第四節直線與圓、圓與圓的位置關系eq\a\vs4\al(\x(基)礎)eq\x(回)eq\x(顧)一、點與圓的位置關系若圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2,那么點(x0,y0)在圓上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；圓外?(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；圓內?(x0
－a)2＋(y0－b)2＜r2.二、直線與圓的位置關系直線與圓有三種位置關系:相離、相切和相交.有兩種判斷方法:1.代數法(判別式法).Δ>0?相交；Δ＝0?相切；Δ<0?相離.2.幾何法:圓心到直線的距離

一般宜用幾何法.三、圓與圓的位置關系:相離,外切,相交,內切,內含設圓O1與圓O2的半徑分別為r1和r2,于是有1.

>r1＋r2?相離.2.

＝r1＋r2?外切.3.

<

<r1＋r2?相交.4.

＝

?內切.5.

<

?內含.四、弦長求法一般采用幾何法:弦心距d,圓半徑r,弦長l,則d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))eq\s\up12(2)＝r2.eq\a\vs4\al(\x(基)礎)eq\x(自)eq\x(測)Ｋ1.直線y＝kx＋2與圓:x2＋y2＝1沒有公共點的充要條件是(B)A.k∈(－

,

)B.k∈(－

,

)C.k∈(－∞,－

)∪(

,＋∞)D.k∈(－∞,－

)∪(

,＋∞)解析:由圓心到直線的距離公式可得d＝

>1,解得－

<k<

,故選B.2.圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關于直線y＝x對稱的圓的方程為(A)A.(x－2)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y－2)2＝1C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1D.(x－1)2＋(y＋2)2＝1解析:點(1,2)關于y＝x對稱的點為(2,1).3.過原點的直線與圓
x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的長為2,則該直線的方程為2x－y＝0.解析:圓的方程化為標準形式為(x－1)2＋(y－2)2＝1,又相交所得弦長為2,故相交弦為圓的直徑,由此得直線過圓心(1,2),故所求直線方程為2x－y＝0.4.已知直線l:x－y＋4＝0與圓C:

＋

＝2,則圓C上各點到l的距離的最小值為

.解析：如圖,過圓心作直線l：x－y
＋4＝0的垂線,則AD長即為所求.∵C:

＋

＝2的圓心為C

,半徑為

,點C到直線l：x－y＋4＝0的距離為d＝

＝2

,∴|AD|＝|CD|－|AC|＝2

－

＝

,故C上各點到l的距離的最小值為

.高考方向1.直線與圓的三種位置關系、弦長、最值等是近幾年高考命題的熱點.2.常與橢圓、雙曲線、拋物線交匯考查,有時也與對稱性、平面幾何性質結合考查.3.題型主要以選擇、填空為主,有時也會以解答
題形式出現,屬中低檔題.eq\x(品)eq\x(味)eq\x(高)eq\x(考)1.(2014·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中,直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長為

.解析:因為圓心(2,－1)到直線x＋2y－3＝0的距離d＝

＝

,所以直線x＋2y－3＝0被圓截得的弦長為2

＝2

＝

.2.(2014·上海卷)已
知曲線C：x＝－

,直線l：x＝6.若對于點A(m,0),存在C上的點P和l上的點Q使得

＋

＝0,則m的取值范圍為[2,3].解析：設Q(6,q),由

＋

＝0得P(2m－6,－q),又點P在曲線C上,所以

解得2≤m≤3.eq\x(高)eq\x(考)eq\x(測)eq\x(驗)1.已知圓C:x2＋y2－2x＋4y－4＝0,直線l:2x＋y＝0,則圓C上的點到直線l的距離最大值為(C)A.1B.2C.3D.4解析:直線l:2x＋y＝0是確定的,圓上的動點到直線的距離的最大值為圓心到直線的距離加上圓的半徑.圓的圓心為(1,－2),半徑為3,因為點(1,－2)在直線l:2x＋y＝0上,所以,最大距離為圓的半徑3.故選C.2.已知x、y滿足x2＋y2＝4,則z＝3x－4y＋5的取值范圍是(A)A.[－5,15]B.[－10,10]C.[－2,2]D.[0,3]解析：z＝3x－4y＋5即直線3x－4y＋5－z＝0,由題意可得直線和圓x2＋y2＝4有交點,故有

≤2,化簡可得－10≤z－
5≤10,解得－5≤z≤15,故選A.課時作業1.對任意的實數k,直線y＝kx
＋1與圓x2＋y2＝2的位置關系一定是(C)A.相離B.相切C.相交但直線不過圓心D.相交且直線過圓心解析:圓心C(0，0)到直線kx－y＋1＝0的距離為d＝

＜

＜

＝r，且圓心C(0，0)不在該直線上.故選C.2.直線x＋y＋

＝0截圓x2＋y2＝4所得劣弧所對圓心角為(D)A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,2)D.eq\f(2π,3)解析:弦心距為d＝

＝1,r＝2,∴cos

＝

,∴θ＝eq\f(2π,3).故選D.3.在圓x2＋y2－2x－6y＝0內,過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為(B)A.5

B.10

C.15

D.20

解析:將圓方程配方得(x－1)2＋(y－3)2＝10.設圓心為G,易知G(1,3).最長弦AC為過點E的直徑,則|AC|＝2

.最短弦BD為與GE垂直的弦,如圖所示．易知|BG|＝

,|EG|＝

＝

,|BD|＝2|BE|＝2eq\r(BG2－EG2)＝2eq\r(5).所以四邊形ABCD的面積為S＝eq\f(1,2)|AC|·|BD|＝10eq\r(2).故選B.4.(2013·煙臺四校聯考)直線y＝x－1上的點到圓x2＋y2＋4x－2y＋4＝0上的點的最近距離是(C)A.±

B.

－1C.2

－1D.1解析:圓心坐標為(－2,1),則圓心到直線y＝x－1的距離d＝

＝2

,又圓的半徑為1,則圓上的點到直線的最短距離為2

－1.5.圓

＋(y＋1)2＝

與圓(x－sinθ)2＋(y－1)2＝

(θ為銳角)的位置關系是(D)A.相離B.外切C.內切D.相交解析:兩圓圓心之間的距離d＝

＝

,因為θ為銳角,所以0<sinθ<1,

<sinθ＋

<

,

<

＋4<

,所以

<d<

,又兩圓的半徑之和為

,兩圓的半徑之差的絕對值為2,所以兩圓相交.6.若直線y＝x＋b與曲線y＝3－

有公共點,則b的取值范圍是(D)A.[1－2

,1＋2

]B.[1－

,3]C．[－1,1＋2

]D．[1－2

,3]解析:曲線方程化簡為(x－2)2＋(y－3)2＝4＜(0≤y≤3),即表示圓心為(2,3)半徑為2的半圓,利用數形結合,當直線y＝x＋b與此半圓相切時須滿足圓心(2,3)到直線y＝x＋b距離等于2,解得b＝1＋2

或b＝1－2

,∵是下半圓,故可得b＝1＋2

(舍去),當直線過(0,3)時,解得b＝3,故1－2

≤b≤3.7.若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦長為2

,則a＝1.解析:方程x2＋y2＋2ay－6＝0與
x2＋y2＝4.相減得2ay＝2,則y＝

.由已知條件

＝

,即a＝1.8.已知圓C:x2＋y2－6x－6y＋17＝0,過原點的直線l被圓C所截得的弦長最長,則直線l的方程是x－y＝0.解析:圓的最長弦為圓的直徑,所以直線l經過圓的圓心(3,3),因為直線l過原點,所以其方程為x－y＝0.9.已知點A(－1,1)和圓C：(x－5)2＋(y－7)2＝4,從點A發出的一束光線經過x軸反射到圓C的最短路程是9.解析：點A關于x軸的對稱點為A′(－1,－1),又圓心坐標為C(5,7
),圓的半徑r＝2,根據幾何光學的性質,所求的最短路程為|A′C|－r＝eq\r(（－1－5）2＋（－1－7）2)－2＝8.10.已知圓C1:x2＋y2＝2和圓C2,直線l與圓C1相切于點A(1,1),圓C2的圓心在射線2x－y＝0(x≥0)上,圓C2過原點,且被直線l截得的弦長為4

.(1)求直線l的方程；(2)求圓C2的方程.解析：(1)∵AO⊥l,∴kl＝－eq\f(1,kOA)＝－1.又∵切點為A(1,1)∴直線l的方程是y－1＝－
(x－1),即x＋y－2＝0.(2)設圓心C2(a,2a)(a≥0),則r＝

a,∵C2到直線l的距離
d＝

,∴

＋12＝5a2,化簡得a2＋12a－28＝0,解得a＝2或a＝－14(舍去).∴C2的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝20.11.
已知圓O:x2＋y2＝1和圓C:(x－2)2＋(y－4)2＝1,由兩圓外一點P(a,b)引兩圓切線PA.PB,切點分別為A.B,且滿足|PA|＝|PB|.(1)求實數a、b間滿足的關系式；(2)求切線長|PA|的最小值；(3)是否存在以P為圓心的圓,使它與圓O相內切且與圓C相外切？若存在,求出圓P的方程,若不存在,說明理由.解析:(1)∵|PA|＝

,PB＝

,∴a