專題19空間向量與立體幾何(填空題)

一、填空題

1.若日=(1,1,0),五=(—1,0,2),則與n+5共線的單位向量是.

【試題來源】山東省滕州市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考

【答案】±?半

I55)

【解析】5=(1,1,0),^=(-1,0,2),@+6=(0/,2),

所以修+均=VO2+12+22=小，根據(jù)單位向量的關(guān)系式。=土衛(wèi)《，

\a+b\

可得單位向量。=土。，乎，2^].故答案為士0,-^-,—^-.

2.己知向量￡=(一2,3,1),6=(1,-2,4),則￡+B=.

【試題來源】廣東省云浮市2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末

【答案】(TL5)

【解析】因為￡=(-2,3,1),3=(1,一2,4),所以1+1=(一1』,5).故答案為(TJ5).

3.在平行六面體ABC。—A'B'C'D中，ABAD=ZAAB=ZAAD=6()°,AB=3,

AD=4,A4'=5,則AC'=.

【試題來源】北京市人民大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)階段檢測

【答案】V97

【解析】由平行六面體的特征可知/;二通+而+疝，所以

畫『=(而+而+而)2=病+而QE+2而.而+2時而+2昉而

=9+16+25+2x3x4x—+2x3x5x—+2x4x5x—=50+12+15+20=97.

222

所以AC'=歷，故答案為歷.

4.己知￡=(—2,3,/〃)，^=(2,-1,1),若￡_L人則實(shí)數(shù)機(jī)的值為.

【試題來源】江蘇省鹽城中學(xué)2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末

【答案】7

【解析】因為aJ_5，所以a/=On—2x2+3x(—1)+機(jī)=0,解得加=7.故答案為7.

5.在正四面體P-ABC中，棱長為2,且E是棱AB中點(diǎn)，則庵.覺的值為.

【試題來源】廣西南寧市第三中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期月考(一)(理)

【答案】-1

【解析】由題意，設(shè)麗=￡,麗=瓦方="，建立空間的一個基底丘瓦"},

在正四面體中巫=，(￡+?),33=2—

2

.1__]____,,2

所以PE-BC--(a+b')-(c-b)=—(a-c—a-b+b-c-h)

22

=-^(2x2cos60°-2x2cos60°+2x2cos600-2x2)=一1.

6.在平行六面體ABC。一AAG。中，ZBA4,=ZDAA,=ZBAD=60°,且所有棱長均

為2,則對角線AG的長為.

【試題來源】山東省滕州市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二9月開學(xué)收心考試

【答案】2灰

【解析】AB-AD=2x2xcos60°=2-福?湎=2x2xcos60'=2,

AD-例=2x2xcos60=2.

2/\2222

.?.福=(而+通+同一=而一+昉+福一+2被礪+2麗?福+2而?麗=24

4G=|砌=2的

7.在三棱錐P-ABC中，24_L底面ABC,AB±BC,PA=3,AB=6，BC=2,

若E,尸是PC的三等分點(diǎn)，則異面直線AE與8戶所成角的余弦值_________.

【試題來源】黑龍江省大慶中學(xué)2020-2021學(xué)年高三10月月考(理)

237301

【答案】

602

【解析】如圖所示：以AB為％軸，AP為z軸，平面ABC內(nèi)垂直于AB的直線為＞軸建

立空間直角坐標(biāo)系，則A（0,0,0）,8（百,0,0）,C（/2,0）,尸（0,0,3）,

—■1——2—.則E伸1,2’264

PE=-PC,PF=-PC,

33

33\7

則荏得10旃"甘,契

23

23y/301

則cos（荏，喬卜=-廣鄉(xiāng)l

網(wǎng)網(wǎng)舟棒602

故異面直線AE與M所成角的余弦值為生叵.故答案為23師

602602

8.在空間直角坐標(biāo)系中，定義：平面a的一般方程為

Ax+By+Cz+D=O(A,B,C,DeR,A2+B2+C2*0)，點(diǎn)P(如為為)到平面a的距

I+By。+Cz0+￡)|

離1=,則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中，底面中心。到側(cè)面

VA2+B2+C2

的距離等于__________

【試題來源】山東省棗莊三中2020-2021學(xué)年高二年級10月份質(zhì)量檢測考試

【答案】正

5

【解析】如圖，以底面中心0為原點(diǎn)建立.空間直角坐標(biāo)系。一孫z,

則0（0,0,0）,A（l,1,0）,B（-l,1,0）,P（0,o,2）,

設(shè)平面PAB的方程為Ax+By+Cz+D=0,

A+B+D=0

將尸坐標(biāo)代入計算得，—A+B+O=0,解得4=0，B=—D，C=--D,

2C+O=0

:.-Dy--Dz+D=0,即2y+z-2=0,,4==拽.故答案為遺

'2-74+155

9.已知結(jié)論：在平行四邊形ABC。中，有而=麗+無力，且此結(jié)論可以推廣到空間，

即在平行六面體ABC。-A&GR中，有數(shù);=通+通+區(qū).某結(jié)晶體的形狀為平行六

面體，其中以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為2,且它們彼此的夾角都是y,則其體對角線4c

的長度是__________

A

【試題來源】河北省巨鹿中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考

【答案】2夜

【解析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得率=而+4瓦+A瓦

2

則對=（4A+福'+病'）2

----*2—--?2?2.?——..一?.

=（4A+A]B[+A。]+244耳+2AA?AZ）1+2Ag?A。1）

=4+4+4+2x2x2x（—；）+2x2x2x（—；）+2x2x2x；=8.所以町|=2立

10.空間直角坐標(biāo)系中，已知A（2,3,-1）,8（2,6,2）,C（1,4,T）,則直線AB與AC的夾

角為.

【試題來源】江西省宜春市期末統(tǒng)考高二年級數(shù)學(xué)試卷（理）

【答案】60°

【解析】因為麗=(0,3,3),北=(-1,1,0),所以福.於=3，|通|二3夜,］恁卜夜，

則由向量的數(shù)量積公式可得直線AB與AC的夾角的余弦為cos(AB,/)=言=:，故

直線AB與AC的夾角為60,，應(yīng)填答案60.

11.如圖，平行六面體ABCD-AiBiGDi中，|ABRA￡)|=|A4j=l,ZBAD=ZBAAi

=120°,ZDAAi=60°,則線段AG的長度是.

【試題來源】吉林省白城市濟(jì)北區(qū)第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期中(理)

【答案】行

【解析】VAQ=AB+AD+AA^,

AQ2=AB+AD+AA^+2AB-AD+2AB-AJ\+2彷羽

—

=l+l+l+2xlxlx+2x1x1x(—)+2xlxlx—=2>AC}=V2,故答案為'\/^'.

12.已知在空間四邊形043。中，礪=瓦礪=反反點(diǎn)M在。4上，且OM=3M4,

N為BC中點(diǎn)、,用Z,瓦"表示麗，則麗等于

【試題來源】山東省煙臺市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理)

31-1

【答案】ClHbHC

422

【解析】如圖：:MN=ON-OM,ON=^(OB-OV),

,-,MN=-(OB+OC)--OA=--a+-b+-c.

24422

一3一1一一

13.O為空間中任意一點(diǎn)，A,B,C三點(diǎn)不共線，iLOP=-OA+-OB+tOC,若P,A,

48

B,C四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)r=

【試題來源】海南省文昌中學(xué)2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考

【答案】|

O

―-3—?1—?—?

【解析】P，A，B,C四點(diǎn)共面，且。P=一。4+—。8+，。。，

48

3111

：+弓+，=1,解得，二6.故答案為

4OOO

14.已知空間中兩點(diǎn)A(—5(—2,2,3),在。軸上有一點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)距離

相等，則C點(diǎn)坐標(biāo)為.

【試題來源】河北省藝術(shù)職業(yè)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考

【答案】fo,o,1

\2J

【分析】設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,01),利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合=忸。可求得r

的值，進(jìn)而可求得點(diǎn)C的坐標(biāo).

【解析】設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0"),由于|47|=忸。|,

則{32+產(chǎn)+(_1)2={22+(_2/+(/_3)2，整理得2，-3=0,解得f=T，

因此，點(diǎn)c的坐標(biāo)為(o,o,故答案為(o,o,

15.若直線/的方向向量為*=(1,0,2).平面。的法向量為力=(—2,0,—4)，則直線/與平

面a的關(guān)系為.

【試題來源】天津師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考

【答案】Ika

【解析】因為么=_21，所以2//7，因此故答案為

16.已知點(diǎn)A(x,1,2)和點(diǎn)3(2,3,4),且AB=2指，則實(shí)數(shù)x的值是.

【試題來源】江蘇省鹽城市東臺創(chuàng)新高級中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期5月檢測

【答案】6或-2

【解析】已知點(diǎn)A(x,1,2)和點(diǎn)8(2,3,4),所以=J(x—2)2+(1-3)2+(2-4)2=2卡,

E|J(X-2)2=16,解得x=6或％=-2,故答案為6或-2.

17.若空間向量2=(1,—1,0),^=(-1,2,1),2=(24,加)共面，則〃?=.

【試題來源】江蘇省南京市六合區(qū)大廠高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期10月學(xué)情調(diào)研

【答案】3

【分析】空間向量3=(1,-1,0)，B=(T,2,1),2=(2,1,加)共面，可得存在實(shí)數(shù)X,〃

使得；、=丸)+〃力，利用向量的線性運(yùn)算與向量相等即可得出.

【解析】???空間向量2=(1,—1,0)，S=(-1,2,1),"=(2,1,相)共面，

2=A-//

二存在實(shí)數(shù)4,4使得建心+1=-4+2〃，解得機(jī)=3.故答案為3.

m=4

18.在空間直角坐標(biāo)系。一邙中，點(diǎn)”是xOy平面內(nèi)的直線x+y=2上的一點(diǎn)，若點(diǎn)M

到點(diǎn)N(6,4,l)的距離最小，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

【試題來源】安徽省六安市第?中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次段考(理)

【答案】(2,0,0)

【分析】由題可設(shè)M(x,2—羽0),則阿N|=J(x-6)?+(2-x-49+1,利用二次函數(shù)

求最小值，即可得取最小值時點(diǎn)M的坐標(biāo).

【解析】由題可設(shè)M(x,2-x,0),

則|MN|=^(%-6)2+(2-%-4)2+1=^2(%-2)2+33，

所以當(dāng)x=2時，|剛?cè)∽钚≈担藭r點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,0,0).故答案為(2,0,0).

19.在正方體ABCD-AB￡R中，則直線BC,與平面AtBD所成角的正弦值為

【試題來源】北京大興區(qū)第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試

【答案】&

3

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)該正方體的棱長為1,所以0(0,0,0),5(1,1,0),C,(0,1,1),4(1,0,1),

因此麗=(1,1,0),3c=(T，°，D，必=(1，°，1)，設(shè)平面A18。的法向量為G=(x,y,z),

nlDBn-DB=0x+y=O

所以《___=><__=>令九=1,所以y=z=-l,

n_LDA,n-D\=0x+z=0

因此3=（1,-1,一1）,設(shè)則與［的夾角為a,直線BG與平面48。所成角為

所以有sin9=|cosa

20.如圖所示，在長方體ABCD—4B|CQ|中，。為AC的中點(diǎn).用AB,AD,AA,表示0匕，

則OC}=-----------

【試題來源】2021年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)-題型全歸納與高效訓(xùn)練突破

【答案】^AB+^AD+AA^

【解析】因為阮=；恁=3（.片+擊），

所以西=無+兀=（（麗+而）+麗=g通+；而+羽.

故答案為有+g加+麗二

21.在正四棱錐S-ABCD中，0為頂點(diǎn)S在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且

SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角是.

【試題來源】河北省唐山市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末

【答案】30。

【解析】如圖所示，以0為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

設(shè)OD=SO=OA=O8=OC=a(a>0),則A(a,0,0),8(0,a,0),CLa,0,0),P(0,-|-,|).

則CA=(2a,0,0),AP=(—a,——,—),CB=(?,a,0).

設(shè)平面PAC的法向量為］,則3J.AP,n±CA,

2ax=0

即“aa八，得x=0，令y=1,則z=1，；.〃=(0,1,1)，

—ax—y+—z=0

.x2

CBn_a_1

則cos<CB,n〉=所以〈區(qū),3>=60。.

\CB\\n\~>/2->j2a~2

所以直線BC與平面B4C所成的角為90°-60°=30°.故答案為30。.

22.如圖，在三棱錐V—A5C中，頂點(diǎn)。在空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，頂點(diǎn)A，B,V分

別在x,z軸上，。是線段A3的中點(diǎn)，且AC=BC=2,當(dāng)NV<DC=60。時，異

面直線AC與VD所成角的余弦值為.

【試題來源】人教A版(2019)選擇性必修第一冊第一章空間向量與立體幾何單元測試

【答案】叵

4

【解析】由題意，4(2,0,0),3(0,2,0),C(0,0,0),D(l,l,0),

當(dāng)NVDC=60°時，在用△VDC中，CD=叵,VC="，VD=2五,

所以叭0,0,遙），所以恁=（一2,0,0）,所以cos〈正，口＞=?卷,篇］=—孝,

所以異面直線AC與⑺所成角的余弦值為也.故答案為也.

44

23.四棱柱ABC￡＞—A6IC|D|中，ZA,AD=ZDAB=60°,AtA=AB=AD=1,則

AC,=.

【試題來源】平頂山市高二上學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理）

【答案】＞/6

【解析】AQ=AB+AD+X\,所以

+2(ABAD+ADA^+ABA^^

l+l+l+2Hxlx-x3j=V6,故填卡.

24.在正四面體P—ABC中，M是K4上的點(diǎn)，且PM=2M4，N是BC的中點(diǎn)，若

MN=xPA+yPB+zPC,則x+》+z的值為

【試題來源】湖北省宜昌市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末

【答案】；

由空間向量基本定理得X=—2,y=-,z=-.故x+y+z=J.故答案為

32233

25.已知直線a,￡>的方向向量分別為加=(4,攵，左一2)和〃=(%,%+3,6),若a//b，則％=

【試題來源】河北省滄州市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考

【答案】6

4kk-1

【解析】因為a//b,所以7=/二=<一，解得&=6,故答案為6.

kk+36

【名師點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)空間向量的共線關(guān)系求解參數(shù)，難度較易.已知

=_L

a=(xi,yi,zl),b=(x2,y2,z2)(xix2yly2ziz2^0),若Z//B，^-=-.

X2必Z2

26.已知點(diǎn)P(2,3,-1),則點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【試題來源】河北省藝術(shù)職業(yè)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考

【答案】(-2,-3,1)

【分析】點(diǎn)(a,b，c)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,-b,-c).

【解析】點(diǎn)尸(2,3,-1),則點(diǎn)尸關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,-3,1).

27.己知￡=(4,一2,6),6=(-1,4,一2),"=(4,5,2),若B，)三向量共面，則；1=

【試題來源】山東省濱州市博興縣第三中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考

【答案】5

【解析】a>b>c三向量共面，則存在列“，使得c=/〃a+〃方，

3

m--

4m-n=42

則c=（4,5,A）=（4m—〃,一2m+4〃,6m-2〃），即<-2m+4n=5,解得<〃=2

6m-271=22=5

故答案為5.

—>—>―>_、、、

28.已知Q=（—2,1,3）,b=（3,—4,2）?c=（7,2,5）?若b9c共面,則實(shí)數(shù)4=

【試題來源】天津師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考

123

【答案】

13

【分析】由空間向量的共面定理，列出方程組求出實(shí)數(shù)X的值.

【解析】由a=(—2,1,3)，8=(3,—4,2)，c=(7,幾,5)，旦〃，」共面，

所以存在實(shí)數(shù)〃?，n,使得最=加￡J，即(7,4,5)=加(一2,1,3)+〃(3,<2),

-2m+3〃=7

131131123

列方程組，得〈機(jī)一4〃=%,解得加=一,n=一：所以4=---4x—=-----.

ccu1313131313

3m+2〃=5

29.己知之=(幾+1,0,2)，1=(6,2〃-1,22)，若力/。且;與］反向，則』+〃=

【試題來源】天津師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考

【答案】-2

2

k(4+1)=6

【分析】根據(jù)題意可設(shè)了=上［，且k<0,然后可得出<2〃-1=0,根據(jù)人解出入，4即

w=2幾

可得出；1+〃的值.

【解析】因為：//］,且:與］反向，所以設(shè)％=k<0.

4(2+1)=6k=~3

所以(6,2//-1,24)=%(/1+1,0,2),所以修以一匚。,因為k<0,所以=g,

2k=2Z

z——j

所以X+〃=—.故答案為—.

22

x-3y+z+l=0

30.空間坐標(biāo)系中，過點(diǎn)尸(2,1,1)且與直線、二c.八垂直的平面方程為

3x-2y-2z+l=0

【試題來源】廣東省中山市華僑中學(xué)港澳臺班2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末

【答案】8x+5y+7z-28=0

【分析】設(shè)兩條直線的方向向量分別為1=(L—3,1),￡=(3,—2,—2),設(shè)平面的法向量為

3=(x,.y,z),根據(jù)=0,■%■=(),即可求出平面的法向量3,從而可得所求平面方程.

【解析】設(shè)兩條直線的方向向量分別為1=(1,一3,1),1=(3,-2,-2),設(shè)所求平面的一個

8

x--y

n-e=0x-3y+z=Q5

法向量為n=(x,y,z)則山”]即＜；,令y=5,得

n-e=03x—2y—2z=0

2z=-y

5

x=8，z=7,所以3=(8,5,7),故所求平面方程為8(x—2)+5(y-l)+7(z—1)=0,

即8x+5y+7z—28=0.故答案為8x+5y+7z—28=0

31.如圖，E是棱長為2的正方體的棱A4的中點(diǎn)，尸為棱AB上的一點(diǎn)，且NGE尸=90。，

則線段AF的長為

【試題來源】浙江省寧波市諾丁漢大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期10月月考

【答案】《

【解析】由題意：以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，并設(shè)=

則E(2,0,l),F(2,r,0),Cj(0,2,2),則而=(0/—1)，星=(—2,2,1)

因為NGEF=90°,所以喬_L罵，則方?罵=0,

所以〃一1=0,解得r=，,所以線段A尸的長為

22

32.在直三棱柱ABC-AAG中，AC=3,3C=3,AB=3j5,AA=2,則異面直線4。

與BG所成角的余弦值為.

【試題來源】江蘇省南通市如皋中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次階段檢測

4

【答案】—

13

【分析】先由題意可得C4、CB、兩兩垂直，以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA、CB、CC1方

向分別為4軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線與BG的方向向量，根據(jù)

向量夾角余弦值即可得出結(jié)果.

【解析】因為AC=3,3C=3,A3=3j5,所以角C為直角，又直棱柱中，側(cè)棱與底面垂

直，所以CA、CB、兩兩垂直，以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA、CB、C6方向分別為x軸,

y軸，Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則C(0,0,0),G(0,0,2),4(3,0,2),8(0,3,0),

所以冠=(—3,0,—2),Bq=(0,-3,2),設(shè)異面直線4。與BG所成角為夕，

則cos6=cos(存明)|=當(dāng)駕=^義?=《故答案為土

\71|AC||BC,|V974XV9741313

33.已知三棱柱ABC—A4cl的所有棱長均為2,側(cè)棱底面A8C,若￡廠分別是

線段8片，AG的中點(diǎn)，則異面直線4E與。尸所成角的余弦值是

【試題來源】衢州市、湖州市、麗水市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期II月教學(xué)質(zhì)量檢測

【答案】|

【分析】以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量荏,方的坐標(biāo)，然后由

\AE-CF\

COS一?求解.

阿w

【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系:

則A（0,0,0）,E（G』,l）,C（0,2,0）/（0,l,2）,所以近=（6,1,1）,#=（0,7,2）,

所以H荏同卜給=焉《故答案為、

34.已知a=(l,3,〃z),B=(2〃,6,-4),若￡//B，則￡/=

【試題來源】江蘇省南京市江浦高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期檢測（-）

【答案】28

【分析】由Z//B可建立關(guān)系求出〃?，〃，再根據(jù)坐標(biāo)即可求出￡4.

1372Z

【解析】由題知一=一=—,所以〃=1,加=一2,

2〃6T

則0.b=lx2+3x6+(—2)x(-4)=28.故答案為28.

35.在空間直角坐標(biāo)系中，若三點(diǎn)4(1,-1,4),仇2,00),(?(1,4,-2)滿足：

則實(shí)數(shù)a的值為.

【試題來源】江蘇省南京市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中調(diào)研測試

【答案】—9

【分析】先根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得到A"的坐標(biāo)表示，再根據(jù)向量垂直對應(yīng)的數(shù)量積為

零計算出。的值即可.

【解析】由題意/=(l,a+l,_0,/=(0,0+1,_2_〃),庭=(_1,0,_2)，

所以(42公)應(yīng)=(l,_a_lM+4).(_l,0,_2)=_l_2(a+4)=_2a_9=0，

99

解得a=—.故答案為-；

22

36.在長方體A8CO-AgCA中，A&=A5=2,AO=1,點(diǎn)居G分別是A6,CG的中

點(diǎn)，則點(diǎn)Q到直線GF的距離為.

【試題來源】北京科技大學(xué)附屬中學(xué)2020—2021學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題

…V42

【答案】--

3

【解析】如圖，以。為原點(diǎn)，￡)A為x軸，。。為V軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則〃(°，0,2),G(0,2,1),F(1,1,0),FDf=(-1,-1,2),FG=(-1,1,1)，

二點(diǎn)2到直線G尸的距離：E用卜卜懸緇廠向卜島:華?

點(diǎn)D,到直線GF的距離為—.故答案為—.

33

【名師點(diǎn)睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直

角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，

利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;

（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

37.如圖，平行六面體ABCD-A.B^D,中，AB=AD=AA]=],

ZBAD=ND4A=NR4A=60"，則BD}=

【試題來源】廣東省廣州市海珠區(qū)2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考

【答案】V2

【分析】用基底表示出國，然后利用向量數(shù)量積的運(yùn)算，求得|甌"I.

【解析】因為閑'=必—而=屈+羽—與，

2

所以西之=（而+麗_AB）=AD+麗之+AB+2而.麗-2AD，AB-2麗?拔

=1+1+1+2XCOS600-2XCOS600—2xcos600-2-所以BD=\BD]|=\[2.

38.若向量2=（1",4）,B=（—2,1,1）,Z，b夾角為鈍角，則丸的取值范圍是.

【試題來源】江蘇省南京市天印高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期10月學(xué)情調(diào)研

【答案】（一℃,一77）。（—不1）

22

【分析】根據(jù)向量￡與坂的夾角為鈍角，則7B<o,求得7的范圍，在將?與B共線旦反向

的情況排除即可.

【解析】因為向量公與坂的夾角為鈍角，所以￡4=（1,4，）?（—2,1,1）=-2+2/1<0,

解得;1<1.當(dāng)Z與坂共線時，設(shè)2=&坂（K0）,可得，:一）,，解得

即當(dāng)x=—；時，向量々與B共線且反向，此時￡石<0，但々與B的夾角不是鈍角.

綜上：入的取值范圍是—故答案為（—8,-；）口（一；,1）

39.己知南垂直于正方形ABCQ所在的平面，M,N分別是CQ,尸C的中點(diǎn)，并且以=

AD=1.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，則MN=.

【試題來源】2021年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)-題型全歸納與高效訓(xùn)練突破

【答案】叵

2

【解析】連接尸。，因為M,N分別為CD,PC的中點(diǎn)，

所以MN=gp。，乂尸（（），0,1）,0（0,1,0）,

所以PD=J（）2+（一]/+]2=正，所以MN=+~.

40.已知在長方體ABCD-AIBIGDI中，AB=BC=1,AAi=2,E是側(cè)棱BBi的中點(diǎn)，則直線

AE與平面AIEDI所成角的大小為.

【試題來源】陜西省商洛市商丹高新學(xué)校2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末（理）

【答案】90

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)后，求出直線AE的方向向量為后=（0,1,

1）和平面AIEDI的法向量n=（0,1,1）,然后利用向量的共線可得直線AE與平面AFDi垂直,

于是得所求角為90.

【解析】以。為原點(diǎn)，以D4,DC,分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(1,0,0),E(l,1,1),4(1,0,2),D1(O,0,2),

于是衣=（0，1，1），乖=（0，1,-1），g=Gl，0,0）.

設(shè)平面4ED1的法向量為〃=（x,y,z）,

n-AE=y-z=0,[y=z,i/、

則＜2—7八得「八令z=l，得〃=（0,U）.

n-A.D,=-x=0,[x=0,v7

所以工豆〃7,故直線AE與平面垂直，即所成角為9（）。.故答案為90。

【名師點(diǎn)睛】本題考查空間位置關(guān)系的向量解法，將幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算的問題處理，

解題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系、正確地求出直線的方向向量和平面的法向量，由

于解題時需要進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算，因此還要注意計算的準(zhǔn)確性.

41.已知如圖，PA.PB、PC互相垂直，且長度相等，E為AB中點(diǎn)，則直線CE與平面也C

所成角的正弦值為.

B

【試題來源】江蘇省南京市第十四中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期學(xué)情調(diào)研測試

6

【解析】PA.PB、PC互相垂直，以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA.PB、PC分別為x,y,z軸,

/方

設(shè)尸A=2,則平面朋C的法向量可以為力=（2,0,0）,￡（1,0,1）,C（0,2,0）,

萬?國2_V6

CE=（L-2,1）,直線CE與平面用C所成角的正弦值為

同同一2.遙一6

42.一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體，以同一個頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長均為6,且它們彼此

的夾角均為60。，則以這個頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對角線長為.

【試題來源】曾都一中，棗陽一中，襄州一中，宜城一中2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期中

【答案】676

【分析】設(shè)A月=1，而=B，第="，根據(jù)平行四邊形法則，對角線ZC；=a+B+L

再結(jié)合條件，利用向量的模即可求出對角線長.

【解析】設(shè)麗=￡,AD=b'A4j=c,因為AC；=44+4萬+A4；=￡+b+）,所以

ACJ=（。+8+c）=a+b+c+2a^b+2a?c4-2b^c=36+36+36+6x6x6xcos60°=216,

所以對角線|可卜6".故答案為6#.

43.在空間中，四條不共線的向量礪、0B>0C>前兩兩間的夾角均為a.貝ijcosa

的大小為.

【試題來源】北京大興區(qū)第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試

【答案】―1

3

【分析】不妨設(shè)I0A|=|031=|0C|=|0。|=1,因為向量Q4、OB、0C共線，所以存在

UUU1

實(shí)數(shù)a,b,c使得OD^aOA+bOB+cOC，在等式兩邊同時乘以。。得

（a+》+c）cosa=l,然后在等式兩邊同時乘以礪、無、反，化簡后相加可解得結(jié)果.

【解析】不妨設(shè)I赤|=|而|=|覺|=|而1=1，因為向量礪、礪、反共線，所以存在

實(shí)數(shù)a,b,c使得歷函而+c元，

^\ODOD=aOAOD+bOBOD+cOCOD^

所以O(shè)ff=a\OA\\OD\cosa+b\OB\\OD|cosa+c|OC||O￡)|cosa，

所以1=acosa+）cosa+ccosa,即（a+b+c）cosa=1,

又麗?礪=Q蘇+〃礪?西+C武?西，

所以|OD\\OA\cosa=a+h\OB||OA|cosa+c\OC\\OA|cosa，

所以cosa=a+bcosa+ccosa，即。=（1一人一c）cosa,

同理可得）=（1一。-c）cosa,c=（l-a-b）cosa,

所以Q+Z?+C=（1—/?一。+1—。一c+1—a-Z?）cosa,

12

所以-----=（3-------）cosa,所以3cos2a—2cosa-1=0，

cosacosa

所以cosa=-'或cosa=l（舍）.故答案為一,

33

【名師點(diǎn)睛】根據(jù)空間向量基本定理得到麗=。）+人礪+c反后，在其兩邊同時乘以

甜、OA'OB'0C?利用向量的數(shù)量積運(yùn)算是解題關(guān)鍵.

44.已知三棱錐A—5CD的三條側(cè)棱4氏ACAO兩兩垂直，其長度分別為。也c.點(diǎn)A在

底面BCD內(nèi)的射影為0,點(diǎn)A,及C,。所對面的面積分別為名,品，S。，品.在下列所給

的命題中，正確的有.（請寫出所有正確命題的編號）

①三棱錐4-BCD外接球的表面積為（儲+/+c?）乃；

②、八,S&BCO=SJ；

③S：＜Sj+Sc3+Sj；

④若三條側(cè)棱與底面所成的角分別為%,一,%,WJsin2a,+sin2+sin2=1；

⑤若點(diǎn)M是面BCD內(nèi)一個動點(diǎn)，且AM與三條側(cè)棱所成的角分別為。2，4，％，則

222

cosa2+cosP2+cos/2=1.

【試題來源】安徽省合肥市2020屆高三下學(xué)期第三次教學(xué)質(zhì)量檢測（理）

【答案】①②④⑤

【分析】由一棱錐A—BCD的三條側(cè)棱AB,AC,A。兩兩垂直，則將三棱錐A-BCD補(bǔ)成

長方體ABAC—。（汨石，可判斷①，由凡AO'O1與RuOAD相似，可判斷②，取特殊

值，當(dāng)a=8=c=l時，可判斷③，分別以AB，AC,AD為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，利用向量法可判斷⑤，當(dāng)M與。重合時，AOL面BCD，由各側(cè)棱與底面所成角與

側(cè)棱與所AO成角互為余角，可判斷④.

【解析】由三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱AB,AC,AO兩兩垂直，則將上棱錐A-BCD補(bǔ)成

長方體AB尸C-ZX汨E，連接。。并延長交5c于O',則40J_BC

對①：三棱錐A-BCD外接球和長方體ABFC-DGHE的外接球相同.

則長方體ABFC-DGHE的對角線AH=yla2+b2+c2

則長方體ABFC-DGHE的外接球的直徑為AH

所以三棱錐A-BCD外接球的表面積為4%R2=（a2+b2+c2）7r,故①正確.

對②：由凡與RUO'AO相似，則O'A2=O,OX。'。

又SA=gBCO'DS.BCO=；BCOO,S^=[^BC-O'A\=^BC2O,A2

所以S-SKCO=SJ，故②正確?

i3

對③：當(dāng)〃=/?=c=l時，Sj=Sj=Sj=g,則Sj+Sj+Sj=w

而心X6回此時S：＞Sj+Sc3+Sj,故③不正確.

(22)88

對⑤：分別以AB,為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)M（x,y,z）

則AM=(x,y,z),|AA1|=++,AB=(?,O,O),AC=(O,Z?,O),AD=(0,0,c)

AMA3(AM-ACJAM-ADY

所以cos*23a+cos2p+cos2y

222u畫必叫飛畫?同+〔畫畫L

x2y2z2

所以⑤正確.

\AMf\AMf\AMf

對④：當(dāng)M與。量合時，40_1_面8。0，由⑤有cos?%+cos?尸2+cos?%=1，

由各側(cè)棱與底面所成角與側(cè)棱與所A。成角互為余角，可得④正確.

故答案為①②④⑤.

【名師點(diǎn)睛】本題考查空間線面、線線、面積關(guān)系，外接球的表面積等問題，考查補(bǔ)形的思

想方法應(yīng)用，屬于難題.

二、雙空題

45.已知N=(T,2,x),B=(2,-l,3),如果W/B，貝”=；如果aJ_B，》=

【試題來源】浙江省寧波市諾丁漢大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期10月月考

.小,10

【答案】-6—

3

【解析】因為汗=(-4,2,x),b=(2,—1,3),且值〃5，所以。=幾5，

[-4=22,

2=—2

則＜2=-4,解得，_,因為a-b=0則—4x2+2x(—l)+3x=。,

x=-o

x-3Ai

解得x=—,故答案為-6,—

33

46.已知直三棱柱ABC-AAG中，ZABC=120°,43=2，BC