第5課時(shí)空間向量的運(yùn)算及其應(yīng)用[考試要求]1．了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．2．掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示．3．掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直．4．理解直線的方向向量及平面的法向量．5．能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系．6．能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理．考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．[典例1](2024·臨沂一中月考)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P試用a，b，c表示以下各向量：(1)AP；(2)A1(3)MP+[解](1)因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn)，所以AP＝AA1+A1D1+D1P＝a＋AD+12(2)因?yàn)镹是BC的中點(diǎn)，所以A1N＝A1A+AB+BN＝－a＋b＋12BC＝－a＋b(3)因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn)，所以MP＝MA+AP＝12A1A+AP＝－12a＋a又NC1＝NC+CC1＝12BC所以MP+NC1＝12a+12b空間向量線性運(yùn)算的基本步驟：第一步：選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量；第二步：將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中；第三步：利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來(lái)．跟進(jìn)訓(xùn)練1(2024·臨川二中月考)如圖，三棱錐O-ABC中，M，N分別是AB，OC的中點(diǎn)，設(shè)OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示NM，則NM＝()A．12(－a＋b＋c) B．12(a＋b－C．12(a－b＋c) D．12(－a－b＋B[NM＝NA+AM＝(OA-ON)＋12AB＝OA-12OC+考點(diǎn)二共線(共面)向量定理的應(yīng)用1．共線向量定理：對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb．2．共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb．提醒：(1)在利用MN＝xAB＋yAC證明MN∥平面ABC時(shí)，必須說(shuō)明點(diǎn)M或點(diǎn)N不在平面ABC內(nèi)．(2)點(diǎn)共面問題可轉(zhuǎn)化為向量共面問題，要證明P，A，B，C四點(diǎn)共面，只要能證明PA＝xPB＋yPC，或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有OA＝OP＋xPB＋yPC或OP＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)即可．[典例2](2024·鷹潭一中月考)已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足OM＝13(1)判斷MA，(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)．[解](1)由題意知OA+OB+所以O(shè)A-OM＝(OM-OB即MA＝BM+CM＝－所以MA，(2)由(1)知MA，MB，所以M，A，B，C四點(diǎn)共面，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)．證明空間三點(diǎn)共線和四點(diǎn)共面的方法比較空間三點(diǎn)(P，A，B)共線空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面PA＝λPB且同過點(diǎn)P(λ∈R)MP＝xMA＋yMB對(duì)空間任一點(diǎn)O，OP＝OA＋tAB(t∈R)對(duì)空間任一點(diǎn)O，OP＝OM＋xMA＋yMB對(duì)空間任一點(diǎn)O，OP＝xOA＋(1－x)OB對(duì)空間任一點(diǎn)O，OP＝xOM＋yOA＋(1－x－y)OB跟進(jìn)訓(xùn)練2已知A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O為平面ABC外任意一點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足OM＝15OA+45OB+25BC，則點(diǎn)∈[∵OM＝15OA+45∵15∴M，A，B，C四點(diǎn)共面．即點(diǎn)M∈平面ABC.]考點(diǎn)三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用1．?dāng)?shù)量積及相關(guān)概念(1)兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝π2，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b(2)非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．2．空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；(2)交換律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.提醒：(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．3．空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|a夾角余弦值cos〈a，b〉＝a(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a[典例3](2024·武漢二中模擬)如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，計(jì)算：(1)EF·(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．[解]設(shè)AB＝a，AC＝b，AD＝c.則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，(1)EF＝12BD＝12c－BA＝－a，EF·BA＝12c-12a·(－a)＝12a(2)AG＝12(AC+AD)＝1CE＝CA+AE＝－b＋1cos〈AG，CE〉＝AG·CEAGCE＝由于異面直線所成角的范圍是0，所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為23利用數(shù)量積解決問題的兩條途徑：一是根據(jù)向量間的相互轉(zhuǎn)化計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算，可解決有關(guān)垂直、夾角、長(zhǎng)度等問題．跟進(jìn)訓(xùn)練3(2024·淄博一中模擬)已知空間三點(diǎn)A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．(1)求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積；(2)若|a|＝3，且向量a分別與AB，AC垂直，求向量[解](1)由題意可得AB＝(－2，－1，3)，AC＝(1，－3，2)，所以cos〈AB，AC〉＝AB·ACABAC＝-2+3+614×所以以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積為S＝2×12|AB|·|AC|·sin〈AB，AC〉＝14×3(2)設(shè)a＝(x，y，z)，由題意得x2解得x=1，y=1，所以向量a的坐標(biāo)為(1，1，1)或(－1，－1，－1)．考點(diǎn)四利用向量證明平行與垂直1．直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：在直線l上取非零向量a，把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．2．空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2，λ∈Rl1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm，λ∈R平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λm，λ∈Rα⊥βn⊥m?n·m＝0[典例4](2024·日照實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．證明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD.[證明]依題意，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．由E為棱PC的中點(diǎn)，得E(1，1，1)．(1)BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，故BE·所以BE⊥DC.(2)因?yàn)锳B⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以AB⊥PA，又PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，所以AB＝(1，0，0)為平面PAD的一個(gè)法向量．而BE·AB＝(0，1，1)所以BE⊥AB，又BE?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)由(2)知平面PAD的一個(gè)法向量為AB＝(1，0，0)，PD＝(0，2，－2)，DC＝(2，0，0)，設(shè)平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，則n·PD令y＝1，可得n＝(0，1，1)為平面PCD的一個(gè)法向量，且n·AB＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以n⊥AB，所以平面PAD⊥平面PCD.證明平行與垂直，一是直線的方向向量與平面的法向量的求解要準(zhǔn)確，二是位置關(guān)系與向量關(guān)系的轉(zhuǎn)化要準(zhǔn)確．跟進(jìn)訓(xùn)練4正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點(diǎn)．求證：MN∥平面A1BD.[證明]如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則M0，1，12，N12，1于是MN＝12DB＝(1，1，0)．設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則n·DA1＝0，且n·得x+z=0，取x＝1，得y＝－1，z＝－1.所以n＝(1，－1，－1)為平面A1BD的一個(gè)法向量．又MN·n＝12，所以MN⊥n.又MN?平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.課后習(xí)題(三十九)空間向量的運(yùn)算及其應(yīng)用1．(人教B版選擇性必修第一冊(cè)P42練習(xí)AT1改編)已知平面α，β的法向量分別為n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，則()A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不對(duì)C[∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．]2．(蘇教版選擇性必修第二冊(cè)P16練習(xí)T5改編)在四面體OABC中，點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點(diǎn)，若OG＝13OA+x4OB+x4OCA．1B．2C．23D．A[由題意得，ON＝12(OB+OC)若G與M，N共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得OG＝λON＋(1－λ)OM＝λ2(OB又OG＝13所以21-λ3．(人教B版選擇性必修第一冊(cè)P16練習(xí)AT3改編)O為空間中任意一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)不共線，且OP＝34OA+18OB＋tOC，若P，A，18[∵P，A，B，C四點(diǎn)共面，∴34+∴t＝184．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P15習(xí)題1.2T5改編)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為________．2[|EF|2＝EF2＝(EC+＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD+EC·DF+CD·DF)＝12所以|EF|＝2，所以EF的長(zhǎng)為2.]5．已知向量a＝(2，1，－3)，b＝(0，－3，2)，c＝(－2，1，2)，則a·(b＋c)＝()A．18B．－18C．32D．－32B[因?yàn)閎＋c＝(－2，－2，4)，所以a·(b＋c)＝－4－2－12＝－18.]6．(2024·臺(tái)州模擬)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是()A．75B．2C．5A[因?yàn)閍＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，所以a·b＝－1，|a|＝2，|b|＝5，又ka＋b與2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，即2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，即4k＋k－2－5＝0，所以k＝75故選A.]7．(2024·廣州仲元中學(xué)月考)已知空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，則“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四點(diǎn)共面”的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B[由x＋y＋z＝1，得P，A，B，C四點(diǎn)共面，當(dāng)P，A，B，C四點(diǎn)共面時(shí)，x＋y＋z＝1，顯然不止x＝2，y＝－3，z＝2這一種情況．故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四點(diǎn)共面”的充分不必要條件．]8．直線l的一個(gè)方向向量為(2，1，1)，平面α的一個(gè)法向量為(4，2，2)，則()A．l∥αB．l⊥αC．l∥α或l?αD．l與α的位置關(guān)系不能判斷B[直線l的一個(gè)方向向量為(2，1，1)，平面α的一個(gè)法向量為(4，2，2)，顯然它們共線，所以l⊥α.]9．(多選)(2024·荊州中學(xué)月考)已知空間中三點(diǎn)A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，則下列結(jié)論正確的是()A．AB與AC是共線向量B．與AB共線的單位向量是(1，1，0)C．AB與BC夾角的余弦值是－55D．平面ABC的一個(gè)法向量是(1，－2，5)CD[對(duì)于A，AB＝(2，1，0)，AC＝(－1，2，1)，不存在實(shí)數(shù)λ，使得AB＝λAC，所以AB與AC不是共線向量，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)锳B＝(2，1，0)，所以與AB共線的單位向量為255，對(duì)于C，向量AB＝(2，1，0)，BC＝(－3，1，1)，所以cos〈AB，BC〉＝AB·對(duì)于D，設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，因?yàn)锳B＝(2，1，0)，AC＝(－1，2，1)，所以n·AB令x＝1，得y＝－2，z＝5，則n＝(1，－2，5)為平面ABC的一個(gè)法向量，所以D正確．]10．已知向量a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，a與b夾角的余弦值為________；若a⊥(a－λb)，則λ＝________．2162[∵a＝(－2，1，3)，b∴cos〈a，b〉＝a·bab＝由題意a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0