2024年北京高考數(shù)學(xué)一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意得.故選C.2．已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意得.故選C.3．圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意得，即，則其圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為.故選D.4．在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】寫出二項(xiàng)展開式，令，解出然后回代入二項(xiàng)展開式系數(shù)即可得解.【詳解】的二項(xiàng)展開式為，令，解得，即.故選A.5．設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】因?yàn)椋傻茫矗芍葍r(jià)于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，無法得出或，例如，滿足，但且，可知充分性不成立；“”是“且”的必要不充分條件.故選B.6．設(shè)函數(shù).已知，，且的最小值為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】根據(jù)題意可知：為的最小值點(diǎn)，為的最大值點(diǎn)，則，即，且，所以.故選B.7．生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由變?yōu)椋镓S富度指數(shù)由提高到，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分析可得，消去即可求解.【詳解】根據(jù)題意得，則，即，所以.故選D.8．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，，，該棱錐的高為（

）.A．1 B．2 C． D．【答案】D【詳解】底面為正方形，當(dāng)相鄰的棱長相等時(shí)，不妨設(shè)，分別取的中點(diǎn)，連接，則，且，平面，可知平面，且平面，所以平面平面，過作的垂線，垂足為，即，由平面平面，平面，所以平面，根據(jù)題意可得：，則，即，則，可得，所以四棱錐的高為.當(dāng)相對(duì)的棱長相等時(shí)，不妨設(shè)，，因?yàn)椋藭r(shí)不能形成三角形，這樣情況不存在.故選D.9．已知，是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)題意不妨設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，即，AB.可得，即，根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，所以，A正確，B錯(cuò)誤；C.例如，則，可得，即，C錯(cuò)誤；D.例如，則，可得，即，D錯(cuò)誤，故選B.10．已知是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集.設(shè)是中兩點(diǎn)間距離的最大值，是表示的圖形的面積，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】先以t為變量，分析可知所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域。【詳解】對(duì)任意給定，則，且，可知，即，再結(jié)合x的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，其中，可知任意兩點(diǎn)間距離最大值；陰影部分面積.故選C.二、填空題11．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】【分析】形如的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.【詳解】根據(jù)題意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為.12．在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若，則的最大值為．【答案】/【分析】首先得出.【詳解】根據(jù)題意，從而，因?yàn)椋缘娜≈捣秶牵娜≈捣秶牵?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，且最大值為.答案為.13．若直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的一個(gè)取值為．【答案】（或，答案不唯一）【分析】聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程根的情況列式即可求解.【詳解】聯(lián)立，化簡(jiǎn)并整理得：，由題意得或，解得或無解，即，經(jīng)檢驗(yàn)正確.答案為或.14．漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．【答案】2357.5/【詳解】設(shè)升量器的高為，斗量器的高為（單位都是），則，，.答案為.15．設(shè)與是兩個(gè)不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個(gè)結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】①③④【詳解】①，因?yàn)榫鶠榈炔顢?shù)列，故它們的散點(diǎn)圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故中至多一個(gè)元素，①正確.②，取則均為等比數(shù)列，但當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，此時(shí)中有無窮多個(gè)元素，②錯(cuò)誤.③，設(shè)，，若中至少四個(gè)元素，則關(guān)于的方程至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，若q>0，q≠1，則由和的散點(diǎn)圖可得關(guān)于的方程至多有兩個(gè)不同的解，矛盾；若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)，否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)偶數(shù)解，當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)即否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)奇數(shù)解，因?yàn)椋豢赡芡瑫r(shí)成立，因此不可能有4個(gè)不同的整數(shù)解，即M中最多有3個(gè)元素，③正確.④因?yàn)闉檫f增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢(shì)，后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢(shì)，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，④正確.答案為①③④.三、解答題16．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)；(2)選擇①無解；選擇②和③△ABC面積均為.【分析】選擇①，利用正弦定理得，結(jié)合（1）問答案即可排除；選擇②，首先求出，再代入式子得，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；選擇③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；【詳解】（1）根據(jù)題意得，因?yàn)闉殁g角，則，則，則，解得，因?yàn)闉殁g角，則.（2）選擇①，則，因?yàn)椋瑒t為銳角，則，此時(shí)，錯(cuò)誤；選擇②，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則代入得，解得，,則.選擇③，則有，解得，由正弦定理得，即，解得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則，則17．如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，接，則，而，故，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)椋剩剩仕倪呅螢槠叫兴倪呅危剩云矫妫矫妫剩式⑷鐖D所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，故，因此平面與平面夾角的余弦值為18．某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：賠償次數(shù)01234單數(shù)假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.（i）記為一份保單的毛利潤，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）如果無索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中估計(jì)值的大小．（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)(i)0.122萬元；(ii)這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值大于（i）中估計(jì)值【詳解】（1）設(shè)為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得.（2）（ⅰ）設(shè)為賠付金額，則可取，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得，，，，故故（萬元）.（ⅱ）由題設(shè)保費(fèi)的變化為，故（萬元），因此.19．已知橢圓：，以橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長為2的正方形.過點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過點(diǎn)和的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得，進(jìn)一步得；（2）設(shè)，，聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理有，而，令.【詳解】（1）根據(jù)題意，從而，所以橢圓方程為，離心率為；（2）直線斜率不為0，否則直線與橢圓無交點(diǎn)，矛盾，從而設(shè)，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)并整理得，根據(jù)題意，即應(yīng)滿足，所以，若直線斜率為0，由橢圓的對(duì)稱性可設(shè)，所以，在直線方程中令，得，所以，此時(shí)應(yīng)滿足，即應(yīng)滿足或，由上所述，滿足題意，此時(shí)或.20．設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點(diǎn)處的切線．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.(2)求證：不經(jīng)過點(diǎn).(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，，為與軸的交點(diǎn)，與分別表示與的面積．是否存在點(diǎn)使得成立？若存在，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)見解析(3)2【分析】（1）直接代入；（2）寫出切線方程，將代入再設(shè)新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其零點(diǎn)即可；（3）分別寫出面積表達(dá)式，代入得到，再設(shè)新函數(shù)研究其零點(diǎn)即可.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，f'x>0；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），切線的斜率為，則切線方程為，將代入則，即，則，，令，假設(shè)過，則在存在零點(diǎn).，在上單調(diào)遞增，，在無零點(diǎn)，與假設(shè)矛盾，故直線不過.（3）時(shí)，.，設(shè)與軸交點(diǎn)為，時(shí)，若，則此時(shí)與必有交點(diǎn)，與切線定義矛盾.由（2）知.所以，則切線的方程為，令，則.，則，，記，滿足條件的有幾個(gè)即有幾個(gè)零點(diǎn).，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；因?yàn)椋杂闪泓c(diǎn)存在性定理及的單調(diào)性，在上必有一個(gè)零點(diǎn)，在上必有一個(gè)零點(diǎn)，由上所述，有兩個(gè)零點(diǎn)，即滿足的有兩個(gè).21．已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對(duì)數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作；將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡(jiǎn)記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個(gè)符合條件的；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”．【答案】(1)(2)不存在符合條件的，理由見解析(3)見解析【分析】解法一：利用反證法，假設(shè)存在符合條件的，由此列出方程組，進(jìn)一步說明方程組無解即可；解法二：對(duì)于任意序列，所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，可知序列共有8項(xiàng)，可知：，檢驗(yàn)即可；解法一：分充分性和必要性兩方面論證；解法二：若，分類討論相等得個(gè)數(shù)，結(jié)合題意證明即可；若存在序列，使得為常數(shù)列。【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列，由序列可得；由序列可得；由序列可得；所以.（2）解法一：假設(shè)存在符合條件的，可知的第項(xiàng)之和為，第項(xiàng)之和為，則，而該方程組無解，故假設(shè)不成立，故不存在符合條件的；解法二：根據(jù)題意可知：對(duì)于任意序列，所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，假設(shè)存在符合條件的，且，因?yàn)椋葱蛄泄灿?項(xiàng)，根據(jù)題意可知：，檢驗(yàn)可知：當(dāng)時(shí)，上式不成立，即假設(shè)不成立，所以不存在符合條件的.（3）解法一：我們?cè)O(shè)序列為，特別規(guī)定.必要性：若存在序列，使得的各項(xiàng)都相等.則，所以.根據(jù)的定義，顯然有，這里，.所以不斷使用該式就得到，，必要性得證.充分性：若.根據(jù)已知，為偶數(shù)，而，所以也是偶數(shù).我們?cè)O(shè)是通過合法的序列的變換能得到的所有可能的數(shù)列中，使得最小的一個(gè).上面已經(jīng)證明，這里，.從而由可得.同時(shí)，由于總是偶數(shù)，所以和的奇偶性保持不變，從而和都是偶數(shù).下面證明不存在使得.假設(shè)存在，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，，即.情況1：若，則由和都是偶數(shù)，知.對(duì)該數(shù)列連續(xù)作四次變換后，新的相比原來的減少，這與的最小性矛盾；情況2：若，不妨設(shè).情況2-1：如果，則對(duì)該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾；情況2-2：如果，則對(duì)該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾.這就說明無論如何都會(huì)導(dǎo)致矛盾，所以對(duì)任意的都有.假設(shè)存在使得，則是奇數(shù)，所以都是奇數(shù)，設(shè)為.則此時(shí)對(duì)任意，由可知必有.而和都是偶數(shù)，故集合中的四個(gè)元素之和為偶數(shù)，對(duì)該數(shù)列進(jìn)行一次變換，則該數(shù)列成為常數(shù)列，新的等于零，比原來的更小，這與的最小性矛盾.綜上，只可能，而，故是常數(shù)列，充分性得證.解法二：由題意可知：中序列的順序不影響的結(jié)果，且相對(duì)于序列也是無序的，（ⅰ）若，不妨設(shè)，則，①當(dāng)，則，分別