專題09空間向量與立體幾何第28練空間向量的概念、運算與基本定理1．(2023·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)一模（理））如圖，在三棱錐S—ABC中，點E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點，點G在棱EF上，且滿足，若，，，則（

）A． B．C． D．2．(2023·新疆烏魯木齊·二模（理））在三棱錐中，，，，則（

）A． B． C．1 D．3．(2023·重慶八中模擬）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量也可以構(gòu)成空間中的一個基底的是（

）A． B．C． D．4．(2023·上海黃浦·二模）在長方體中，設(shè)，，，若用向量、、表示向量，則____________．5.已知直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為________．1．(2023·廣西桂林·模擬（文））如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的中心為O，則下列結(jié)論中①+與1+1是一對相反向量；②-1與-1是一對相反向量；③1+1+1+1與+++是一對相反向量；④-與1-1是一對相反向量．正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．(2023·江西新余·二模（文））已知長方體，，，M是的中點，點P滿足，其中，，且平面，則動點P的軌跡所形成的軌跡長度是（

）A． B． C． D．23．(2023·江蘇南通·模擬）已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為1和2，P是上底面的邊界上一點．若的最小值為，則該正四棱臺的體積為（

）A． B．3 C． D．14．(2023·浙江溫州·二模）如圖，在四面體中，、分別是、的中點，過的平面分別交棱、于、（不同于、、、），、分別是棱、上的動點，則下列命題錯誤的是（

）A．存在平面和點，使得平面B．存在平面和點，使得平面C．對任意的平面，線段平分線段D．對任意的平面，線段平分線段5．(2023·廣東茂名·二模）正方體的棱長為2．動點P在對角線上．過點P作垂直于的平面．記平面截正方體得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y＝f（x），設(shè)BP＝x，．下列說法中，正確的編號為_____．①截面多邊形可能為四邊形；②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x＝對稱；③當(dāng)x＝時，三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為9π．6．(2023·上海徐匯·三模）已知?是空間相互垂直的單位向量，且，，則的最小值是___________.7．(2023·四川南充·二模（文））如圖，棱長為的正方體中，點為線段上的動點，點，分別為線段，的中點，給出以下命題①；②三棱錐的體積為定值；③；④的最小值為.其中所有正確的命題序號是___________.1．(2023·遼寧大連·二模）如圖所示，在正方體中，點F是棱上的一個動點(不包括頂點)，平面交棱于點E，則下列命題中正確的是(

)A．存在點F，使得為直角B．對于任意點F，都有直線∥平面C．對于任意點F，都有平面平面D．當(dāng)點F由向A移動過程中，三棱錐的體積逐漸變大2．(2023·河南省杞縣高中模擬（理））正四面體的棱長為4，空間中的動點P滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（多選題）(2023·重慶八中模擬）下列說法不正確的是（

）A．若，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是B．若，，不共線，且，則，，、四點共面C．對同一平面內(nèi)給定的三個向量，，，一定存在唯一的一對實數(shù)，，使得.D．中，若，則一定是鈍角三角形.4．（多選題）(2023·江蘇·常州高級中學(xué)模擬）棱長為1的正方體中，點P為線段上的動點，點M，N分別為線段，的中點，則下列說法正確的是（

）A． B．三棱錐的體積為定值C． D．的最小值為5．（多選題）已知直四棱柱的底面為正方形，，P為直四棱柱內(nèi)一點，且，其中，，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)時，存在點P，使得C．當(dāng)時，的最小值為D．當(dāng)時，存在唯一的點P，使得平面平面PBC6．（多選題）(2023·湖北省天門中學(xué)模擬）如圖，在棱長為的正四面體中，，分別在棱，上，且，若，，，，則下列命題正確的是（

）A．B．時，與面所成的角為，則C．若，則的軌跡為不含端點的直線段D．時，平面與平面所的銳二面角為，則7．(2023·山東泰安·模擬）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.在塹堵中，，M是的中點，，N，G分別在棱，AC上，且，，平面MNG與AB交于點H，則___________，___________.8．(2023·北京通州·模擬）如圖，在棱長為2的正方體中，點是側(cè)面內(nèi)的一個動點．若點滿足，則的最大值為__________，最小值為__________．9．(2023·福建龍巖·模擬）在通用技術(shù)課上，老師給同學(xué)們提供了一個如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型，設(shè)底邊和側(cè)棱長均為4，則該正四棱錐的外接球表面積為___________；過點A作一個平面分別交于點E?F?G進(jìn)行切割，得到四棱錐，若，則的值為___________.專題09空間向量與立體幾何第28練空間向量的概念、運算與基本定理1．(2023·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)一模（理））如圖，在三棱錐S—ABC中，點E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點，點G在棱EF上，且滿足，若，，，則（

）A． B．C． D．答案：D【解析】由題意可得.故選：D2．(2023·新疆烏魯木齊·二模（理））在三棱錐中，，，，則（

）A． B． C．1 D．答案：A【解析】解：因為三棱錐中，，，，所以，故選：A.3．(2023·重慶八中模擬）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量也可以構(gòu)成空間中的一個基底的是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】選項A：令，則，，A正確；選項B：因為，所以不能構(gòu)成基底；選項C：因為，所以不能構(gòu)成基底；選項D：因為，所以不能構(gòu)成基底．故選：A.4．(2023·上海黃浦·二模）在長方體中，設(shè)，，，若用向量、、表示向量，則____________．答案：【解析】由題意，故答案為：5.已知直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為________．答案：【解析】如圖所示,將直三棱柱補(bǔ)成直四棱柱,連接,則,所以或其補(bǔ)角為異面直線AB1與BC1所成的角．因為,所以,.在中,,所以所以故答案為:1．(2023·廣西桂林·模擬（文））如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的中心為O，則下列結(jié)論中①+與1+1是一對相反向量；②-1與-1是一對相反向量；③1+1+1+1與+++是一對相反向量；④-與1-1是一對相反向量．正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：A【解析】設(shè)E,F分別為AD和A1D1的中點，①+與+不是一對相反向量，錯誤；②-與-不是一對相反向量，錯誤；③1+1+1+是一對相反向量,正確；④-與1-不是一對相反向量,是相等向量，錯誤．即正確結(jié)論的個數(shù)為1個故選：A2．(2023·江西新余·二模（文））已知長方體，，，M是的中點，點P滿足，其中，，且平面，則動點P的軌跡所形成的軌跡長度是（

）A． B． C． D．2答案：A【解析】如圖所示，E，F(xiàn)，G，H，N分別為，，，DA，AB的中點，則，，所以平面平面，所以動點P的軌跡是六邊形MEFGHN及其內(nèi)部.又因為，所以點在側(cè)面，所以點的軌跡為線段，因為AB=AD=2，，所以.故選：A.3．(2023·江蘇南通·模擬）已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為1和2，P是上底面的邊界上一點．若的最小值為，則該正四棱臺的體積為（

）A． B．3 C． D．1答案：A【解析】由題意可知，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，由對稱性，點在是相同的，故只考慮在上時，設(shè)正四棱臺的高為，則，,設(shè)，，因為在上，所以，則，，所以由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時，取得最小值為，又因為的最小值為，所以，解得（負(fù)舍），故正四棱臺的體積為.故選：A.4．(2023·浙江溫州·二模）如圖，在四面體中，、分別是、的中點，過的平面分別交棱、于、（不同于、、、），、分別是棱、上的動點，則下列命題錯誤的是（

）A．存在平面和點，使得平面B．存在平面和點，使得平面C．對任意的平面，線段平分線段D．對任意的平面，線段平分線段答案：D【解析】對于A選項，當(dāng)時，因為平面，平面，此時平面，A對；對于B選項，當(dāng)時，因為平面，平面，此時平面，B對；對于C選項，取的中點，的中點為，設(shè)，，則有，同理可得，，，，所以，所以，，因為、、、四點共面，則，所以，，所以，，則，所以，，可得，即、、三點共線，即的中點在上，即線段平分線段，C對；對于D選項，若線段平分線段，又因為線段平分線段，則四邊形為平行四邊形，事實上，四邊形不一定為平行四邊形，故假設(shè)不成立，D錯.故選：D.5．(2023·廣東茂名·二模）正方體的棱長為2．動點P在對角線上．過點P作垂直于的平面．記平面截正方體得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y＝f（x），設(shè)BP＝x，．下列說法中，正確的編號為_____．①截面多邊形可能為四邊形；②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x＝對稱；③當(dāng)x＝時，三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為9π．答案：②③【解析】連接AB′，AC，A′D，DC′，分別以DA，DD′為x，y，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：∴，，，∴，，所以D′B⊥AC，D′B⊥AB′，又，所以D′B⊥面AB′C，同理可證：D′B⊥面A′C′D，所以面A′C′D∥面AB′C，如下圖所示，夾在面A′C′D和面AB′C之間并且與這兩個平面平行的截面為六邊形，故截面只能為三角形和六邊形，故①錯誤；由正方體的對稱性，當(dāng)在中點處時，可得函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，故②正確；當(dāng)時，此時點P在線段BD1的中點，連接AC，如圖，則，則，所以PH⊥AC，同理可證：PH⊥BD，BD，AC?面ABCD，所以PH⊥面ABCD，取PH的中點為，，則三棱錐P﹣ABC的外接球的球心為O，半徑為，則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為，故③正確．故答案為：②③．6．(2023·上海徐匯·三模）已知?是空間相互垂直的單位向量，且，，則的最小值是___________.答案：3【解析】因為互相垂直，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，最小值為9，則的最小值為3.故答案為：37．(2023·四川南充·二模（文））如圖，棱長為的正方體中，點為線段上的動點，點，分別為線段，的中點，給出以下命題①；②三棱錐的體積為定值；③；④的最小值為.其中所有正確的命題序號是___________.答案：①②④【解析】①如圖所示，連接，，由正方體可知，且平面，即，又，所以平面，所以，即，正確；②如圖所示，連接，，，，，，由點，分別為線段，的中點，得，故平面，即點到平面的距離為定值，且，，故為定值，所以三棱錐的體積為定值，正確；③連接，，由點為線段上的動點，設(shè)，，故，，，當(dāng)時，取最小值為，當(dāng)時，取最大值為，故，即，，錯誤；④，當(dāng)時，的最小值為，正確；故答案為：①②④.1．(2023·遼寧大連·二模）如圖所示，在正方體中，點F是棱上的一個動點(不包括頂點)，平面交棱于點E，則下列命題中正確的是(

)A．存在點F，使得為直角B．對于任意點F，都有直線∥平面C．對于任意點F，都有平面平面D．當(dāng)點F由向A移動過程中，三棱錐的體積逐漸變大答案：C【解析】對于A，易知，故與不垂直，故A錯誤；對于B，連接、AC、EF，則平面平面=EF，若∥平面，則∥EF，顯然僅當(dāng)F和E為所在棱中點時與EF才平行，故B錯誤；對于C，連接、、、、、，由AB⊥平面得AB⊥，易知⊥，∵AB∩=A，AB、平面，∴⊥平面，∴⊥，同理可證⊥，∵∩=，、平面，∴⊥平面，∵平面，∴平面⊥平面，故C正確；對于D，連接、、，∵∥，平面，平面，∴∥平面，則F到平面的距離為定值，又△面積為定值，故三棱錐F-體積為定值，故D錯誤．故選：C．2．(2023·河南省杞縣高中模擬（理））正四面體的棱長為4，空間中的動點P滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分別取BC，AD的中點E，F(xiàn)，則，所以，故點的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，，又，所以，，所以的取值范圍為．故選：D．3．（多選題）(2023·重慶八中模擬）下列說法不正確的是（

）A．若，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是B．若，，不共線，且，則，，、四點共面C．對同一平面內(nèi)給定的三個向量，，，一定存在唯一的一對實數(shù)，，使得.D．中，若，則一定是鈍角三角形.答案：ACD【解析】對于A，依題意，，且與不同向共線，求得，解得：且，A錯誤；對于B，由，則，即，于是得共面，且公共起點C，而，，不共線，，，，四點共面，B正確；對于C，同一平面內(nèi)不共線的非零向量，，，才存在唯一的一對實數(shù)，，使得，否則不成立，C錯誤；對于D，在中，，則，于是得是銳角，不能確定是鈍角三角形，D錯誤.故選：ACD4．（多選題）(2023·江蘇·常州高級中學(xué)模擬）棱長為1的正方體中，點P為線段上的動點，點M，N分別為線段，的中點，則下列說法正確的是（

）A． B．三棱錐的體積為定值C． D．的最小值為答案：ABC【解析】選項A，連接，由正方體可知，且平面，而，又，所以平面，而平面，所以，即，故A正確；選項B，連接，，，，，，由點，分別為線段，的中點，得，平面，平面，故平面，即點到平面的距離為定值，又，，故為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；選項C，連接，，由點為線段上的動點，設(shè)，，故，，所以，當(dāng)時，取最小值為，當(dāng)時，取最大值為，故，即，，故C正確；選項D，，當(dāng)時，的最小值為，故D錯誤.故選：ABC.5．（多選題）已知直四棱柱的底面為正方形，，P為直四棱柱內(nèi)一點，且，其中，，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)時，存在點P，使得C．當(dāng)時，的最小值為D．當(dāng)時，存在唯一的點P，使得平面平面PBC答案：ACD【解析】對于A選項，設(shè)Q，R分別為AB，的中點，連結(jié)QR，則.面，面，所以平面.因為，其中，，當(dāng)時，所以點P在線段QR上運動，平面，所以點P到面的距離為定值，而的面積為定值，因此三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B選項，連結(jié)，設(shè)M，N分別為，的中點，連結(jié)MN，則.因為，其中，，當(dāng)時，所以點P在線段MN上運動，且，，從而，故不可能存在點P，使得，故B錯誤；對于C選項，連結(jié)，則由可知B，P，三點共線，故點P在線段上運動.連結(jié)，將翻折到平面內(nèi)，得到四邊形，其中，，，，連結(jié)，如圖1，所以，，所以，故C正確；對于D選項，設(shè)M為的中點，連結(jié)BM，則，由知P在線段BM上運動.設(shè)S為的中點，連結(jié)SM，則，連結(jié)BS，過P作交BS于點T，則易知PT為平面PAD與平面PBC的交線，，，故為二面角的平面角，當(dāng)時，平面平面PBC，且T點唯一確定，所以P點也唯一確定.故D正確.故選:ACD.6．（多選題）(2023·湖北省天門中學(xué)模擬）如圖，在棱長為的正四面體中，，分別在棱，上，且，若，，，，則下列命題正確的是（

）A．B．時，與面所成的角為，則C．若，則的軌跡為不含端點的直線段D．時，平面與平面所的銳二面角為，則答案：AD分析：利用的范圍，根據(jù)向量數(shù)乘的意義得點軌跡，判斷AC，作出直線與平面所成的角，計算正弦值，作出二面角的平面角，計算正弦值，然后判斷BD．【解析】由題意，當(dāng)，，點的軌跡是內(nèi)部（不含邊界），的的最小值是點到平面的距離，最大值是棱長（取不到），如圖，設(shè)是的中心，則平面，從而有與平面內(nèi)所有直線垂直，，，所以的范圍是，A正確．時，是中位線，點軌跡是線段（不含端點），作平面，為垂足，連接，則是與平面所成的角．點到平面的距離等于，是中位線，，由，平面，平面，得平面，所以等于到平面的距離，也等于點到平面的距離的一半，即，中，，，邊上的高為，所以，，所以，B錯；當(dāng)時，與重合，時，與重合，是兩個極限點（實際上取不到），當(dāng)時，是中位線的中點．三點不共線，因此C錯誤；在上取點，使得，連接，時，點軌跡是線段（不含端點），如圖，由A選項討論知平面，從而有與平面內(nèi)所有直線垂直，，作，垂足為，連接，則由于是平面內(nèi)兩條相交直線，則平面，平面，所以，所以是平面與平面所的銳二面角的平面角，即．（是中點）中，，，，由得，所以，，，D正確．故選：AD．7．(2023·山東泰安·