第4課時復數[考試要求]1．通過方程的解，認識復數.2．理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義.3．掌握復數的四則運算，了解復數加、減運算的幾何意義．1．復數的有關概念(1)復數的定義形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中i是虛數單位，實部是a，虛部是b．(2)復數的分類復數z＝a＋bi(a，b∈R)實數(3)復數相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復數a＋bi與c＋di互為共軛復數?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)復數的模向量OZ的模叫做復數z＝a＋bi的模或絕對值，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2+b2(a，2．復數的幾何意義復數z＝a＋bi與復平面內的點Z(a，b)及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應關系．3．復數的運算(1)復數的加、減、乘、除運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：z1z2＝a+bic+di＝a(2)幾何意義：如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義，即OZ＝OZ1+[常用結論]1．(1±i)2＝±2i；1+i1?i＝i；1?2．i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N*)．3．z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝4．復數z的方程在復平面上表示的圖形(1)a≤|z|≤b表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環；(2)|z－(a＋bi)|＝r(a，b∈R，r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓．5．若ω＝－12±3(1)ω3k＝1(k∈Z)；(2)ω2＋ω＋1＝0.6．z＝z?z∈R.一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若a∈C，則a2≥0． ()(2)復數中有相等復數的概念，因此復數可以比較大小． ()(3)復數z＝a＋bi(a，b∈R)的虛部為bi． ()(4)方程x2＋2x＋4＝0沒有解． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材經典衍生1．(人教A版必修第二冊P69例1改編)若復數z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數，則實數x的值為()A．－1 B．0C．1 D．－1或1A[因為z為純虛數，所以x2?1=0，2．(人教A版必修第二冊P80練習T2改編)(1＋i)(1－2i)＝()A．－1＋2i B．－1－2iC．3＋i D．3－iD[(1＋i)(1－2i)＝1＋2－2i＋i＝3－i，故選D.]3．(人教A版必修第二冊P80習題7.2T2改編)在復平面內，向量AB對應的復數是2＋i，向量CB對應的復數是－1－3i，則向量CA對應的復數是()A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4iD[CA＝CB+4．(人教A版必修第二冊P94復習參考題7T1(2)改編)復數5i+22＋i[5i+2＝5故其共軛復數是2＋i.]考點一復數的有關概念[典例1](1)(2023·廣東廣州三模)已知復數z滿足|z|＋z＝2＋4i，則z＝()A．3＋4i B．3－4iC．－3＋4i D．－3－4i(2)(2023·遼寧沈陽一模)若z是純虛數，|z|＝1，則21?z(1)C(2)1[(1)設z＝a＋bi，a，b∈R，|z|＝a2+b2，所以|z|＋z＝a＋a2+b2＋bi＝2＋4i，所以(2)z是純虛數，且|z|＝1，則有z＝±i，故21?z＝1±i，實部為1．解決復數概念問題的方法及注意事項(1)復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時一定要先看復數是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．[跟進訓練]1．(2023·湖北武漢二調)若虛數z使得z2＋z是實數，則z滿足()A．實部是－12 B．實部是C．虛部是0 D．虛部是1A[設z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，z2＋z＝(a＋bi)2＋(a＋bi)＝a2＋2abi－b2＋a＋bi＝a2＋a－b2＋(2ab＋b)i.因為z2＋z是實數，所以2ab＋b＝0，b＝0(舍去)，或a＝－12考點二復數的四則運算[典例2](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝1?i2+2iA．－i B．iC．0 D．1(2)(2024·河南鄭州模擬)已知m，n為實數，1－i(i為虛數單位)是關于x的方程x2－mx＋n＝0的一個根，則m＋n＝()A．0 B．1C．2 D．4(1)A(2)D[(1)因為z＝1?i2+2i＝1?i221+i1?(2)由1－i是關于x的方程x2－mx＋n＝0的一個根，則1＋i是關于x的方程x2－mx＋n＝0的另一個根，則m＝1－i＋1＋i＝2，n＝(1－i)×(1＋i)＝2，即m＝2，n＝2，則m＋n＝4.故選D.](1)復數的乘法運算類似于多項式的乘法運算；(2)復數的除法關鍵是分子、分母同乘以分母的共軛復數．[跟進訓練]2．(1)(2022·全國甲卷)若z＝－1＋3i，則zzA．－1＋3i B．－1－3iC．－13+33i(2)已知復數z＝1＋2i1?i，則1＋z＋z2＋…＋z(1)C(2)1[(1)因為z＝－1－3i，zz所以zzz?1＝?1(2)法一：因為z＝1＋2i1?i所以1＋z＋z2＋…＋z2024＝1?z20251?z＝1?i法二：因為z＝1＋2i1?i所以1＋z＋z2＋…＋z2024＝1＋i＋i2＋…＋i2024＝506×(1＋i－1－i)＋1＝1．]考點三復數的幾何意義[典例3](1)(2023·新高考Ⅱ卷)在復平面內，(1＋3i)(3－i)對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)(多選)已知復數z0＝1＋2i(i為虛數單位)在復平面內對應的點為P0，復數z滿足|z－1|＝|z－i|，則下列結論正確的是()A．點P0的坐標為(1，2)B．復數z0的共軛復數在復平面內對應的點與點P0關于虛軸對稱C．復數z在復平面內對應的點Z在一條直線上D．點P0與z復平面內對應的點Z間的距離的最小值為2(1)A(2)ACD[(1)因為(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以該復數在復平面內對應的點為(6，8)，位于第一象限，故選A.(2)復數z0＝1＋2i在復平面內對應的點為P0(1，2)，A正確；復數z0的共軛復數在復平面內對應的點與點P0關于實軸對稱，B錯誤；設z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi=x＋(y－1)i|，即x?12+y2＝x2+y?12，整理得y＝易知點P0到直線y＝x的垂線段的長度即為點P0，Z之間距離的最小值，結合點到直線的距離公式可知，最小值為1?22＝2【教師備選資源】(2023·重慶統考二模)復平面內復數z滿足|z－2|－|z＋2|＝2，則|z－i|的最小值為()A．32 B．5C．3 D．5B[因為|z－2|－|z＋2|＝2，所以復數z對應的點的軌跡是以點(2，0)，(－2，0)為焦點，實半軸長為1的雙曲線的左支，則b2＝c2－a2＝3，所以軌跡方程為x2－y23＝1(x＜0)，設z＝x＋yi，所以|z－i|＝x2+y?12＝1+y23+由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀．[跟進訓練]3．(1)(2023·江西五市九校聯考)若復數z滿足|z－2i|＝1，則|z|的最大值為()A．1 B．3C．2 D．3(2)(2020·全國Ⅱ卷)設復數z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，則|z1－z2|＝________．(1)D(2)23[(1)設z＝a＋bi，a，b∈R.則|z－2i|＝1表示復平面內點Z(a，b)到點(0，2)的距離為1，則|z|的最大值為點(0，2)到點(0，0)的距離加上1，即|z|max＝2＋1＝3.故選D.(2)法一(代數法)：設z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，因為z1＋z2＝3＋i，所以2z1＝(3＋a)＋(1＋b)i，2z2＝(3－a)＋(1－b)i.因為|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，所以3+a3?a2①2＋②2，得a2＋b2＝12.所以|z1－z2|＝a2+b法二(幾何法)：設復數z1，z2在復平面內分別對應向量OA，OB，則z1＋z2對應向量由題意知|OA|＝|OB|＝|OA+如圖所示，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則z1－z2對應向量為BA，且|OA|＝|AC|＝|OC|＝2，可得|BA|＝2|OA|sin60°＝23.故|z1－z2|＝|BA|＝23.]課時分層作業(三十五)復數一、單項選擇題1．(2023·北京高考)在復平面內，復數z對應的點的坐標是(－1，3)，則z的共軛復數z＝()A．1＋3i B．1－3iC．－1＋3i D．－1－3iD[∵在復平面內，復數z對應的點的坐標是(－1，3),∴z＝－1＋3i，則z的共軛復數z＝－1－3i，故選D.]2．(2023·全國乙卷)|2＋i2＋2i3|＝()A．1 B．2C．5 D．5C[|2＋i2＋2i3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝5.故選C.]3．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)，i是虛數單位，若z－z＝23i，則復數z的虛部為()A．3 B．23C．3i D．23iA[z－z＝2bi＝23i，解得b＝3.故選A.]4．已知i是虛數單位，則化簡1+iA．i B．－iC．－1 D．1D[因為1+i1?i＝1所以1+i1?i2024＝i5．(2023·山東淄博二模)已知i為虛數單位，復數z滿足z(1＋i)＝|1＋i|，則z＝()A．22+22iC．－22+22iB[因為z(1＋i)＝|1＋i|，所以z＝1+i1+i＝21+i6．(2024·江蘇南通模擬)已知復數z＝(1＋i)·(m－2i)在復平面內對應的點落在第一象限，則實數m的取值范圍為()A．(2，＋∞) B．(0，2)C．(－2，2) D．(－∞，－2)A[z＝(1＋i)·(m－2i)＝m＋2＋(m－2)i，對應點(m＋2，m－2)，由于點(m＋2，m－2)在第一象限，所以m+2>0，m?2>0，二、多項選擇題7．(2024·河北邯鄲模擬)在復數范圍內關于x的實系數一元二次方程x2＋px＋2＝0的兩根為x1，x2，其中x1＝1＋i，則()A．p＝2 B．x2＝1－iC．x1·x2＝－2i D．xBD[因為x1＝1＋i且實系數一元二次方程x2＋px＋2＝0的兩根為x1，x2，所以x1x2＝2，可得x2＝2x1＝21+i＝1－i，故B正確；又x1＋x2＝1＋i＋1－i＝2＝－p，所以p＝－2，故A錯誤；由x2＝1＋i，所以x1·x2＝(1＋i)2＝2i≠－2i，故C錯誤；x1x28．下列結論正確的是()A．若復數z滿足z＋z＝0，則z為純虛數B．若復數z滿足1z∈R，則z∈C．若復數z滿足z2≥0，則z∈RD．若復數z1，z2滿足z12+z22BC[設復數z＝0，z＋z＝0，z不為純虛數，A錯誤；設復數z＝a＋bia，b∈R，則1z＝1a+bi＝a?bi設復數z＝a＋bia，b∈R，則z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，所以ab＝0且a2－b2≥0，所以b＝0，即z設復數z1＝1，z2＝i，滿足z12+z22＝0，但三、填空題9．在復平面內，O為坐標原點，向量OA對應的復數為－1＋2i，若點A關于直線y＝－x的對稱點為B，則向量OB對應的復數為________．－2＋i[因為A(－1，2)關于直線y＝－x的對稱點B(－2，1)，所以向量OB對應的復數為－2＋i.]10．已知復數z＝3－ai(i為虛數單位)滿足|z－2|＜2，則實數a的取值范圍為________．(－3，3)[由題知，z＝3＋ai，因為|z－2|＜2，所以|1＋ai|＜2，即12＋a2＜22，解得－11．(2024·湖北襄陽模擬)如圖，正方形OABC中，點A對應的復數是3＋5i，則頂點B對應的復數是()A．－2＋8iB．2－8iC．－1＋7iD．－2＋7iA[由題意得OA＝(3，5)，不妨設C點對應的復數為a＋bi(a<0，b>0)，則OC＝(a，b)，由OA⊥OC，|OA|＝|OC|，得a2+b2=32+52，3a+5b12．棣莫弗公式(cosx＋isinx)n＝cosnx＋isinnx(i為虛數單位)是由法國數學家棣莫弗(1667－1754)發現的，根據棣莫弗公式可知，已知復數ω＝cos2π3＋i·sin2π3A．－ω B．1ωC．ω D．ωC[依題意知，ω＝cos2π3＋i·sin2π3＝－12+32i，由棣莫弗公式，得ω4＝cos2π3+i·sin2π34＝cos8π3＋i·sin813．(多選)在代數史上，代數基本定理是數學中最重要的定理之一，它說的是：任何一元n(n∈N*)次復系數多項式方程f(x)＝0在復數集中有n個復數根(重根按重數計)．在復數集范圍內，若ω是x3＝1的一個根，則ω2＋ω＋1＝()A．0 B．1C．2 D．3A