第四章圖形的相似回顧與思考數學九年級上冊BS版要點回顧典例講練目錄CONTENTS數學九年級上冊BS版01要點回顧

等于

ad＝

bc

ad＝

bc

BC

AC

2.平行線分線段成比例.（1）定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.（2）推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例.（3）基本圖形：3.相似三角形的判定及性質.（1）相似三角形的判定.①定理一：兩角分別

的兩個三角形相似（最常用的判定）.②定理二：兩邊成比例且

相等的兩個三角形相似.③定理三：三邊

的兩個三角形相似.相等

夾角

成比例

（2）相似多邊形的判定：每個角對應相等、每條邊對應成比例的多邊形相似.（3）相似三角形（多邊形）的性質.①定理一：相似三角形

的比、

?的比和

的比都等于相似比.②定理二：相似三角形（多邊形）的周長比等于

?，面積比等于

?.對應高

對應角平分線

對應中線

相似比

相似比的平方

4.圖形的位似.（1）一般地，如果兩個相似多邊形任意一組對應頂點P，P'所在的直線都經過同一點O，且有OP'＝k·OP（k≠0），那么這樣的兩個多邊形叫做

，這個點O叫做

，k就是這兩個相似多邊形的相似比，每組位似對應點與位似中心共線.（2）位似多邊形除具有相似多邊形的所有性質外，還具有下列性質：①對應頂點的連線經過位似中心；②對應邊平行或在同一條直線上；

③對應頂點到位似中心的距離之比等于相似比.位似多邊形

位似中心

數學九年級上冊BS版02典例講練要點一

成比例線段與黃金分割

（1）下面四組線段中，成比例的是（

B

）A.a＝2，b＝3，c＝4，d＝5B.a＝1，b＝2，c＝2，d＝4C.a＝4，b＝6，c＝5，d＝10B

【點撥】根據成比例線段的定義，注意在相乘的時候，最長的和最短的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等.若線段帶單位，注意單位要統一.（2）已知點P是線段MN的黃金分割點，當MN＝1時，PM的長是

?.

1.已知線段a，b，c，d是成比例線段，其中b＝3cm，d＝4cm，c＝6cm，則線段a的長度可能為（

B

）A.5cmB.2cmC.4cmD.1cm2.若樂器上一根弦AB＝80cm，兩端點A，B固定在樂器板面上，期間支撐點C是AB的黃金分割點（AC＞BC），則BC的長是（

C

）BC要點二

平行線分線段成比例

如圖，已知直線l1∥l2∥l3，AC分別交l1，l2，l3于點A，

B，C；DF分別交l1，l2，l3于點D，E，F，AC與DF交于點

O，且DE＝3，EF＝6，AB＝4.（1）求AC的長；

【點撥】此題考查了平行線分線段成比例與相似三角形的性質，這兩者有所區別.其中，第（2）問涉及BE，CF，但BE，

CF并不是被平行線截得的線段，考慮利用相似三角形的性質進行解答.

如圖，在△ABC中，已知DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶2，BC＝25，求FC的長.解：∵DE∥BC，∴EC∶AE＝BD∶AD.

∵EF∥AB，∴

EC∶AE＝FC∶BF.

∴FC∶BF＝BD∶AD.

∵AD∶DB＝3∶2，∴BD∶AD＝2∶3.∴FC∶BF＝2∶3.∴FC∶BC＝2∶5，即FC∶25＝2∶5.∴FC＝10.要點三

相似多邊形

如圖，已知四邊形ABCD∽四邊形A1B1C1D1，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝125°，求∠D1的度數以及x的值.

【點撥】本題考查了相似多邊形的性質，主要利用了相似多邊形對應角相等、對應邊成比例的性質，熟記性質是解題的關鍵.

如圖，已知四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，求x，y的值以及∠

C'的度數.

要點四

相似三角形的性質與判定

（1）如圖，點P是正方形ABCD的邊AB上一點（不與點

A，B重合），連接PD并將線段PD繞點P按順時針方向旋轉90°得到線段PE，PE交邊BC于點F，連接BE，DF.

解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD.

∴∠ADP＋∠APD＝90°.由題意可知，∠DPE＝90°，∴∠APD＋∠FPB＝90°.∴∠FPB＝∠ADP＝32°.

【點撥】本題主要考查了正方形的性質，以及三角形相似的判定與性質，正確應用三角形相似的性質是解題的關鍵.（2）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm.點P從點C出發，以2cm/s的速度沿CA向點A勻速運動，同時點

Q從點B出發，以1cm/s的速度沿BC向點C勻速運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止.經過幾秒，△PCQ與△

ABC相似？解：設經過t

s，△PCQ與△ABC相似.∵∠C＝∠C，∴分為兩種情況：

【點撥】本題考查相似三角形中的動點問題，解決此類問題時一定要注意三角形相似時的對應邊，若對應邊不確定時，要注意進行分類討論.

1.如圖，在正方形ABCD中，點M是BC邊上的任意一點，連接

AM并將線段AM繞點M按順時針方向旋轉90°得到線段NM，與

CD交于點Q.

在CD邊上取點P使CP＝BM，連接NP，BP，

AQ.

（1）求證：BP＝MN；

（2）若△MCQ∽△AMQ，求證：BM＝MC.

2.如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm.點D從點A出發沿AB方向向點B勻速運動，同時點E從點B

出發沿BC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s，連接

DE.

設運動時間為t（s）（0＜t＜10）.解答下列問題：（1）當t為何值時，△BDE的面積為7.5cm2？

（2）在點D，E的運動過程中，是否存在時間t，使得△BDE

與△ABC相似？若存在，請求出對應的t的值；若不存在，請說明理由.

要點五

相似三角形的實際應用

學習了相似三角形的相關知識后，小明和同學們想利用“標桿”測量大樓的高度.如圖1，小明站立在地面點F處，他的同學在點B處豎立“標桿”AB，使小明的頭頂點E、桿頂點

A、樓頂點C在一條直線上（點F，B，D也在一條直線上）.已知小明的身高EF＝1.5m，“標桿”AB＝2.5m，BD＝23m，

FB＝2m.圖1（1）求大樓CD的高度（CD垂直于地面BD）；解：（1）如圖1，過點E作EH⊥CD于點H，交AB于點J，則

四邊形EFBJ和四邊形EFDH都是矩形.∴BJ＝DH＝EF＝1.5m，EJ＝FB＝2m，JH＝BD＝23m.∵AB＝2.5m，∴AJ＝AB－BJ＝2.5－1.5＝1（m）.

∴CD＝CH＋DH＝12.5＋1.5＝14（m）.故大樓CD的高度為14m.（2）如圖2，小明站在原來的位置，同學們通過移動標桿，可以用同樣的方法測得樓CD上點G的高度GD＝11.5m，則相對于第一次測量，標桿AB應該向大樓方向移動多少米？圖2（2）設標桿AB移動至A1B1處.如圖2，過點E作ET⊥CD于點

T，交A1B1于點R.

設B1F＝xm.∵A1R∥GT，∴△EA1R∽△EGT.

∴x＝2.5.∴標桿AB應該向大樓方向移動2.5－2＝0.5（m）.【點撥】本題考查相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形.屬于中考常考題型.

如圖，小丁家窗外有一堵圍墻AB，由于圍墻的遮擋，清晨太陽光恰好從窗戶的最高點C射進房間地面的D處，中午太陽光恰好能從窗戶的最低點E射進房間地面的F處，AB⊥BD于點B，

CE⊥BD于點O，小丁測得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求圍墻AB的高度.

要點六

圖形的位似

如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別為A（2，1），B（1，4），C（3，2）.請解答下列問題：（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，并直接寫出點C1的坐標；（2）以原點O為位似中心，相似比為1∶2，在y軸的右側，畫出△ABC放大后的△A2B2C2，并直接寫出點C2的坐標；解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求作圖形，C1（－3，2）.（2）如圖，△A2B2C2即為所求作圖形，C2（6，4）.（3）若點D（a，b）在線段BC上，請直接寫出經過（2）的變