微分及其應用一、問題的提出；二、微分的定義；三、微分的求法；四、微分形式的不變性；五、微分的幾何意義；六、微分在近似計算中的應用．§2-5一、問題的提出引例1:正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.既容易計算又是較好的近似值引例2：既容易計算又是較好的近似值解：問題:這個線性函數(改變量的主要部分)是否所有函數的改變量都有?它是什么?如何求?兩個引例的共同點：二、微分的定義即此時，稱函數在點處是可微的.通常將自變量的增量稱為自變量的微分，記作.所以函數在的微分可以寫成定義1設函數在點處有導數，則稱為函數在點處的微分，記作．函數在任意點處的微分稱為函數的微分，記作．即由于函數的導數等于函數的微分與自變量微分之比，因此導數也稱微商.解故函數在時的微分為求法1:計算函數的導數,乘以自變量的微分.解:三、微分的求法解:求法2：用微分公式與微分法則.(不推薦)

定理

設函數

y=f(u)，u=

(x)均可微，dy=

f

(u)

(x)dx

.則

y=f(

(x))也可微，且由于du

=

(x)dx，所以上式可寫為dy=f(u)

du

.從上式的形式看，它與y=f(x)的微分

dy=f

(x)dx

形式一樣，這叫一階微分形式不變性.其意義是：不管u是自變量還是中間變量，函數y=f(u)的微分形式總是dy=f

(u)du

.四、一階微分形式不變性例4設解如果不引入中間變量u，則可練習

設解當然，也可以直接用公式來求微分，即求出后再乘以dx得到dy.解兩邊同時對x求導解得例5

求函數練習解兩邊同時對x求導解得如圖所示，就是曲線y=f(x)在點P

處切線的縱坐標在相應處x的增量，而

y就是曲線y=f(x)的縱坐標在點x處的增量.PM=

x，MQ=

y，所以dy

=MN，

MN=PMtan

=f

(x)

x，即函數y=f(x)的微分dy五、微分的幾何意義用dy近似代替

y就是用點P處的切線坐標的增量MN來近似代替曲線y=f(x)的縱坐標的增量MQ.設y=f(x)在可導，當自變量從變到x(即取得增量)，則有當x很接近時，即很小時，就有近似公式即當容易計算時，就可以用上述的近似公式來計算附近點的函數值.七、微分在近似計算中的應用或例6解：例7

有一個半徑為10cm的球，表面上鍍銅，銅的厚度為0.005cm．求所用銅的體積近似值．解：解:例8計算近似公式七、小結（本節要點）一、微分的定義；二、微分的求法；三、微分形式的不變性；四、微分的幾何意義；五、微分在近似計算中的應用．八、課堂練習練習題2.5作業練習冊第2章練習八

微分學微分學所要解決的兩類問題:函數的變化率問題函數的增量問題微分的概念導數的概念求導數與微分的方法,叫做微分法.研究微分法與導數理論及其應用的科學,叫做微分學.導數與微分的聯系:★★解答：1、從概念上講，微分是從求函數增量引出線性主部而得到的，導數是從函數變化率問題歸納出函數增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念.導數與微分的區別:★說法不對.思考題

因為一元函數)(xfy=在0x的可微性與可導性是等價的，所以有人說“微分就是導數，導數就是微分”，這說法對嗎？解答：導數與微分的區別:★說法不對.思考題

因為一元函數)(xfy=在0x的可微性與可導性是等價的，所以有人說“微分就是導數，