第四章指數函數與對數函數4.3

對數4.3.2

對數的運算知識對點練知識點一利用對數運算性質化簡求值1

.

對a>0,且

a≠1(M>0,N>0),下列說法正確的是()A.logaM·logaN=loga(M+N)答案

C解析由對數的運算性質知A,B

錯

誤

，C

正

確

；D

中-2不能作底數，∴D錯誤，故選C.2

.

若lg

x-lg

y=a,則A.3a

B

C.a

D.答案

A解析由對數的運算性質可知，原式=3(lg

x-lg

2)-3(lg

y-lg2)=3(lgx-lg

y)=3a.3.1g25-21g等于()A.lg2B.lg

3

C.lg4

D.lg

5答案

A解析

故選A.4

.

設a=log?2,則log?8-2log?6用a

表示的形式是()A.a-2

B.3a-(1+a)2C.5a-2

D.-a2+3a-1答案

A解析

log?8-2log?6=3log?2-2(log?2+1)=3a-2(a+1)=a-2.答

案

2

0解析

兩邊取對數得

a=log?2,2a-b=2log?2+log?5=log?20,∴32a-b=20.5.

已知3a=2.

則32a-b=

,∴6.計算下列各式的值：解(1)解法一：原式解法二：原(2)原式=21g5+2lg2+1g5×(2lg2+1g5)+(lg

2)2=2lg

10+(lg

5+lg

2)2=2+(lg10)2=2+1=3.答案

B解析由換底公式知識點二利用換底公式化簡求值∵log?9=2,∴·8

.

已知log?3=a,log?7=b,則

log?7=(

)A.a+b

B.a-bC.ab

D答案

C解析

log?7=log?3×log?7=ab.答案

解析9

.

若lg

2=a,lg

3=b,則log?12

等于()答案

C故選C.解析解析A.√

10

B.10

C.20

D.100答案

A解析∵2?=5?=m,∴a=log?m,b=log?m.=2,∴m2=10.又m>0,∴m=√

10,選A.10.設2?=5b=m,則m=(

)

11

.

若logax=2,logbx=3,logcx=6,則

logabcx=(

)A.1

B.2C.3

D.5答案

A解析

,∴

同理

重解析··7∴原方程可化為2log?(x-1)=log?(x+5),即log?(x-1)2=log?(x+5),∴(x-1)2=x+5.∴x2-3x-4=0,

解得x=4或

x=-1.

∴x>1,

故

x=4.

答

案

解

析

答

案

4解析

由換底公式得12

.

方程log?(x-1)=log?(x+5)

的解是

13.已知log??9=a,18?=5,

用a,b

表示log?645的值.解解法一：∵log??9=a,18?=5,∴logi?5=b.解法二：∵logi?9=a,18?=5,∴lg

9=alg18,lg5=blg

18.知識點三對數在實際中的應用14.根據有關資料，圍棋狀態空間復雜度的上限M約為3361,而可觀測宇宙中普通物質的原子總數N約為1080.則下列各數中與接近的是()(參考數據：lg

3≈0.48)A.1033

B.1053C.1073D.1093答案

D解析因為1g364=361×1g3~361×0.48≈173,所以M~103,

則故選D.15.2019年我國國民生產總值為a億元，如果平均每年增長8%,那么過多少年后國民生產總值是2019年的2倍(lg2≈0.3010,lg1.08≈0.0334,精確到1年).解

設

經

過x年國民生產總值為2019年的2倍.經過1年，國民生產總值為a(1+8%),經過2年，國民生產總值為a(1+8%)2,…;經過x

年，國民生產總值為a(1+8%)×=2a,∴1.08*=2,兩邊取常用對數，得x.lg1.08=1g

2.故約經過9年，國民生產總值是2019年的2倍.16.在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v(單位：m/s)和燃料的質量M(單位：kg),火箭(除燃料外)的質量m

(單位：kg)滿足為自然對數的底數，In3≈1.099).當燃料質量M

為火箭(除燃料外)質量m的兩倍時，求火箭的最大速度(單位：

m/s).解

因

為所以v=2000·1n3≈2000×1.099=2198(m/s).故當燃料質量M

為火箭質量m的兩倍時，火箭的最大速度為2198m/s.易錯特別練易錯點一利用運算性質化簡求值時忽略對數有意義的條件設lg

x+lg

y=2lg

(x-2y),則

勺值為

易錯分析錯誤的根本原因是將對數式lgx+lgy=2lg

(x-2y)轉化為代數式xy=(x-2y)2時，忽略了對數有意義的條件，即隱含條件而誤認:答案

1或0的錯誤答案.;得出從正解由lg

x+lg

y=2lg(x-2y),得lg(xy)=1g(x-2y)2,因此xy=(x-2y)2,即

x2-5xy+4y2=0,又x>0,y>0,x-2y>0,,∴··1:易錯點二運用換底公式不熟練致誤log?9×log?4=(

)B.

C.2

D.4易錯分析本題易在使用對數的運算公式時，尤其換底公式的使用過程中發生錯誤.答案

DA課時綜合練一、單項選擇題1.若lg

2=m,則

1g5等于(

)A.m

B

C.1-m

D.答案

C解析答案

解析2

.化

的結果為()A.6√2B.12√2C.log?/3D2答案

C解析3

.

若

a>0,

3

則等于(

)A.2

B.3C.4

D.5答案

B解析,∴,∴·

·重等于(

)A.lg

3

B.-lg

3C

D.

答案

C解

析

原

選C.5.化簡

得(

)A.2

B.2-2log?3C.-2D.2log?3-2答案

B解析

∵

√

(log?

3)2-4log?

3+4=

√

(log?3-2)2=2-log?

3,∴

原式=2

-log?3+log?3-1=2-2log?3.b是方程2x2-4x+1=0

的兩個實根，則ab

的值等于(

)C.100

D.√

10a,lgb是方程2x2-4x+1=0的兩個實根，∴由根與系數的,

∴ab=100.

故選C.答案

C解

析

∵lg關系得6.若lg

a,lgA.2

B.7.已知2?=3b=k(k≠1),且2a+b=ab,

則實數k的值為(

)A.6

B.9

C.12

D.18答

案

D解析∵2=3b=k(k≠1),∴a=log?k,b=log?k,∴答

案■8.

已知2*=3,

則x+2y等于()A.3

B.8

C.4

D.log?8答案

A解析

∵2*=3,∴

x=log?3.又

,

∴x+2y=log,3+2log?3=1og,3…二、多項選擇題9.下列各等式正確的是(

)A.log?3·log?5=log?(3×5)B.lg

3+lg

4=1g(3×4)D.1g"m=11gm(m>0,n>1,n∈N)答案

BD于C,

當

x,y

均為負數時

，等式無意義；對于D,1的運算法則，正確.故選BD.解

析

對

于

A,log?3+log?5=log?(3×5),不正確；對于

B,正確；對M

符

合

對

數答案

CD解析

當a<0,b<0時，A,B不成立，C,D均正確.故選CD.10

.若ab>1,

則下列等式中正確的是(

)A.1lg(ab)=1g

a+lg

b

B.11.

已知x,y為正實數，則下列正確的是()A.2Inx+Iny=2nx+2nyB.2n(x+y)=2nx.2InyC.2mxlny=(2#×)1nyD.2In(xy)=2Inx.2Iny答

案

CD解析因為2

x+Iny=2nx.2Iny=2n(xy),D正確；(2x)lny=2nxlny,C正確.故選CD.答案BD解析根據對數的運算性質

log?M"=n

log?M(M>0,a>0,

且知B,D

正確.12.若a>0,a≠1,x>0,n∈N*,

則下列等式中正確的是(

)A.(logax)”=nlogaxB.可三、填空題13.計算答

案

2解析14

.

若logab·log?a=4,則

b

的值為

.答案

81所以1gb=4lg

3=lg

3?=1g81,.

∴b=81.15.已

知x>0,y>0,

若2x·8=16,

則

x+3y=

,則2-1+

log2x+log?27=

答

案

4

2解析∵2*·

8=16,∴x+3y=4,∴

答

案答案

1解析原方程可變為log?x+log?(x+1)=1,即log?[x(x+1)]=1,∴x(x+1)=2,解得x=1或

x=-2.

即

x>0,∴x=1.答案

解析16.方程

的解是x=

.四、解答題17.求值：(1)lg√5+1g√20;(2)log?9-1og?732-(√3-1)?1+log?35-log?7;(4)(log?3+log?3)(log?2+log?2).=log?5-3×log?2-?×log?3-

1=-3log?5×(-5log?2)×(-log?3)解(1)lg

√5+1g

√20=1g

√

100=1g

10=1.(4)(log?3+log?3)(log?2+log?2)18.設3×=4=36,的值.解由已知分別求出x

和y,∵3×=36,4×=36,∴x=log?36,y=log?36,由換底公式，得;