工程力學理論力學篇——

運動學

運動學是研究物體運動的幾何性質的科學。也就是從幾何學方面來研究物體的機械運動。

運動學的內容包括：運動方程、軌跡、速度和加速度。

學習運動學的意義：首先是為學習動力學打下必要的基礎；其次運動學本身也有獨立的應用。由于物體運動的描述是相對的。將觀察者所在的物體稱為參考體，固結于參考體上的坐標系稱為參考坐標系。只有明確參考系來分析物體的運動才有意義。

時間概念：瞬時和時間間隔。

運動學所研究的力學模型為：點和剛體。運動實例1——刨床運動實例2——飛機機動飛行運動實例3——齒輪傳動運動實例4——齒輪齒條傳動運動實例5——四連桿機構第四章點的運動描述和剛體基本運動

§4.1

點的運動描述

點運動時，在空間所占的位置隨時間連續變化而形成的曲線，稱為點的運動軌跡。點的運動可按軌跡形狀分為直線運動和曲線運動。當軌跡為圓時稱為圓周運動。表示點的位置隨時間變化的規律的數學方程稱為點的運動方程。本節研究的內容為點的運動方程、軌跡、速度和加速度，以及它們之間的關系。1.運動方程

選取參考系上某確定點O為坐標原點，自點O向動點M作矢量r，稱為點M相對原點O的位置矢量，簡稱矢徑。當動點M運動時，矢徑r隨時間而變化，并且是時間的單值連續函數，即一、矢徑法MrO2.速度動點的速度矢等于它的矢徑對時間的一階導數。

動點的速度矢沿著矢徑矢端曲線的切線，即沿動點運動軌跡的切線，并與此點運動的方向一致。AMBOr(t)r(t+Δt)M'vv*Δr3.加速度

點的速度矢對時間的變化率稱為加速度。點的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的變化。點的加速度等于它的速度對時間的一階導數，也等于它的矢徑對時間的二階導數。

有時為了方便，在字母上方加“.”表示該量對時間的一階導數，加“..”表示該量對時間的二階導數。

如在空間任意取一點O，把動點M在連續不同瞬時的速度矢v0,v1,v2，…等都平行地移到點O，連接各矢量的端點M1，M2，M3，…，就構成了矢量v端點的連續曲線，稱為速度矢端曲線，如圖所示。動點的加速度矢a的方向與速度矢端曲線在相應點M的切線相平行。速度矢端曲線OM1M2M3v0v1v2a加速度的方向確定二、直角坐標法這組方程叫做用直角坐標表示的點的運動方程。

如以矢徑r的起點為直角坐標系的原點，則矢徑r可表示為：MrOkijyyxxzz

速度在各坐標軸上的投影等于動點的各對應坐標對時間的一階導數。速度若已知速度的投影，則速度的大小為其方向余弦為

加速度在各坐標軸上的投影等于動點的各對應坐標對時間的二階導數。若已知加速度的投影，則加速度的大小為其方向余弦為加速度三、自然法1.弧坐標這就是自然坐標形式的點的運動方程。

設動點M的軌跡為如圖所示的曲線，則動點M在軌跡上的位置可以這樣確定：在軌跡上任選一點O為參考點，并設點O的某一側為正向，動點M在軌跡上的位置由弧長s確定，視弧長s為代數量，稱它為動點M在軌跡上的弧坐標。當動點M運動時，s隨著時間變化，它是時間的單值連續函數，即MOs(-)(+)2.自然軸系

即以點M為原點，以切線、主法線和副法線為坐標軸組成的正交坐標系稱為曲線在點M的自然坐標系，這三個軸稱為自然軸系。且三個單位矢量滿足右手法則，即Mnbt

曲線切線的轉角對弧長一階導數的絕對值稱為曲線在M點的曲率。曲率的倒數稱為M點的曲率半徑。3.曲率MM'△s△jtt'兩個相關的計算結果(當Δt→0)OMM't"t't△j△s△t4.點的速度用矢量表示為：

在曲線運動中，點的速度是矢量。它的大小等于弧坐標對于時間的一階導數，它的方向沿軌跡的切線，并指向運動的一方。rr'△rMM'△stv5.點的切向加速度和法向加速度由于所以上式表明加速度矢量a是由兩個分矢量組成：分矢量at的方向永遠沿軌跡的切線方向，稱為切向加速度，它表明速度代數值隨時間的變化率；分矢量an的方向永遠沿主法線的方向，稱為法向加速度，它表明速度方向隨時間的變化率。全加速度為at和an的矢量和大小：方向：解：取M點的直線軌跡為x軸，曲柄的轉動中心O為坐標圓點。M點的坐標為：例4-1下圖為偏心驅動油泵中的曲柄導桿機構。設曲柄OA長為r，自水平位置開始以勻角速度w轉動，即j=wt，滑槽K-K與導桿B-B制成一體。曲柄端點A通過滑塊在滑槽K-K中滑動，因而曲柄帶動導桿B-B做上下直線運動。試求導桿的運動方程，速度和加速度。BABOKMKwxjx

將j=wt帶入上式，得M點的運動方程：將上式對時間求一階導數和二階導數得：例4-2一人高h2，在路燈下以勻速v1行走，燈距地面的高為h1，求人影的頂端M沿地面移動的速度。解:取坐標系x如圖所示，由幾何關系得:上式對t求一階導數，得M點的速度為:h1h2xmx2Mx

例4-3桿AB繞A點轉動時，帶動套在半徑為R的固定大圓環上的小護環M運動，已知φ＝wt(w為常數)。求小環M的運動方程、速度和加速度。解：建立如圖所示的直角坐標系，則即為小環M的運動方程。故M點的速度大小為其方向余弦為故M點的加速度大小為且有§4.2

剛體的平移

如果在物體內任取一直線段，在運動過程中這條直線段始終與它的最初位置平行，這種運動稱為平行移動，簡稱平移。當剛體平行移動時，其上各點的軌跡形狀相同；在每一瞬時，各點的速度相同，加速度也相同。

因此，研究剛體的平移，可以歸結為研究剛體內任一點的運動。剛體平移的速度和加速度yxzaBvBvAaArArBABB1B2A2A1O平移剛體各點的速度相同平移剛體各點的加速度相同§4.3

剛體定軸轉動

在剛體運動的過程中，若剛體上或其延伸部分上有一條直線始終不動，具有這樣一種特征的剛體的運動稱為剛體的定軸轉動，簡稱轉動。該固定不動的直線稱為轉軸。兩平面間的夾角用j表示，稱為剛體的轉角，用弧度(rad)表示。轉角j是一個代數量，它確定了剛體的位置。

符號規定：自z軸的正端往負端看，從固定面起，逆時針轉向為正；順時針轉向為負。一、轉角

當剛體轉動時，轉角j是時間t的單值連續函數，即這就是剛體繞定軸轉動的運動方程。

轉角j對時間的一階導數，稱為剛體的瞬時角速度，用w表示:

角速度表征剛體轉動的快慢和方向，其單位用rad/s(弧度/秒)表示。

角速度是代數量，從軸的正端向負端看，剛體逆時針轉動時角速度取正值，反之取負值。二、運動方程三、角速度

角速度對時間的一階導數，稱為剛體的瞬時角加速度，用字母a表示，即

角加速度表征角速度變化的快慢，其單位用rad/s2(弧度/秒2)表示。角加速度也是代數量。

如果w與a同號，則轉動是加速的；如果w與a異號，則轉動是減速的。四、角加速度

工程上常用轉速n來表示剛體轉動的快慢。n的單位是轉/分(r/min)，w與n的轉換關系為勻速轉動勻變速轉動§4.4

定軸轉動剛體內

各點的速度和加速度當剛體繞定軸轉動時，剛體內任意一點都做圓周運動:圓心在軸線上;圓周所在的平面與軸線垂直;圓周的半徑R等于該點到軸線的垂直距離。動點速度的大小為

設剛體由定平面A繞定軸O轉動任一角度j，到達B位置，其上任一點由O'運動到M。以固定點O'為弧坐標s的原點，按j角的正向規定弧坐標s的正向，于是一、速度轉動剛體內任一點速度的大小等于剛體角速度與該點到軸線的垂直距離的乘積，它的方向沿圓周的切線而指向轉動的一方。

點M的加速度有切向加速度和法向加速度。切向加速度為：即：轉動剛體內任一點的切向加速度的大小，等于剛體的角加速度與該點到軸線垂直距離的乘積，它的方向由角加速度的符號決定，當a是正值時，它沿圓周的切線，指向角j的正向；否則相反。二、切向加速度法向加速度為：

轉動剛體內任一點的法向加速度(又稱向心加速度)的大小，等于剛體角速度的平方與該點到軸線的垂直距離的乘積，它的方向與速度垂直并指向軸線。三、法向加速度1）如果w與a同號，角速度的絕對值增加，剛體作加速轉動，這時點的切向加速度at與速度v的指向相同；2）如果w與a異號，剛體作減速轉動，at與v的指向相反。速度和加速度點的速度：(1)在每一瞬時，轉動剛體內所有各點的速度和加速度的大小，分別與這些點到軸線的垂直距離成正比。

(2)在每一瞬時，剛體內所有各點的加速度a與半徑間的夾角q都有相同的值。點的全加速度：

例4-4齒輪傳動是工程上常見的一種傳動方式，可用來改變轉速和轉向。如圖，已知r1、r2、w1、α1，求w2、α2。解：因嚙合點無相對滑動，所以由于于是可得即w1α1r1O1O2r2w2α2v1v2aτ1aτ2

解：圓輪在任一瞬時的角速度和角加速度為求當t=1s時，則為因此輪緣上任一點M的速度和加速度為方向如圖所示。例4-5一半徑為R=0.2m的圓輪繞定軸O的轉動方程為,

單位為弧度。求t=1s時，輪緣上任一點M的速度和加速度（如圖）。如在此輪緣上繞一柔軟而不可伸長的繩子并在繩端懸一物體A，求當t=1s時，物體A的速度和加速度。M點的全加速度及其偏角為現在求物體A的速度和加速度。因為因此上式兩邊求一階及二階導數，則得§4.5以矢量表示的角速度和角加速度·以矢積表示點的速度和加速度

角速度矢量從轉軸上任一點畫出，其長度按比例尺由決定，指向由右手法則確定。以表示z軸的單位矢量，則角速度矢量對上式求導，則角加速度矢量角速度矢量和角加速度矢量均為滑動矢量。當二者方向相同時，剛體越轉越快；當二者方向相反時，剛體越轉越慢。角速度矢量用矢積表示點的速度

在旋轉軸上任選一點O為原點，動點的矢徑用r表示，則點M的速度可以用角速度矢與它的矢