全冊課件數學新人教版九年級上冊第二十一章一元二次方程本章的主要內容包括：一元二次方程及其有關概念,一元二次方程的解法(配方法、公式法和因式分解法),運用一元二次方程分析和解決實際問題。第二十二章二次函數這章主要要求學生在掌握好原來的一次函數、正比例函數的基礎上，進一步學習二次函數的初步知識。本章采用由簡入繁的方式對各種形式的二次函數進行了系統的學習。尤其與舊教材不同的是，加入了函數的平移，從而對函數的圖像進行了更深入的理解。對二次函數的表達式問題中，要求了三種形式，而且對二次函數表達式的確定要求的也非常具體。各單元內容分析第二十三章旋轉本章學習第三種圖形變換---旋轉。此前，學生已經學習了平移與軸對稱兩種圖形變換。第一節引出旋轉的概念。然后按要求做出簡單平面圖形旋轉后的圖形的例題。最后說明利用旋轉進行簡單的圖案設計的內容。第二節有三部分內容，中心對稱的概念、性質和有關作圖；首先通過具體例子給出中心對稱的概念，然后探究中心對稱的性質，最后說明作已知圖形中心對稱的圖形的方法。第三節是課題學習的內容，要求學生探索圖形之間的變換關系，靈活運用軸對稱，平移、旋轉地組合進行圖案設計。第二十四章圓本單元數學的主要內容．（1）圓有關的概念：垂直于弦的直徑，弧、弦、圓心角、圓周角．（2）與圓有關的位置關系：點和圓的位置關系，直線與圓的位置關系，圓和圓的位置關系．（3）正多邊形和圓．（4）弧長和扇形面積：弧長和扇形面積，圓錐的側面積和全面積．第二十五隨機事件與概率本章內容是概率初步。教科書先以學生喜聞樂見的擲骰子游戲為背景，經歷猜測、試驗、收集試驗數據、分析試驗結果等活動過程，讓學生體驗生活中有許多事件的發生是不確定的，加深對確定事件與隨機事件，必然事件與不可能事件等概念的理解，并感受隨機事件發生的可能性有大有小。同時，初步體會人們一般通過重復多次試驗來估計事件發生的可能性大小。在第二節中，通過拋擲圖釘和拋擲均勻的硬幣的試驗，讓學生感受到頻率的穩定性，并得出概率的統計定義，即用事件發生的頻率的穩定值作為該事件發生的概率。在第三節中，通過對摸到紅球的概率的討論，對一類事件（古典概型）發生的概率進行簡單的理論計算。通過對停留在黑磚上的概率的討論，對另一類事件（幾何概型）發生的概率進行簡單的理論計算，從而加深對概念意義的理解。第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程21.2.1第1課時直接開平方法21.2.1第2課時配方法21.2.2公式法21.2.3因式分解法21.2.4一元二次方程的根與系數的關系21.3第1課時傳播問題與一元二次方程21.3第2課時平均變化率與一元二次方程21.3第3課時幾何圖形與一元二次方程第二十一章小結與復習第二十二章二次函數22.1.1二次函數22.1.2二次函數y=ax2的圖象和性質22.1.3第1課時二次函數y=ax2+k的圖象和性質22.1.3第2課時二次函數y=a(x-h)2的圖象和性質22.1.3第3課時二次函數y=a(x-h)2+k的圖象和性質22.1.4第1課時二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質22.1.4第2課時用待定系數法求二次函數的解析式22.2

二次函數與一元二次方程22.3

第1課時幾何圖形的最大面積22.3

第2課時商品利潤最大問題22.3

第3課時拱橋問題和運動中的拋物線第二十二章小結與復習課件內容目錄第二十三章旋轉23.1第1課時旋轉的概念與性質23.1第2課時旋轉作圖23.2.1中心對稱23.2.2中心對稱圖形23.2.3關于原點對稱的點的坐標23.3課題學習圖案設計第二十三章中心對稱小結與復習第二十四章圓24.1.1圓24.1.2垂直于弦的直徑24.1.3弧、弦、圓心角24.1.4圓周角24.2.1點和圓的位置關系24.2.2第1課時直線和圓的位置關系24.2.2第2課時切線的性質與判定24.2.2第3課時切線長定理24.3正多邊形和圓24.4第1課時弧長和扇形面積24.4第2課時圓錐的側面積和全面積第二十四章圓小結與復習第二十五隨機事件與概率25.1.1隨機事件25.1.2概率25.2第1課時運用直接列舉或列表法求概率25.2第2課時畫樹狀圖求概率25.3用頻率估計概率第二十五章概率初步小結與復習21.1

一元二次方程第二十一章一元二次方程新人教版九年級數學上冊91.什么叫方程？我們學過那些方程？含有未知數的等式叫方程2.什么叫一元一次方程？含有一個未知數，并且未知數的最高次數為1的整式方程3.什么叫分式方程？分母中含有未知數的方程問題1

有一塊矩形鐵皮,長100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個正方形,然后將四周凸出部分折起,就能制作一個無蓋方盒,如果要制作的方盒的底面積為3600cm2,那么鐵皮各角應切去多大的正方形？請根據題意列出方程.100cm50cmx3600cm2解：設切去的正方形的邊長為xcm,則盒底的長為（100-2x)cm,寬為(50-2x)cm,根據方盒的底面積為3600cm2,得整理，得化簡，得該方程中未知數的個數和最高次數各是多少？一元二次方程的概念一問題2

要組織要組織一次排球邀請賽,參賽的每兩隊之間都要比賽一場,根據場地和時間等條件,賽程計劃安排7天,每天安排4場比賽,比賽組織者應邀請多少個隊參加比賽?解析：設應邀請x個隊參賽，每個隊都要與其他(x-1)個隊各賽一場，因為甲隊對乙隊的比賽和乙隊對甲隊的比賽是同一場比賽，所以全部比賽共場.解：根據題意，列方程：整理得：化簡，得：該方程中未知數的個數和最高次數各是多少？觀察與思考方程①、②都不是一元一次方程.那么這兩個方程與一元一次方程的區別在哪里？它們有什么共同特點呢？特點:①都是整式方程;②只含一個未知數;③未知數的最高次數是2.知識要點一元二次方程的概念

像這樣的等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是2(二次)的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)二次項系數一次項系數常數項ax2+bx+c=0強調：“=”左邊最多有三項，一次項、常數項可不出現，但二次項必須有;“=”左邊按未知數

x

的降冪排列;“=”右邊必須整理為0.想一想為什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c可以為零嗎？當

a=0時bx＋c=0當

a≠0，b=0時

，ax2＋c=0當

a≠0，c

=0時

，ax2＋bx=0當

a≠0，b

=c

=0時

，ax2

=0總結：只要滿足a≠0，b，

c

可以為任意實數.典例精析例1

下列選項中，關于x的一元二次方程的是（）C不是整式方程含兩個未知數化簡整理成x2-3x+2=0少了限制條件a≠0提示

判斷一個方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再進一步化簡整理后再作判斷.例2:a為何值時，下列方程為一元二次方程？(1)ax2-x=2x2(2)(a-1)x∣a∣+1

-2x-7=0.解：(1)將方程式轉化為一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以當a-2≠0，即a≠2時，原方程是一元二次方程；

(2)由∣a

∣+1=2，且a-1≠0知，當a=-1時，原方程是一元二次方程.方法總結：用一元二次方程的定義求字母的值的方法：根據未知數的最高次數等于2，列出關于某個字母的方程，再排除使二次項系數等于0的字母的值．

例3：將方程3x(x-1)=5(x+2)化為一般形式，并分別指出它們的二次項、一次項和常數項及它們的系數.解：去括號，得3x2-3x=5x+10.移項、合并同類項，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次項是3x2,系數是3；一次項是-8x,系數是-8；常數項是-10.系數和項均包含前面的符號.注意一元二次方程的根二一元二次方程的根

使一元二次方程等號兩邊相等的未知數的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.練一練：下面哪些數是方程x2–x–6=0

的解?

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4解：3和-2.你注意到了嗎？一元二次方程可能不止一個根.

例4.：已知a是方程x2+2x－2=0

的一個實數根,求2a2+4a+

2017的值.解：由題意得方法總結：已知解求代數式的值，先把已知解代入，再注意觀察，有時需運用到整體思想，求解時，將所求代數式的一部分看作一個整體，再用整體思想代入求值．

1.

下列哪些是一元二次方程？√×√××√3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-13x2=5x-12.填空：方程一般形式二次項系數一次項系數常數項-21313-540-53-23.已知關于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一個根是3，求a的值.解：由題意得把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=09+4a=04a=-94.若關于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0有一個根為0，求m的值.二次項系數不為零不容忽視解：將x=0代入方程m2-4=0，解得m=±2.∵m+2≠0，∴m≠-2，綜上所述：m=2.拓廣探索

已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)一個根為1,求a+b+c的值.解：由題意得思考:1.若a+b+c=0,你能通過觀察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根嗎?解：由題意得∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根是1.2.若a-b+c=0,4a+2b+c=0，你能通過觀察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根嗎?x=2一元二次方程概念是整式方程；含一個未知數；最高次數是2.一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)

其中(a≠0)是一元二次方程的必要條件；確定一元二次方程的二次項系數、一次項系數及常數項要先化為一般式.根使方程左右兩邊相等的未知數的值.21.2.1配方法第二十一章一元二次方程第1課時直接開平方法新人教版九年級數學上冊平方根二、1.如果

x2=a,則x叫做a的

.2.如果

x2=a(a≥0),則x=

.3.如果

x2=64,則x=

.±84.任何數都可以作為被開方數嗎？負數不可以作為被開方數.一、什么是一元二次方程？一元二次方程的一般形式是怎樣的？等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是2(二次)的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)a是二次項系數b是一次項系數c常數項1.會把一元二次方程降次轉化為兩個一元一次方程.2.運用開平方法解形如x2=p或（x+n)2=p(p≥0)的方程.直接開平方法的概念一

問題1

一桶油漆可刷的面積為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？

解：設正方體的棱長為xdm，則一個正方體的表面積為6x2dm2，根據一桶油漆可刷的面積，列出方程10×6x2=1500，由此可得x2=25根據平方根的意義，得即x1=5，x2=－5.可以驗證，5和－5是方程①的兩根，但是棱長不能是負值，所以正方體的棱長為5dm．①x=±5，試一試

解下列方程，并說明你所用的方法，與同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解:根據平方根的意義，得x1=2,x2=-2.解:根據平方根的意義，得x1=x2=0.解:根據平方根的意義，得

x2=-1,因為負數沒有平方根，所以原方程無解.（2）當p=0

時，方程(I)有兩個相等的實數根=0；（3）當p<0

時,因為任何實數x，都有x2≥0

，所以方程(I)無實數根.探究歸納

如果我們把x2=4，

x2=0，

x2+1=0變形為x2=p

呢？一般的，對于方程x2=p,(I)

（1）當p>0

時，根據平方根的意義，方程(I)有兩個不等的實數根，；利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的根的方法叫直接開平方法.歸納

例1

利用直接開平方法解下列方程:(1)x2=6；(2)

x2－900=0.解：（1）x2=6，直接開平方，得（2）移項，得x2=900.直接開平方，得x=±30，∴x1=30,x2=－30.典例精析在解方程(I)時，由方程x2=25得x=±5.由此想到:（x+3)2=5，②得用直接開平方法解方程二對照上面解方程(I)的方法，你認為怎樣解方程（x+3）2=5探究交流于是，方程（x+3）2=5的兩個根為上面的解法中，由方程②得到③，實質上是把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程，這樣就把方程②轉化為我們會解的方程了.解題歸納例2

解下列方程：⑴（x＋1）2=2；

典例精析

解析：第1小題中只要將（x＋1）看成是一個整體，就可以運用直接開平方法求解.即x1=-1+，x2=-1-解：（1）∵x+1是2的平方根，∴x+1=解析：第2小題先將－4移到方程的右邊，再同第1小題一樣地解.例2

解下列方程：（2）（x－1）2－4=0；即x1=3，x2=-1.解：（2）移項，得（x-1）2=4.∵x-1是4的平方根，∴x-1=±2.典例精析∴x1=

，

x2=例2

解下列方程：(3)12（3－2x）2－3=0.典例精析解析：第3小題先將－3移到方程的右邊，再兩邊都除以12，再同第1小題一樣地去解，然后兩邊都除以-2即可.解：(3)移項，得12（3-2x）2=3，兩邊都除以12，得（3-2x）2=0.25.∵3-2x是0.25的平方根，∴3-2x=±0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5

首先將一元二次方程化為左邊是含有未知數的一個完全平方式，右邊是非負數的形式，然后用平方根的概念求解.1.能用直接開平方法解的一元二次方程有什么特點？

如果一個一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2=p（p≥0）的形式，那么就可以用直接開平方法求解.2.用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟是什么？3.任意一個一元二次方程都能用直接開平方法求解嗎？請舉例說明.探討交流

(C)

4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=±3,

x1=;

x2=(D)

(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,x1=1;x2=-4

1、下列解方程的過程中，正確的是（）(A)

x2=-2,解方程，得x=±(B)

(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4

D(1)方程x2=0.25的根是

.(2)方程2x2=18的根是

.(3)方程(2x-1)2=9的根是

.3.解下列方程：

(1)x2-81＝0；(2)2x2＝50；

(3)(x＋1)2=4.

x1=0.5,x2=-0.5x1＝3,x2＝-3x1＝2,x2＝－12.填空:解：x1＝9,x2＝－9；解：x1＝5,x2＝－5；解：x1＝1,x2＝－3.

4.（請你當小老師）下面是李昆同學解答的一道一元二次方程的具體過程，你認為他解的對嗎?如果有錯，指出具體位置并幫他改正.①②③④解：解：不對，從開始錯，應改為能力拓展：

方程x2+6x+4=0可以用直接開平方法解嗎？如果不能，那么請你思考能否將其轉化成平方形式？直接開平方法概念步驟基本思路利用平方根的定義求方程的根的方法關鍵要把方程化成x2=p(p≥0)或（x+n)2=p（p≥0).一元二次方程兩個一元一次方程降次直接開平方法21.2.1配方法第二十一章一元二次方程第2課時配方法新人教版九年級數學上冊直接開平方法概念步驟基本思路利用平方根的定義求方程的根的方法關鍵要把方程化成x2=p(p≥0)或（x+n)2=p（p≥0).一元二次方程兩個一元一次方程降次直接開平方法1.了解配方的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解決有關問題.3.探索直接開平方法和配方法之間的區別和聯系.(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.想一想：2.下列方程能用直接開平方法來解嗎?練一練:1.用直接開平方法解下列方程:(1)x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把兩題轉化成(x+n)2=p(p≥0)的形式，再利用開平方配方的方法一問題1.你還記得嗎？填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=(

)2；(2)a2-2ab+b2=(

)2.a+ba-b探究交流問題2.填上適當的數或式,使下列各等式成立.（1）x2+4x+

=(x+

)2（2）x2-6x+

=(x-

)2（3）x2+8x+

=(x+

)2（4）x2-x+

=(x-

)2你發現了什么規律？探究交流222323424二次項系數為1的完全平方式：

常數項等于一次項系數一半的平方.歸納總結想一想：x2+px+(

)2=(x+

)2配方的方法用配方法解方程二探究交流怎樣解方程(2)x2+6x+4=0問題1

方程(2)怎樣變成（x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0

x2+6x=-4移項

x2+6x+9=-4+9兩邊都加上9二次項系數為1的完全平方式：

常數項等于一次項系數一半的平方.方法歸納在方程兩邊都加上一次項系數一半的平方.注意是在二次項系數為1的前提下進行的.問題2

為什么在方程x2+6x=-4的兩邊加上9？加其他數行嗎？不行，只有在方程兩邊加上一次項系數一半的平方，方程左邊才能變成完成平方x2+2bx+b2的形式.方程配方的方法：要點歸納像這樣通過配成完全平方式來解一元二次方程，叫做配方法.配方法的定義配方法解方程的基本思路把方程化為（x+n)2=p的形式，將一元二次方程降次，轉化為一元一次方程求解．配方法解方程的基本步驟一移常數項；二配方[配上]；三寫成（x+n)2=p(p≥0);四直接開平方法解方程.典例精析例1

解下列方程：解：（1）移項，得x2－8x=－1,配方，得x2－8x+42=－1+42,(x－4)2=15由此可得即配方，得由此可得二次項系數化為1，得解：移項，得2x2－3x=－1,

方程的二次項系數不是1時，為便于配方，可以將方程各項的系數除以二次項系數．即移項和二次項系數化為1這兩個步驟能不能交換一下呢?配方，得

因為實數的平方不會是負數，所以x取任何實數時，(x－1)2都是非負數，即上式都不成立，所以原方程無實數根．解：移項，得二次項系數化為1，得為什么方程兩邊都加12？即配方法的應用二典例精析例2.試用配方法說明：不論k取何實數，多項式k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因為（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.配方法的應用

類別

解題策略1.求最值或證明代數式的值為恒正（或負）對于一個關于x的二次多項式通過配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n為常數，當a＞0時，可知其最小值；當a＜0時，可知其最大值.2.完全平方式中的配方如：已知x2－2mx＋16是一個完全平方式，所以一次項系數一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.3.利用配方構成非負數和的形式對于含有多個未知數的二次式的等式，求未知數的值，解題突破口往往是配方成多個完全平方式得其和為0，再根據非負數的和為0，各項均為0，從而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,則a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.1.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程無解；解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2；解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.2.如圖，在一塊長35m、寬26m的矩形地面上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路，剩余部分栽種花草，要使剩余部分的面積為850m2，道路的寬應為多少？

解：設道路的寬為xm,根據題意得（35-x)(26-x)=850，整理得x2-61x+60=0.解得x1=60（不合題意，舍去）,x2=1.答：道路的寬為1m.3.應用配方法求最值.(1)2x2

-4x+5的最小值；(2)-3x2

+5x+1的最大值.解：（1）2x2-

4x+5=2(x-

1)2+3

當x=1時有最小值3

（2）-3x2+12x-16=-3(x-2)2-4

當x=2時有最大值-4配方法定義通過配成完全平方形式解一元二次方程的方法.方法在方程兩邊都配上步驟一移常數項；二配方[配上]；三寫成（x+n)2=p(p≥0);

四直接開平方法解方程.特別提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化為x2+px+q=0的形式.應用求代數式的最值或證明21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程21.2.2公式法新人教版九年級數學上冊1.用配方法解一元二次方程的步驟有哪幾步？2.如何用配方法解方程?一、移常數項；二、配方[配上一次項系數一半的平方]；三、寫成（x+n)2=p(p≥0);四、直接開平方法解方程.解:移項，得：配方，得：由此得:二次項系數化為1，得(x-)2=342116x-=±3441.經歷求根公式的推導過程.2.會用公式法解簡單系數的一元二次方程.3.理解并會計算一元二次方程根的判別式.4.會用判別式判斷一元二次方程的根的情況.

求根公式的推導一任何一個一元二次方程都可以寫成一般形式ax2+bx+c=0，能否也用配方法得出解呢？用配方法解一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0).

方程兩邊都除以a

解:移項，得配方，得即用配方法解一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0).即一元二次方程的求根公式特別提醒∵a≠0,4a2>0，當b2-4ac≥0時，用配方法解一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0).∵a≠0,4a2>0，當b2-4ac

＜0時，而x取任何實數都不能使上式成立.因此，方程無實數根.由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系數a，b，c確定．因此，解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，當b2-4ac≥0時，將a，b，c代入式子就得到方程的根，這個式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數根.用公式法解一元二次方程的前提是:

1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0);2.b2-4ac≥0.

公式法解方程二例1

用公式法解方程5x2-4x-12=0解：∵a=5,b=-4,c=-12，b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.典例精析例2

解方程：化簡為一般式：解：即：這里的a、b、c的值是什么？例3

解方程：4x2-3x+2=0因為在實數范圍內負數不能開平方，所以方程無實數根.解：要點歸納公式法解方程的步驟

1.變形:化已知方程為一般形式;

2.確定系數:用a,b,c寫出各項系數;

3.計算:

b2-4ac的值;

4.判斷：若b2-4ac≥0，則利用求根公式求出;若b2-4ac<0，則方程沒有實數根.

根的判別式三問題1

在例1~例3的解題中，你們發現了什么決定了方程根的情況？又是如何決定的呢？兩個不相等實數根

兩個相等實數根沒有實數根兩個實數根判別式的情況

根的情況

一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式，通常用希臘字母“”表示它，即=

b2-4ac.

>0

=0

<0

≥0

按要求完成下列表格：練一練

的值04根的情況有兩個相等的實數根沒有實數根有兩個不相等的實數根3、判別根的情況，得出結論.1、化為一般式，確定a,b,c的值.要點歸納根的判別式使用方法2、計算的值，確定的符號.例4若關于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（）A.k＜5B.k＜5且k≠1C.k≤5且k≠1D.k＞5【解析】由題意知方程(k-1)x2+4x+1=0有兩個不相等的實數根，所以有∴k＜5且k≠1故選B.B（3）方程4x2－4x+1=0中，a=

，b=

，c=

；b2－4ac=

.1.先把下列一元二次方程化成一般形式，再寫出一般形式的a、b、c：（1）方程2x2+x-6=0中，a=

，b=

，c=

；b2－4ac=

.（2）方程5x2－4x=12中，a=

，b=

，

c=

；b2－4ac=

.21-6495-4-122564-401參考答案:2.解下列方程:(1)x2-2x－8＝0；(2)9x2＋6x＝8；(3)(2x-1)(x-2)=-1;3.不解方程，判別方程5y2+1=8y的根的情況.解：化為一般形式為：5y2-8y+1=0.所以Δ=b2－4ac=（5）2-4×（-8）×1=57>0.所以方程5y2+1=8y的有兩個不相等的實數根.這里a=5,b=-8,c=1，

在等腰△ABC

中，三邊分別為a,b,c，其中a=5，若關于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有兩個相等的實數根，求△ABC

的周長.解：關于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有兩個相等的實數根，所以Δ=b2－4ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0.所以b=-10或b=2.將b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；將b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（不符題設，舍去）；所以△ABC

的三邊長為4，4，5，其周長為4+4+5=13.公式法求根公式步驟一化（一般形式）；二定（系數值）；三求（Δ值）；

四判（方程根的情況）；五代（求根公式計算）.根的判別式b2-4ac務必將方程化為一般形式21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程21.2.3因式分解法新人教版九年級數學上冊1.我們已經學過了幾種解一元二次方程的方法?2.什么叫分解因式?把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式叫做分解因式.直接開平方法配方法x2=a(a≥0)(x+m)2=n(n≥0)公式法1.理解用因式分解法解方程的依據.2.會用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重點）3.會根據方程的特點選用恰當的方法解一元二次方程.（難點）我們知道ab=0，那么a=0或b=0，類似的解方程（x+1）（x－1）=0時，可轉化為兩個一元一次方程x+1=0或x-1=0來解，你能求（x+3）（x－5）=0的解嗎？因式分解法解一元二次方程一問題1

根據物理學規律，如果把一個物體從地面以10m/s的速度豎直上拋，那么經過xs物體離地面的高度(單位：m)為10-4.9x2.你能根據上述規律求出物體經過多少秒落回地面嗎(精確到0.01s)?

分析：

設物體經過xs落回地面，這時它離地面的高度為0，即10x-4.9x2=0①

解：解：∵a=4.9,b=-10,c=0.

∴

b2－4ac=(－10)2－4×4.9×0

=100.公式法解方程10x-4.9x2=0.配方法解方程10x-4.9x2=0.10x-4.9x2=0.因式分解如果a·

b=0，那么a=0或b=0.兩個因式乘積為0，說明什么或降次，化為兩個一次方程解兩個一次方程，得出原方程的根這種解法是不是很簡單？10x-4.9x2=0①

x(10-4.9x)=0②

x=0①

10-4.9x=0

上述解法中,由①到②的過程，先因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式,再使這兩個一次式分別等于0,從而實現降次.這種解法叫做因式分解法.要點歸納因式分解法的概念因式分解法的基本步驟一移-----方程的右邊=0;二分-----方程的左邊因式分解;三化-----方程化為兩個一元一次方程;四解-----寫出方程兩個解;簡記歌訣：右化零左分解兩因式各求解試一試：下列各方程的根分別是多少？(1)x(x-2)=0；

(1)x1=0,x2=2；

(2)(y+2)(y-3)=0；

(2)y1=-2,y2=3；(3)(3x+6)(2x-4)=0；

(3)x1=-2,x2=2；

(4)x2=x.(4)x1=0,x2=1.例1

解下列方程：解：（1）因式分解，得于是得x－2＝0或x＋1=0,x1=2，x2=－1.(2)移項、合并同類項，得因式分解，得

(2x＋1)(2x－1)=0.于是得2x＋1=0或2x－1=0,(x－2)(x＋1)=0.

可以試用多種方法解本例中的兩個方程.典例精析靈活選用方法解方程二典例精析例2

用適當的方法解方程：（1）3x（x+5）=5（x+5）；（2）（5x+1）2=1；分析：該式左右兩邊可以提取公因式，所以用因式分解法解答較快.解：化簡

(3x-5)(x+5)=0.

即

3x-5

=0或

x+5

=0.分析：方程一邊以平方形式出現，另一邊是常數，可直接開平方法.解：開平方,得5x+1=±1.

解得,x1=0,x2=

（3）x2

-12x=4

;（4）3x2=4x+1；分析：二次項的系數為1，可用配方法來解題較快.解：配方,得

x2-12x+62=4+62,即(x-6)2=40.開平方,得

解得x1=,x2=分析：二次項的系數不為1，且不能直接開平方，也不能直接因式分解，所以適合公式法.解：化為一般形式

3x2-4x+1=0.

∵Δ=b2-4ac=28>0,

填一填：各種一元二次方程的解法及適用類型.拓展提升一元二次方程的解法適用的方程類型直接開平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0

（p2-4q≥0）(x+m)2＝n（n≥0）ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)(x+m)

（x+n）＝01.一般地，當一元二次方程一次項系數為0時（ax2+c=0），應選用直接開平方法；2.若常數項為0（

ax2+bx=0），應選用因式分解法；3.若一次項系數和常數項都不為0(ax2+bx+c=0），先化為一般式，看一邊的整式是否容易因式分解，若容易，宜選用因式分解法，不然選用公式法；4.不過當二次項系數是1，且一次項系數是偶數時，用配方法也較簡單.要點歸納解法選擇基本思路

①x2-3x+1=0；②3x2-1=0；

③-3t2+t=0；

④x2-4x=2；

⑤2x2-x=0；⑥5(m+2)2=8；

⑦3y2-y-1=0；

⑧2x2+4x-1=0；

⑨(x-2)2=2(x-2).

適合運用直接開平方法

；適合運用因式分解法

；適合運用公式法

；

適合運用配方法

.

1.填空⑥

①②③

④

⑤⑦⑧⑨2.下面的解法正確嗎？如果不正確，錯誤在哪？并請改正過來.解方程(x-5)(x+2)=18.解:原方程化為：

(x-5)(x+2)=18.①由x-5=3,得x=8;②由x+2=6,得x=4;③所以原方程的解為x1=8或x2=4.3.解方程x（x+1）=2時，要先把方程化為

；再選擇適當的方法求解，得方程的兩根為x1=

,x2=

.x2+x-2=0-21解:原方程化為：x2

-3x-28=0，

(x-7)(x+4)=0，

x1=7，x2=-4.解：化為一般式為因式分解，得x2－2x+1=0.(x－1)(x－1)=0.有x

－1=0或x

－1=0，x1=x2=1.解：因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.有2x+11=0或2x

－11=0，4.解方程：5.把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積增加了一倍，求小圓形場地的半徑．解：設小圓形場地的半徑為r，根據題意(r+5)2×π=2r2π.因式分解，得于是得答：小圓形場地的半徑是因式分解法概念步驟簡記歌訣：右化零左分解兩因式各求解如果a·b=0，那么a=0或b=0.原理將方程左邊因式分解，右邊=0.因式分解的方法有ma+mb+mc=m(a+b+c);a2±2ab+b2=(a±b)2；a2-b2=(a+b)(a-b).21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程21.2.4一元二次方程的根與系數的關系新人教版九年級數學上冊用公式法求下列方程的根:

用公式法解一元二次方程的一般步驟:1)把方程化為一般形式2)確定a、b、c的值4)利用求根公式計算方程的根3)計算b2-4ac,并判斷其值與0的關系1.探索一元二次方程的根與系數的關系.（難點）2.不解方程利用一元二次方程的根與系數的關系解決問題.（重點）復習引入1.一元二次方程的求根公式是什么？想一想：方程的兩根x1和x2與系數a,b,c還有其它關系嗎？2.如何用判別式b2-4ac來判斷一元二次方程根的情況？對一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)b2-4ac>0時,方程有兩個不相等的實數根.b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實數根.b2-4ac<0時,方程無實數根.探索一元二次方程的根與系數的關系一

算一算

解下列方程并完成填空：（1）x2+3x-4=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程兩根關系x1x2x2+3x-4=0x2-5x+6=02x2+3x+1=0-4123-1x1+x2=-3x1·

x2=-4x1+x2=5x1·

x2=6猜一猜

（1）若一元二次方程的兩根為x1,x2,則有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2為已知數）的兩根是什么？將方程化為x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2與p,q之間的關系嗎？重要發現如果方程x2+px+q=0的兩根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1·x2=q.猜一猜

（2）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別是x1、x2，那么，你可以發現什么結論？證一證：一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）如果一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別是x1、x2，那么注意滿足上述關系的前提條件b2-4ac≥0.1.x2-2x-15=0；例1

口答下列方程的兩根之和與兩根之積.2.x2-6x+4=0；3.2x2+3x-5=0；4.3x2-7x=0；5.2x2=5.x1+x2=-p,x1·x2=q.x1+x2=2,x1·x2=-15.x1+x2=6,x1·x2=4.ax2+bx+c=0(a≠0)兩邊都除以a一元二次方程的根與系數的關系的應用二典例精析

下列方程的兩根和與兩根積各是多少？⑴

x2－3x+1=0；⑵

3x2－2x=2；⑶

2x2+3x=0；⑷

3x2=1.

在使用根與系數的關系時:(1)不是一般式的要先化成一般式；(2)在使用x1+x2=－時，“－”不要漏寫.注意例2

已知方程5x2+kx-6=0的一個根是2，求它的另一個根及k的值.解：設方程5x2+kx-6=0的兩個根分別是x1、x2，其中x1=2

.所以：x1·x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+=得：k=-7.答：方程的另一個根是，k=-7.已知方程3x2-18x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值.解：設方程3x2-18x+m=0的兩個根分別是x1、x2，其中x1=1.所以：x1+x2=1+x2=6，即：x2=5

.

由于x1·x2=1×5=得：m=15.答：方程的另一個根是5，m=15.例3

不解方程，求方程2x2+3x-1=0的兩根的平方和、倒數和.解：根據根與系數的關系可知：

設x1,x2為方程x2-4x+1=0的兩個根，則:（1）x1+x2=

,(2)x1·x2=

,(3)

,(4)

.411412總結常見的求值:

求與方程的根有關的代數式的值時,一般先將所求的代數式化成含兩根之和,兩根之積的形式,再整體代入.歸納1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一個根，則另一個根是___，m

=____.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為-2和

1，則：p=

,q=

.1-2-33.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的兩個根，且（x1+1)(x2+1)=4；

（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.解：（1）根據根與系數的關系所以（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7；

（2）因為k=-7,所以則：根與系數的關系（韋達定理）內容如果方程x2+px+q=0的兩根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.如果一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別是x1、x2，那么應用常見變形21.3實際問題與一元二次方程第二十一章一元二次方程第1課時傳播問題與一元二次方程

新人教版九年級數學上冊1、解一元二次方程有哪些方法？1、直接開平方法2、配方法、3、公式法、4、因式分解法．2、解一元一次方程應用題的一般步驟？第一步：弄清題意和題目中的已知數、未知數，用字母表示題目中的一個未知數；第二步：找出能夠表示應用題全部含義的相等關系；第三步：根據這些相等關系列出需要的代數式（簡稱關系式）從而列出方程；第四步：解這個方程，求出未知數的值；第五步：在檢查求得的答數是否符合應用題的實際意義后，寫出答案（及單位名稱）。1.會分析實際問題（傳播問題）中的數量關系并會列一元二次方程.

2.正確分析問題（傳播問題）中的數量關系.3.會找出實際問題（傳播問題等）中的相等關系并建模解決問題.傳播問題與一元二次方程一

問題1有一人患了流感,經過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人?分析：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.傳染源記作小明，其傳染示意圖如下：合作探究第2輪???小明12x第1輪第1輪傳染后人數x+1小明第2輪傳染后人數x（x+1）注意：不要忽視小明的二次傳染x1=

,x2=

.根據示意圖，列表如下：解方程,得答:平均一個人傳染了________個人.10-12(不合題意,舍去)10解:設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.(1+x)2=121注意:一元二次方程的解有可能不符合題意，所以一定要進行檢驗.傳染源人數第1輪傳染后的人數第2輪傳染后的人數

1

1+x=(1+x)11+x+x(1+x)=(1+x)2想一想如果按照這樣的傳染速度,三輪傳染后有多少人患流感?第2種做法

以第2輪傳染后的人數121為傳染源,傳染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331人.第一輪傳染后的人數第二輪傳染后的人數第三輪傳染后的人數(1+x)1(1+x)2

分析

第1種做法

以1人為傳染源,3輪傳染后的人數是:(1+x)3=(1+10)3=1331人.(1+x)3

列一元二次方程解應用題時，要注意應用題的內在數量關系，選擇適當的條件列代數式，選擇剩下的一個關系列方程.

在解出方程后要注意檢驗結果符不符合題意或實際情況，要把不符合實際情況的方程的根舍去.總結歸納

例1

某種電腦病毒傳播速度非常快，如果一臺電腦被感染，經過兩輪感染后就會有100臺電腦被感染．請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，4輪感染后，被感染的電腦會不會超過7000

臺？解：設每輪感染中平均一臺電腦會感染x

臺電腦，則1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100.解得x1＝9，x2＝－11(舍去)．∴x＝9.4輪感染后，被感染的電腦數為(1＋x)4＝104>7000.

答：每輪感染中平均每一臺電腦會感染

9臺電腦，4輪感染后，被感染的電腦會超過

7000臺．1.元旦將至，九年級一班全體學生互贈賀卡，共贈賀卡1980張，問九年級一班共有多少名學生？設九年級一班共有x名學生，那么所列方程為（）A.x2=1980B.

x(x+1)=1980C.x(x-1)=1980D.x(x-1)=19802.有一根月季，它的主干長出若干數目的枝干，每個枝干又長出同樣數目的小分支，主干、枝干、小分支的總數是73，設每個枝干長出x個小分支，根據題意可列方程為（）

A.1+x+x(1+x)=73B.1+x+x2=73C.1+x2=73D.(1+x)2=73DB3.一個兩位數，十位上的數字與個位上的數字之和為5，把這個數的個位數字與十位數字對調后，所得的新數與原數的積為736，求原數.解：設原數的個位上數字為x,十位上的數字為(5-x),則原數表示為[10(5-x)+x],對調后新數表示為[10x+(5-x)],根據題意列方程得[10(5-x)+x][10x+(5-x)]=736.化簡整理得x2-5x+6=0，解得x1=3，x2=2.所以這個兩位數是32或23.4.甲型流感病毒的傳染性極強，某地因1人患了甲型流感沒有及時隔離治療，經過兩天的傳染后共有9人患了甲型流感，每天平均一個人傳染了幾人？如果按照這個傳染速度，再經過5天的傳染后，這個地區一共將會有多少人患甲型流感？解：設每天平均一個人傳染了x人，解得x1=-4(舍去），x2=2.答：每天平均一個人傳染了2人，這個地區一共將會有2187人患甲型流感.1+x+x(1+x)=9，即（1+x）2=9.9(1+x)5=9(1+2)5=2187，(1+x)7=(1+2)7=2187.5.要組織一場籃球聯賽,賽制為單循環形式,即每兩隊之間都賽一場,計劃安排15場比賽,應邀請多少個球隊參加比賽?答：應邀請6支球隊參賽.解：設應邀請x支球隊參賽，由題意列方程得化簡為x2-x=30，解得x1=-5(舍去），x2=6.列一元二次方程解應題與列一元一次方程解決實際問題基本相同.不同的地方是要檢驗根的合理性.傳播問題數量關系：第一輪傳播后的量=傳播前的量×（1+傳播速度）第二輪傳播后的量=第一輪傳播后的量×（1+傳播速度）=傳播前的量×（1+傳播速度）2數字問題握手問題送照片問題關鍵要設數位上的數字，要準確地表示出原數.甲和乙握手與乙和甲握手在同一次進行，所以總數要除以2.甲送乙照片與乙送甲照片是要兩張照片，故總數不要除以2.步驟類型21.3實際問題與一元二次方程第二十一章一元二次方程第2課時平均變化率問題與一元二次方程新人教版九年級數學上冊列一元二次方程解應題與列一元一次方程解決實際問題基本相同.不同的地方是要檢驗根的合理性.傳播問題數量關系：第一輪傳播后的量=傳播前的量×（1+傳播速度）第二輪傳播后的量=第一輪傳播后的量×（1+傳播速度）=傳播前的量×（1+傳播速度）2數字問題握手問題送照片問題關鍵要設數位上的數字，要準確地表示出原數.甲和乙握手與乙和甲握手在同一次進行，所以總數要除以2.甲送乙照片與乙送甲照片是要兩張照片，故總數不要除以2.步驟類型1.掌握建立數學模型以解決增長率與降低率問題.2.正確分析問題中的數量關系并建立一元二次方程模型.小明學習非常認真，學習成績直線上升，第一次月考數學成績是80分，第二次月考增長了10%，第三次月考又增長了10%，問他第三次數學成績是多少？平均變化率問題與一元二次方程一填空：

1.前年生產1噸甲種藥品的成本是5000元，隨著生產技術的進步，去年生產1噸甲種藥品的成本是4650

元，則下降率是

.如果保持這個下降率，則現在生產1噸甲種藥品的成本是

元.探究歸納7%4324.5下降率=下降前的量-下降后的量下降前的量

2.前年生產1噸甲種藥品的成本是5000元，隨著生產技術的進步，設下降率是x,則去年生產1噸甲種藥品的成本是

元，如果保持這個下降率，則現在生產1噸甲種藥品的成本是

元.下降率x第一次降低前的量5000(1-x)第一次降低后的量5000下降率x第二次降低后的量第二次降低前的量5000(1-x)(1-x)5000(1-x)25000(1-x)5000(1-x)2

例1

前年生產1噸甲種藥品的成本是5000元，隨著生產技術的進步，現在生產1噸甲種藥品的成本是3000元，試求甲種藥品成本的年平均下降率是多少？典例精析解：設甲種藥品的年平均下降率為x.根據題意，列方程，得5000(1－x)2=3000，解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.根據問題的實際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5％.下降率不能超過1.注意練一練

前年生產1噸乙種藥品的成本是6000元.隨著生產技術的進步，現在生產1噸乙種藥品的成本是3600元，試求乙種藥品成本的年平均下降率？

解：設乙種藥品的年平均下降率為y.根據題意，列方程，得6000(1－y)2=3600.解方程，得y1≈0.225，y2≈－1.775.

根據問題的實際意義，乙種藥品成本的年平均下降率約為22.5％.解后反思

答：不能.絕對量：甲種藥品成本的年平均下降額為（5000-3000）÷2=1000元，乙種藥品成本的年平均下降額為（6000-3000）÷2=1200元，顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大．

問題1

藥品年平均下降額大能否說年平均下降率（百分數）就大呢？

答：不能.

能過上面的計算，甲、乙兩種藥品的年平均下降率相等.因此我們發現雖然絕對量相差很多，但其相對量（年平均下降率）也可能相等．

問題2從上面的絕對量的大小能否說明相對量的大小呢?也就說能否說明乙種藥品成本的年平均下