2024廣西北部灣中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練題型五閱讀理解題類型一解題方法類閱讀理解典例精講例1【閱讀理解】如圖①，在正方形ABCD中，M是BC邊(不含端點B、C)上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點．若∠AMN＝90°，求證：AM＝MN.證明：在邊AB上截取AE＝MC，連接ME.在正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC.∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB＝∠MAE，即∠NMC＝∠MAE.BE＝AB－AE＝BC－MC＝BM，∴∠BEM＝45°，∴∠AEM＝135°，∵N是∠DCP的平分線上一點，∴∠NCP＝45°，∴∠MCN＝135°，在△AEM與△MCN中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠MAE＝∠NMC,AE＝MC,∠AEM＝∠MCN))，∴△AEM≌△MCN(ASA)，例1題圖∴AM＝MN；【類比探究】如圖②，在等邊△ABC中，M是BC邊(不含端點B、C)上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠ACP的平分線上一點．則∠AMN＝60°時，結(jié)論AM＝MN是否還成立？請說明理由．【思維教練】要證AM＝MN，可證AM與MN所在的三角形全等，借鑒題干所給證明方法，可在邊AB上截取AE＝CM，證得AM與MN所在的三角形全等，即可求證AM＝MN；【解決問題】若將【閱讀理解】題干中的”正方形ABCD”改為”正六邊形ABCDEF，請直接寫出當∠AMN的度數(shù)為多少時，結(jié)論AM＝MN仍然成立．【思維教練】由【閱讀理解】和【類比探究】可知，∠AMN等于它所在的正多邊形的一個內(nèi)角，即等于eq\f(（n－2）180°,n)時，結(jié)論AM＝MN仍然成立．針對演練1.【閱讀理解】如圖①，l1∥l2，△ABC的面積與△DBC的面積相等嗎？為什么？解：相等，如圖①，在△ABC和△DBC中，分別作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分別為E，F(xiàn).∴∠AEF＝∠DFC＝90°，∴AE∥DF.∵l1∥l2，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∴AE＝DF.又S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AE，S△DBC＝eq\f(1,2)BC·DF，∴S△ABC＝S△DBC.第1題圖①【類比探究】如圖②，在正方形ABCD的右側(cè)作等腰△CDE，CE＝DE,AD＝4，連接AE，求△ADE的面積．解：如圖②，過點E作EF⊥CD于點F，連接AF.請將余下的求解步驟補充完整．第1題圖②【拓展應(yīng)用】如圖③，在正方形ABCD的右側(cè)作正方形CEFG，點B，C，E在同一直線上，AD＝4，連接BD，BF，DF，直接寫出△BDF的面積．第1題圖③類型二新定義類閱讀理解典例精講例2我們定義：有一組對角互補的四邊形叫做對角互補四邊形．(1)如圖①，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點，且BE＝AF，∠B＝60°，求證：四邊形AECF為對角互補四邊形；【思維教練】要證四邊形AECF為對角互補四邊形，需證∠AFC＋∠AEC＝180°，由菱形的性質(zhì)和∠B＝60°可知△ABC為等邊三角形，再由BE＝AF可得△BCE≌△ACF，進而得到∠BEC＝∠AFC，即可得證．例2題圖①如圖②，四邊形ABCD為對角互補四邊形，且∠BAD＝60°，AB＝AD，求證：CA＝CB＋CD;【思維教練】延長CB至點M，使BM＝CD，要證CA＝CB＋CD，即證CM＝CA.由對角互補四邊形的性質(zhì)可得∠ADC＝∠ABM，即可證△CAD≌△MAB，再結(jié)合∠BAD＝60°可得△ACM是等邊三角形，等量代換即可得證．例2題圖②如圖③，在平行四邊形ABCD中，AD＝3AB，E、F分別是AB、AD上的點，且四邊形AECF為對角互補四邊形，若CF＝3，求CE的長．【思維教練】過點C作CN⊥AD于點N，CM⊥BA交BA的延長線于點M，CM與AD交于點H.由對角互補四邊形的性質(zhì)可得∠CFN＝∠AEC，易證△CFN∽△CEM，即eq\f(CF,CE)＝eq\f(CN,CM)，再根據(jù)CM與CN的比例關(guān)系求解CE的長即可．例2題圖③針對演練2.閱讀理解：在平面直角坐標系中，點M的坐標為(x1，y1)，點N的坐標為(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若M、N為某矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為M、N的“相關(guān)矩形”．如圖中的矩形為點M、N的“相關(guān)矩形”．(1)已知點A的坐標為(2，0)．①若點B的坐標為(4，4)，則點A、B的“相關(guān)矩形”的周長為________；②若點C在直線x＝4上，且點A、C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線AC的解析式；已知點P的坐標為(3，－4)，點Q的坐標為(6，－2)．若使函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象與點P、Q的“相關(guān)矩形”有兩個公共點，直接寫出k的取值范圍．第2題圖備用圖①備用圖②類型三數(shù)學(xué)文化類閱讀理解典例精講例3閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．黃金分割天文學(xué)家開普勒把黃金分割稱為神圣分割，19世紀以后“黃金分割”的說法逐漸流行起來，黃金分割指把一條線段分為兩部分，使其中較長部分與線段總長之比等于較短部分與較長部分之比，該比值為eq\f(\r(5)－1,2).用下面的方法(如圖①)就可以作出已知線段AB的黃金分割點H：①以線段AB為邊作正方形ABCD，②取AD的中點E，連接BE，③延長DA到F，使EF＝BE，④以線段AF為邊作正方形AFGH，點H就是線段AB的黃金分割點．例3題圖①以下是證明點H就是線段AB的黃金分割點的部分過程：證明：設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則AB＝AD＝1，∵點E為AD的中點，∴AE＝eq\f(1,2)，∴在Rt△BAE中，BE＝eq\r(AB2＋AE2)＝eq\r(12＋（\f(1,2)）2)＝eq\f(\r(5),2).∵EF＝BE，∴EF＝eq\f(\r(5),2)，∴AF＝EF－AE＝eq\f(\r(5)－1,2)，…任務(wù)：(1)補全題中的證明過程；（2）如圖②，點C為線段AB的黃金分割點，以AC為邊在線段AB上方作正方形ACDE，連接BD、BE.求證：△EAB∽△BCD；【思維教練】由正方形的性質(zhì)可得線段關(guān)系，由黃金分割點可得線段比例eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，等量代換可得eq\f(DC,AB)＝eq\f(BC,AE)，則三角形相似可證．例3題圖②如圖③，在正五邊形ABCDE中，對角線AD與BE交于點M.求證：點M是AD的黃金分割點．【思維教練】要證點M是AD的黃金分割點即需證eq\f(DM,AD)＝eq\f(AM,MD)，由正五邊形的性質(zhì)可推導(dǎo)出△AME∽△AED，得到線段比例關(guān)系即可得證．例3題圖③針對演練3.(1)閱讀理解我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過程；(2)問題解決勾股定理的證明方法有很多，如圖②是古代的一種證明方法：過正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，將它分成4份，所分成的四部分和以BC為邊的正方形恰好能拼成以AB為邊的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；(3)拓展探究如圖③，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到“勾股樹”的部分圖形．設(shè)大正方形N的邊長為定值n，小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d.已知∠1＝∠2＝∠3＝α，當角α(0°<α<90°)變化時，探究b與c的關(guān)系式，并寫出該關(guān)系式及解答過程(b與c的關(guān)系式用含n的式子表示)．參考答案類型一解題方法類閱讀理解例1解：【類比探究】結(jié)論AM＝MN還成立；理由如下：證明：如解圖①，在邊AB上截取AE＝MC，連接ME.例1題解圖①在等邊△ABC中，∠B＝∠BCA＝60°，AB＝BC，∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAE，BE＝AB－AE＝BC－MC＝BM，∴△BEM是等邊三角形，即∠BEM＝60°，∴∠AEM＝120°，∵N是∠ACP的平分線上一點，∴∠ACN＝60°，∴∠MCN＝120°，在△AEM與△MCN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠MAE＝∠NMC,AE＝MC,∠AEM＝∠MCN))，∴△AEM≌△MCN(ASA)，∴AM＝MN；【解決問題】當∠AMN＝120°時結(jié)論AM＝MN仍然成立．如解圖②，ABCDEF為正六邊形，CN為∠DCP的平分線．在邊AB上截取AG＝MC，連接MG.在正六邊形ABCDEF中，∠B＝∠BCD＝120°，AB＝BC.∵AG＝MC，∴BG＝BM，∴∠BGM＝∠BMG＝(180°－120°)÷2＝30°，∴∠AGM＝150°.∵CN為∠DCP的平分線，∴∠DCN＝30°，∠MCN＝150°.∵∠AMN＝∠B＝120°，∴∠MAG＝180°－∠B－∠AMB，∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB，∴∠MAG＝∠NMC.在△AGM與△MCN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠MAG＝∠NMC,AG＝MC,∠AGM＝∠MCN))，∴△AGM≌△MCN(ASA)，∴AM＝MN.∴當∠AMN＝120°時結(jié)論AM＝MN仍然成立．例1題解圖②針對演練1.解：【類比探究】∴∠DFE＝90°，在正方形ABCD中，∵∠ADC＝90°，∴∠DFE＝∠ADC＝90°，∴AD∥EF，∴S△ADE＝S△ADF，∵CE＝DE，CD＝AD＝4，∴DF＝eq\f(1,2)CD＝2，∴S△ADE＝S△ADF＝eq\f(1,2)AD·DF＝eq\f(1,2)×4×2＝4；【拓展應(yīng)用】S△BOF＝8.【解法提示】如解圖，連接CF，∵四邊形ABCD和四邊形CGFE都是正方形，∴∠BDC＝∠FCD＝45°，∴BD∥CF，∵BC＝CD＝AD＝4，∴S△BDF＝S△BCD＝eq\f(1,2)BC·CD＝eq\f(1,2)×4×4＝8.第1題解圖類型二新定義類閱讀理解例2(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠CAF＝∠ACB＝∠B＝60°，AC＝BC.又∵BE＝AF，∴△BCE≌△ACF(SAS)，∴∠BEC＝∠AFC，∵∠BEC＋∠AEC＝180°，∴∠AFC＋∠AEC＝180°，∴四邊形AECF為對角互補四邊形；(2)證明：如解圖①，延長CB至點M，使得BM＝CD，連接AM，∵∠ADC＋∠ABC＝180°，∠ABM＋∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠ABM，∵AD＝AB，∴△CAD≌△MAB(SAS)，∴∠CAD＝∠MAB，AC＝AM，∴∠CAM＝∠MAB＋∠CAB＝∠CAD＋∠CAB＝∠BAD＝60°，∴△ACM為等邊三角形，∴CA＝CM＝CB＋BM＝CB＋CD；例2題解圖①(3)解：如解圖②，過點C作CN⊥AD于點N，CM⊥BA交BA的延長線于點M，CM與AD交于點H.∵四邊形AECF為對角互補四邊形，∴∠AEC＋∠AFC＝∠CFN＋∠AFC＝180°，∴∠CFN＝∠AEC，又∵∠M＝∠CNF＝90°，∴△CFN∽△CEM，∴eq\f(CF,CE)＝eq\f(CN,CM).∵S?ABCD＝AB·CM＝AD·CN，AD＝3AB，∴CM＝3CN，∴eq\f(CF,CE)＝eq\f(CN,CM)＝eq\f(1,3)，∴CE＝3CF＝9.例2題解圖②針對演練2.解：(1)①12；【解法提示】點A、B的“相關(guān)矩形”的周長為(2＋4)×2＝12.②∵點C在直線x＝4上，且點A、C的“相關(guān)矩形”為正方形，∴點C的坐標為(4，2)或(4，－2)．設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b，當直線AC經(jīng)過點A(2，0)，C(4，2)時，將(2，0)和(4，2)代入y＝kx＋b中，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝0,4k＋b＝2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1,b＝－2))，∴直線AC的解析式為y＝x－2；當直線AC經(jīng)過點A(2，0)，C(4，－2)時，將(2，0)和(4，－2)代入y＝kx＋b中，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝0,4k＋b＝－2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝2))，∴直線AC的解析式為y＝－x＋2；綜上所述，直線AC的解析式為y＝x－2或y＝－x＋2；(2)－24<k<－6.【解法提示】與點P，Q的“相關(guān)矩形”的四個頂點坐標分別為(3，－2)，(6，－2)，(3，－4)，(6，－4)，當函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象經(jīng)過點(3，－2)時，此時k最大，k＝3×(－2)＝－6，當函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象經(jīng)過點(6，－4)時，此時k最小，k＝6×(－4)＝－24.若使函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象與點P、Q的“相關(guān)矩形”有兩個公共點，則－24<k<－6.類型三數(shù)學(xué)文化類閱讀理解例3(1)解：補全證明過程如下：∵四邊形AFGH為正方形，∴AH＝AF＝eq\f(\r(5)－1,2).∴eq\f(AH,AB)＝eq\f(\r(5)－1,2).∴點H是線段AB的黃金分割點；(2)證明：∵四邊形ACDE為正方形，∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE，又∵點C為線段AB的黃金分割點，∴eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，∴eq\f(DC,AB)＝eq\f(BC,AE)，∴△EAB∽△BCD；(3)證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴AB＝AE＝DE，∠BAE＝∠AED＝eq\f(（5－2）×180°,5)＝108°，∴∠ABE＝∠AEB＝∠ADE＝36°，∴∠DEM＝∠AED－∠AEB＝108°－36°＝72°，∴∠DME＝180°－36°－72°＝72°，∴DM＝DE＝AE，∵∠DAE＝∠EAM，∠ADE＝∠AEM＝36°，∴△AME∽△AED，∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(AM,AE)，∴eq\f(DM,AD)＝eq\f(AM,MD)，∴點M是AD的黃金分割點．針對演練3.解：(1)a2＋b2＝c2(直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方)，證明如下：∵如解圖①是由直角邊長分別