2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末試卷高二數(shù)學(xué)2024.06注意事項(xiàng)：1．本試卷包括單項(xiàng)選擇題（第1題~第8題）、多項(xiàng)選擇題（第9題~第11題）、填空題（第12題~第14題）、解答題（第15題~第19題）四部分．本試卷滿(mǎn)分為150分，考試時(shí)間為120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)填在答題卡上指定的位置．3．作答選擇題時(shí)，選出每小題的答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．4．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．樣本數(shù)據(jù)36，27，25，22，20，16，13，12，11的第60百分位數(shù)為（

）A．16 B．21 C．22 D．23.53．若展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為60，則（

）A．2 B． C．4 D．4．“”是“兩條直線(xiàn)平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知單位向量，滿(mǎn)足|－|＝，則與的夾角為（

）A． B． C． D．6．某罐中裝有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)紅球和3個(gè)綠球，每次不放回地隨機(jī)摸出1個(gè)球，連續(xù)摸兩次.記“第一次摸球時(shí)摸到紅球”，“第一次摸球時(shí)摸到綠球”，“第二次摸球時(shí)摸到紅球”，“第二次摸球時(shí)摸到綠球”，“兩次都摸到紅球”，“兩次都摸到綠球”，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．與R2為互斥事件 B．C． D．7．已知中，，，則將以為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體體積為（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線(xiàn)：(，)的左、右焦點(diǎn)分別，．是上一點(diǎn)(在第一象限)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，若，且，則的漸近線(xiàn)方程為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知復(fù)數(shù)，，下列說(shuō)法正確的有（

）A．若，則 B．若，則C． D．若，則10．若正數(shù)，滿(mǎn)足，則（

）A． B．C． D．11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，則（

）A．平面平面B．任意，三棱錐的體積是定值C．周長(zhǎng)最小值為D．當(dāng)時(shí)，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在等差數(shù)列中，，，則．13．即將暑假，小明一家5人計(jì)劃開(kāi)車(chē)回趟老家，車(chē)子前排有駕駛座和副駕駛座，后排有3個(gè)座位．家人中只有小明和哥哥不會(huì)開(kāi)車(chē)，且小明未成年只能坐在后排，則一共有種不同的乘坐方式．14．如果函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則記為；函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則記為．如果且，則實(shí)數(shù)的最大值為；如果函數(shù)，且，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．中，角，，的對(duì)邊分別是，，，且，.(1)求；(2)若面積為，求邊上中線(xiàn)的長(zhǎng).16．已知函數(shù)(其中為常數(shù))．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的最小值．17．如圖，在四棱錐中，底面滿(mǎn)足，底面，且，E為中點(diǎn)．(1)求證：面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．18．在直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)相切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線(xiàn)C．直線(xiàn)y＝x＋b(其中b為非零常數(shù))與曲線(xiàn)C交于兩點(diǎn)，設(shè)曲線(xiàn)C在點(diǎn)處的切線(xiàn)分別為和，已知和分別與軸交于點(diǎn)M，N．與的交點(diǎn)為T(mén)．(1)求曲線(xiàn)C的軌跡方程；(2)求點(diǎn)T的橫坐標(biāo)；(3)已知與面積之比為5，求實(shí)數(shù)b的值．19．2024年5月28日，南京首家開(kāi)市客超市開(kāi)業(yè)，開(kāi)市客超市是一家會(huì)員制超市，辦了會(huì)員便可以攜同伴進(jìn)入購(gòu)物．據(jù)統(tǒng)計(jì)，開(kāi)業(yè)第一天人流量超過(guò)三萬(wàn)人，且大多組團(tuán)來(lái)逛超市，如果單獨(dú)一人逛超市，則視此人為單獨(dú)一個(gè)團(tuán)體．其中的團(tuán)體擁有一張會(huì)員卡，結(jié)賬時(shí)將會(huì)收到超市贈(zèng)送的精美布袋一個(gè)；另外的團(tuán)體擁有兩張及以上會(huì)員卡，結(jié)賬時(shí)將會(huì)收到超市贈(zèng)送的精美布袋兩個(gè)．假設(shè)每個(gè)團(tuán)體之間相互獨(dú)立，且將頻率看做概率．(1)隨機(jī)抽取3個(gè)團(tuán)體，記3個(gè)團(tuán)體收到超市贈(zèng)送的精美布袋總個(gè)數(shù)為，求的分布列和期望；(2)將個(gè)團(tuán)體獲贈(zèng)精美布袋總個(gè)數(shù)為個(gè)的事件概率記為，求；(3)如果你是開(kāi)市客超市負(fù)責(zé)人，預(yù)計(jì)某時(shí)間段有100個(gè)團(tuán)體來(lái)超市購(gòu)物，若以需要贈(zèng)送精美布袋總個(gè)數(shù)概率最大為依據(jù)，請(qǐng)問(wèn)你應(yīng)該提前準(zhǔn)備多少精美布袋比較合理．并與該時(shí)間段內(nèi)需要贈(zèng)送精美布袋總個(gè)數(shù)的期望比較大小．1．B【分析】計(jì)算集合，再求即可.【詳解】由題意，集合，,所以.故選：B.2．C【分析】根據(jù)百分位數(shù)的求法計(jì)算即可求解.【詳解】將樣本數(shù)據(jù)從小到大排序得，則，所以第百分位數(shù)為第個(gè)數(shù)，即.故選：C.3．B【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，整理后令的指數(shù)為0，得到常數(shù)項(xiàng)相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，由常數(shù)項(xiàng)的值求的值.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，當(dāng)時(shí)，，則有，解得.故選：B.4．A【分析】根據(jù)直線(xiàn)平行的等價(jià)條件求出，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】因?yàn)閮蓷l直線(xiàn)平行，所以直線(xiàn)斜率相等或斜率不存在，當(dāng)兩直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，即，兩直線(xiàn)為，成立；當(dāng)兩直線(xiàn)斜率存在時(shí)，即，解得，兩直線(xiàn)為成立，綜上或.所以“”是“兩條直線(xiàn)平行”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】5．C【分析】將兩邊平方求得,再利用向量夾角公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意得,得,所以,所以.故選：C6．D【分析】利用事件互斥，古典概型，條件概率，全概率的計(jì)算公式，以及相互獨(dú)立事件的概念和計(jì)算，逐項(xiàng)求解，即可求解.【詳解】對(duì)于A，“第一次摸球時(shí)摸到紅球”，“第二次摸球時(shí)摸到紅球”，每次不放回地隨機(jī)摸出1個(gè)球，存在事件“兩次都摸到紅球”，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)題意計(jì)算得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)題意計(jì)算得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由條件概率的公式，故D正確；故選：D.7．A【分析】由余弦定理可求出邊的長(zhǎng)，設(shè)邊上的高為，根據(jù)面積關(guān)系可求出的值，再根據(jù)圓錐的體積公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)邊上的高為，以邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體為兩個(gè)圓錐，設(shè)為.因?yàn)椋遥遥?因?yàn)椋裕瑒t.故選：A8．A【分析】設(shè)，用，表示的各邊長(zhǎng)，利用勾股定理確定，的關(guān)系，再探求與的關(guān)系，利用余弦定理和直角三角形的邊角關(guān)系，列出等式，再由雙曲線(xiàn)中的關(guān)系，求出即可.【詳解】如圖：設(shè)，則，因?yàn)椋裕鶕?jù)雙曲線(xiàn)的定義：，因?yàn)椋晒垂啥ɡ淼茫海?所以：，，.在中，.在中，.因?yàn)椋裕瑥亩矗裕噪p曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的方程為：.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是得到，利用得到關(guān)于的關(guān)系，整理過(guò)程運(yùn)算量較大，要足夠細(xì)心和耐心.9．AC【分析】設(shè)，，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)相等的充要條件判斷A、C，利用特殊值判斷B、D.【詳解】設(shè)，，則，，對(duì)于A：因?yàn)椋裕矗裕蔄正確；對(duì)于B：令，，則，但是，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)椋裕蔆正確；對(duì)于D：令，，滿(mǎn)足，但是，故D錯(cuò)誤.故選：AC10．ABC【分析】利用基本（均值不等式）可判斷ABD的真假；設(shè)函數(shù)（），分析其單調(diào)性，可判斷C的真假.【詳解】因?yàn)椋遥裕ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.所以，故A正確；，故B正確；設(shè)（），則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以成立，故C正確；又，又，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11．AD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量知識(shí)依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系對(duì)于A，，，，，則，，，設(shè)平面法向量，則，令，則，設(shè)平面法向量，則，令，則，所以，即，則平面平面，故A正確；對(duì)于B，，，，則，所以與不垂直，則與平面不平行，所以當(dāng)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，到平面的距離不是定值，底面的面積為定值，則三棱錐的體積不是定值，所以B不正確；對(duì)于C，由圖可知，，所以周長(zhǎng)最小值必定大于，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，可知正方體的球心，球的半徑，，當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)平面法向量為，所以，令，則所以球心到平面的距離，，所以平面截該正方體的外接球所得截面圓的半徑，則平面截該正方體的外接球所得截面的面積為，故D正確.故選：AD12．9【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，即可求解.【詳解】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，，，則，即，故答案為：13．54【分析】考慮利用分布乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，結(jié)合“特殊元素（特殊位置）優(yōu)先法”解決問(wèn)題.【詳解】第一步：考慮小明只能坐在后排，所以小明的坐法有：種；第二步：考慮駕駛座的坐法，只能從3人中選1人，有：種；第三步：其他3人，還有3個(gè)位置，坐法有：種.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有：種不同的乘坐方式.故答案為：5414．【分析】求函數(shù)的周期，函數(shù)單調(diào)減區(qū)間的最大長(zhǎng)度是函數(shù)的半個(gè)周期，可得空1的答案；利用函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)小于等于0，在上的導(dǎo)數(shù)大于等于0，可得空2的答案.【詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋海院瘮?shù)單調(diào)減區(qū)間的最大長(zhǎng)度為半個(gè)周期，即，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，恒成立，且當(dāng)時(shí)，恒成立.因?yàn)椋?由，所以或.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)在給定的區(qū)間上單調(diào)遞增，求參數(shù)的取值范圍，是根據(jù)在給定的區(qū)間上導(dǎo)數(shù)大于等于0求解，而不是導(dǎo)數(shù)大于0求解.15．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)，可得，從而得到；（2）由面積公式，可得，在，利用余弦定理即可求出中線(xiàn)長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫裕驗(yàn)椋臑槿切蝺?nèi)角，所以或又，所以，即，又因?yàn)椋裕?）依題意，因?yàn)椋裕瑒t，解得，設(shè)邊的中點(diǎn)為，所以，，所以在中，由余弦定理知，所以邊上中線(xiàn)的長(zhǎng).16．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)的正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間；（2）分類(lèi)討論，根據(jù)單調(diào)的單調(diào)性確定的最小值.【詳解】（1）令解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為令解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，；③當(dāng)時(shí)，令和分別解得和，則在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以；④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）方法一：取SC的中點(diǎn)設(shè)為F，連接EF、DF，可證四邊形為平行四邊形，得，從而得證；方法二：取BC的中點(diǎn)設(shè)為F，連接，通過(guò)證明面面，從而得證；方法三：則以A為原點(diǎn)，分別為x、y、z軸正方向建系，確定平面的一個(gè)法向量，證即可；（2）利用兩平面的法向量求其夾角余弦值.【詳解】（1）方法一：取SC的中點(diǎn)設(shè)為F，連接EF、DF，由題意可知E、F分別為的中點(diǎn)，則，且，∵，∴，且，則且，∴四邊形為平行四邊形，∴，且面，面∴面；方法二：取BC的中點(diǎn)設(shè)為F，連接，由分別為中點(diǎn)，所以，且面，面，∴面，∵，∴，且，則且，∴四邊形為平行四邊形，∴，且面，面，∴面，而面，且，所以面面，面，從而得到面；方法三：由題可知底面，，故兩兩垂直．則以A為原點(diǎn)，分別為x、y、z軸正方向建系，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，而，所以，又且面，∴面；（2）根據(jù)（1）方法三，可知平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值.18．(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)題目條件利用定義判斷曲線(xiàn)為拋物線(xiàn)，根據(jù)定點(diǎn)與定直線(xiàn)可得方程為.（2）聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)使用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)得到兩點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，聯(lián)立方程利用已知條件即可得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)為.（3）利用兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別表示出兩個(gè)三角形的面積，從而得解.【詳解】（1）由題意分析可知C到點(diǎn)的距離等于C到與直線(xiàn)的距離，故曲線(xiàn)C的軌跡為拋物線(xiàn)，且以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線(xiàn)．故曲線(xiàn)C的軌跡方程為.（2）由得，設(shè)，，．聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)，消去y得，則，，，得.：，：，聯(lián)立和，解得，，即.故T點(diǎn)橫坐標(biāo)為.（3）：，令，得；：，令，得．.設(shè)AB中點(diǎn)為H點(diǎn)，，將帶入得.所以，所以.已知且，解得或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線(xiàn)方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19．(1)分布列見(jiàn)解析；期望為(2)(3)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意可知精美布袋個(gè)數(shù)的可能取值為3，4，5，6，求出對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出分布列，求出期望即可；（2）由題可得，利用錯(cuò)位相減求出即可；（3）設(shè)獲得一份精美布袋的團(tuán)體個(gè)數(shù)為，因此獲得精美布袋總個(gè)數(shù)為，從而得到精美布袋總個(gè)數(shù)為的概率，計(jì)算出概率最大時(shí)的取值，從而得到的值，即可求解【詳解】（1）據(jù)題意，獲得一份精美布袋概率為，獲得兩份精美布袋概率為，則精美布袋個(gè)數(shù)的可能取值為3，4，5，6其