Page23一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的）1.設(shè)全集為，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合A中元素范圍，再求即可.【詳解】，又，.故選：C.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：A3.已知命題：“”；命題：“函數(shù)單調(diào)遞增”，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不必要又不充分條件【答案】A【解析】【分析】通過導(dǎo)數(shù)探討的單調(diào)性，以此推斷命題p與的關(guān)系即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因，，則，得單調(diào)遞增，有，即p是的充分條件.當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增，有恒成立，得，有不能推出p（a可以等于1）.即p不是的必要條件.綜上：p是的充分不必要條件.故選：A4.2月國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布中華人民共和國(guó)2024年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)．下圖1是2024-2025年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值及其增長(zhǎng)速度，圖2是2024-2025年三次產(chǎn)業(yè)增加值占國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值比重（三次產(chǎn)業(yè)包括第一產(chǎn)業(yè)，其次產(chǎn)業(yè)，第三產(chǎn)業(yè)）．依據(jù)圖1，圖2，以下描述不正確的是（）A.2024-2025年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值呈逐年增長(zhǎng)的趨勢(shì)B.2024年與2024年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的增長(zhǎng)速度較上一年有明顯回落C.2024-2025年第三產(chǎn)業(yè)增加值占國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值比重的極差為1.7%D.2024年其次產(chǎn)業(yè)增加值較2024年有所削減【答案】D【解析】【分析】依據(jù)給出的圖形逐一分析推斷即可.【詳解】依題意，對(duì)于A：由圖1可以看出直方圖逐年增高，所以2024-2025年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值呈逐年增長(zhǎng)的趨勢(shì)，故A正確；對(duì)于B：由圖1可以看出折線在2024年與2024年時(shí)與上一年連線的斜率小于0，故B正確；對(duì)于C：由圖2可以得出2024-2025年第三產(chǎn)業(yè)增加值占國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值比重最大值為：54.5%，最小值為：52.8%，所以極差，故C正確；對(duì)于D：結(jié)合圖1圖2可知，2024年其次產(chǎn)業(yè)的增加值為：億元；2024年其次產(chǎn)業(yè)的增加值為：億元.因?yàn)?，所?024年其次產(chǎn)業(yè)增加值較2024年有所增加，故D錯(cuò)誤.故選：D.5.在中，點(diǎn)滿意與交于點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】法一，依據(jù)向量共線可得，再得，又，再表示出，利用向量相等解出，即可得解；法二，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求出即可.【詳解】法一:因?yàn)樵谏?，故，所以存在唯一?shí)數(shù)，使得，又，故為的中點(diǎn)，所以，所以;同理存在，使得，又，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C.法二:不妨設(shè)為等腰直角三角形，其中，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，，則直線的方程分別為，聯(lián)立解得，由，得，解得，則.故選：C.6.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，（），則等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)數(shù)列遞推式（），可得（），推出，（），結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)椋ǎ裕ǎ?，兩式相減得，（），由（），得，故可知，而，所以，（），故從其次項(xiàng)起先，為公比為4的等比數(shù)列，故，故選：A7.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性解除兩個(gè)選項(xiàng)，再利用時(shí)，值為正即可推斷作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，，即是奇函數(shù)，A，B不滿意；當(dāng)時(shí)，即，則，而，因此，D不滿意，C滿意.故選：C8.設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再依據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，結(jié)合條件即得.詳解】，由，，可得，依據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得：，又，所以，即.故選：D.9.已知過拋物線的焦點(diǎn)，且傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則（）A.32 B. C. D.8【答案】A【解析】【分析】由題意可得直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程得，由韋達(dá)定理可得，再依據(jù)拋線的定義即可得答案.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€，所以，，所以直線的方程為，由，得，明顯，設(shè)則有，所以，由拋物線定義可知.故選：A.10.已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，正視圖為正方形，側(cè)視圖和俯視圖均為直角三角形，則該幾何體外接球的表面積是（）A.? B.? C.? D.?【答案】B【解析】【分析】利用三視圖作出立體圖，計(jì)算出外接球的半徑，即可得出該幾何體外接球的表面積.【詳解】由題意及圖得，該幾何體為圖中三棱錐,其外接球與它所在長(zhǎng)方體外接球是同一個(gè),設(shè)其外接球的半徑為，則有,∴外接球的表面積為：.故選：B.11.才智的人們?cè)谶M(jìn)行工業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，奇異地利用了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，比如電影放映機(jī)利用橢圓鏡面反射出聚焦光線，探照燈利用拋物線鏡面反射出平行光線．如圖，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射，且反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過左焦點(diǎn)．已知入射光線斜率為，且和反射光線PE相互垂直（其中P為入射點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由入射光線的斜率得出，進(jìn)而得出，再由雙曲線的定義得出雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)槿肷涔饩€斜率為，所以，又，，所以，又，所以.故選：D12.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞減，再依據(jù)轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合的單調(diào)性求解即可.【詳解】設(shè)，則.因?yàn)椋?，即，所以在上單調(diào)遞減.不等式等價(jià)于不等式，即.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得故選：A二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每題5分，共20分）13.已知?，則?__________．【答案】##0.28【解析】【分析】求出的值，即可計(jì)算出.詳解】由題意，，，解得：，∴，，故答案為：.14.二項(xiàng)式的綻開式中全部二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則二項(xiàng)式的綻開式中常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式求，再由二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)即可.【詳解】由二項(xiàng)式的綻開式中全部二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，得，即．所以．令，得，所以二項(xiàng)式的綻開式中常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：15.《定理匯編》記載了諸多重要的幾何定理，其中有一些定理是關(guān)于鞋匠刀形的，即由在同始終線上同側(cè)的三個(gè)半圓所圍成的圖形，其被阿基米德稱為鞋匠刀形.如圖所示，三個(gè)半圓的圓心分別為，，，半徑分別為，，（其中），在半圓О內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自圖中鞋匠刀形（陰影部分）的概率為，則___________.【答案】##【解析】【分析】通過計(jì)算三個(gè)半圓的面積，表示陰影部分的面積，利用幾何概型的概率計(jì)算公式即可得出答案.【詳解】解：陰影部分面積為：由圖可知：，所以則，因?yàn)樵诎雸AО內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自圖中鞋匠刀形（陰影部分）的概率為，所以，，即，則解得：，因?yàn)椋?故答案為：.16.如圖,在正方體中,點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),有下列推斷:①平面平面;②平面;③異面直線與所成角的取值范圍是;④三棱錐的體積不變.其中,正確的是________(把全部正確推斷的序號(hào)都填上).【答案】①②④【解析】【分析】依據(jù)線面關(guān)系,逐項(xiàng)推斷,即可求得答案.【詳解】對(duì)于①,在正方體中,平面,平面,平面平面,故①正確;對(duì)于②,連接,如圖:簡(jiǎn)潔證明平面//平面,又平面,∥平面故②正確;對(duì)于③,∥,異面直線與所成的角就是直線與所成的角,在中,易知所求角的范圍是,故③錯(cuò)誤;對(duì)于④,點(diǎn)到平面的距離不變,且的面積不變,三棱錐的體積不變,故④正確.綜上所述,正確的是①②④.故答案為:①②④.【點(diǎn)睛】本題主要考查線線、線面、面面的平行與垂直關(guān)系,異面直線所成的角,三棱錐的體積等學(xué)問,解題關(guān)鍵是駕馭正方體的特征和數(shù)形結(jié)合,考查了分析實(shí)力和空間想象實(shí)力,屬于中檔題.三、解答題：（共70分，第17-21題是必考題，每題12分，每個(gè)試題考生必需作答，第22-23題為選考題，考生依據(jù)要求作答，10分）17.在中，角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求角；（2）若角的平分線與交于點(diǎn)，，，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）利用余弦定理角化邊或利用正弦定理邊化角即可求解；（2）在和中用兩次正弦定理可得，然后在中利用余弦定理可得的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得的大小，再在中利用余弦定理即可求解.【小問1詳解】解法一：由余弦定理可得，即，整理可得，所以，因?yàn)?，所?解法二：由正弦定理可得，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?【小問2詳解】如圖所示由題意可得是角的平分線，，，在中，由正弦定理可得，即，解得，在中，由正弦定理可得，即，解得，所以，由正弦定理邊角互化得，在中由余弦定理解得，所以，在由余弦定理得，解得.18.2024年1月15日教化部制定出臺(tái)了《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的看法》（也稱“強(qiáng)基支配”），《看法》宣布：2024年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實(shí)行強(qiáng)基支配.強(qiáng)基支配主要選拔培育有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素養(yǎng)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生.據(jù)悉強(qiáng)基支配的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^程中通過筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知甲?乙兩所高校的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨(dú)立，若某考生報(bào)考甲高校，每門科目通過的概率均為，該考生報(bào)考乙高校，每門科目通過的概率依次為，其中.（1）若，分別求出該考生報(bào)考甲?乙兩所高校在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；（2）強(qiáng)基支配規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作出決策，當(dāng)該考生更希望通過乙高校的筆試時(shí)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)獨(dú)立事務(wù)的乘法公式和二項(xiàng)分布的概率公式求解即可；（2）該考生報(bào)考甲高校通過的科目數(shù)為，報(bào)考乙高校通過的科目數(shù)為，進(jìn)而結(jié)合二項(xiàng)分布求解，依據(jù)獨(dú)立事務(wù)的乘法公式求解的分布列及其期望，進(jìn)而結(jié)合題意求解.小問1詳解】解：設(shè)“該考生報(bào)考甲高校恰好通過一門筆試科目”為事務(wù)，“該考生報(bào)考乙高校恰好通過一門筆試科目”為事務(wù)，依據(jù)題意可得，【小問2詳解】解：設(shè)該考生報(bào)考甲高校通過的科目數(shù)為，報(bào)考乙高校通過的科目數(shù)為，依據(jù)題意可知，，所以，，，，.則隨機(jī)變量的分布列為：0123，若該考生更希望通過乙高校的筆試時(shí)，有，所以，又因?yàn)椋裕裕娜≈捣秶?19.圓柱中，四邊形為過軸的截面，，，為底面圓的內(nèi)接正三角形，．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，證明三條直線兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量垂直的性質(zhì)即可證明，再由線面垂直判定定理即可證明；（2）由（1）知是平面的一個(gè)法向量，依據(jù)求法向量的步驟求出平面的法向量，求出兩個(gè)平面法向量的夾角即可求解.【小問1詳解】依題意，連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈酌鎴A的內(nèi)接正三角形，所以既是的外心也是重心，所以為的中點(diǎn)，因此，又，所以，，又底面，，底面，所以，，所以三條直線兩兩垂直，以為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：因?yàn)樗倪呅螢檫^軸的截面，，，所以是圓的直徑，所以，所以，，，由此可得：，，，，，，，所以，，，所以，所以，即，又，平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）知，平面，所以是平面的一個(gè)法向量，，，設(shè)平面的法向量為，則有：即，令，則有：，所以平面的一個(gè)法向量可以是：，所以，設(shè)平面與平面所成角為，則與相等或者互補(bǔ)，因?yàn)椋运?20.如圖，已知橢圓C：（）的上頂點(diǎn)為，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）若過點(diǎn)A作圓（圓在橢圓C內(nèi)）的兩條切線分別與橢圓C相交于B，D兩點(diǎn)(B，D不同于點(diǎn)A)，當(dāng)r變更時(shí)，試問直線BD是否過某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)，【解析】【分析】（1）依據(jù)橢圓的頂點(diǎn)和離心率建立方程組求解橢圓方程；（2）圓M過A的切線方程可設(shè)為l：，代入橢圓，解出B，D坐標(biāo)，依據(jù)直線與圓相切結(jié)合韋達(dá)定理得斜率的關(guān)系，表示出直線BD的方程即可求得過定點(diǎn).【詳解】解：（1）依題意可得：）（2）圓M過A的切線方程可設(shè)為l：，代入橢圓C的方程得：，可得；同理可得由圓M與l相切得：由韋達(dá)定理得：所以直線BD的斜率……直線BD的方程為：化簡(jiǎn)為：，即所以，當(dāng)變更時(shí)，直線BD總過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】此題考查求橢圓的方程，依據(jù)直線與橢圓，直線與圓的位置關(guān)系探討直線的定點(diǎn)問題，關(guān)鍵在于精確進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化計(jì)算求解.21.已知函數(shù)．（1）若單調(diào)遞減，求a的取值范圍；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1），因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以在時(shí)恒成立，即，令，問題轉(zhuǎn)化為求的最值，利用導(dǎo)數(shù)求解即可；（2）由題意可知，且，要證明，只需證明．由得，所以．令，，則需證明．令，則，令，可求得，從而在時(shí)單調(diào)遞減，所以，原不等式即可得證．【小問1詳解】由得，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以在時(shí)恒成立，即，令，則，可知時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，則時(shí)取最大值，所以，所以，的取值范圍是．【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，不合題意；因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)零點(diǎn)，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，不合題意，可知，且，要證明，只需證明．由得則，所以，.令，則，要證明，需證明．令，且，則，令，且，則，則在時(shí)單調(diào)遞增，故，故，則在時(shí)單調(diào)遞減，所以，，即，則有，所以，即原不等式成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù)，依據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)