第4煉求函數的值域

作為函數三要素之一，函數的值域也是高考中的一個重要考點，并且值域問題通常會滲透在各類題目

之中，成為解題過程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法，當需要求函數的取值范圍時便可抓住解

析式的特點，尋找對應的方法從容解決。

一、基礎知識：

1、求值域的步驟：

（1）確定函數的定義域

（2）分析解析式的特點，并尋找相對應的方法（此為關鍵步驟）

（3）計算出函數的值域

2、求值域的常用工具：

一種解析式特點對應一個求值域的方法，只要掌握每種方法并將所求函數歸好類即可操作，但也要掌

握一些常用的思路與工具。

（1）函數的單調性：決定函數圖像的形狀，同時對函數的值域起到決定性作用。若/（x）為單調函數，則

在邊界處取得最值（臨界值）。

（2）函數的圖像（數形結合）：如果能作出函數的圖像，那么值域便一目了然

（3）換元法：/（X）的解析式中可將關于X的表達式視為一個整體，通過換元可將函數解析式化歸為可求

值域的形式.

（4）最值法:如果函數“X）在［a,可連續，且可求出/（x）的最大最小值則“X）的值域為

注：一定在/（x）連續的前提下，才可用最值來解得值域

3、常見函數的值域：在處理常見函數的值域時，通常可以通過數形結合，利用函數圖像將值域解出，熟

練處理常見函數的值域也便于將復雜的解析式通過變形與換元向常見函數進行化歸。

（1）一次函數（丁=履+8）：

一次函數為單調函數，圖像為一條直線，所以可利用邊界點來確定值域

（2）二次函數（y=辦2+Z?x+c）：

二次函數的圖像為拋物線，通常可進行配方確定函數的對稱軸，然后利用圖像進行求解。（關鍵點：①拋

物線開口方向，②頂點是否在區間內）

例：/(x)=x2-2X-3,XG[-1,4]

解：/(x)=(x-l)2-4對稱軸為：x=l,\/(x)e[-4,5]

(3)反比例函數：y=-

X

(1)圖像關于原點中心對稱

(2)當xf+oo,yf0

當xf-oo,y-0

(4)對勾函數：y=x+3(a>0)

x

①解析式特點：X的系數為1；〃>()

注：因為此類函數的值域與。相關，求〃的值時要先保證X的系數為1,再去確

定。的值

4(2、

例：y=2x+—,并不能直接確定。=4,而是先要變形為y=2x+—,再

%kxj

求得a=2

②極值點：x=\[a,x=-4a

③極值點坐標：(—2>/^)

④定義域：(一8,0)(。,+8)

⑤自然定義域下的值域：(—oo,-26][2^,+oo)

(5)函數：y=x-￡(a>0)注意與對勾函數進行對比

①解析式特點：x的系數為1；。〉()

②函數的零點：x-±\[a

③值域：R

（5）指數函數（y=a'）：

其函數圖像分為a>1與0<a<1兩種情況，可根據圖像求得值域,

在自然定義域下的值域為（0,+8）

（6）對數函數（y=log“x）

其函數圖像分為。>1與0<a<1兩種情況，可根據圖像求得值域,

在自然定義域下的值域為（0,-8）

（7）分式函數：

分式函數的形式較多，所以在本節最后會對分式函數值域的求法進行詳細說明（見附）

二、典型例題：

將介紹求值域的幾種方法，并通過例題進行體現

1、換元法：將函數解析式中關于x的部分表達式視為一個整體，并用新元”弋替，將解析式化歸為熟悉的

函數，進而解出值域

（1）在換元的過程中，因為最后是要用新元解決值域，所以一旦換元，后面緊跟新元的取值范圍

（2）換元的作用有兩個：

①通過換元可將函數解析式簡化，例如當解析式中含有根式時，通過將根式視為一個整體，換元后即可

“消滅”根式，達到簡化解析式的目的

②化歸：可將不熟悉的函數轉化為會求值域的函數進行處理

（3）換元的過程本質上是對研究對象進行重新選擇的過程，在有些函數解析式中明顯每一項都是與X的

某個表達式有關，那么自然將這個表達式視為研究對象。

（4）換元也是將函數拆為兩個函數復合的過程。在高中階段，與指對數，三角函數相關的常見的復合函

數分為兩種

①y=a"'),y=log〃[/(x)],y=sin[/(x)]：此類問題通常以指對，三角作為主要結構，在求值域時

可先確定了(x)的范圍，再求出函數的范圍

②y=/(a'),y=/(log.x),y=/(sinx)：此類函數的解析式會充斥的大量括號里的項，所以可利用

換元將解析式轉為)，=/?)的形式，然后求值域即可。當然要注意有些解析式中的項不是直接給出，而是

可作轉化：例如y=4'-2'+1—8可轉化為y=(2'丫-2?2、-8,從而可確定研究對象為t=2X

例1：函數/(x)=2x—GT的值域是()

「八\「171「5)「151

A.|^0,+ooJB.,+00IC.-,+ooID.-^-,+00I

思路：解析式中只含一個根式，所以可將其視為一個整體換元，從而將解析式轉為二次函數，求得值域即

可。

解：/(X)的定義域為[L+OO)令t=.?-/>0,則X=『+1

:.y=2(r+l)-z=2+裝Ze[0,+oo).?./(x)的值域為

例2(1)函數y=31的值域為()

A.(0,+oo)B.(0,1)(l,-+oo)C.{x|xwl}D.(l,+oo)

(2)函數〃x)=4'—2川—8,XG[—2,2]的值域為

x+\

(3)函數y=ln^e~~^的值域為__________

e-1

思路：(1)本題可視為y=3,⑴的形式，所以可將指數進行換元，從而轉化為指數函數值域問題：令

t=----,則7G(YO,0)(0,+OO),所以可得y=3'€(0,1)(l,+oo)

(2)如前文所說，/(x)=4'-2x+,-8=(2X)2-2-2A-8,將2'視為一個整體令f=2、，則可將其轉

化為二次函數求得值域

解：/(x)=4V-2f+1-8=(2')2-2-2V-8令f=2*XG[-2,2]

：.t&；,4y=r-2f-8=?-1)2-9

.?"(%)的值域為[-9,0]

短+1ex+1

(3)所求函數為的形式，所以求得的范圍，再取對數即可。對-----進行變形可得:

ex-1

x

e+12

-----=1+-----,從而將/一1視為一個整體，即可轉為反比例函數，從而求得范圍

ex-1ex-1

x

e+12

解：定義域：—1>0=>XG(0,+oo)-...=1H——：----令，=e*-l/./G(0,-I-OO)

ex—Ie'—1

/.1+—e(l,+oo)y=In6+*e(0,+oo)

tex-1

答案：(1)B(2)[-9,0](3)(0,-H?)

例3：已知函數/(x)=3+k>g2x,xe[l,4],則g(x)=/(x2)-[/(x)了的值域為()

A.[-18,-2]B.[―11,-6]C.[-18,6]D.[-11,-2]

2

思路：依題意可知g(x)=3+log2%2-(3+log2x)=-(log2x)--41og2x-6,所以可將^^》視為一

個整體換元，從而將問題轉化為求二次函數值域，但本題要注意的是g(x)的定義域，由已知/(x)的定

1<x2<4

義域為[1,4],則g(x)=/(無丁的定義域為：《/<4,解得：xe[rL2]'而不是r[L4]

22

解：^(x)=3+log,x-(3+log2x)=3+21og2x-|^(log2%)'+61og2x+9

2

-(log2x)-41og2x-6

/(X)的定義域為[1,4],且g(x)=/(x2)—"(明2

1<x<4ir々

，解得：xe[l,2]

14x44L」

令t=log2X，則/■€[()[]y=-r-4/-6=-(7+2)~-2

ye[-11,-6],即g(x)的值域為[―11,—6]

答案：B

2、數形結合：即作出函數的圖像，通過觀察曲線所覆蓋函數值的區域確定值域，以下函數常會考慮進行

數形結合

(1)分段函數：盡管分段函數可以通過求出每段解析式的范圍再取并集的方式解得值域，但對于一些便

于作圖的分段函數，數形結合也可很方便的計算值域。

(2)/(x)的函數值為多個函數中函數值的最大值或最小值，此時需將多個函數作于同一坐標系中，然后

確定靠下(或靠上)的部分為該/(x)函數的圖像，從而利用圖像求得函數的值域

(3)函數的解析式具備一定的幾何含義，需作圖并與解析幾何中的相關知識進行聯系，數形結合求得值

域，如：分式一直線的斜率：被開方數為平方和的根式一兩點間距離公式

例4：(1)設函數y=定義域為R,對給定正數定義函數九(x)=《，、則稱函

數九(X)為“X)的“攣生函數"，若給定函數=<、,用=1，則丁=九(X)的值

2v—l,x>0

域為()

A.[-2,1]B.[-1,2]C.(-oo,2]D.(-oo,—1]

(2)定義min｛a,"c｝為a,》,c中的最小值，設/(%)=01皿｛2》+3,/+1,5-34則/(x)的最大值是

思路：(1)根據“李生函數”定義不難發現其圖像特點，即以y=M為分

界線，/(x)圖像在y="下方的圖像不變，在M上方的圖像則變為

y=M,通過作圖即可得到九(x)的值域為[-2,1]

(2)本題若利用min｛a,",c｝的定義將/(x)轉為分段函數，則需要對三個

式子兩兩比較，比較繁瑣，故考慮進行數形結合，將三個解析式的圖像作在

同一坐標系下，則/(x)為三段函數圖像中靠下的部分，從而通過數形結合可

得/(x)的最大值點為y=X?+1與y=5-3x在第一象限的交點，即

y=%2+1[x=l

nv，所以/1(x)=2

y=5-3x[y=2、'\/max

答案：(1)A(2)2

例5：已知函數/(卜=2q)2/2(,)ah歸2)+x2，設

&(x)=max{/(x),g(x)},"2(x)=min{/(x),g(x)},(其中max{p4}表示p,q中的較大值,

min。?｝表示p,q中的較小值)記的值域為A,H?(x)的值域為8,則力B-

思路：由”1(X),”2(x)的定義可想到其圖像特點，即若將〃x)，g(x)的

圖像作在同一坐標系中,那么”/工)為了(力送(尤)圖像中位于上方的部

分，而“2(x)為/(x)，g(x)圖像中位于下方的部分。對/(x)，g(x)配

/(x)=[x-(Q+2)]2—467—4

方可得：＜其中-4a—4<-4。+12,

g(x)=_[x-(〃-2)了-4^+12

故g(x)的頂點在“X)頂點的上方。由圖像可得：褐色部分為的圖像，紅色部分為“2(x)的圖像,

其值域與/(x),g(X)的交點有關，即各自的頂點(a—2,4+12),(a+2,Ta—4),所以(X)的值域

A=[-4a—4,+oo),//,(犬)的值域6=(-00,-4。+12]。從而A3=[Ta-4,Ta+12]

答案：[Ta—4,Ta+12]

Y]nx+3

例6：(1)函數y=------^尤e[2,4]的值域為

(2)函數y=y/x?+4+\]x2-2x+10的值域為

思路：(1)函數為分式，但無法用“變形+換元”的方式進行處理，雖然可以

用導數，但求導后需對分子的符號進行進一步研究。那么換一個視角，從分

式的特點可聯想到直線的斜率，即丁是(x,xlnx)與定點(1,一3)連線的斜率，

那么只需在坐標系中作出/(x)=xlnx在[2,4]的圖像與定點(1,—3),觀察

曲線上的點與定點連線斜率的取值范圍即可

解：所求函數)，是(x,xlnx)與定點(1,—3)連線的斜率

設/(x)=xlnx

/(x)=l+lnx,當xe[2,4]時，/'(x)>0恒成立

為增函數/(2)=2In2,/(4)=41n4=81n2

設曲線上兩點A(2,21n2),6(4,81n2)定點C(l,—3)

,_,__,81n2+3

??^AC=2In2+3,kBC=-

??”RBCAC]=21n2+3,亍+1

(2)思路：y=&2+4+42—2x+10+22+J(x-1)2+32,

所以y可視為點(x,0)到點(0,2),(1,3)距離和的取值范圍。結合圖形可利用

對稱性求出其最小值，且當動點向龍軸兩側運動時，其距離和趨向無窮大，

進而得到值域。

解：

y=&+4+Vx2-2x+10=7%2+(0-2)2+J(x_1)2+(0_3'

y為動點P(x,0)到點4(0,2),8(1,3)距離和,即y=照+附

作A點關于x軸的對稱點A(0,-2)

|PA|+1PB\=\PA\+\PB\>\AB\=y/26(等號成立條件：P,4,8共線)

當Xf+OO或XfYO時，+歸耳.+30

函數的值域為［后,+8)

小煉有話說：本題在選擇點時要盡量讓更少的點參與進來簡化問題，所以要抓住兩個距離共同的特點(例

如本題中都抓住含根式中的羽0,所以找到了一個共同的動點(x,0))

…-c81n2.

答案：（1）21n2+3,-----1-1⑵［而,+8）

3

3、函數單調性：如果一個函數為單調函數，則由定義域結合單調性(增、減)即可快速求出函數的值域

(1)判斷函數單調性的方法與結論:

①增+增—增減+減—減

(一1)乂增一?減若函數的符號恒正或恒負，則f減

②復合函數單調性：復合函數y=/［g(x)］可拆成y=/(r),r=g(x),則若y=/?)"=g(x)的單

調性相同，則y=/［g(x)］單調遞增；若y=/(f),r=g(x)的單調性相反，則y=/［g(x)］單調遞減

③利用導數：設圖像不含水平線的函數/(x)的導數/(X),則/(x)20=/(x)單增；

f(x)W0n/(x)單減

(2)在利用單調性求值域時，若定義域有一側趨近于+8或—0,則要估計當X-+8或X-時，函

數值是向一個常數無限接近還是也趨近于+8或F(即函數圖象是否有水平漸近線)，：同樣若/(X)的定

義域摳去了某點或有一側取不到邊界，如xe(a,5],則要確定當xfa時，/(x)的值是接近與一個常

數(即臨界值)還是趨向”或-8(即函數圖象是否有豎直漸近線)，這樣可以使得值域更加準確

例7：(1)函數/(x)=Jl-x+\/x+3-l的值域為()

A.[-3,1]B.[-1,-KO)C.[2,272]D.[1,272-1]

(2)函數/(無)=：]曰[的值域為()

A.(—8,1)B.C.(。，1]D.[0,1]

(3)函數〃％)=:__1］的值域為.

—2+1

思路：(1)函數的定義域為含有雙根式，所以很難依靠傳統的換元解決問題，但/(%)的導數

=一嚴工較易分析出單調性,所以考慮利用導數求出/(X)的單調區間，從而求得最值

2V1—x.Jx+3

Jx+3-—

八加一女

x2jx+325/l-x-Jx+3

令/'(力>0即解不等式：V7+3>Vi^7

/.%+3>l-x=>x>-l

.-./(X)在(―3,-1)單調減，在(-1,1)單調遞增

.?./(X)的值域為［1,20一1］

小煉有話說：本題還可以利用換元解決，但利用的是三角換元：觀察到被開方數的和為常數，所以想到

從而可設［U=2sma,由［勺NO可知&G

嚴)2+(右可=4,嗎,所以原函數

［vx+3=2cosa［Jx+320

的值域轉化為求y=2sina+2cos2-1的值域，從而有y=2&sin1十2-1,由0,—可求得

\4JL2_

)€[1,2夜-1]。由此題可知：含雙根式的函數若通過變形可得到被開方數的和為常數，則可通過三角

換元轉為三角函數值域問題

(2)思路：函數的定義域為1,從而發現|1—x|=l-x,所以函數的解析式為/(x)=x-—尤，

觀察可得/(X)為增函數，且X—?-OO時，/(x)--oo,所以當XG(-OO,1]時，/(X)的值域為(一8,1]

小煉有話說：①本題中函數的定義域對解析式的化簡有極大的促進作用。所以在求函數的值域時，若發現

函數解析式較為特殊，則先確定其定義域

②本題也可用換元法，設1=5/匚[后即可將函數轉為二次函數求值域，但不如觀察單調性求解簡便。

‘3-2x20

(3)思路：先確定函數的定義域:4=>xe/(x)為分式且含有根式，求導則導函數

2x—2>0

較為復雜。觀察分子分母可知：j3-2x+5>0且關于x單減,J2x—2+1>0且關于x單增,即

I1——單減，所以/(0)=-/一2±±?為減函數,由xe1,—可知/'(x)的值域為—,6

72^2+1')^/2^^2+l]2」八，12」

小煉有話說：在函數單調性的判斷中有“增+增T增”，那么如果一個函數可表示為兩個函數的乘法，例如

〃(x)=/(x>g(x)，則當/(x)，g(x)均為增(減)函數,且/(x),g(x)恒大于。，才能得到力(。為

增(減)函數

答案：(1)D(2)B(3)?6

4、方程思想：本方法是從等式的角度觀察函數，將其視為一個含參數y的關于x的方程b(x,y)=0。由

函數的對應關系可知，對于值域中的任一值了，必能在定義域中找到與之對應的X。這個特點反應在方程

中，即為若為在值域中，則關于X的方程尸(x,y)=o在y=為時至少有一個根。從而將求值域問題轉化

為“y取何值時，方程尸(x,y)=0有解”的問題。利用方程的特點即可列出關于y的條件，進而解出>?的

范圍即值域

2X24-4r-7

例8：(1)函數>—--的值域為()

X2+2X+3

-22

A.B.c.D.

2'-2

4°7?

sinx-1

(2)函數y--------的值域為.

cosx+2

思路：(1)觀察分式特點可發現若將去掉分母后可構造為一個關于龍的二次方程(其中y為參數):

(y-2)x2+(2y-4)x+3y+7=O,因為函數的定義域為H,所以y的取值要求只是讓方程有解即可,

首先對最高次數系數是否為。進行分類討論：當y=2,方程為13=0,無解；當y±2時，二次方程有

解的條件為A20,即得到關于y的不等式，求解即可

/刀,2爐+4x—7

解：由y=1--------可得:

V+2x+3

dy+2xy+3y=2x2+4]-7

.\(y-2)x2+(2y-4)x+3y+7=0

X2+2X+3=(X+1)2+2>0.?.函數的定義域為R

y的取值只需讓方程有解即可

當y=2時，13=0不成立，故舍去

當yW2時，A=（2y-4）2-4（y-2）（3j+7）>0

即:（2y+9）（y-2）<0

9

y<2

2

-9

綜上所述：函數的值域為-3,2

L2

小煉有話說：①對于二次分式，若函數的定義域為R,則可像例8這樣通過方程思想，將值域問題轉化

為“y取何值時方程有解”，然后利用二次方程根的判定A20得到關于y的不等式從而求解，這種方法也

稱為“判別式法”

②若函數的定義域不是H,而是一個限定區間（例如［。,可），那么如果也想按方程的思想處理，那么要

解決的問題轉化為：“j取何值時，方程在［a,可有根”，對于二次方程就變為了根分布問題，但因為只要

方程有根就行，會按根的個數進行比較復雜的分類討論，所以此類問題通常利用分式的變形與換元進行解

決（詳見附）

（2）本題不易將函數變為僅含sinx或cosx的形式，考慮去分母得：sinx-ycosx=2y+1則y的取值

只要讓方程有解即可。觀察左側式子特點可想到俯甬公式，從而得到

+y2sin（x+^>）=（2y+1）=>sin（x+,可知方程有解的條件為：產十］.41,解出y

Jl+JJl+V

的范圍即為值域

解：>=必”二L的定義域為R

cosx+2

且丁=--------=>ycosx+2^=sinx-l

cosx+2

/.sinx-ycosx=2y+l

I2］

二."l+y?sin（x+*）=（2y+1）,HPsin（x+^）=,,其中tanQ=-y

Jl+V

因為該方程有解

,「4-

3y2+4>><0=>ye--,0

小煉有話說：本題除了用方程思想，也可用數形結合進行解決，把分式視為（cosx,sinx）,（—2,1）連線斜率

的問題，從而將問題轉化為定點（一2,1）與單位圓上點連線斜率的取值范圍。作圖求解即可。本類型運用方

程思想處理的局限性在于輔角公式與y的取值相關，不過因為xeR,所以均能保證只要sin（x+°）在

［一1,1］中，則必有解。但如果本題對x的范圍有所限制，則用方程的思想不易列出y的不等式，所以還是

用數形結合比較方便

「41

答案：⑴D（2）一一,0

_3_

以上為求值域的四種常見方法，與求函數的理念息息相關，有些函數也許有多種解法，或是在求值域

的過程中需要多種手段綜合在一起解決。希望你再遇到函數值域問題時，能迅速抓住解析式的特點，找到

突破口，靈活運用各種方法處理問題。

例9：已知函數〉=忸（/+2%+加）的值域為H,則m的取值范圍是（）

A.m>\B.m>\C.m<1D.meR

思路：本題可視為y=lg/"=x2+2x+〃z的復合函數，函數的值域為R,結合對數函數的性質可知，應

取遍所有的正數（定義域可不為R）,即若函數f=%2+2x+〃?的值域為A,則（0,+?）屋4,由二次函

數的圖像可知，當A20時，可滿足以上要求。所以4=4-4機20解得加41

答案：C

例10：在計算機的算法語言中有一種函數卜］叫做取整函數（也稱高斯函數），［可表示不超過x的最大整

2ri

數，例如：[2]=2,[3.1]=3,[—2.6]=—3,設函數“犬卜^^一院則函數y=[/(x)]+[/(-x)]的

值域為()

A.{0}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{-2,0}

思路：按[x]的定義可知，若要求出[x],則要將確定里面x的范圍，所以若求丫=[/(%)]+[/(-*)]的

值域，則要知道/(x)—的范圍。觀察到丫=[/(尤)]+[/(T)]為偶函數，所以只需找到x>0的

2TII-2*2*I2V-1

值域即可，/(-x)=---------=1-----r,f(x)=------------=-1-----r,即成

立，所以/(x)為奇函數，只需確定“X)的范圍即可。對/(x)中的分式進行分離常數可得：

一工7，當關>°時，2V+1G(2,+OO),從而不所以由

/(-X)=_/(x)e[--,0^1?[/(t)|=([/H])=-1，可得丁=一1,再利用偶函數性質可得x<0

時，y=-lo當x=0時，/(x)=/(—x)=O,所以y=0,綜上所述：y="(x)]+[/(—x)]的值域

為{-1,0}

答案：B

小煉有話說：(1)本題在處理值域時，函數奇偶性的運用大量簡化了運算。首先判斷出所求函數為偶函數，

所以關于y軸對稱的兩部分值域相同，進而只需考慮x>0的情況。另外從解析式的特點判斷出/(x)為

奇函數，從而只需計算/(x)的范圍，再利用奇函數的性質推出了(-X)的范圍。所以在求函數值域時，若

能通過觀察或簡單的變形判斷出函數具備奇偶的性質，則解題過程能夠達到事半功倍的效果。

/(r)=2r

72

(2)本題在判斷“X)的奇偶性時，由<T+r很難直接看出/(￡),/(—x)之間的聯系,

2X

f(x]--------

')1+2,2

2r-1

但通過“通分”即可得到<奇偶性立即可見；在求/(%)的范圍時，利用

\-T

/(T)=

2(1+2')

2'_1

f(x)=—,----7的形式，分式較為復雜，分子分母均含變量，不易確定其范圍。但通過“分離常數''得

''20+2，)

到/(x)=，——!一則非常便于求其范圍。由以上的對比可知，在判斷奇偶性或者分式的符號時，通常

一個大分式較為方便；在求得分式函數值域時，往往通過“分離常數”的手段簡化分式中的分子，從而便

于求得范圍

附：分式函數值域的求法：

分式函數也是高中所學函數的一個重要分支，求解分式函數的值域也考查了學生分式變形的能力以及

能否將分式化歸為可求值域的形式，學會求分式函數值域也是處理解析幾何中范圍問題的重要工具。求分

式函數值域的方法很多，甚至也可以考慮對函數進行求導，但相對計算量較大，本節主要介紹的方式為如

何通過對分式函數進行變形，并用換元的方式將其轉化為熟悉的函數進行求解。

一、所用到的三個函數(其性質已在前文介紹)

1、反比例函數：y=—

X

2、對勾函數：y-x+—(a>0)

3、函數：y=x—/(a>0)注意與對勾函數進行對比

二、分式函數值域的求法

請看下面這個例子：

求y=3+_,xw[l,2]的值域

思路：此函數可看為上的結果再加上3所得，故可利用反比例函數求出工的范圍，再得到值域

XX

[「[]「7-

解：xe[l,21.??一￡-,1.?.y=3+—￡-,4

x|_2Jx|_2_

問題不難，但觀察可發現：>=3+4=2山，所以當遇到的函數為、=亙里，總可以將分子的每一

XXX

項均除以分母，從而轉化為y=3+'進行求解。由此得到第一個結論：

X

Z7V-+力b

對于形如/(x)=的函數，總可以變換成=a+[轉化為反比例函數進行求解。

注：如果在分式中，分子的表達式可將一部分構造為分母的形式，則可用這部分除以分母與分式分離得到

常數，從而使得分式中的分子變得簡單，這種方法稱為“分離常數法”，是分式變形常用的一種手段

例：/(-?)=—~~-,X6(1,3)

X+1

思路：本題分母為表達式，比較復雜，但如果視分母為一個整體(進行換元)，則可將分式轉化成為

/(X)=C7X+1的形式,從而求解

X

解：令,=%+1/￡(2,4):.x=t-\

???/(7)=一:2=2-：，進而可求出值域:

注：換元法是求函數值域時，通過將含有變量的一部分式子視為一個整體，用一個變量表示，進而將陌生

的函數化歸成熟悉的模型求解，這也是求函數值域時變換解析式的重要方法。

由上例，我們可以總結出第二個結論：

對于形如/'(》)="‘(分子分母均為一次的分式)的函數，通過換元，=n+〃，可轉化為

cx+d

/?)=〃詈的形式，進而用反比例函數進行求解。

再看下一個例子：

例：f(x)=x+—e—,3

v7x2

解：函數為對勾函數(a=1),作圖觀察可發現極值點x=l在定義域中，故最小值為/(1)=2,而最大值

在/(g)，/(3)中產生，/(g)=*/(3)=號故值域為

思考1：那么=1,3你是否會求呢？記住，圖像是你最好的幫手！

1丫？+]

思考2：/(x)=x+-=-_那么是否可以仿照上面，得到第三個結論？

XX

r/x~J-Av--L(?a

形如y=奴十以十c的函數可通過分離常數轉化為y^ax+-+b的形式，進而可依靠y=尤±±的圖像

XXX

求出值域

繼續，還能擴展么？舉個例子？

例：=x+3：+4,XW(3,5)

解:設r=x-l,re(2,4)

.口止士亞止=3型=，+§+5(極值點：氓=20)

ttt

."=/1=2閭=4夜+5/(r=2)=ll,/(r=4)=ll

二同4應+5,11)

第四個結論：

/7-4-hx4-C

形如y=生_藝，的函數可通過換元t=公+e將問題轉化為第三個結論，然后進行求解

dx+e

y_1

那么，例：f（x）=2—,xw（3,5）呢

不就是取了倒數么，所以只需分子分母同除以分子（工-1）即可化歸為上面的情形

那么，例：〃力二二：21；,*6（3§呢

分子分母最高次均為2次，可考慮進行下分離常數：

〃力=二+2%+1J：x+1+一,從而轉化為上面例子的問題，至此，分式函數的終

X~+X4-1X+X+1X~+X+1

nY~4-hx+c

極形式y=――--總可通過一系列變換，轉化為前面所介紹的三個函數模型進行求解。

dx~+ex+f

小結：總結一下我們所遇到的分式類型及處理方法吧：

①〉=竺，：換元一分離常數一反比例函數模型

cx+d

②（=".土外上￡：換元一分離常數一y=x±@模型

dx+ex

③y二:z/r+。:同時除以分子：y=—5-I^——f②的模型

ax+bx+c+bx+c

dx+e

"Y2_1_Ay_1_r*

④尸二十以十c:分離常數一③的模型

dx+ex+f

共同點：讓分式的分子變為常數

一、光速解題——學會9種快速解題技法

技法1特例法

在解答填空題時，可以取一個（或一些）特殊值、特殊位置、特殊函數、特殊點、特殊方程、特殊

圖形等來確定其結果,這種方法稱為特例法.特例法只需對特殊數值、特殊情形進行檢驗,失去了推理論證

的演算過程,提高了解題速度.特例法是解答填空題時經常用到的一種方法.

典例1（特殊數值）求值:cola+cos“a+120°）+cos2（a+240°）=.

3

答案2

解析題目中“求值”二字提供了這樣的信息：答案為一定值，于是不妨令a=0°,則原式

113

=cos"0+cos'120°+COS2240°=1+"+"=2

典例2(特殊點)點P為橢圓25+9=］上第一象限內的任意一點，過橢圓的右頂點A、上頂點B

分別作y軸、x軸的平行線,它們相交于點C,過點P引BC,AC的平行線交AC于點N,交BC于點M,交AB于

D、E兩點，記矩形PMCN的面積為Sb三角形PDE的面積為S2,貝I」S)：S2=.

答案1

(4$$

解析不妨取點P'則s-'5，X(5-4)=5,PD=2,PE=S,所以

166

2SSE

S2=X2X=5,所以S|：.

典例3(特殊函數)若函數y=f(x)對定義域D中的每一個XI,都存在唯一的xzGD,使f(x。?f(x2)=l

成立,則稱f(x)為“影子函數”，有下列三個命題：

①''影子函數”f(x)的值域可以是R;

②''影子函數"f(x)可以是奇函數；

③若y=f(x),y=g(x)都是“影子函數”，且定義域相同，則y=f(x)?g(x)是“影子函數”.

上述正確命題的序號是.

答案②

解析對于①：假設“影子函數”的值域為R,則存在xi,使得f(x)=O,此時不存在xz,使得

f(x)?f(xj=l,所以①錯誤；

1

對于②:函數f(x)=x(x#O),對任意的x￡(-8,o)U(0,+8),取x2=",則f(x)?f(x2)=l,因為函

數f(x)=x(x￥0)為奇函數，所以“影子函數”f(x)可以是奇函數，②正確；

1

對于③:函數f(x)=x(x>0),g(x)="(x>0)都是“影子函數”，但函x)=f(x)?g(x)=l(x>0)不是

“影子函數”(因為對任意的xiC(0,+8),存在無數多個X2e(0,+8),使得F(xJ?F(X2)=1),所以③錯誤.

典例4(特殊位置)(1)已知E為AABC的重心,AD為BC邊上的中線，令ABAC=b,過點E的

_t111

直線分別交AB,AC于P,Q兩點，且4P=ma,做=也則%"=.

⑵如圖,在三棱柱的側棱A,A和B,B上各有一動點P,Q,且AIP=BQ,過P,Q,C三點的截面把棱柱分成上、

下兩部分,則上、下兩部分的體積之比為.

答案(1)3(2)2：1

解析（1）由題意知結果必然是一個定值，故可利用特殊直線確定所求值.如圖，令PQ〃BC,則

21

-AB-Tn-AC

33故

APQ=3，此時，1n二口二

A

⑵將P.Q置于特殊位置：PfAi,QfB,此時仍滿足條件AF=BQ(=O),則有

VV

C-AArB_A1-ABC^3

因此過P,Q,C三點的截面把棱柱分成了體積比為2：1的上、下兩部分.

典例5（特殊圖形）在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.若a、b、c成等差數列,則

cosA+cosC

1+COSJ4COSC_

4

答案5

1coM+cosC4

解析不妨令AABC為等邊三角形，則cosA=cosC=則1+COS4COSC_5

技法2換元法

換元法又稱變量代換法.通過引進新的變量,可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來,

或者將題目變為熟悉的形式,簡化復雜的計算和推理.換元的實質是轉化,關鍵是構造元和設元,理論依據

是等量代換，目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中再研究,從而使非標準型問題標準化、

復雜問題簡單化.換元法經常用于三角函數的化簡求值、復合函數解析式的求解等.

典例1（三角換元）已知x,yCR,滿足x、2xy+4y、6,則z=x44y2的取值范圍是.

答案[4,12]

解析已知x2+2xy+4y'=6,

By)、(

BP(x+y)2+(

故設x+y=%

^cosa-2in

即x=Q,y=

則z=x2+4y2=6-2xy=6-2(6cosa-&sina)任ina

2a+1)

=8-4sin

所以8-4WzW8+4,即z的取值范圍是[4,12].

典例2（整體代換）函數y=sinx-cosx+sinxcosx,x￡[0,冗]的最小值是.

答案-1

Ain

解析設t=sinx-cosx=

i-t2

則sinxcosx=2,

JT

因為xe[o,汨，所以x-4el-pv]

所以&],

i-t2i

所以y=t+2二2(t-l)2+l,當t=-l時,ymin=-l.

4(a+l)2a(a+1)2

a+1+10g24a2〉0恒成立,

典例3（局部換元）設對一切實數X,不等式（10g2°+2x10g2

求a的取值范圍.

2a

a+1

解析