第三講恒等證明

本講綱要①)(a±b)2=a2±2ab+b1

@等式證明常用方法②)(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

1.直證法

③)(。+6)("6)=。2-眇

2.兩邊夾證

④)a3±b3=(a±+ab+b2)

3.綜合法

4.分析法⑤)(a+b+c>=a2+b24-c2+2ab+2ac+2bc

5.比較法

@)(a+&+c)(a2+fe2+c2-ai-ac-ftc)=a3+63+(?-^abc

6.換元法

7.設(shè)參法⑦)(a-b)(a〃T+an-2Cb+a"-?+…+al+bn-x)=an-bn

8.構(gòu)造法

⑧)a2+/+c2±a6±ac±6c=-^[(a±b)2+(a±c)2+(6±c)2]

愈考試要點剖析

等式(包括恒等式與條件恒等式)的證明實質(zhì)上就是有目標的代數(shù)式的恒等變形，因而在代數(shù)等式的證

明過程中除了要熟練地運用等式變形的技巧外，還要善于尋找代數(shù)式與代數(shù)式、條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，

從而保證證題的每個步驟都是有的放矢，不斷向結(jié)論靠近.

等式證明的主要思路是：

(1)由繁到簡.即從比較復(fù)雜的一邊向較簡單的一邊推導(dǎo).

(2)兩邊夾證.即等式兩邊同時變形為同一個代數(shù)式.

在證明等式的過程中，可視具體情況，運用不同的變形技巧和方法，使證明過程盡量簡捷.下面介紹

常用的證明方法.

1.直證法

由等式的一邊推導(dǎo)等式的另一邊,一般由復(fù)雜的一邊向較簡單的一邊推導(dǎo).

][]_.

例1.(★★★)求證：1+X—+彳…+1+廣+1+尸+尸，='

【評述】：觀察各分母的特征，比較其異同，設(shè)法將其化為相同的分母，以便于相加.

【解】：

—a—b-c

訐2_______――

工出一%-。(1+近6+--C)4-6(1+%-+/j)%-c(l+/T+%…)

-a,~b,-c'

-1________一右加

-—a-b-。一】一午JAct,

y-z+z——+%_y________2_+22

例2.(★★★)求證：(％_y)(%—z)(y-z)(y-x)(z-x)(z-y)~x-yy-zz-x,

【評述】：分析注意到等式兩邊均是關(guān)于X,y,z的輪換對稱式，故可先對左端其中一個分式進行變

形.

【解】：

證因為y-z=(%-z)-(%-y),所以

y-z④-z)--y)11

(x-y)(x-z)~(x-y)(x-z)~x-y一x■-z,

由輪換對稱性，得

左邊=(士1)+(±-yh)+(

z-xz-y)

222

=----+----+----=右邊,

x-yy-zz-x

2.兩邊夾證

當一個等式的兩邊都比較復(fù)雜時，可考慮將等式兩邊同時變形為同一個代數(shù).這種方法

是一種間接證法，簡稱兩邊夾證.兩邊夾證適用于任何恒等式的證明，特別是對于條件

恒等式的證明比較奏效.

例3.（★★★★）求證：存在惟一的正數(shù)a,使下面等式成立.

"Va+、/a+/a+…=a+-^―；----.

【評述】：分析等式兩邊可以說是太復(fù)雜了，宜用兩邊夾證.注意到無窮省略號“…”的意義，可考

慮分別構(gòu)造方程計算等式兩邊.

【解】：

證設(shè)等式左邊為3則x滿足方程”0,.一＞々＞0,

支=1+/TT4^

兩邊平方，得x2-x-a=0.2

1：.(a-1)+a2+4->/1+4a=0.

又設(shè)等式右邊為y,則y滿足方程y=a+一

y(a-l)+41)^=0.

整理，得y2-ay-1=0.Va+4+V1+4a

于是a=1.

當a>0,a*l時，

令4=’,得a+，a'+4=1+/1+4a上式變?yōu)?-a="/a2+4+，1+4a,

3=a+Va2+4+/1+4a=(1+1+4a)+V1+4a=1+21+4a,

/1+4a=1,.\a=0與已知a>0矛盾.

綜上所述，存在惟一的正數(shù)a=1使等式成立.

若Q_______b_______c

例4.(★★★★)x2-yzy2-zxz?一打'求證：ax+的+cz=(夕+y+z)(a+6+c).

【評述】：本題的已知條件是一個連比式，在處理時往往設(shè)連比式的值為k或其他形式，然后利用等

式證明的相應(yīng)技巧.

【解】：

證設(shè)/一=?—=1-=上則有

x-yzy-zxz-xy

a=k(x2-平),b=k(j-zx),c=k(z2-%y),

于是右邊=(%+y+z)[/c(%2-yz)+k(y2-zx)+k(x2一到)]

左邊=k(x3-xyz)+k(y3-xyz)+k(z3-xyz)=k(xy+z)[x2+y2+z2-xy-yz-zx]

=k(x3+y3+z3-3xyz);=k(x+y3z-3xyz).

例5.（★★★）設(shè)歐-by-cz，且4+,+z_1,求證：ax+6y2+=/a+九+汽?

【解】：

證本題的條件之一是連等式，我們?nèi)圆捎蒙项}的方法，并且為了方便,設(shè)連等

式為k3,即設(shè)ax3=by3=cz=*，則

a=d）3,b=（J）3，c=（與二

xyz

于是，

右邊=左（2+工+上）=Q

xyz

左邊=A/ax3—+by3—\cz3-（上+工+1）=k.

vxJyz\xyz

3.綜合法

所謂綜合法是從原因推導(dǎo)出由原因產(chǎn)生的結(jié)果的一種思維方法.簡單地說，綜合是“由

因到果在數(shù)學(xué)證明中，為了找到證明的途徑，如果推理的方向是從已知到求證，這

種思考方法由于是''由因?qū)Ч保瑒t可用綜合法.

J-J_Aj_—______11]]1

例6.(★★★)已知—+石+>=a+b+c,求證：可+理+薄=泮+泮+—

證由已知條件，有J"+J+；=.+J,+:，

b6、若a=-c,則

兩邊乘以M(a+b+c),得(a+b+。)(而+6c+ca)二必，〔]]]

進而有(a+6+c)(而+6c)+CQ(Q+c)=0,(c+a)(a+b)(b+c)=°.左邊=(一產(chǎn)+源+萍=萍'

于是得c+a=O或a+6=0或6+c=0,十』11

即a=-c,或6=-%或6=-c.右邊=(_'嚴'+產(chǎn)1+產(chǎn)=薄,同

理，當b=-a,或b=-c時，等式也成立.

【題注】：本題的關(guān)鍵是由已知條件推得a,b,c中必有兩個互為相反數(shù)，而此處的

2001并不具有實質(zhì)性，可推廣到任意正奇數(shù).

4.分析法

為了證明某一個結(jié)論，可以從結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過若干逆向推理，逐步尋求該結(jié)論成立的原

因，最后將這個原因歸結(jié)到已知.這種推理的形式稱為分析法，也可以叫做逆證法.

例7.(★★★)求證：\//5+vG+273+V/5-V1+2/3+73-1

【解】：

證等證等式兩邊都是正數(shù)，.,?只需證明

(J73+，1+2后+1底-N\+2若￥=(V2,,/V3+73-1)2.

_________________=2(/5+73-1)

(*)式左邊=275+2/(6左-(,1+22)2=2(75+74-273)(*)式右邊=2(石+73-1).

(*)式左邊=(*)式右邊.

(*)式成立，從而原等式成立.

例8.(★★★)已知a+6+c=晨'+=1,求證：a,b,c中至少有一個等于1.

【解】：

證欲證a,6,c中至少有一個等于1,只需證明(a-1)(6-l)(c-1)=0,

即證abc-(ai+6c+ca)+(a+6+c)-l=O,

即證abc-(ab+be+ca)+(a+b+c)=I.

因為已知a+b+c=1,所以只需證明abc=ab+be+ca.

即證l=a-'+b-'+c-'.

這恰好是已知條件中的第二式.

由于最后一式成立，所以(a-l)(b-l)(c-l)=0成立，即a,b,c中至少有一

個等于1.

例9.(★★★)已知，a-*+Vb-x-Vc-x=0,求證：

(a+b+c++b+c-x)=4(ab+be+ca)

【解】:

證要證結(jié)論等式成立，只需證明

(a+6+c)2+2(a+6+c)%-3x2=4(+be+ca),

即證a2+62+c2-lab-2bc-2ca+2(a+6+c)x-3x2=0,

,另一方面，由已知得Va-X+Vb-x=Vc-x,

兩邊平方,整理得4(a-x)(b-x)=(c-a-6+劣尸，

展開整理，得a2+52+c2-2a6-2be-2ca+2(a+6+c)x-3x2=0.

【題注】：本題采用的方法稱為分析綜合法.分析法是執(zhí)果索因，綜合法是由因?qū)Ч?在解數(shù)學(xué)

題時，往往兼用這兩種思維方法，從分析法中得到啟示，用綜合法嚴謹?shù)乇磉_解題過程.

x_ad+be

例10.(★★★)證明：若a,b,c,d,x,y>0,且xy=ac+bd,y-ab+cd,貝!J

ab%+cdx______bey

a+b+xc+d+xa+d+y6+c+y

【解】：

證將要證等式通分，只需證明

%[a6(c+C+%)+a/(a+b+%)]_y[M(6+c+y)+6c(a+d+y)]①

(a+b+x)(c+d+x)-(a+d+y)(b+c+y)°

注意到xy=ac+bd,%(ab+cd)=y(ad+be),

所以，有

而(c+d+%)+cd(a+6+4)=而(c+d)+a/(a+b)+ady+bey

=aJ(6+c+y)+6c(a+J+y).②

由②知，等式①等價于

x(a+J+y)(6+c+y)=y(a+/>+c)(c+J+x).③

因此，我們只需證明③式成立.

事實上，

左邊二%(a+d)(6+c)+xy(a+b+c+d)+xy2=4(ac+配)+

(ad+6c)*y+xy(a+b+c+d)+xy2=y[/+%(Q+b+c+d)+(a

+b)(c+d)]=y(a+b+x)(c+d+x)=③式右邊.

???③式成立，從而原等式成立.

5.比較法

比較法有兩種基本形式：

(1)求差比較法：要證A=B,只需證A—B=0；

A

(2)求商比較法：要證A=B(BWO),只需證一二1.

B

對于條件恒等式的證明比較奏效.

a-bb-cc-a

例11.(★★★)已知""七萬"""7""77￡求證:

(1+%)(1+y)(l+z)=(1-%)(1-y)(l-z)

【評述】：本題可用兩種比較分別證出.

【解】：

(l+x)(l+y)(l+z)-(l-%)(l-y)(l-z)

=a+y)(i+")(iy)(i-")(一?^)

a+bb+cc+aa+bb+cc+a

_2Q.2b.2c2b.2c.2a_0

-G+66+CC+Qa+66+cc+a'

.-.原式成立.

證法二求商比較法

i2ai2b.2c

1+%=---v,1+y=z---,r+z=

a+67b+cc+a'

.2a[2ci2a

-z=-，

1-x=a--+-br,1」Y=67-+--c11一c+a

2a2b2c

(1+4)(l+y)(l+z)_a+bb+cc+a

1.

(l-4)(l-y)(l-z)262c2a

a+bb+cc+a

原等式成立.

6.換元法

在等式的恒等變形中，適當?shù)剡M行換元可以達到化簡計算的目的.

2

例12.(★★★★)若X,y為實數(shù)，且八面-J)(l-3，°>c>0，

求證:，(--c).+y2+，(.+cl+，=2a

【解】：

證令G2-C2=62(b>0),#=?,,二歷，則已知條件變?yōu)閁2+V2=1,62+C2

a,a>c>0,6>0.于是

A/(%-c)2+y2=5/(au-c)2+62v2=d/7-；c2+62v2

=J(I)2+J)-2以〃+廬了

22222

-x/cu2_2acu+c+6(u+v)

同理可得，(++c)?+尸=Icu+aI.

=Vc2u-2acu+c2+62u2+v2=1,/.-

=vc2u2_2acu+a2=Icu-aI.cu-a<c-a<O,cu+a>a-c>0,

V(x-c)2+y2+v(A;+c)2+y2=\cu-a\+Icu+aI

=一(ciz-a)+(cu+a)=2a.

7.設(shè)參法

在等式的字母之間引入一個新的字母，使原來的老字母與新字母之間產(chǎn)生一種比較明顯

的等量關(guān)系，借助這種新的等量關(guān)系可證明要證的等式，這種方法稱為設(shè)參法.這種方

法主要用來證明條件恒等式，在題目條件中出現(xiàn)連等、連比關(guān)系時，常引入比值作參數(shù).

設(shè)三_色%、+1y2+.2_(.+y)2+(a+b)?

例13.(★★★)y—b,求證：x+ay+b~*+y+a+b

【解】：

證設(shè)比值為參數(shù)鼠即設(shè)半二號=上則，=必，。二加.

七%(你產(chǎn)+(")21+/蚊+力),1+川(%+?+(乩+6>(…興八及)

+

左邊一yk+bky+b~~y+6y+6-yk+y+bk+b-(及+l)(y+6)

(-i)(j+/)a+i)(j+/)

y+b~y+b

8.構(gòu)造法

構(gòu)造一個方程、函數(shù)(多項式)、一個圖形等，利用方程、函數(shù)、圖形的性質(zhì)證明等式的

方法稱為構(gòu)造法.

111

例14.(★★★★)已知非零實數(shù)a,b,c滿足必(<;-。)2=40<：(6-<:)(0-6)求證：",了，T成等差數(shù)列.

【解】：

證只需證明：‘"+」?二弓.

acb

若6-c=0,則c-a=0,從而a=b=c,結(jié)論成立.

若6-c關(guān)0,則已知條件化為

△=[6(c-a)]2-4[a(6-c)]*[c(a-6)]=0,所以，關(guān)于x的一兀二次方程.

a(6-c)x2+6(c-a)x+c(a-6)=0(*)

有相等的實根，

注意到a(6-c)+6(c-a)+c(a-b)=0,

所以，方程(*)有孫=1的根，由韋達定理，另一個根為犯=:臣當.所以

勺一曾=1?211

ad)=~b=^+7-

<=>ac-be=ab-ac,11

Q2ac=b(a+c)A。，石二成等差數(shù)列?

例15.(★★★★)設(shè)a,b,c是互不相等的實數(shù)，證明

_____be_____ac__________ab_______l

(a-i)(a-c)+(6-a)(6-c)+(c-a)(c-b)~

【評述】：一般地，我們有如下定理：對于一個n次方程

n

/(%)=aQx++…+an^x+an=。(的公。)如果f(x)=0有n+1個不同的根，則f(X)恒等于0.

上述定理對于證明恒等式是非常有用的.

【解】：

證構(gòu)造關(guān)于④的二次多項式

\_(--6)(4-c),(--。)(%-c)(--a)(人-6)

/X-(a-6)(a-c)(6-a)(6-c)(c-a)(c-6)

則/(a)=/(6)=/(c)=1.

/.二次方程/(%)-1=0有三個不同的根Q,6,c.

,從而/(%)-1=0是恒等式,即對任何實數(shù)”有/(化)三L

八0)=1即為要證的恒等式.

@練習(xí)題

1.(★★★)已知a+6+c一°,求證：a2+62x+c2=(a+6+c)2

提示:!+++!=0O?6+6c+ca=0.

【解】：

a______bx_______________a?______玫____

2.(★★★)求證：％-。+(%-。)(4一6)一(。-6)(%-。)+(6-。)(”-6)

+0=44ax-ab+bxax-ah+bx

［解］：提不：左邊=(x-a)(xb),右邊?a)(x-6*

3.(★★★)已知x+y+z+u=0,求證：x2+y3+z3+u=3(xyz+yzu+zux+wey)

提示：由％