§2-5微分及其應用一、問題的提出實例:設邊長由變到正方形面積的線性函數，且為的主要部分，的高階無窮小，當很小時可忽略.求邊長為正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.1二、微分的定義定義：設函數在某區間內有定義，及在這個區間內，如果可表示為：其中是不依賴于的常數，而是比高階的無窮小，那么稱函數在點是可微的，自變量增量的微分，記作或即(微分的實質)而叫做函數在點相應于微分叫做函數增量的線性主部.2這樣就可以近似計算較復雜函數的改變量.由定義知:可微(1)是自變量的改變量的線性函數；(2)是比高階的無窮小.(3)當時，與是等價無窮小；(4)A是與無關的常數，但與和有關；(5)當很小時，(線性主部)3三、可微的條件1.定理證(1)必要性函數在點可微的充要條件是：函數在點處可導，且因為函數在點可微，即在點處可導，且4(2)充分性因為函數在點可導，從而且在點處可微.于是有：可導故可微.52.可導與可微的區別與聯系:區別：聯系：可微可導連續有極限可導是指存在.可微是指可表示為：其中A是與無關的常數.可微必可導，可導必連續，連續必有極限；而有極限不一定連續，連續不一定可導，但可導必可微.6解以上例子，驗證了:微分為：越小，近似程度越高.例1求函數在時的微分和增量.改變量為：73.函數的微分的定義：若函數在某區間內每一點都可微，則稱函數是該區間上的可微函數，函數在區間內任一點x的微分稱為函數的微分.記作:dy

或df(x).即則如則oxyy=sinx8通常把自變量x的增量稱為自變量的微分.記為即即函數的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數的導數，因而，導數也叫“微商”.若則若則若則9四、微分的幾何意義幾何意義:(如圖)以直代曲MNT）

P

Q當很小時，在點M的附近，切線段MP可近似地代替曲線段MN.(當是曲線的縱坐標增量時，就是切線縱坐標對應的增量.10五、微分的求法求法:

計算函數的導數,乘以自變量的微分.1.基本初等函數的微分公式112.函數和、差、積、商的微分法則12例2dy.求設解六、微分形式的不變性設函數有導數(1)若u是自變量時，(2)若u是中間變量時，即另一變量t的可微函數則13六、微分形式的不變性結論：一階微分形式的不變性設函數有導數(1)若u是自變量時，(2)若u是中間變量時，即另一變量t的可微函數則無論u是自變量還是中間變量，微分形式總是的函數14解例3在右端的括號中填入適當的函數,使等式成立.例2dy.求設另解15下面利用這個記號解決參數方程表示的函數的導數1.一階導數已知求解求微分的三個方法：1.直接用定義；2.用微分法則；3.用不變性.162、高階導數：例4求曲線的二階導數.解而17解而例5是參數.求已知則18七、微分的應用—主要用于近似計算.計算函數增量若在點處的導數且很小時，1.利用的近似值解例1半徑10厘米的金屬圓片加熱后，半徑伸長了0.02厘米，問面積增大了多少？19解例2設則則取計算函數在點2.利用附近的點的近似值.注意：(2)比較小.(1)與易求，20由于3.求在點附近的近似值.令21證明常用近似公式(x為弧度)；(1)設22例3解近似計算的基本公式計算下列各數的近似值.23八、小結微分學所要解決的兩類問題:函數的變化率問題函數的增量問題微分的概念.導數的概念.求導數與微分的方法,叫做微分法.研究微分法與導數理論及其應用的科學,叫做微分學.導數與微分的聯系:★★可導可微1.聯系242.區別

是函數相對于自變量的變化率.

是相對于自變量改變量為時，函數改變量的線性主部.即25(13)(1)(3