山東省青島西海岸新區第七中學2025屆數學九上期末考試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．已知正多邊形的一個外角為36°，則該正多邊形的邊數為().A．12 B．10 C．8 D．62．已知線段a、b、c、d滿足ab=cd，把它改寫成比例式，正確的是（）A．a：d＝c：b B．a：b＝c：d C．c：a＝d：b D．b：c＝a：d3．一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k+2＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣2 B．k＜﹣2 C．k＜2 D．k＞24．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若AB＝4，cos∠ABC＝，則BD的長為（）A．2 B．4 C．2 D．45．如果二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么下列不等式成立的是（）A．a>0 B．b<0C．ac<0 D．bc<06．如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的邊AB在x軸正半軸上，點A與原點重合，點D的坐標是（3，4），反比例函數y＝（k≠0）經過點C，則k的值為（）A．12 B．15 C．20 D．327．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．平行四邊形 B．菱形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形8．一元二次方程x2-2x+1=0的根的情況是（）A．只有一個實數根 B．有兩個相等的實數根C．有兩個不相等的實數根 D．沒有實數根9．小軍旅行箱的密碼是一個六位數，由于他忘記了密碼的末位數字，則小軍能一次打開該旅行箱的概率是（）A． B． C． D．10．如圖，在四邊形中，，點分別是邊上的點，與交于點，，則與的面積之比為（）A． B． C．2 D．4二、填空題(每小題3分,共24分)11．已知在中，，，，那么_____________.12．二次函數y=+2的頂點坐標為．13．已知扇形的面積為4π，半徑為6，則此扇形的圓心角為_____度．14．如圖，已知點A，C在反比例函數的圖象上，點B，D在反比例函的圖象上，AB∥CD∥x軸，AB，CD在x軸的兩側，AB=5，CD=4，AB與CD的距離為6，則a?b的值是_______.15．如圖，菱形的邊長為1，，以對角線為一邊，在如圖所示的一側作相同形狀的菱形，再依次作菱形，菱形，……，則菱形的邊長為_______．16．如圖，半圓O的直徑AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，則圖中陰影部分的面積為_____．17．如圖，在中，，，，點D、E分別是AB、AC的中點，CF是的平分線，交ED的延長線于點F，則DF的長是______．18．如圖，在矩形中對角線與相交于點，，垂足為點，且，則的長為___________.三、解答題(共66分)19．（10分）（1）解方程：.（2）如圖，四點都在上，為直徑，四邊形是平行四邊形，求的度數.20．（6分）如圖1，在中，，.（1）求邊上的高的長；（2）如圖2，點、分別在邊、上，、在邊上，當四邊形是正方形時，求的長.21．（6分）（問題情境）（1）古希臘著名數學家歐幾里得在《幾何原本》提出了射影定理，又稱“歐幾里德定理”：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．射影定理是數學圖形計算的重要定理．其符號語言是：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，則：（1）AC2=AB·AD；(2)BC2=AB·BD；(3)CD2=AD·BD；請你證明定理中的結論（1）AC2=AB·AD．（結論運用）（2）如圖2，正方形ABCD的邊長為3，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，①求證：△BOF∽△BED；②若，求OF的長．22．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉n度后，得到△DEC，點D剛好落在AB邊上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中點，判斷四邊形ACFD的形狀，并說明理由．23．（8分）（1）計算：（2）先化簡，再求值：，其中m滿足一元二次方程.24．（8分）我們知道，有理數包括整數、有限小數和無限循環小數，事實上，所有的有理數都可以化為分數形式(整數可看作分母為1的分數)，那么無限循環小數如何表示為分數形式呢？請看以下示例：例：將化為分數形式由于，設x=0.777…①則10x=7.777…②②?①得9x=7，解得，于是得．同理可得，根據以上閱讀，回答下列問題：(以下計算結果均用最簡分數表示)（基礎訓練）（1），；（2）將化為分數形式，寫出推導過程；（能力提升）（3），；(注：，2.01818…)（探索發現）（4）①試比較與1的大小：1；(填“＞”、“＜”或“=”)②若已知，則．(注：0.285714285714…)25．（10分）某商場經營某種品牌的玩具，購進時的單價30元，根據市場調查：在一段時間內，銷售單價是40元時，銷售是600件，而銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具．（1）若設該種品腳玩具上x元（0＜x＜60）元，銷售利潤為w元，請求出w關于x的函數關系式；（2）若想獲得最大利潤，應將銷售價格定為多少，并求出此時的最大利潤．26．（10分）如圖，在某一路段，規定汽車限速行駛，交通警察在此限速路段的道路上設置了監測區，其中點C、D為監測點，已知點C、D、B在同一直線上，且AC⊥BC，CD＝400米，tan∠ADC＝2，∠ABC＝35°（1）求道路AB段的長（結果精確到1米）（2）如果道路AB的限速為60千米/時，一輛汽車通過AB段的時間為90秒，請你判斷該車是否是超速，并說明理由；參考數據：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【解析】利用多邊形的外角和是360°，正多邊形的每個外角都是36°，即可求出答案．【詳解】解：360°÷36°＝10，所以這個正多邊形是正十邊形．故選：B．【點睛】本題主要考查了多邊形的外角和定理．是需要識記的內容．2、A【分析】根據比例的基本性質：兩外項之積等于兩內項之積．對選項一一分析，選出正確答案．【詳解】解：A、a：d=c：b?ab=cd，故正確；B、a：b=c：d?ad=bc，故錯誤；C、c：a＝d：b?bc=ad，故錯誤D、b：c＝a：d?ad=bc，故錯誤．故選A．【點睛】本題考查比例的基本性質，解題關鍵是根據比例的基本性質實現比例式和等積式的互相轉換．3、D【分析】根據一元二次方程有兩個不相等的實數根，得△即可求解.【詳解】∵一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k+2=0有兩個不相等的實數根，∴△解得k＞2.故選D.【點睛】本題考查一元二次方程△與參數的關系，列不等式是解題關鍵.4、D【分析】由銳角三角函數可求∠ABC＝60°，由菱形的性質可得AB＝BC＝4，∠ABD＝∠CBD＝30°，AC⊥BD，由直角三角形的性質可求BO＝OC＝2，即可求解．【詳解】解：∵cos∠ABC＝，∴∠ABC＝60°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝4，∠ABD＝∠CBD＝30°，AC⊥BD，∴OC＝BC＝2，BO＝OC＝2，∴BD＝2BO＝4，故選：D【點睛】此題主要考查三角函數的應用，解題的關鍵是熟知菱形的性質及解直角三角形的方法．5、C【解析】試題解析：由函數圖象可得各項的系數:故選C.6、D【分析】分別過點D，C作x軸的垂線，垂足為M，N，先利用勾股定理求出菱形的邊長，再利用Rt△ODM≌Rt△BCN得出BN＝OM，則可確定點C的坐標，將C點坐標代入反比例函數解析式中即可求出k的值.【詳解】如圖，分別過點D，C作x軸的垂線，垂足為M，N，∵點D的坐標是（3，4），∴OM＝3，DM＝4，在Rt△OMD中，OD＝∵四邊形ABCD為菱形，∴OD＝CB＝OB＝5，DM＝CN＝4，∴Rt△ODM≌Rt△BCN（HL），∴BN＝OM＝3，∴ON＝OB+BN＝5+3＝8，又∵CN＝4，∴C（8，4），將C（8，4）代入得，k＝8×4＝32，故選：D．【點睛】本題主要考查勾股定理，全等三角形的性質，待定系數法求反比例函數的解析式，掌握全等三角形的性質及待定系數法是解題的關鍵.7、B【解析】試題解析：A.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤，不合題意；B.是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確，符合題意；C.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤，不合題意；D.無法確定是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤，不合題意.故選B.8、B【解析】△=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，∴原方程有兩個相等的實數根．故選B．【點睛】，本題考查根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式△=b2-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．9、A【解析】∵密碼的末位數字共有10種可能（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、0都有可能），∴當他忘記了末位數字時，要一次能打開的概率是.故選A.10、D【分析】由AD∥BC，可得出△AOE∽△FOB，再利用相似三角形的性質即可得出△AOE與△BOF的面積之比．【詳解】：∵AD∥BC，

∴∠OAE=∠OFB，∠OEA=∠OBF，

∴，∴所以相似比為，∴．故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，牢記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、1【分析】根據三角函數的定義即可求解．【詳解】∵cotB=，

∴AC==3BC=1．

故答案是：1．【點睛】此題考查銳角三角函數的定義及運用，解題關鍵在于掌握在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，余切為鄰邊比對邊．12、（1，2）.【解析】試題分析：由二次函數的解析式可求得答案．∵y=（x﹣1）2+2，∴拋物線頂點坐標為（1，2）.故答案為（1，2）．考點：二次函數的性質．13、1【分析】利用扇形面積計算公式：設圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則由此構建方程即可得出答案．【詳解】解：設該扇形的圓心角度數為n°，∵扇形的面積為4π，半徑為6，∴4π＝，解得：n＝1．∴該扇形的圓心角度數為：1°．故答案為：1．【點睛】此題考查了扇形面積的計算，熟練掌握公式是解此題的關鍵．14、【分析】利用反比例函數k的幾何意義得出a-b=4?OE，a-b=5?OF，求出=6，即可求出答案．【詳解】如圖，∵由題意知：a-b=4?OE，a-b=5?OF，∴OE=，OF=，又∵OE+OF=6，∴=6，∴a-b=，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，能求出方程=6是解此題的關鍵．15、【解析】過點作垂直OA的延長線與點，根據“直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半”求出，同樣的方法求出和的長度，總結規律即可得出答案.【詳解】過點作垂直OA的延長線與點根據題意可得，，則，∴在RT△中，又為菱形的對角線∴，故菱形的邊長為；過點作垂直的延長線與點則，∴，∴在RT△中，又為菱形的對角線∴，故菱形的邊長為；過點作垂直的延長線與點則，∴，∴在RT△中，又為菱形的對角線∴，故菱形的邊長為；……∴菱形的邊長為；故答案為.【點睛】本題考查的是菱形，難度較高，需要熟練掌握“在直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半”這一基本性質.16、【解析】解：∵弦CD∥AB，∴S△ACD=S△OCD，∴S陰影=S扇形COD==．故答案為．17、4【分析】勾股定理求AC的長,中位線證明EF=EC,DE=2.5即可解題.【詳解】解：在中，,,∴AC=13（勾股定理）,∵點、分別是、的中點，∴DE=2.5（中位線）,DE∥BC,∵是的平分線，∴∠ECF=∠BCF=∠EFC,∴EF=EC=6.5,∴DF=6.5-2.5=4.【點睛】本題考查了三角形的中位線,等角對等邊,勾股定理,中等難度,證明EF=EC是解題關鍵.18、【分析】由矩形的性質可得OC＝OD，于是設DE＝x，則OE＝2x，OD＝OC＝3x，然后在Rt△OCE中，根據勾股定理即可得到關于x的方程，解方程即可求出x的值，進而可得CD的長，易證△ADC∽△CED，然后利用相似三角形的性質即可求出結果．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，∴OC＝OD，∵EO＝2DE，∴設DE＝x，則OE＝2x，∴OD＝OC＝3x，∵CE⊥BD，∴∠DEC＝∠OEC＝90°，在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，∴（2x）2+52＝（3x）2，解得：x＝，即DE＝，∴，∵∠ADE+∠CDE=90°，∠ECD+∠CDE=90°，∴∠ADE=∠ECD，又∵∠ADC=∠CED=90°，∴△ADC∽△CED，∴，即，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質、勾股定理和相似三角形的判定與性質，屬于常考題型，熟練掌握上述基本知識是解題的關鍵．三、解答題(共66分)19、（1）；（2）【分析】（1）根據配方法解一元二次方程即可；（2）根據圓內接四邊形求角度，再根據圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓周角的一半解答即可.【詳解】（1）解：，，即，即，解得.（2）解：∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是菱形，即是等邊三角形，∴，∴.【點睛】本題主要考察了解一元二次方程以及圓的相關性質，熟練掌握圓周角定理和圓的內接四邊形的性質是解題的關鍵.20、（1）9.6；（2）.【分析】（1）過點作于點，根據三線合一和勾股定理得BC上的高AM的長，再根據面積法即可解答；（2）設，則，因為可得，再根據相似三角形對應邊成比例得，即，從而得解.【詳解】解：（1）如圖1，過點作于點.∵，∴（三線合一）在中，由勾股定理得.又∵∴（2）如圖，設與交于點.∵四邊形是正方形∴，，.設，則由可得，從而，即解得∴（本題也可通過，列方程求解）【點睛】本題考查面積法求高、三角形相似的判定與性質的綜合應用，是比較經典的題目.21、（1）見解析；（2）①見解析；②【分析】（1）證明△ACD∽△ABC，即可得證；

（2）①BC2=BO?BD，BC2=BF?BE，即BO?BD=BF?BE，即可求解；②在Rt△BCE中，BC=3，BE=，利用△BOF∽△BED，即可求解．【詳解】解：（1）證明：如圖1，∵CD⊥AB，

∴∠BDC=90°，

而∠A=∠A，∠ACB=90°，

∴△ACD∽△ABC，

∴AC：AB=AD：AC，

∴AC2=AB·AD；

（2）①證明：如圖2，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴OC⊥BO，∠BCD=90°，

∴BC2=BO?BD，

∵CF⊥BE，

∴BC2=BF?BE，

∴BO?BD=BF?BE，

即，而∠OBF=∠EBD，

∴△BOF∽△BED；

②∵在Rt△BCE中，BC=3，BE=，∴CE=，∴DE=BC-CE=2；

在Rt△OBC中，OB=BC=，∵△BOF∽△BED，∴，即，∴OF=.【點睛】本題為三角形相似綜合題，涉及到勾股定理運用、正方形基本知識等，難點在于找到相似三角形，此類題目通常難度較大．22、(1)60；（2）四邊形ACFD是菱形．理由見解析.【分析】（1）利用旋轉的性質得出AC=CD，進而得出△ADC是等邊三角形，即可得出∠ACD的度數；（2）利用直角三角形的性質得出FC=DF，進而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．【詳解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉n度后，得到△DEC，∴AC=DC，∠A=60°，∠DCE=∠ACB=90°，∴△ADC是等邊三角形，∴∠ACD=60°，∴n的值是60；（2）四邊形ACFD是菱形；理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中點，∴FC=DF=FE，∵∠CDF=∠A=60°，∴△DFC是等邊三角形，∴DF=DC=FC，∵△ADC是等邊三角形，∴AD=AC=DC，∴AD=AC=FC=DF，∴四邊形ACFD是菱形．23、（1）4；（2），【分析】（1）根據0次冪得1，負指數冪等于正指數冪的倒數，特殊三角函數值等,求出原式中各項的值，再根據實數的運算法則進行計算.（2）先依據因式分解再約分的方法算出除法部分，再根據異分母分式相加減的法則進行計算.【詳解】（1）解：原式===4（2）解：原式==m2-2m-8=0∴(m-4)(m+2）=0∴m1=4,m2=-2當時分母為0，舍去，∴m=4,∴原式=【點睛】本題考查實數運算及分式化簡求值，實數運算往往涉及0次冪，負指數，二次根式，絕對值等，掌握相應的法則是實數運算的關鍵；依據分式運算的順序及運算法則是分式化簡的關鍵，使分式有意義的取值是此題易錯點.24、（1），；（2），推導過程見解析；（3），；（4）①；②．【分析】（1）根據閱讀材料的方法即可得；（2）參照閱讀材料的方法，設，從而可得，由此即可得；（3）參照閱讀材料方法，設，從而可得，由此即可得；先將拆分為2與的之和，再參照閱讀材料的方法即可得；（4）①先參照閱讀材料的方法將寫成分數的形式