第二章推理與證明2.1合情推理與演繹推理

2.1.1合情推理1．了解合情推理的含義，正確理解歸納推理與類比推理．(重點)2．能用歸納和類比進行簡單的推理．(難點)3．了解合情推理在數學發現中的作用．1．歸納推理與類比推理部分對象

全部對象個別事實一般結論

由部分到整體、由個別到一般類似已知特征這些特征

由特殊到特殊2.合情推理歸納推理和類比推理都是根據已有的事實，經過______、_______、_______、_______，再進行_______、_______，然后提出_______的推理，我們把它們統稱為合情推理．觀察分析比較聯想歸納類比猜想1．下列關于歸納推理的說法錯誤的是(

)A．歸納推理是一種從一般到一般的推理過程B．歸納推理是一種從特殊到一般的推理過程C．歸納推理得出的結論不一定正確D．歸納推理具有由具體到抽象的認知功能解析：歸納推理是由特殊到一般的推理，其結論未必正確．故B、C、D正確，A錯誤．答案：A2．下列平面圖形中，與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適的是(

)A．三角形 B．梯形C．矩形 D．平行四邊形解析：因為平行六面體的六個面全為平行四邊形，并且相對的每一對面平行且全等．類比這一性質可知平面中應類比平行四邊形更合適．答案：D1．歸納推理的特點(1)歸納推理是由幾個已知的特殊情況歸納出一般性的結論，該結論超越了前提所包含的范圍．(2)歸納出的結論具有猜測性質，是否屬實，還需邏輯證明和實踐檢驗，即結論不一定可靠．(3)歸納推理是一種具有創造性的推理，通過歸納推理得到的猜想可以作為進一步研究的起點，幫助人們發現問題和提出問題．歸納推理

2．歸納推理的一般步驟(1)通過對有限資料進行觀察、分析，發現某些相同性質．一般地，如果歸納的個別情況越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題就越可能為真．(2)猜想：在以上基礎上提出帶有規律性的結論．(3)檢驗：檢驗猜想．【想一想】

1.(1)歸納推理的結論一定正確嗎？提示：歸納推理的結論超出了前提所界定的范圍，其前提和結論之間的聯系不是必然性的，而是或然性的，結論不一定正確．(2)歸納推理的前提條件是什么？歸納所得的結論有什么要求？提示：有幾個已知的特殊現象，結論是未知的一般現象，該結論應該超越前提所包含的范圍．1．類比推理的一般步驟①找出兩類事物之間的相似性或一致性．②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題．類比推理2．類比推理的特點①類比是從人們已經掌握了的事物的屬性，推測正在研究中的事物的屬性，以舊認識為基礎，類比出新結果．②類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性．如果類比的相似性越多，相似的性質與推測的性質之間越相關，那么類比得出的命題越可靠．③類比的結果是猜測性的，不一定正確．但它卻具有發現的功能．3．類比推理的適用前提①運用類比推理的前提是兩類對象在某些性質上有相似性或一致性，關鍵是把這些相似性或一致性確切地表述出來，再由一類對象具有的特性去推斷另一類對象也可能具有此類特性．②運用類比推理常常先要尋找合適的類比對象．4．歸納推理與類比推理的區別與聯系區別：歸納推理是由特殊到一般的推理；類比推理是由個別到個別的推理或是由一般到一般的推理．聯系：在前提為真時，歸納推理與類比推理的結論都可真可假．【想一想】

2.類比推理的結論一定正確嗎？提示：類比推理是從人們已經掌握了的事物的特征，推測正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結果具有猜測性，不一定可靠．合情推理

有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規律拼成若干個圖案，則第6個圖案中有陰影的正六邊形的塊數是(

)A．26

B．31C．32 D．36歸納推理的應用

[思路點撥]本題中圖形的變化比較簡單，可有兩種思路：第一種，直接查陰影數，找到變化規律后再猜想；第二種，看圖形的排列規律，每相鄰的兩塊無陰影正六邊形之間有一塊“公共”的有陰影正六邊形．方法二由圖案的排列規律可知，除第一塊無陰影正六邊形需6塊有陰影的正六邊形圍繞(第一個圖案)外，每增加一塊無陰影正六邊形，只需增加5塊有陰影正六邊形(每兩塊相鄰的無陰影正六邊形之間有一塊“公共”的有陰影正六邊形)，第六個圖案中有陰影的正六邊形的塊數為6＋5×(6－1)＝31，故選B.答案：B1．解答本題時，關鍵是找出相鄰圖形間正六邊形塊數的變化規律．2．通過一組圖形的變化規律，研究其一般性結論，通常需把形狀問題數字化，展現數字之間的規律、特征，然后進行歸納推理．解答該類問題的一般策略是：1．蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，下圖一組蜂巢的截面圖中，第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數，則f(4)＝________，f(n)＝________.答案：37

3n2－3n＋1類比推理的應用[思路探究]三角形類比四面體，三角形的邊類比四面體的面，三角形邊上的高類比四面體以某一面為底面的高．1．本題是平面圖形與立體圖形之間的類比推理，一般地，平面圖形與空間圖形類比如下：2.類比推理的思維過程觀察、比較→聯想、類推→猜測新的結論．即在兩類不同事物之間進行對比，找出若干相同或相似之處后，推測這兩類事物在其他方面的相同或相似之處．2．在本例中，若△ABC的邊長分別為a，b，c，其對角分別為A、B、C，那么由a＝b·cosC＋c·cosB可類比四面體的什么性質？合情推理在數陣中的應用記第n行的第2個數為an(n≥2，n∈N*)，請仔細觀察上述“三角數陣”的特征，完成下列各題：(1)第6行的6個數依次為________、________、________、________、________、________；(2)依次寫出a2、a3、a4、a5；(3)歸納出an＋1與an的關系式．[思路點撥]

觀察數陣，總結規律：除首末兩數外，每行的數等于它上一行肩膀上的兩數之和，得出(1)的結果．(2)由數陣可直接寫出答案．(3)寫出a3－a2，a4－a3，a5－a4，從而歸納出(3)的結論．[自主解答]

由數陣可看出，除首末兩數外，每行中的數都等于它上一行的肩膀上的兩數之和，且每一行的首末兩數都等于行數．(1)6,16,25,25,16,6.(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11.(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，由此歸納：an＋1＝an＋n.對于數陣問題的解決方法，既要清楚每行、每列數的特征，又要對上