.【詳解】由題意可得該車間上半年的總銷售額約為：（萬元），故答案為：19815.已知橢圓E：的左、右焦點分別為、，圓P：分別交線段、于M、N兩點，則______.【答案】##1.2【解析】【分析】依據橢圓的定義及圓的半徑確定，再由數量積坐標運算求解.詳解】由知圓心，半徑，又橢圓方程為，所以在橢圓上，且橢圓的焦點，，所以，，因為,所以,又，所以.故答案為：16.數列的前n項和為，，且對隨意的都有，則（1）若，則實數m的取值范圍是______；（2）若存在，使得，則實數m為______.【答案】①.②.或【解析】【分析】（1）由求得的取值范圍.（2）求得的規律，對進行分類探討，由此列方程求得的值.【詳解】依題意，，對隨意的都有，則，，，，，以此類推，結合兩式相減得，可知數列的奇數項是首項為，公差為的等差數列；偶數項是首項為，公差為的等差數列.（1）若，即.所以的取值范圍是.（2）若存在，使得，.當為奇數時，為偶數，由得：，解得.當為偶數時，為奇數，由得：，解得.綜上所述，的值為或.故答案為：；或【點睛】依據遞推關系求解數列的有關問題，關鍵是從遞推關系中求得數列的通項公式.本題中的遞推關系，通過分析后可知奇數項和偶數項是不同的，所以在求解時，要對的奇偶性進行分類探討.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知數列滿意，且數列的前n項和為.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由對數運算及等比數列的定義推斷數列為等比數列即可得解；（2）依據裂項相消法求數列的和即可.【小問1詳解】因為，所以.所以數列是首項為1公比為3的等比數列，所以數列的通項為.【小問2詳解】由(1)知數列的前n項和，所以.所以數列前n項和.18.8月5日晚，2024首屆湖南·岳陽“洞庭漁火季”開幕式在洞庭南路歷史文化街區工業遺址公園（岳陽港工業遺址公園）實行，舉辦2024首屆湖南·岳陽“洞庭漁火季”，是我市深化實行中心和省委“穩經濟、促消費、激活力”要求，推出的大型文旅活動，旨在進一步深挖岳陽“名樓”底蘊、深耕“江湖”文章，打造“大江大湖大岳陽”文旅IP，為加快推動文旅融合發展拓展新維度、增加新動力.活動期間，某小吃店的生意異樣火爆，對該店的一個服務窗口的顧客從排隊到取到食品的時間進行統計，結果如下：取到食品所需的時間（分）12345頻率0.050.450.350.10.05假設每個顧客取到食品所需的時間相互獨立，且都是整數分鐘.從排隊的第一個顧客等待取食品起先計時.（1）試估計“恰好4分鐘后，第三個顧客起先等待取食品”的概率；（2）若隨機變量X表示“至第2分鐘末，已取到食品的顧客人數”，求X的分布列及數學期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）由頻率估計概率得出Y的分布列，“恰好4分鐘后，第三個顧客起先等待取食品”對應3個互斥事務，據此求概率即可；（2）X全部可能的取值為0，1，2，結合（1）求出對應概率得分布列，由期望定義求期望.【小問1詳解】設Y表示每個顧客取到食品所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布列如下:123450.050.450.350.10.05A表示事務“恰好4分鐘后，第三個顧客起先等待取食品”，則事務A對應三種情形：①第一個人取到食品所需的時間為1分鐘，且其次個人取到食品所需的時間為3分鐘；②第一人取到食品所需的時間為3分鐘，且其次人取到食品所需的時間為1分鐘；③第一個和其次個人取到食品所需的時間均為2分鐘.所以.【小問2詳解】X全部可能的取值為0，1，2.對應第一個人取到食品所需的時間超過2分鐘，所以;對應第一個人取到食品所需的時間為1分鐘且其次個人取到食品所需的時間超過1分鐘，或第一個人取到食品所需的時間為2分鐘，所以；對應兩個人取到食品所需的時間均為1分鐘，所以；所以X的分布列為：0120.50.49750.0025所以19.在中，三個內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，.（1）證明：；（2）求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理化簡已知條件，結合三角恒等變換的學問證得.（2）轉化為只含的三角函數的形式，利用換元法、構造函數法，結合導數求得的取值范圍【小問1詳解】依題意，由余弦定理得，，由正弦定理得，，，，由于，所以，則由于，所以，則，所以或（舍去），所以.【小問2詳解】由于，所以為銳角，即，而，即.，令，，，所以在區間上，遞增；在區間上遞減.，所以，所以的取值范圍是.20.已知直三棱柱中，E，F分別為棱和的中點，，，.（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面EFC所成角的正弦值為且，證明：平面平面EFC.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面平面；（2）利用直線與平面EFC所成角的正弦值求得，然后利用向量法證得平面平面EFC.【小問1詳解】如圖所示，以為原點為軸和軸的正方向，在平面內，過作軸的垂線為軸建立空間直角坐標系，設，則，所以，，設平面的法向量為，則，令，故.設平面的法向量為，則，令，故，由于，所以，所以平面平面；【小問2詳解】，由（1）知平面的一個法向量為，由直線與平面EFC所成角的正弦值為，得，整理得，由于，所以解得，即，此時，，所以，所以平面，由于平面，所以平面平面EFC.21.已知直線：和直線：，過動點E作平行的直線交于點A，過動點E作平行的直線交于點B，且四邊形OAEB（O為原點）的面積為4.（1）求動點E的軌跡方程；（2）當動點E的軌跡的焦點在x軸時，記軌跡為曲線，若過點的直線m與曲線交于P，Q兩點，且與y軸交于點N，若，，求證：為定值.【答案】（1）或；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設，依據直線相交求出點的橫坐標，再求出，點到直線的距離表示出四邊形面積，化簡方程可得解；（2）驗證特別狀況可知，再由一般狀況設設直線m的方程為，由題意求出，聯立直線與雙曲線方程，由根與系數關系代入化簡即可得證.【小問1詳解】設，過且平行的直線方程為，由得交點的橫坐標為，所以，點到直線的距離為，所以四邊形OAEB的面積為，即或，故動點E的軌跡方程為或.【小問2詳解】由題知的方