課后強化作業

一、選擇題

1.已知曲線/=1/一2上一點41，一|）,則過點P的切線的傾斜角為（）

A.30°

B.45°

C.135°

D.165°

［答案］B

［解析］???尸%-2,

'1

2x+△x92—

X?△x+~

=lim---------

ALOAX

.?.點《1，一習處切線的斜率為1,則切線的傾斜角為45°.故選B.

2.如果曲線y=F（x）在點（劉，f（加））處的切線方程為x+2廣-3=0,那么（）

A.f（Ab）＞0

B.f（ADXO

C.f（旗）=0

D.f（加）不存在

［答案］B

［解析］切線x+2y—3=0的斜率仁一；，即/（加=一90.故選B.

3.下列說法正確的是（）

A.若￡（場）不存在，則曲線y=f（x）在點（施，『（揚））處就沒有切線

B.若曲線y=f（x）在點（加，丹域）處有切線，則/（施）必存在

C.若F（加不存在，則曲線尸/"（X）在點（施，H*。））處的切線斜率不存在

D.若曲線y=F（x）在點（x。，“劉））處的切線斜率不存在，則曲線在該點處就沒有切線

［答案］C

［解析］根據導數的幾何意義可知，曲線在某點處的切線斜率為該點的導數，因此C

正確.故選C.

4.（2010?新課標全國卷文，4）曲線尸2x+l在點（1,0）處的切線方程為（）

A.y=x—\

B.y=~x~l

C.y=2x—2

D.y=~2x~2

［答案］A

［解析］本題考查了導數的幾何意義，切線方程的求法，在解題時應首先驗證點是否在

曲線上，然后通過求導得出切線的斜率，題目定位于簡單題.

由題可知，點（1,0）在曲線—2x+l上，求導可得了=3/-2,所以在點（1,0）處

的切線的斜率4=1,切線過點（1,0）,根據直線的點斜式可得過點（1,0）的曲線尸f―2*+

1的切線方程為y=x-l,故選A.

5.曲線尸:在點A1,1）處的切線方程是（）

A.x+y+2=0

B.x+y—2=0

C.y_l=_］（Ll）

1/、

D.y—l=Rx—l）

［答案］B

1-Ax

1+AA--1

1+Ax

［解析］斜率a=!現=lim———=-l.

A,r-0AA-0

所以切線方程為y—1=—1X（/—1）.故選B.

f—f—9v

6.設F（x）為可導函數，且滿足！-----z-----------=-1,則過曲線尸Ax）上

-2LOLX

點（1,Hl））處的切線斜率為（）

A.2

B.-1

C.1

D.—2

［答案］B

［解析］根據導數的定義知/（1）=一1.故選B.

7.已知曲線y=2a*+i過點（正，3）,則該曲線在該點的切線方程是（）

A.y=-4%—1

B.尸4xT

C.y=4x+8

D.尸4x或尸4x—4

［答案］B

［解析］由3=2a（F）?+l得a=l或8=一1（舍）.

又V|E=4,所以切線方程為y—3=4（x—1）,即y=4x—1.故選B.

4

8.（2010?遼寧文，12）已知點P在曲線上，。為曲線在點〃處的切線的傾斜

e十1

角，則。的取值范圍是（）

A.［0,—）

B.嚀,y）

C.（f,攀1

3n、

D.r［―,Ji）

［答案］D

［解析］考查導數的幾何意義、均值不等式及三角不等式

,4e

4e4e4

/.tan%=

7+~e'2+23+1e*+C+2

e

\'e>0：.e+\22（當且僅當x=0時取等號）

e

/.，+二+224,

e

4/

：.0<——:——WL

笛+一:+2

e

；?-l^tana<0,

?.?aG[0,n),

r3、

/.aG[-n,JI).

故選D.

9.+1的圖象與直線尸x相切，則a=()

1

8-

1

A.-

BC.4

1

2-

D.1

［答案］B

［解析］/=2ax,設切點為(xo,㈤，則2axo=L

._±

?"L2目

?切點在直線y=x上，???丹=/

代入尸a9+1得上=±+1

/.a=；.故選B.

10.曲線y=V+x—2在點汽處的切線平行于直線y=4x—1,則點R的坐標是()

A.(1,0)

B.(-1,-4)

C.(1,0)或(一1,-4)

D.(0,1)或(4,1)

［答案］C

［解析］設入(新，㈤，

"/、,.f刖+XX—fXo??,

則F(加=!段內=3癡2+1=4,

所以旅=土1.因此R(1,O)或(-1,-4).故選C.

二、填空題

11.曲線y=f—3x在點尸處的切線平行于x軸，則點夕的坐標為.

［答案］修T)

［解析］""y'=2x—3,令y'=0,得x=5，

q

代入曲線方程y=f-3x得y=--

12.拋物線尸f在點一處的切線平行于直線y=4x-5,則點尸的坐標為

［答案］⑵4)

［解析］Lin,/=lim葉-T=2x,

Ax-oAXALOAX

令2x=4,；.x=2,即在點⑵4)處的切線平行于直線y=4x—5.

13.曲線/1(x)：/在點A處的切線的斜率為3,則該曲線在點A處的切線方程為

［答案］3x—y—2=0或3*—y+2=0

［解析］設點/(劉，笳，貝!1。=/(h)=3總=3.

??Ab—±1.

...切點的坐標為(1,1)或(一1,-1).

...所求的切線方程為y-l=3(x—1)或＞+l=3(x+l),即3x—y—2=0或3x—y+2=

14.過點P(—1,2)且與曲線y=3/-4x+2在點M(l,1)處的切線平行的直線方程是

［答案］2x-y+4=0

［解析］y'=6x—4,

.?./0=2.所求直線的斜率為2,所以所求直線的方程為y—2=2(x+l),即2x-y

+4=0.

三、解答題

15.已知曲線y=2f上的點(1,2),求過該點且與過該點的切線垂直的直線方程.

f+Ax—f

［解析］因為產(D=lim----------=4,

△A-0△X

所以過點(1,2)的切線的斜率為4.

設過點(1,2)與過該點的切線垂直的直線的斜率為4,則44=—1,-

所以所求直線方程為y-2=—"(xT)，

即x+4y-9=0.

16.求曲線在點(3,27)處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積.

［解析］因為，(3)=lim—-------=27,

AX-0△X

所以在點(3,27)處的切線方程為y—27=27(入-3),

即尸27x-54.

此切線與x軸、y軸的交點分別為(2,0),(0,-54),

所以切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為S=：X2X54=54.

17.試求過點Ml,1)且與曲線相切的直線方程.

△yx+Ax'+1-f—1

［解析］

Ax△x

3xx2+3X2AX+*

=3xAx+3x+(Ax)l

lim-^-=3x,因此yr=3/

ALO△X

設過（1,1）點的切線與y=H+i相切于點火施，第+i）,據導數的幾何意義，函數在點

P處的切線的斜率為"=3言①，過（1,1）點的切線的斜率4=②,由①=②得，3'=

8照一:1

用I,解之得照=0或加所以4=0或4=?,因此尸f+l過點欣1,1）的切線方程

照—1N4

有兩條，分別為7-1=7（*-1）和p=l,即27才一49—23=0和尸L

18.已知曲線y=f—l與y=f+l在照點的切線互相垂直，求胸的值.

［解析］函數y=x-l在加處