2022年中考數學一輪復習23銳角三角函數

考點課標要求考查角度1銳角三角函數通過實例認識銳角三角函數，知道30°，45°，60°角的三角函數值；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它對應的銳角．常以選擇題、填空題的形式考查銳角三角函數的定義、特殊角的三角函數值的計算等．2解直角三角形①會利用銳角三角函數解直角三角形；②能運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單實際問題．常以選擇題、填空題、解答題的形式考查運用三角函數解決與直角三角形有關的實際問題，以應用題為主．中考命題說明知識點1：銳角三角函數

知識點梳理1.銳角三角函數的定義：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b正弦：余弦：余切：知識點1：銳角三角函數

知識點梳理2.幾個重要公式：設α是一個銳角，則sinα＝cos(90°－α)，cosα＝sin(90°－α)，sin2α＋cos2α＝1．3.特殊角的三角函數值：知識點1：銳角三角函數

知識點梳理4.銳角三角函數值的變化規律：①當0°＜α＜90°時，sinα（tanα）隨著角度的增大（減小）而

增大（減?。?/p>

．②當0°＜α＜90°時，cosα隨著角度的增大（減小）而

減小（增大）

．【考點】切線的性質；解直角三角形；圓周角定理【分析】連接OC、OD、CD，CD交PA于E，如圖，利用切線的性質和切線長定理得到OC⊥CP，PC=PD，OP平分∠CPD，根據等腰三角形的性質得到OP⊥CD，則∠COB=∠DOB，根據圓周角定理得到

，所以∠COB=∠CAD，然后求出sin∠COP即可．【例1】（4分）（2021?福建9/25）如圖，AB為⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，PC，PD與⊙O相切，切點分別為C，D．若AB=6，PC=4，則sin∠CAD等于（

）A．B．C．D．典型例題知識點1：銳角三角函數

【解答】解：連接OC、OD、CD，CD交PA于E，如圖，∵PC，PD與⊙O相切，切點分別為C，D，∴OC⊥CP，PC=PD，OP平分∠CPD，∴OP⊥CD，∴

，∴∠COB=∠DOB，∵

，∴∠COB=∠CAD，在Rt△OCP中，

，∴

，∴

．故選：D．典型例題知識點1：銳角三角函數

【例2】（3分）（2021?天津2/25）tan30°的值等于（

）A．B．C．1 D．2【考點】特殊角的三角函數值【分析】直接利用特殊角的三角函數值得出答案．【解答】解：

．故選：A．【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數值，正確記憶特殊角的三角函數值是解題關鍵．知識點1：銳角三角函數

典型例題典型例題知識點1：銳角三角函數

【例3】（5分）（2021?北京17/28）計算：2sin60°+

+|-5|﹣

．【分析】直接利用零指數冪的性質、二次根式的性質、絕對值的性質、特殊角的三角函數值，分別化簡得出答案．【解答】解：原式＝＝＝

．典型例題【例4】（6分）（2021?云南15/23）計算：.【分析】先分別計算乘方，特殊角三角函數值，零指數冪，負整數指數冪，然后在按照有理數的混合運算順序和法則進行計算．【解答】解：原式=6．【點評】本題考查有理數的混合運算，特殊角三角函數值，零指數冪及負整數指數冪，掌握運算順序準確計算是解題關鍵．知識點1：銳角三角函數

知識點梳理1.解直角三角形：在直角三角形中，由

已知元素

求

未知元素

的過程，叫做解直角三角形．知識點2：解直角三角形2.解直角三角形的常用關系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，則：（1）三邊關系：a2＋b2＝c2．（2）兩銳角關系：∠A＋∠B＝90°．（3）邊與角關系：

，，．（4）sin2A＋cos2A＝1．知識點梳理3.解直角三角形的應用常用知識：（1）仰角和俯角：仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．（2）坡度和坡角坡度（坡比）：坡面的

鉛直高度h與

水平寬度l

的比

，叫做坡度或坡比，一般用i表示．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i＝tanα．坡度越大，α角越大，坡面

越陡

．知識點2：解直角三角形知識點梳理（3）方向角（或方位角）指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角．知識點2：解直角三角形【例5】（4分）（2021?云南4/23）在△ABC中，∠ABC=90°．若AC=100，

，則AB的長是（

）A．B．C．60 D．80【分析】利用三角函數定義計算出BC的長，然后再利用勾股定理計算出AB長即可．【解答】解：∵AC=100，

，∴BC=60，∴

，故選：D．典型例題知識點2：解直角三角形【例6】（6分）（2021?北京22/28）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，點E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足為F．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB，求BF和AD的長．【分析】（1）證AD∥CE，再由AE∥DC，即可得出結論；（2）先由銳角三角函數定義求出BF＝4，再由勾股定理求出EF＝3，然后由角平分線的性質得EC＝EF＝3，最后由平行四邊形的性質求解即可．典型例題知識點2：解直角三角形【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥CE，∵AE∥DC，∴四邊形AECD是平行四邊形；典型例題知識點2：解直角三角形（2）解：∵EF⊥AB，∴∠BFE＝90°，∵cosB，∴BF，∴EF，∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，∴EC＝EF＝3，由（1）得：四邊形AECD是平行四邊形，∴AD＝EC＝3．典型例題知識點2：解直角三角形【例7】（8分）（2021?西藏25/27）如圖，為了測量某建筑物CD的高度，在地面上取A，B兩點，使A、B、D三點在同一條直線上，拉姆同學在點A處測得該建筑物頂部C的仰角為30°，小明同學在點B處測得該建筑物頂部C的仰角為45°，且AB=10m．求建筑物CD的高度．（拉姆和小明同學的身高忽略不計．結果精確到0.1m，

）【考點】解直角三角形的應用—仰角俯角問題【分析】連接AC、BC，由銳角三角函數定義求出BD=CD，

，再由AB=AD-BD，即可求解．典型例題知識點2：解直角三角形【解答】解：連接AC、BC，如圖所示：由題意得：∠A=30°，∠DBC=45°，AB=10m，在Rt△BDC中，

，∴BD=CD，在Rt△ACD中，

，∴

，∴

（m），解得：

（m）

，答：建筑物CD的高度約為13.7m．典型例題知識點2：解直角三角形【例8】（3分）（2021?山西14/23）太原地鐵2號線是山西省第一條開通運營的地鐵線路，于2020年12月26日開通，如圖是該地鐵某站扶梯的示意圖，扶梯AB的坡度i=5：12（為鉛直高度與水平寬度的比）．王老師乘扶梯從扶梯底端A以0.5米/秒的速度用時40秒到達扶梯頂端B，則王老師上升的鉛直高度BC為

米．【考點】解直角三角形的應用—坡度坡角問題【分析】由坡度的定義，可設BC=5a米，則AC=12a米，再由勾股定理得出方程，解方程即可求解．典型例題知識點2：解直角三角形【解答】解：由題意得：∠ACB=90°，AB=0.5×40=20（米），∵扶梯AB的坡度

，∴設BC=5a米，則AC=12a米，由勾股定理得：(5a)2+(12a)2=202，解得：

（負值已舍去），∴

（米），故答案為：

．典型例題知識點2：解直角三角形【例9】（10分）（2021?天津22/25）如圖，一艘貨船在燈塔C的正南方向，距離燈塔257海里的A處遇險，發出求救信號．一艘救生船位于燈塔C的南偏東40°方向上，同時位于A處的北偏東60°方向上的B處，救生船接到求救信號后，立即前往救援．求AB的長（結果取整數）參考數據：tan40°≈0.84，

取1.73．【考點】解直角三角形的應用—方向角問題【分析】通過作垂線，構造直角三角形，利用銳角三角函數的意義列方程求解即可．典型例題知識點2：解直角三角形【解答】解：如圖，過點B作BH⊥AC，垂足為H，由題意得，∠BAC=60°，∠BCA=40°，AC=257，在Rt△ABH中，∵

，

，∴

，

，在Rt△BCH中，∵

，∴

，典型例題知識點2：解直角三角形又∵CA=CH+AH，∴

，所以

，∴

（海里），答：AB的長約為168海里．【點評】本題考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的關鍵．典型例題知識點2：解直角三角形【例10】（10分）（2021?青海24/25）如圖1是某中學教學樓的推拉門，已知門的寬度AD＝2米，且兩扇門的大小相同（即AB＝CD），將左邊的門ABB1A1繞門軸AA1向里面旋轉35°，將右邊的門CDD1C1繞門軸DD1向外面旋轉45°，其示意圖如圖2，求此時B與C之間的距離（結果保留一位小數）．（參考數據：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，

≈1.4）典型例題知識點2：解直角三角形【分析】作BE⊥AD于點E，作CF⊥AD于點F，延長FC到點M，使得BE＝CM，則EM＝BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的長度，進而可得出EF的長度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的長，此題得解．典型例題知識點2：解直角三角形【解答】解：作BE⊥AD于點E，作CF⊥AD于點F，延長FC到點M，使得BE＝CM，∵AB＝CE，AB+CD＝AD＝2，∴AB＝CD＝1，在Rt△ABE中，∠A＝35°，AB＝1，∴BE＝AB?sin∠A＝1×sin35°≈0.6，∴AE＝AB?cos∠A＝1×cos35°≈0.8，在Rt△CDF中，∠D＝45°，CD＝1，∴CF＝CD?sin∠D＝1×sin45°≈0.7，∴DF＝CD?cos∠D＝1×cos45°≈0.7，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE＝EM，∴四邊形BEMC是平行四邊形，∴BC＝EM，在Rt△MEF中，FM＝CF+CM＝1.3，EF＝AD﹣AE﹣FD＝0.5，∴EM≈1.4．答：B與C之間的距離約為1.4米．典型例題知識點2：解直角三角形【例11】（8分）（2021?江西20/23）圖1是疫情期間測溫員用“額溫槍”對小紅測溫時的實景圖，圖2是其側面示意圖，其中槍柄BC與手臂MC始終在同一直線上，槍身BA與額頭保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘關節M與槍身端點A之間的水平寬度為25.3cm（即MP的長度），槍身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度數；（2）測溫時規定槍身端點A與額頭距離范圍為3~5cm．在圖2中，若測得∠BMN＝68.6°，小紅與測溫員之間距離為5