2.2《平方根》第一課時教學設計

(-)創設情境，引入新知

活動一：復習舊知

問題1：老師手中有一正方形圖片，若已知邊長是3時，同學們說其面積是多少呢？

生：32=9并在黑板上寫出.

問題2：以上算式屬于我們學過的什么運算？在此算式中存在幾個量？分別是什么？

生：乘方運算；存在三個量；底數、指數和暴.

問題3：乘方運算是知道了哪些量求哪個量的運算？

生：底數、指數求累的運算.

活動二：探究新知

問題4：若正方形的面積是9時，同學們說其邊長是多少呢？

師：同學們我們比較這兩種運算，有什么區別？

生：第一種運算，是知道了底數、指數求累的運算即乘方運算；第二種運算，是知道了

累、指數求底數的運算.

師：很好，第二種運算就是今天我們要學習的一種新運算一求一個正數的算術平方根的

運算.

(板書1)§2.2算術平方根

設計意圖：通過利用舊知，引入新知.學生樂于去做，敢于發言，同時，讓學生感受到，

通過自己的探究，“玩”出了很多意想不到的收獲，使數學課不再枯燥.注重了用數學的方法

去研究問題，從數學的角度去思考問題，使數學課更具有數學味，同時，也揭示了本節課的

問題5：若正方形的面積是3時，同學們說其邊長必又是多少呢？

師：通過上節課的學習我們知道它的范圍是多少？它具體是多少，你知道嗎？

生：1.7<w<l.8,1.73<w<l.74,???；是無限不循環小數.

師：同學們，這是我們在小學遇到過“兀”的基礎上，又一次遇到不能準確的去表示一

個數，為了能精確的表示它，我們引進一個新的記號“「，讀作“根號”.我們就用73

來表示相，這就好比小學中我們學過的圓周率3.1415926…，它就是一個無限不循環小數，

為了能表示它，就用一個符號“力”來表示一樣的道理.

設計意圖：通過自主探索，讓學生親身體驗概念的形成過程，感受到概念引入的必要性，

充分體現了學生的主體作用.

結論：像以上算式〃？=3中，我們就把正數，"叫做3的算術平方根.記作：”，即

"7=G

問題6：請仿照上面表示''若加2=3,則根=百”的辦法，試著分別表示出下列正數x.

(1)^=3(2)/=5(3)/=7(4)>~=a(〃>0)

設計意圖：算術平方根的概念是由具體到抽象、由特殊到一般而形成的.通過問題6

的嘗試，培養學生抽象概括的能力.

(二)多方聯動、理解新知

師：現在我們一起來概括算術平方根的定義：

(板書2)：一般的，一個正數x的平方等于“，即則這個正數x就叫做。的算術

平方根.記為“無”讀作“根號.

(板書3)：0的算術平方根是0,即、同=0.

問題1：用含根號的式子表示下列各數的算術平方根.(多媒體出示)

(1)16(2)25(3)7(4)14

(學生獨立完成后交流，并不失時機地追問)

師：通過此問題，你會有什么新的發現？

生：象屈=4,后=5一樣，這些正數可以寫成有理數平方的形式，其算術平方根就

可以用一個非負有理數表示，而有些正數寫不成有理數平方的形式，其算術平方根只能用根

號表示，如上面的7和14,它們的算術平方根只能分別寫成J7、V14.

設計意圖：強化對算術平方根概念的認識，當細則細，為求出數的算術平方根搭建引橋，

目的在于慢中求進，扎實有效.

師：根據同學們的認識，我們一起來完成例題1.

例題1:求下列各數的算術平方根：（多媒體出示）

（1）1（2）900

解：（2）（老師板演第2題的解題過程）

V3（）2=900

，900的算術平方根是30

即曲頌0

設計意圖：規范學生解題的格式，讓學生明確解題的思路.

49

（3）106（4）—

64

解：（4）（老師板演第4題）

497

/.碑算術平方根是g

（5）10

設計意圖：體臉求一個正數的算術平方根的過程，摸索利用平方運算求一個正數的算術

平方根的方法，讓學生明白有的正數的算術平方根可以開出來，有的正數的算術平方根只能

用根號表示，如：io的算.術平方根是同時，突出了本節課的教學重點.

思考：通過上面的例題，大家思考一下，我們在求算術平方根時是借助于哪一種運算來

求的？（多媒體出示）

設計意圖：讓學生感知平方運算和求正數的算術平方根是互逆的關系.

問題2：仿照''例題1"，請同學們自己編寫兩道類似的題目，供其他同學解答.

設計意圖：要把所學的新知識，融入到自己已有的知識結構中來，通過編題，增進學生

對概念的理解，力求做到學以致用，舉一反三.

師：同學們，我們都能編題了，真了不得！看來下面的實際問題已不在話下.（出示例

題2）

例題2：自由下落的物體的高度〃（米）與下落時間/（秒）的關系為H4.9R有一鐵球從19.6

米高的建筑物上自由下落，到達地面需要多長時間？（多媒體出示）

（多媒體演示解題過程）

解：將6=19.6代入公式6=4.9產得尸=4,所以仁"=2（秒），即鐵球到達地面需要2秒.

設計意圖：用算術平方根的知識解決實際問題，把數學與生活實施了鏈接，以增進學生

對數學價值的體悟.

問題3：◎有意義嗎？為什么？（多媒體出示）

分析：q無意義，因為任何數的平方都是非負數，即/NO,故j萬無意義.

（板書4）：性質

算術平方根是非負數，負數沒有算術平方根.用式子表示為為非負數，這是算

術平方根的一條很重要的性質.

設計意圖：讓學生認識到算術平方根.定義中的兩層含義：G中的a是一個非負數，a

的算術平方根G也是一個非負數，負數沒有算術平方根.這也是算術平方根的性質一一雙

重非負性.

師：現在，同學們對算術平方根的認識可以說已經較為全面，事實到底如何呢？小試

牛刀，看看自己的身手吧！

（三）自主運用、強化新知

1.填空：（多媒體出示）

（1）工的算術平方根是.

9

7

（2）1-的算術平方根為.

9

（3）商的算術平方根為.

設計意圖：通過三個遞進式的填空題，檢測學生對算術平方根概念的把握情況，并通過

（3）小題突出審題意識、優化學生的思維習慣.

2.若一個正方形的邊長為3時;當面積擴大原來的4倍后，其大正方形的邊長6變為原

來的多少倍？（多媒體出示）

解：，：8=4X3?=36

b=V36=6

HP：大正方形的邊長是原來邊長的2倍.

3.請同學們寫出一些數的算術平方根，使它分別是整數、分數、無限不循環小數.（多

媒體出示）

設計意圖：通過這樣的開放式訓練，使學生對算術平方根概念的認識和理解得到升華，

讓學生再一次品嘗到成功的喜悅.在師生互動的過程中，將課堂推向了高潮，把難以理解的

知識，像剝竹筍一樣一層一層的剝開，使學生眼前豁然一亮.同時，也突破了本節課的教學

難點.

師：同學們說的都很好，看來我們通過今天的學習，有了很多的收獲.

（四）合作交流、歸納總結

同學們，通過本節課的共同學習，請你從知識、方法與情感等方面談一談自己的認識.

師:這節課主要就平方根中的算術平方根進行討論，求一個正數的算術平方根與求一個

正數的平方正好是互逆的過程，因此，求正數的算術平方根實際上可以轉化為求一個數的平

方運算.只不過，只有正數和。才有算術平方根，負數沒有算術平方根.

設計意圖：

通過回顧、梳理、反思，使學生對所學知識得到充分的消化和吸收，理順了各知識點間

的關系.老師重點從以下幾個方面進行強調：

1.算術平方根概念引入的重要性，尤其是讓學生經歷概念的形成過程以及里面所蘊含的

數學思想；

2.算術平方根概念應用的廣泛性；

3.倡導學生善于發現、勇于探索、敢于創新.

（五）布置作業，自我鞏固

1.必做題：P40習題1、2、3.

2.選做題：

（1）一個正方形的面積為原來的100倍時，它的邊長變為原來的多少倍？

（2）一個正方形的面積變為原來的〃倍時，它的邊長變為原來的多少倍？

設計意圖：

設置分層作業，兼顧不同水平的學生，關注差異，使學生獲得各自的發展，加深學生對

“公式”的進一步理解的同時，擴展學生的思維，讓優秀生有舒展的舞臺.

附

課外閱讀材料：“根號的由來”

現在，我們都習以為常地使用根號（如J-，曠等等），并感到它使用起來既簡明又方

便，那么，根號是怎樣產生和演變成現在這種樣子的呢？

古時候，埃及人用記號表示平方根；印度人在開平方時，在被開方數的前面寫上

ka；阿拉伯人用語表示相；1840年前后，德國人用一個點”.”來表示平方根，兩點”

表示4次方根，三個點”表示立方根，比如3、..3、...3就分別表示3的平方根、

4次方根、立方根。到十六世紀初，可能是書寫快的緣故，小點上帶了一條細長的尾巴，變

成‘‘我"。1525年，路多爾夫在他的代數著作中，首先采用了根號，比如他寫正4是2,

正9是3,并用表示我，朝。但是這種寫法未得到普遍的認可與采納.

與此同時，有人采用“根”字的拉丁文radix中第一個字母的大寫R來表示開方運算,

并且后面跟著拉丁文“平方”一字的第一個字母q,或“立方”的第一個字母c,來表示開

的是多少次方。例如，現在的屈克，當時有人寫成R.q.4352.現在的.7+、河，用數學

家邦別利（1526—1572年）的符號可以寫成R.c.e7p.R.q.14,其中。相當于今天用

的括號，P相當于今天用的加號（那時候，連加減號“+還沒有通用）.

直到十七世紀，法國數學家笛卡爾（1596—1650年）第一個使用了現今用的根號

在一本書中，笛卡爾寫道：“如果想求a?的平方根，就寫作+/,如果想求

&3_63+口瓦）的立方根，則寫作Jed_/+a訕。”

這是出于什么考慮呢？有時候被開方數的項數較多，為了避免混淆，笛卡爾就用一條橫

線把這幾項連起來，前面放上根號J（不過，它比路多爾夫的根號多了一個小鉤）就為現在

的根號形式。

現在的立方根符號出現得很晚，一直到十八世紀，才在一書中看到符號

%%'3的使用，比如25的立方根用歸表示。以后，諸如?，0，▼等等

形式的根號漸漸使用開來。

由此可見，一種符號的普遍采用是多么地艱難，它是人們在悠久的歲月中，經過不斷改

良、選擇和淘汰的結果，它是數家們集體智慧的結晶，而不是某一個人憑空臆造出來的，不

是從天上掉下來的.

學生學情分析：

根據八年級學生的身心發展特點，我從學生已有的知識基礎、學習現狀等方

面分析.

1.學生的已有基礎

學生在七年級時已學過了乘方的運算，上節課又學習了無理數，這就是本節課的

教學出發點，有助于本節學習活動的進行.

2.學習的現狀

此階段的學生具有很強的好奇心、強烈的“自我”和自我發展的意識，因此

對新鮮事物或新內容特別感興趣，但缺乏學習的方法.學生已具備了對無理數的

認識，知道只有有理數是不夠的.學生還具備了乘方運算的基礎，并且有計算正

方形等幾何圖形面積的技能.在前面的學習過程中，學生已經經歷了很多合作學

習的過程，具備了一定的合作學習的經驗與交流的能力.這節課的教學，力求從

學生實際出發，以他們熟悉的問題情景引入學習主題，在關注現實生活的同時,

更加關注數學知識內部的挑戰性.

效果分析

關于評測練習：

第1題：學生有95%的能夠掌握，并且步驟敘述的比較規范；

第2、3題訓練學生對概念的綜合應用，有70%的學生能夠掌握。

第4、5題訓練學生對算數平方根性質綜合應用，真是應了那句“提出一個問題往往

比解決一個問題更困難”，只有約30%的學生完成的很輕松。

關于知識點的掌握：

達到了預期的教學目標。

教材分析：

本節課題是北師大版義務教育課程標準實驗教科書八年級上冊第二章第二

節《平方根》第一課時的內容.是在七年級學習了乘方運算的基礎上安排的，是

學習實數的準備知識.由于實際計算中需要引入無理數，使數的范圍從有理數擴

充到了實數，從而完成了初中階段數的擴展；運算方面，在乘方的基礎上引入了

開方運算，使代數運算得以完善.因此，本節課是有助于了解n次方根的概念，

為今后學習根式運算、方程、函數等知識作出了鋪墊.

教學重點：

理解算關平方根的概念、性質，會用根號表示一個正數的算術平方根.

教學難點：

根據算關平方根的概念正確求出非負數的算術平方根.

課堂達標作業：

1.下列各數的算術平方根：

9

(1)36；(2)16；(3)13；(4)0.81；(5)104；

2.在直角三角形ABC中，ZC=90°,BC=3,AC=5,求AB的長.

3.如圖，從帳篷支撐竿AB的頂部A向地面拉一根繩子AC固定帳

篷.若繩子的長度為8米，地面固定點C到帳篷支撐竿底部B的距

離是6.4米，則帳篷支撐竿的高是多少米？

A

4.一個正方形的面積為原來的100倍時，它的邊長變為原來的多少

倍？

5.一個正方形的面積變為原來的n倍時，它的邊長變為原來的多少

倍？

課后反思：

這是一節概念教學課，要想讓學生正確、牢固地樹立起算術平方根的概念，

不僅需要讓學生經歷概念形成的過程，而且還要加強識別、辨析的訓練.算術平

方根的概念是歷經由具體到抽象、由特殊到一般的過程而形成的.