空間向量練習題

1.如圖所示，四棱錐P-4BC。的底面4BC。是邊長為1的菱形，NBCD=60°,E是CD

的中點，《4_L底面ABC。，PA=2.

(I)證明：平面PBE_L平面以B;

(II)求平面隙。和平面PBE所成二面角(銳角)的大小.

如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系.則相關各點的

坐標分別是A(0,0,0),B(1,0,0),

C(——,0),￡)(——,0),P(0>0)2),￡(1,—-,0).

22222

(I)證明因為8E=(0,X」,0),

2

平面PAB的一個法向量是％=(0,1,0),

所以而和加共線.從而BEL平面PAB.

又因為8Eu平面PBE,

故平面PBEL平面PAB.

(II)解易知夕3=(1,0,-2),35=(0,3,0),PA=(0,0-2),AD=—,0)

222

i。,得

設〃?=(芯,乂，4)是平面Q%'的一個法向量，則由,

%?BE=0

Xj+0xy-2Z[=0,

0x七+當所以y=0,玉=24.故可取z?]=(2,0,1).

y2+0xz2=0.

0xx2+0xy2-2z2=0,

n2?PA-0,

設%二*2,%，Z2)是平面川〃的一個法向量，則由，得16

n2.AD=Q5%+虧為+OxZ?=0.

■.乙乙

所以z?=0,x2=一百%?故可取%=(百，一1，°).

273_V15

于是，cos<〃],〃■,>=

>/5x2-5

故平面必〃和平面板所成二面角(銳角)的大小是arccos

5

2.如圖，正三棱柱ABC—AIBIG的全部

棱長都為2,。為CG中點。

(I)求證：AB」面AiB￡)；

0

(II)求二面角A—4O—B的大小;

(III)求點C到平面AiBO的距離；

(I)證明取中點。，連結A0.

△ABC為正三角形，，AO_LBC.

.?在正三棱柱ABC—A4G中，平面A5CL平面BCG4,

.?.4￡＞，平面8。(?百.

取AG中點。J以。為原點，OB,OOi,。4的方向為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐

標系，則B(l,0,0),0(-1,1,0),A(0,2,6),A(0,0,省)，B,(1,2,0),

二用=(1,2,-我，80=(-2,1,0),BA,=(-1,2,73).

AB1.BD=-2+2+0=0,礪3=—1+4—3=0,

AB,±BD,AB[±BA,.

AB｝」_平面\BD.

(II)解設平面AAD的法向量為〃=(%,y,z).

AD=(-1,1,-G),9=(0,2,0).

n_LAD,n_LAA],

3A￡)=0，一一百z=。，y=。,

“?44|=0,2y=0,x=-V3z.

令z=1得〃=(-73,0,1)為平面A,AD的一個法向量.

由(I)知A3]_L平面ABQ,

/.A4為平面430的法向量.

“?AB1—>/3—>/3\/6

cos<n,AB,>=

|4|AB'|~2.272~4

二?二面角A-A-B的大小為arccos

(IH)解由(II),AR為平面43。法向量,

BC=(-2,0,0),蝴=(1,2,-G).

BGABi

；.點C到平面48。的距離d==上裝交

3.如圖，在四面體ABC。中，0、E分別是8。、BC的中點,

CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=C.

(D求證：AO_L平面BCD；

(2)求異面直線AB與CO所成角的余弦值;

(3)求點E到平面ACO的距離.

⑴證明連結OC

BO=DO,AB=AD,AO±BD.

BO=DO,BC=CD,CO1BD.

在A4OC中，由己知可得AO=1,CO=

而AC=2,:.AO2+CO2=AC2,

:.ZAOC=90°,即AO±OC.

BD[0c=O,，A0_L平面BCD.

(2)解以。為原點，如圖建立空間直角坐標系,

則5(1,0,0),5-1,0,0),

cos<BA,CD>=巖:，j,

網卬|4

異面直線■與8所成角的余弦值為7

⑶解設平面ACD的法向量為〃=(x,y,z),則

n-AD-(x,y,z)-(-l,0,-l)=0

?-AC=(x,y,z)-(0,73,-1)=0

X+Z=0廣r-

r,令y=l,得〃=(一6,1,括)是平面AC。的一個法向量.

島-z=0'

怛。”|J3J21

又與

EC=4,0),點E到平面ACD的距離h="

忖幣7

4.已知三棱錐P-ABC中，PA1ABC,AB±AC,PA=AC=%AB,N為AB上一點，AB=4AN,M,S

分別為PB,BC的中點.

(1)證明：CM1SN；

(II)求SN與平面CMN所成角的大小.

證明:

x,y,z軸正向建立空間直角坐標系如圖。

N(-A0),S........4分

22

(I)CM=(l,-l,1),S7V=(-1,-1,0),

因為CM?SN=—L+L+0=0,

22

所以CM_LSN…“6分

(IDNC=(」,1,0),

■2

設2=(X,y,z)為平面CMN的一個法向量,

1八

+—z=。，

2令x=2,

則《得a=(2,1,-2).9分

--x+y=0.

所以SN與片面CMN所成角為45°。12分

5.如圖，在三棱柱ABC-AB|G中，已知BC=1,BB]=2,NBCCkAB_L側面BBQC，

（1）求直線C.B與底面ABC所成角正切值；

（2）在棱CG（不包含端點C,CJ上確定一點E的位置，

使得EA1EB,（要求說明理由）.

（3）在（2）的條件下，若AB=J5,求二面角4-Eg-A的大小.

解：（1）在直三棱柱ABC-A4G中，平面A3C在平面ABC上的射影為CB.

.?.NGBC為直線G8與底面A3C所成角........2,

CC,-BB]—2,BC-1,/.tanNC】BC-2

即直線GB與底面ABC所成角正切值為2..............4'

(2)當E為中點時，EA1EB「CE=ECi=l,BC=BCi=lZBEC=ZBIECI=45

ZBEB,=90,gpB.ElBf