【標(biāo)題】第二章函數(shù)的概念與性質(zhì)第一節(jié)函數(shù)的概念及其表示1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域.2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用.3.通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.1.函數(shù)的概念與表示（1）函數(shù)的概念?（2）函數(shù)的表示法：表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法；（3）同一個(gè)函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).提醒若兩函數(shù)的值域與對應(yīng)關(guān)系相同，則兩函數(shù)不一定相同，如：y＝x2（x≥0）與y＝x2.2.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).提醒分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）函數(shù)y＝1與y＝x0是同一個(gè)函數(shù). （）（2）對于函數(shù)f：A→B，其值域是集合B. （）（3）f（x）＝x-3＋2-x是一個(gè)函數(shù).（4）若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù). （）答案：（1）×（2）×（3）×（4）×2.已知函數(shù)f（x）＝x2-x,x≤1,11-xA.－1 B.1C.－15 D.解析：A因?yàn)椋?≤1，所以f（－1）＝（－1）2－（－1）＝2，因?yàn)閒（－1）＝2＞1，所以f（f（－1））＝f（2）＝11-23.（2022·北京高考）函數(shù)f（x）＝1x＋1-x的定義域是解析：因?yàn)閒（x）＝1x＋1-x，所以x≠0，1－x≥0，解得x∈（－∞，0）∪（0，答案：（－∞，0）∪（0，1]4.已知函數(shù)f（x＋1）＝x2，則f（x）＝.

解析：令x＋1＝t，則x＝t－1，f（t）＝（t－1）2＝t2－2t＋1，所以f（x）＝x2－2x＋1.答案：x2－2x＋15.已知函數(shù)f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)?

解析：由f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，得f（1）＝－1，f（2）＝1，f（3）＝3，f（4）＝5，f（5）＝7，所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)閧－1，1，3，5，7}.答案：{－1，1，3，5，7}1.直線x＝a（a是常數(shù)）與函數(shù)y＝f（x）的圖象有0個(gè)或1個(gè)交點(diǎn).2.分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集.1.（多選）下列所給圖象是函數(shù)圖象的是 （）解析：CD由結(jié)論1知，題圖A、B均不是函數(shù)圖象，C、D是函數(shù)圖象.2.定義在R上的函數(shù)f（x）＝1,x∈Q解析：根據(jù)結(jié)論2知答案為{0，1}.答案：{0，1}函數(shù)的概念及應(yīng)用1.下列對應(yīng)關(guān)系或關(guān)系式中是從A到B的函數(shù)的是 （）A.A?R，B?R，x2＋y2＝1B.A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，f：x→y＝｜x｜＋1C.A＝R，B＝R，f：x→y＝1D.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2解析：B對于A，x2＋y2＝1可化為y＝±1-x2，顯然對任意x∈A（x＝±1除外），y值不唯一，故不符合函數(shù)的定義；對于B，符合函數(shù)的定義；對于C，當(dāng)x＝2時(shí)，對應(yīng)關(guān)系無意義，故不符合函數(shù)的定義；對于D，當(dāng)x＝－1時(shí)，在集合B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù)2.（多選）下列各圖中，可能是函數(shù)圖象的是 （）解析：ACDB選項(xiàng)，x＞0時(shí)有兩個(gè)y值與之對應(yīng)，不是函數(shù)圖象，故B錯(cuò)誤；其他選項(xiàng)中的圖象中的x均有唯一確定的y值與之對應(yīng).故選A、C、D.3.（多選）下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是 （）A.y＝|x|x與B.y＝(x-1)2與C.y＝(x)2xD.y＝x3+xx解析：CD對于A，函數(shù)y＝|x|x的定義域?yàn)閧x｜x≠0}，函數(shù)y＝1的定義域?yàn)镽，兩函數(shù)定義域不同，A錯(cuò)誤；對于B，函數(shù)y＝(x-1)2的定義域?yàn)镽，化簡可得y＝｜x－1｜，與y＝x－1解析式不同，B錯(cuò)誤；對于C，函數(shù)y＝(x)2x的定義域?yàn)閧x｜x＞0}，函數(shù)y＝x(x)2的定義域?yàn)閧x｜x＞0}，化簡均為y＝1（x＞0），C正確；對于D，函數(shù)y＝x｜練后悟通｜一個(gè)對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)，主要從以下三個(gè)方面去判斷：（1）A，B必須是非空數(shù)集；（2）A中任何一個(gè)元素在B中必須有元素與之對應(yīng)；（3）A中任何一個(gè)元素在B中的對應(yīng)元素必須唯一.函數(shù)的定義域【例1】（1）（2023·武漢模擬）函數(shù)f（x）＝1ln(x+1)＋4A.[－2，0）∪（0，2] B.（－1，0）∪（0，2]C.[－2，2] D.（－1，2]（2）（2023·西安檢測）已知函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)閇－8，1]，則函數(shù)g（x）＝f(2xA.（－∞，－2）∪（－2，3]B.（－8，－2）∪（－2，1]C.-92,-2∪（－D.-解析（1）要使函數(shù)有意義，則需x+1>0,x+1≠1,4-x2≥0,解得－1＜x≤2且x≠0，所以x∈（－（2）∵f（x）的定義域?yàn)閇－8，1]，∴-8≤2x+1≤1,x+2≠0,解得－92≤x≤0，且x≠－2.∴g（x）的定義域?yàn)榇鸢福?）B（2）C｜解題技法｜1.求給定函數(shù)解析式的定義域（1）求給定函數(shù)解析式的定義域轉(zhuǎn)化為使解析式有意義的不等式（組）求解；（2）當(dāng)函數(shù)解析式較復(fù)雜時(shí)，要先確定全部限制條件，依次列出不等式或不等式組，再分別求出每個(gè)不等式的解集，最后求出這些集合的交集即為函數(shù)的定義域.2.求抽象函數(shù)定義域的方法1.函數(shù)f（x）＝-x2+3x+4A.（0，1）∪（1，4] B.（0，4]C.（0，1） D.（0，1）∪[4，＋∞）解析：A函數(shù)f（x）＝-x2+3x+4lnx中，令-x2+3x+4≥0,x>0,lnx≠0,得x2-3x-4≤0,x>0,x≠1,解得2.如果函數(shù)f（x）＝ln（－2x＋a）的定義域?yàn)椋ǎ蓿?），那么實(shí)數(shù)a的值為 （）A.－2 B.－1C.1 D.2解析：D因?yàn)椋?x＋a＞0，所以x＜a2，所以a2＝1，所以a＝函數(shù)的解析式【例2】求下列函數(shù)的解析式：（1）已知f（1－sinx）＝cos2x，求f（x）的解析式；（2）已知fx+1x＝x2＋1x2（3）已知f（x）是一次函數(shù)且3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）的解析式；（4）已知f（x）滿足2f（x）＋f（－x）＝3x，求f（x）的解析式.解（1）（換元法）設(shè)1－sinx＝t，t∈[0，2]，則sinx＝1－t，∵f（1－sinx）＝cos2x＝1－sin2x，∴f（t）＝1－（1－t）2＝2t－t2，t∈[0，2].即f（x）＝2x－x2，x∈[0，2].（2）（配湊法）∵fx+1x＝x2＋1x2∴f（x）＝x2－2，x∈（－∞，－2]∪[2，＋∞）.（3）（待定系數(shù)法）∵f（x）是一次函數(shù)，可設(shè)f（x）＝ax＋b（a≠0），∴3[a（x＋1）＋b]－2[a（x－1）＋b]＝2x＋17.即ax＋（5a＋b）＝2x＋17，∴a=2,∴f（x）＝2x＋7.（4）（方程組法）∵2f（x）＋f（－x）＝3x，①∴將x用－x替換，得2f（－x）＋f（x）＝－3x，②由①②解得f（x）＝3x.｜解題技法｜求函數(shù)解析式的4種方法1.（2023·廣東模擬）已知f（x＋1）＝x＋2x，則f（x）＝ （）A.x2－1（x≥0）B.x＋1（x≥1）C.x2－1（x≥1） D.x－1（x≥0）解析：C已知f（x＋1）＝x＋2x，則f（x＋1）＝（x）2＋2x＋1－1＝（x＋1）2－1，令t＝x＋1（t≥1），∴f（t）＝t2－1（t≥1），∴f（x）＝x2－1（x≥1）.2.設(shè)函數(shù)f（x）是單調(diào)遞增的一次函數(shù)，滿足f（f（x））＝16x＋5，則f（x）＝ （）A.－4x－53 B.4x－C.4x－1 D.4x＋1解析：D∵f（x）為單調(diào)遞增的一次函數(shù)，∴設(shè)f（x）＝ax＋b，a＞0，故f（f（x））＝a（ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，∴a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1或a＝－4，b＝－53（不合題意，舍去）.因此f（x）＝4x＋1.故選D分段函數(shù)考向1分段函數(shù)求值【例3】已知函數(shù)f（x）＝x+1x-2,x>2,A.－12 B.C.4 D.11解析因?yàn)閒（1）＝12＋2＝3，所以f（f（1））＝f（3）＝3＋13-2＝4.答案C｜解題技法｜求分段函數(shù)函數(shù)值的方法先確定要求值的自變量的取值屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值.當(dāng)出現(xiàn)f（f（a））的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.考向2分段函數(shù)與方程、不等式問題【例4】（1）已知函數(shù)f（x）＝2x,x>0,x+1,x≤0,若f（a）＋fA.－3 B.－1C.1 D.3（2）設(shè)函數(shù)f（x）＝x+1,x≤0,x2,x>0,則滿足f（xA.-∞,B.-∞,-34C.-∞,14D.-∞,54解析（1）因?yàn)閒（1）＝2，所以f（a）＝－2?a≤0,a+1=-2或a>0,（2）因?yàn)閒（x）＝x+1,x≤0,x2,x>0,當(dāng)x－1＞0，即x＞1時(shí)，不等式f（x－1）＜14可化為（x－1）2＜14，解得12＜x＜32，則1＜x＜32；當(dāng)x－1≤0，即x≤1時(shí)，不等式f（x－1）＜14可化為x－1＋1＜14，即x＜14，則x＜14.答案（1）A（2）C｜解題技法｜1.已知分段函數(shù)的函數(shù)值，求自變量的值的方法：先假設(shè)自變量的值在分段函數(shù)定義域的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要檢驗(yàn).2.在分段函數(shù)的前提下，求某條件下自變量的取值范圍的方法：先假設(shè)自變量的值在分段函數(shù)定義域的各段上，然后求出在相應(yīng)各段定義域上自變量的取值范圍，再求它們的并集即可.提醒當(dāng)分段函數(shù)的自變量范圍不確定時(shí)，應(yīng)分類討論.1.已知函數(shù)f（x）＝2x+1,x<1,f(xA.2 B.9C.65 D.513解析：A因?yàn)閒（x）＝2x+1,x<1,f(x-3),x≥1,所以f（9）＝f（6）＝f（3）＝f（02.已知函數(shù)f（x）＝log2x,x>0,|x-1|,解析：當(dāng)a＞0時(shí)，f（a）＝log2a＝2，所以a＝4；當(dāng)a≤0時(shí)，f（a）＝｜a－1｜＝1－a＝2，所以a＝－1.所以實(shí)數(shù)a的值為4或－1.答案：4或－13.設(shè)函數(shù)f（x）＝12x-1,x≥0,1x,x解析：當(dāng)a≥0時(shí)，f（a）＝12a－1，由f（a）＞a，解得a＜－2，矛盾；當(dāng)a＜0時(shí)，f（a）＝1a，由f（a）＞a，解得a＜－1.所以a的取值范圍為（－∞，－答案：（－∞，－1）1.（2023·重慶模擬）函數(shù)f（x）＝3-xlgx的定義域是A.（0，3）B.（0，1）∪（1，3）C.（0，3] D.（0，1）∪（1，3]解析：D∵f（x）＝3-xlgx，∴3-x≥0,lgx≠0,x>0,解得0＜x＜1或1＜x≤2.若函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)镸＝{x｜－2≤x≤2}，值域?yàn)镹＝{y｜0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f（x）的圖象可能是 （）解析：BA中函數(shù)定義域不是[－2，2]；C中圖象不表示函數(shù)；D中函數(shù)值域不是[0，2].3.下列各組函數(shù)中是同一個(gè)函數(shù)的是 （）A.y＝x與y＝xB.y＝x2+xx+1與y＝xC.y＝x（x≥0）與y＝xD.y＝｜x＋1｜＋｜x｜與y＝2x＋1解析：B對于A，y＝x的定義域?yàn)镽，y＝x2x的定義域?yàn)閧x｜x≠0}，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故A不正確；對于B，y＝x2+xx+1的定義域?yàn)閧x｜x≠－1}，且y＝x2+xx+1＝x，兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，所以是同一個(gè)函數(shù)，故B正確；對于C，y＝x（x≥0），而y＝x2＝｜x｜的定義域?yàn)镽，定義域不同，對應(yīng)關(guān)系也不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故C不正確；對于D，y＝｜x＋1｜＋｜x｜與y＝2x4.（2022·北京高考）已知函數(shù)f（x）＝11+2x，則對任意實(shí)數(shù)x，有 A.f（－x）＋f（x）＝0 B.f（－x）－f（x）＝0C.f（－x）＋f（x）＝1 D.f（－x）－f（x）＝1解析：C函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（－x）＝11+2-x＝2x1+2x，所以f（－x）＋f（x）＝25.已知f1+xx＝x2+1x2＋1x，則fA.（x＋1）2（x≠1） B.（x－1）2（x≠1）C.x2－x＋1（x≠1） D.x2＋x＋1（x≠1）解析：Cf1+xx＝x2+1x2＋1x＝x+1x2－x+1x＋1，令x+1x＝t（t≠1），則f（t）＝t2－t＋1（t≠1），即f6.已知函數(shù)f（x）＝x+3,x≤0,x,x>0,若f（a－3）＝f（a＋A.2 B.2C.1 D.0解析：B由已知得函數(shù)f（x）在區(qū)間（－∞，0]和（0，＋∞）上分別是單調(diào)遞增的，且a－3＜a＋2，又f（a－3）＝f（a＋2），所以a＝a+2，解得a＝2，故f（a）＝f（2）＝2，選B7.（多選）已知函數(shù)f（x）＝log3(A.f（5）＝1 B.f（f（5））＝1C.f（3）＝9 D.f（f（3））＝log37解析：AB根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝log3(x-2),x>2,3x-1,x≤2.對于A，f（5）＝log3（5－2）＝log33＝1，A正確；對于B，f（f（5））＝f（1）＝30＝1，B正確；對于C，f（3）＝log3（3－2）＝log31＝0，C錯(cuò)誤；對于D，f（f（3））＝8.（多選）下列函數(shù)中，滿足f（18x）＝18f（x）的是（）A.f（x）＝｜x｜ B.f（x）＝x－｜x｜C.f（x）＝x＋2 D.f（x）＝－2x解析：ABD若f（x）＝｜x｜，則f（18x）＝｜18x｜＝18｜x｜＝18f（x）；若f（x）＝x－｜x｜，則f（18x）＝18x－｜18x｜＝18（x－｜x｜）＝18f（x）；若f（x）＝x＋2，則f（18x）＝18x＋2，而18f（x）＝18x＋18×2，故f（x）＝x＋2不滿足f（18x）＝18f（x）；若f（x）＝－2x，則f（18x）＝－2×18x＝18×（－2x）＝18f（x）.故選A、B、D.9.（多選）中國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年翻譯《代微積拾級(jí)》中首次將“function”譯做“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”.1930年美國人給出了我們課本中所學(xué)的集合論的函數(shù)定義.已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，給出下列四個(gè)對應(yīng)法則，請由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是 （）A.y＝2x B.y＝x＋2C.y＝2｜x｜ D.y＝x2解析：CD在A中，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝8?N，故A錯(cuò)誤；在B中，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3?N，故B錯(cuò)誤；在C中，任取x∈M，總有y＝2｜x｜∈N，故C正確；在D中，任取x∈M，總有y＝x2∈N，故D正確.故選C、D.10.若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[－1，2]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式為.

解析：由題圖可知，當(dāng)－1≤x＜0時(shí)，f（x）＝x＋1；當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f（x）＝－12x，所以f（x）＝答案：f（x）＝x11.設(shè)函數(shù)f（x）＝2x,x≤0,|log2x|,x解析：由題意知，若x≤0，則2x＝12，解得x＝－1；若x＞0，則｜log2x｜＝12，解得x＝212或x＝2-12，故所求x的集合為{－答案：{－1，2，2212.已知函數(shù)f（x）滿足f1x＋1xf（－x）＝2x（x≠0），則f（－2）＝，f12＝解析：令x＝2，可得f12＋12f（－2）＝4，①.令x＝－12，可得f（－2）－2f12＝－1，②.聯(lián)立①②解得f（－2）＝72，答案：7213.已知f12x-1＝2x－5，且f（a）＝6，則a＝A.－74 B.C.43 D.－解析：B令t＝12x－1，則x＝2t＋2，所以f（t）＝2（2t＋2）－5＝4t－1，所以f（a）＝4a－1＝6，即a＝714.已知函數(shù)f（x）＝log2x,0<x<4,fA.1 B.2C.log26 D.3解析：A因?yàn)?≥4，所以f（6）＝f（6－2）＝f（4），因?yàn)?≥4，所以f（4）＝f（4－2）＝f（2），而2∈（0，4），故f（6）＝f（2）＝log22＝1，故選A.15.已知函數(shù)f（x）＝x1-2x，則函數(shù)f(A.（－∞，1）B.（－∞，－1）C.（－∞，－1）∪（－1，0）D.（－∞，－1）∪（－1，1）解析：D令1－2x＞0，即2x＜1，即x＜0.∴f（x）的定義域?yàn)椋ǎ蓿?）.∴函數(shù)f(x-1)x+1中，有x-1<0,x+1≠0,解得x＜1且x≠－1.故函數(shù)16.已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并沿同一路線（假定為直線）行駛.甲車、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙（如圖所示）.那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷一定正確的是 （）A.在t0，t1時(shí)刻，甲車均在乙車前面B.t1時(shí)刻后，甲車在乙車后面C.在t0時(shí)刻，兩車的位置相同D.t0時(shí)刻后，乙車在甲車前面解析：A由圖象可知，曲線v甲比v乙在0～t0，0～t1與x軸所圍成圖形的面積大，則在t0，t1時(shí)刻，甲車均在乙車前面.17.已知函數(shù)f（x）＝log2x,x>1,x2-1,x≤1,A.（－1，＋∞） B.（－1，1）C.-12,+解析：C當(dāng)x≤0時(shí)，x＋1≤1，f（x）＜f（x＋1）等價(jià)于x2－1＜（x＋1）2－1，解得－12＜x≤0；當(dāng)0＜x≤1時(shí)，x＋1＞1，此時(shí)f（x）＝x2－1≤0，f（x＋1）＝log2（x＋1）＞0，∴0＜x≤1時(shí)，恒有f（x）＜f（x＋1）；當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜f（x＋1）?log2x＜log2（x＋1）恒成立，綜上知，不等式f（x）＜f（x＋1）的解集為-18.已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞），值域?yàn)镽，則下列結(jié)論一定正確的是 （）A.函數(shù)f（x2＋1）的定義域?yàn)镽B.函數(shù)f（x2＋2）－1的值域?yàn)镽C.函數(shù)fex+1D.函數(shù)f（f（x））的定義域和值域都是R解析：C對于選項(xiàng)A，令x2＋1＞1，可得x≠0，所以函數(shù)f（x2＋1）的定義域?yàn)閧x｜x≠0}，故選項(xiàng)A不正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)閒（x）的值域?yàn)镽，x2＋2≥2，所以f（x2＋2）的值域不確定，所以函數(shù)f（x2＋2）－1的值域不確定，故選項(xiàng)B不一定正確；對于選項(xiàng)C，因?yàn)閑x+1ex＞1恒成立，所以函數(shù)fex+1ex的定義域?yàn)镽，函數(shù)fex+1ex的值域?yàn)镽，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，若函數(shù)f（f（x））的值域是R，則f19.（多選）設(shè)函數(shù)f（x）＝1-x,x≤a,2x,x>a,若fA.－1 B.0C.1 D.2解析：AB若a＜0，則f（0）＝1，f（1）＝2，f（1）＝2f（0）成立；若0≤a＜1，則f（0）＝1，f（1）＝2，f（1）＝2f（0）成立；若a≥1，則f（0）＝1，f（1）＝0，f（1）＝2f（0）不成立.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（－∞，1），由選項(xiàng)可知，實(shí)數(shù)a可以為－1，0，故選A、B.20.（多選）具有性質(zhì)f1x＝－f（x）的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù).下列函數(shù)滿足“倒負(fù)”變換的是 （A.y＝x－1x B.y＝x＋C.y＝x(0<x<1),0(x=1解析：ACD對于A，f1x＝1x－x＝－f（x），滿足“倒負(fù)”變換；對于B，f1x＝1x＋x≠－f（x），不滿足“倒負(fù)”變換；對于C，f1x＝-x(0<x<1),0(x=1),1x(x>1),滿足f1x＝－f（x），滿足“倒負(fù)”變換；對于D，f1x＝－1x21.（多選）已知函數(shù)f（x）＝x+2,x≤-1,A.f（x）的定義域是RB.f（x）的值域是（－∞，5）C.若f（x）＝3，則x的值為2D.f（x）的圖象與y＝2有兩個(gè)交點(diǎn)解析：BC由函數(shù)f（x）＝x+2,x≤-1,x2+1,-1<x<2知，定義域?yàn)椋ǎ蓿?]∪（－1，2），即（－∞，2），A錯(cuò)誤；x≤－1時(shí)，f（x）＝x＋2∈（－∞，1]，－1＜x＜2時(shí)，x2∈（0，4），故f（x）＝x2＋1∈（1，5），故值域?yàn)椋ǎ蓿?），B正確；由分段函數(shù)的取值可知f（x）＝3時(shí)x∈（－1，2），即f（x）＝x2＋1＝3，解得x＝2或x＝－2（舍去），故C正確；由分段函數(shù)的取值可知f（x）＝2時(shí)x∈（－1，2），即f（x）＝x2＋1＝2，解得x＝1或x＝－1（舍去），故f（x）的圖象與y＝22.已知f（x）是二次函數(shù)且滿足f（0）＝1，f（x＋1）－f（x）＝2x，則函數(shù)f（x）的解析式為.

解析：由題意，設(shè)f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），因?yàn)閒（0）＝1，即c＝1，所以f（x）＝ax2＋bx＋1，所以f（x＋1）－f（x）＝[a（x＋1）2＋b（x＋1）＋1]－（ax2＋bx＋1）＝2ax＋a＋b＝2x，從而有2a=2,a+b=0,解得a=1,b=答案：f（x）＝x2－x＋123.已知函數(shù)f（x）＝3x-1ax2+ax-解析：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝3x-1ax2+ax-3的定義域是R，所以ax2＋ax－3≠0對任意實(shí)數(shù)x都成立.當(dāng)a＝0時(shí)，顯然成立；當(dāng)a≠0時(shí)，需Δ＝a2＋12a＜0，解得－12＜a＜0.綜上所述答案：（－12，0]24.已知函數(shù)f（x）＝2x-1,x≥1,3-2x,x<1,則滿足不等式f（解析：由題意，函數(shù)f（x）＝2x-1,x≥1,3-2x,x<1,可得f（2）＝2，f（f（2））＝2，所以由不等式f（a＋1）≥f（f（2）），可得f（a＋1）≥2，則a+1≥1,2a≥2或答案：-∞,-12∪[1，＋第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值1.借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值.2.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值的作用和實(shí)際意義.1.函數(shù)的單調(diào)性（1）增函數(shù)和減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)定義要求x1，x2一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，區(qū)間I?D，如果?x1，x2∈I，當(dāng)x1＜x2時(shí)要求f（x1）與f（x2）都有f（x1）＜f（x2）都有f（x1）＞f（x2）結(jié)論函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是增函數(shù)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的（2）單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間I叫做y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件①?x∈D，都有f（x）≤M；②?x0∈D，使得f（x0）＝M①?x∈D，都有f（x）≥M；②?x0∈D，使得f（x0）＝M結(jié)論M是函數(shù)y＝f（x）的最大值M是函數(shù)y＝f（x）的最小值1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2]和（2，3）上均單調(diào)遞增，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞增. （）（2）函數(shù)y＝1x的單調(diào)遞減區(qū)間是（－∞，0）∪（0，＋∞）. （（3）對于函數(shù)y＝f（x），若f（1）＜f（3），則f（x）為增函數(shù). （）答案：（1）×（2）×（3）×2.（2021·全國甲卷）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為 （）A.f（x）＝－xB.f（x）＝2C.f（x）＝x2 D.f（x）＝3解析：D取x1＝－1，x2＝0，對于A項(xiàng)有f（x1）＝1，f（x2）＝0，所以A項(xiàng)不符合題意；對于B項(xiàng)有f（x1）＝32，f（x2）＝1，所以B項(xiàng)不符合題意；對于C項(xiàng)有f（x1）＝1，f（x2）＝0，所以C項(xiàng)不符合題意.故選D3.函數(shù)y＝1x-1在[2，3]上的最小值為 A.2 B.1C.13 D.－解析：B因?yàn)閥＝1x-1在[2，3]上單調(diào)遞減，所以ymin＝13-14.函數(shù)y＝x2+2x-解析：由題意知，要使函數(shù)y＝x2+2x-24有意義，則x2＋2x－24≥0，解得x≤－6或x≥4，易知y＝x2＋2x－24在（－∞，－6]上單調(diào)遞減，在[4，＋∞）上單調(diào)遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)y＝x2+2答案：（－∞，－6]5.若函數(shù)y＝（2k＋1）x＋b在R上是減函數(shù)，則k的取值范圍是.

解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝（2k＋1）x＋b在R上是減函數(shù)，所以2k＋1＜0，即k＜－12答案：-∞,-1.若函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間I上具有單調(diào)性，則在區(qū)間I上具有以下性質(zhì)：（1）當(dāng)f（x），g（x）都是增（減）函數(shù)時(shí)，f（x）＋g（x）是增（減）函數(shù)；（2）若k＞0，則kf（x）與f（x）單調(diào)性相同；若k＜0，則kf（x）與f（x）單調(diào)性相反；（3）函數(shù)y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定義域內(nèi)與y＝－f（x），y＝1f2.函數(shù)單調(diào)性的兩個(gè)等價(jià)結(jié)論設(shè)?x1，x2∈D（x1≠x2），則：（1）f(x1)-f(x2)x1-x2＞0（或（x1－x2）[f（x1）－（2）f(x1)-f(x2)x1-x2＜0（或（x1－x2）[f（x1）－1.（多選）若函數(shù)f（x），g（x）在給定的區(qū)間上具有單調(diào)性，下列說法正確的是 （）A.函數(shù)f（x）與f（x）－c（c為常數(shù)）具有相同的單調(diào)性B.函數(shù)f（x）與c·f（x）具有相同的單調(diào)性C.若f（x）≠0，則函數(shù)f（x）與－1fD.若函數(shù)f（x），g（x）都是減函數(shù)，則f（x）＋g（x）是減函數(shù)解析：AD對于A，根據(jù)圖象進(jìn)行上下平移單調(diào)性不變，可知命題正確；由結(jié)論1可知選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤，D正確，故選A、D.2.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)a，b∈[0，＋∞），總有f(a)-f(b)a-b＞0，則滿足f（2x－3解析：由結(jié)論2知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，＋∞）上單調(diào)遞增，又函數(shù)為偶函數(shù)，則在（－∞，0]上單調(diào)遞減，故f（2x－3）＜f（1）即｜2x－3｜＜1，解得1＜x＜2，故實(shí)數(shù)x的取值范圍是（1，2）.答案：（1，2）確定函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）考向1判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【例1】用定義法證明函數(shù)f（x）＝x2－1x在（0，＋∞證明任取x1，x2∈（0，＋∞），不妨設(shè)x1＜x2.由f（x1）－f（x2）＝x12-1x1－x22-1x2＝（x12－x22）＋1x2-1x1＝（因?yàn)?＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1＋x2＋1x1x則（x1－x2）·x1+x所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增.｜解題技法｜定義法證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟提醒判斷函數(shù)的單調(diào)性還有圖象法、導(dǎo)數(shù)法、性質(zhì)法等.考向2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】求函數(shù)f（x）＝－x2＋2｜x｜＋1的單調(diào)區(qū)間.解f（x）＝-＝-(畫出函數(shù)圖象如圖所示，可知單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，－1]和[0，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為（－1，0）和（1，＋∞）.｜解題技法｜確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法1.下列函數(shù)在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞減的是 （）A.f（x）＝lnx B.f（x）＝e－xC.f（x）＝x D.f（x）＝－1解析：B對于A，f（x）＝lnx為對數(shù)函數(shù)，其底數(shù)e＞1，在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞增，不符合題意；對于B，f（x）＝e－x為指數(shù)函數(shù)，其底數(shù)1e＜1，在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞減，符合題意；對于C，f（x）＝x為冪函數(shù)，其指數(shù)12＞0，在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞增，不符合題意；對于D，f（x）＝－1x＝-1x為反比例函數(shù)，在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞增，2.函數(shù)f（x）＝ln（x2－2x－8）的單調(diào)遞增區(qū)間是 （）A.（－∞，－2） B.（－∞，1）C.（1，＋∞） D.（4，＋∞）解析：D由x2－2x－8＞0，得f（x）的定義域?yàn)閧x｜x＜－2或x＞4}.設(shè)t＝x2－2x－8，則y＝lnt為增函數(shù).要求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t＝x2－2x－8的單調(diào)遞增區(qū)間（定義域內(nèi)）.∵函數(shù)t＝x2－2x－8在區(qū)間（4，＋∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（－∞，－2）上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（4，＋∞）.故選D.3.能使“函數(shù)f（x）＝x｜x－1｜在區(qū)間I上不是單調(diào)函數(shù)，且在區(qū)間I上的函數(shù)值的集合為[0，2]”是真命題的一個(gè)區(qū)間I為.

解析：當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）＝x（x－1）＝x2－x；當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）＝x（1－x）＝－x2＋x，∴f（x）在-∞,12，（1，＋∞）上單調(diào)遞增，在12,1上單調(diào)遞減.令f（x）＝0，解得x＝1或x＝0；令f（x）＝2，解得x＝2，∴只需I＝[a，2]，0≤a＜1或I＝（b，2]，0≤b＜1時(shí)，f（x）在I上不單調(diào)且函數(shù)值的集合為[答案：12函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考向1利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小【例3】設(shè)f（x）的定義域?yàn)镽，圖象關(guān)于y軸對稱，且f（x）在[0，＋∞）上為增函數(shù)，則f（－2），f（－π），f（3）的大小順序是 （）A.f（－π）＜f（－2）＜f（3）B.f（－2）＜f（3）＜f（－π）C.f（－π）＜f（3）＜f（－2）D.f（3）＜f（－2）＜f（－π）解析∵f（x）的定義域?yàn)镽，圖象關(guān)于y軸對稱，∴f（x）是偶函數(shù)，∴f（－2）＝f（2），f（－π）＝f（π），又f（x）在[0，＋∞）上為增函數(shù)，且2＜3＜π，∴f（2）＜f（3）＜f（π），∴f（－2）＜f（3）＜f（－π）.故選B.答案B｜解題技法｜利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小的方法比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，則要利用函數(shù)的性質(zhì)，將自變量的值轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較，或采用插值法比較大小.考向2利用單調(diào)性解不等式【例4】已知函數(shù)f（x）＝lnx＋2x，若f（x2－4）＜2，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

解析因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝lnx＋2x在定義域（0，＋∞）上單調(diào)遞增，且f（1）＝ln1＋2＝2，所以由f（x2－4）＜2得，f（x2－4）＜f（1），所以0＜x2－4＜1，解得－5＜x＜－2或2＜x＜5.答案（－5，－2）∪（2，5）｜解題技法｜考向3由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的值（范圍）【例5】已知函數(shù)f（x）＝e｜x－a｜（a為常數(shù)），若f（x）在區(qū)間[1，＋∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析令t＝｜x－a｜，∴y＝et，t＝｜x－a｜在（－∞，a）上單調(diào)遞減，在[a，＋∞）上單調(diào)遞增.又y＝et為增函數(shù)，∴f（x）＝e｜x－a｜在（－∞，a）上單調(diào)遞減，在[a，＋∞）上單調(diào)遞增，∴a≤1.答案（－∞，1]｜解題技法｜利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的方法（1）根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程（組）（不等式（組））或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解；（2）對于分段函數(shù)，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值.1.若函數(shù)f（x）＝｜2x＋a｜的單調(diào)遞增區(qū)間是[3，＋∞），則a的值為 （）A.－2 B.2C.－6 D.6解析：C易知函數(shù)f（x）＝｜2x＋a｜的單調(diào)增區(qū)間是-a2,+∞，令－a2＝32.已知函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，A（0，－1），B（3，1）是其圖象上的兩點(diǎn)，那么｜f（x＋1）｜＜1的解集為（）A.（－1，2）B.（1，4）C.（－∞，－1）∪[4，＋∞）D.（－∞，－1]∪[2，＋∞）解析：A由題意可知，f（0）＝－1，f（3）＝1，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是R上的增函數(shù)，所以由｜f（x＋1）｜＜1得－1＜f（x＋1）＜1，即f（0）＜f（x＋1）＜f（3），因此0＜x＋1＜3，解得－1＜x＜2，即｜f（x＋1）｜＜1的解集為（－1，2）.故選A.函數(shù)的值域（最值）【例6】（1）函數(shù)f（x）＝1x,x（2）函數(shù)y＝x＋x-1的最小值為解析（1）法一（圖象法）：作出函數(shù)f（x）＝1x,x≥1,-x2+2,x<1的圖象（如圖所示），f（x）max＝f（0）＝2.由函數(shù)圖象可知法二（單調(diào)性法）：當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)f（x）＝1x為減函數(shù)，所以f（x）在x＝1處取得最大值，為f（1）＝1；當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）＝－x2＋2在（－∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f（x）＝－x2＋2在x＝0處取得最大值，為f（0）＝2.故函數(shù)f（x）的最大值為2.所以f（x）的值域?yàn)椋ǎ蓿?]（2）法一（換元法）：令t＝x-1，且t≥0，則x＝t2＋1，所以原函數(shù)變?yōu)閥＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝t+122＋34，又因?yàn)閠≥0，所以y≥14＋34＝1，法二（單調(diào)性法）：因?yàn)楹瘮?shù)y＝x和y＝x-1在定義域內(nèi)均為增函數(shù)，故函數(shù)y＝x＋x-1在[1，＋∞）上為增函數(shù)，所以y答案（1）（－∞，2]（2）1｜解題技法｜1.求函數(shù)值域（最值）的三種基本方法（1）單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求值域（最值）；（2）圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出值域（最值）；（3）基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出值域（最值）.2.對于較復(fù)雜函數(shù)，可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出值域（最值）.1.已知1≤x≤5，則下列函數(shù)中，最小值為4的是（）A.y＝4x＋1x B.y＝x＋C.y＝－x2＋2x＋3 D.y＝5＋lnx－1解析：D函數(shù)y＝4x＋1x在[1，5]上單調(diào)遞增，所以4x＋1x≥5，A不符合題意；因?yàn)閤≥1，所以y＝x＋4x+1＝x＋1＋4x+1－1≥4－1＝3（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)），故其最小值不為4，B不符合題意；y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，其最大值為4（當(dāng)x＝1時(shí)取得），最小值是f（5）＝－12，C不符合題意.易知函數(shù)y＝5＋lnx－1x在（0，＋∞）上是增函數(shù)，所以在區(qū)間[1，5]上也是增函數(shù)，其最小值為f（1）＝5＋ln1－2.函數(shù)y＝1-x21+解析：因?yàn)閥＝1-x21+x2＝－1＋21+x2，又因?yàn)?＋x2≥1，所以0＜21+x2≤2，所以－1＜－1＋答案：（－1，1\〗1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞減的是（）A.y＝1x－xB.y＝x2－C.y＝lnx－x D.y＝ex解析：A當(dāng)x∈（0，＋∞）時(shí)，y＝1x與y＝－x均單調(diào)遞減，∴y＝1x－x在（0，＋∞）2.函數(shù)f（x）＝x1-x在 A.（－∞，1）∪（1，＋∞）上是增函數(shù)B.（－∞，1）∪（1，＋∞）上是減函數(shù)C.（－∞，1）和（1，＋∞）上是增函數(shù)D.（－∞，1）和（1，＋∞）上是減函數(shù)解析：C函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x｜x≠1}.f（x）＝x1-x＝11-x－1，根據(jù)函數(shù)y＝－1x的單調(diào)性及有關(guān)性質(zhì)，可知f（x）在（－∞，1）和3.已知函數(shù)f（x）＝lgx＋2x，f（m）＝1，且0＜p＜m＜n，則 （）A.f（n）＜1且f（p）＞1B.f（n）＞1且f（p）＞1C.f（n）＞1且f（p）＜1D.f（n）＜1且f（p）＜1解析：C易知函數(shù)y＝lgx與y＝2x都是（0，＋∞）上的增函數(shù)，∴函數(shù)f（x）＝lgx＋2x是（0，＋∞）上的增函數(shù)，∵0＜p＜m＜n，且f（m）＝1，∴f（p）＜f（m）＝1＜f（n）.4.函數(shù)y＝2-xx+1，x∈（m，n]的最小值為0，則m的取值范圍是A.（1，2） B.（－1，2）C.[1，2） D.[－1，2）解析：D∵函數(shù)y＝2-xx+1＝3-x-1x+1＝3x+1－1，∴當(dāng)x∈（－1，＋∞）時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，又當(dāng)x＝2時(shí)，y5.設(shè)max{a，b}＝a,a≥b,b,a<b,則函數(shù)f（x）＝max{x2－A.[－1，0]，12,+∞ B.（－∞C.-∞,-12，[0，1] D.-12,解析：D由x2－x＝1－x2得，2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－12，當(dāng)x≥1或x≤－12時(shí)，f（x）＝max{x2－x，1－x2}＝x2－x，此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，＋∞）；當(dāng)－12＜x＜1時(shí)，f（x）＝max{x2－x，1－x2}＝1－x2，此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為-12,0.綜上所述，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為6.已知函數(shù)f（x）＝x｜x｜，若f（a＋1）≥f（2a－1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （）A.（－∞，1] B.（－∞，2]C.[2，6] D.[2，＋∞）解析：B由題意得f（x）＝x2,x≥0,-x2,x<0,則函數(shù)f（x）在定義域（－∞，＋∞）上是增函數(shù)，∵f（a＋1）≥f（2a－1），∴a＋1≥2a－1，解得a7.（多選）下列函數(shù)中，滿足“?x1，x2∈（0，＋∞），f(x1)-f(xA.f（x）＝5x＋1 B.f（x）＝－3x＋1C.f（x）＝x2＋4x＋3 D.f（x）＝2解析：BD?x1，x2∈（0，＋∞），f(x1)-f(x2)x1-x2＜0，即當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，f（x1）＞f（x2），故f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減.由一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)知，B8.（多選）（2023·德州質(zhì)檢）函數(shù)f（x）＝(2a-1)x+8a-A.13＜a＜12 B.14≤C.13≤a≤12 D.13≤解析：AD若函數(shù)f（x）＝(2a-1)x+8a-2,x即13≤a＜12，故當(dāng)13＜a＜12或13≤a＜38時(shí)，f（x）在（－∞，＋∞）上單調(diào)遞減9.（多選）已知函數(shù)f（x）滿足f1x＝2x+1x+1，則關(guān)于函數(shù)f（xA.f（x）的定義域?yàn)閧x｜x≠－1}B.f（x）的值域?yàn)閧y｜y≠1，且y≠2}C.f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減D.不等式f（x）＞2的解集為（－1，0）解析：BCD由于f1x＝2x+1x+1＝2+1x1+1x，故f（x）＝2+xx+1＝1＋1x+1（x≠0且x≠－1），所以f（x）的定義域?yàn)閧x｜x≠－1，且x≠0}，作出其圖象（圖象略），由圖象知，f（x）的值域?yàn)閧y｜y≠1，且y≠2}；f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減；f（x10.寫出一個(gè)符合“對任意x1，x2∈R，當(dāng)x1≠x2時(shí)，（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0”的函數(shù).

解析：設(shè)x1＞x2，則x1－x2＞0.由（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]＞0，得f（x1）－f（x2）＞0，所以函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù).所以函數(shù)f（x）＝x，f（x）＝ex等都滿足.答案：f（x）＝x（答案不唯一）11.函數(shù)f（x）＝1x2-2解析：由題意，令x2－2x≠0，解得x≠0且x≠2，所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（0，2）∪（2，＋∞）.又因?yàn)楹瘮?shù)y＝x2－2x在（－∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）＝1x2-2x的單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，0），（答案：（－∞，0），（0，1]12.已知函數(shù)f（x）＝x+2x-3,x≥1,lg(x2+1),x解析：∵f（－3）＝lg[（－3）2＋1]＝lg10＝1，∴f[f（－3）]＝f（1）＝0.當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）＝x＋2x－3≥22－3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)f（x）min＝22－3＜0；當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）＝lg（x2＋1）≥lg1＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)f（x）min＝0.∴函數(shù)f（x）的最小值為22－3答案：022－313.（多選）已知函數(shù)f（x）＝x－ax（a≠0），下列說法正確的是 （A.當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在定義域上單調(diào)遞增B.當(dāng)a＝－4時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，－2），（2，＋∞）C.當(dāng)a＝－4時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋ǎ蓿?]∪[4，＋∞）D.當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）的值域?yàn)镽解析：BCD當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）＝x－ax，定義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（0，＋∞）.f（x）在（－∞，0）和（0，＋∞）上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝x－1x，當(dāng)x→－∞時(shí)，f（x）→－∞，x→0－時(shí)，f（x）→＋∞；當(dāng)x→0＋時(shí)，f（x）→－∞，x→＋∞時(shí)，f（x）→＋∞；當(dāng)x＝±1時(shí)，f（x）＝0.∴f（x）的值域?yàn)镽，故D正確；當(dāng)a＝－4時(shí)，f（x）＝x＋4x，由其圖象（圖略）可知，B、14.（多選）已知函數(shù)f（x）＝-x,x<0,A.存在x0＞0，使得f（x0）＝－x0B.存在x0＜0，使得f（x0）＝xC.函數(shù)f（－x）與f（x）的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性相同D.若f（x1）＝f（x2）且x1≠x2，則x1＋x2≤0解析：BC若x0＞0，則f（x0）＝x02＝－x0，無解，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；若x0＜0，則f（x0）＝－x0＝x02，解得x0＝－1，所以選項(xiàng)B正確；由題意可知，函數(shù)f（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)f（－x）＝-(-x),-x<0,(-x)2,-x>0＝x,x>0,x2,x<0,則函數(shù)f（－x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)C正確；f（x1）＝f（x2），x1≠x2，不妨設(shè)x1＜0，則x2＞0，所以－x1＝x22，即x1＝－x22，則x1＋x2＝x2－x22＝x2（1－x2），當(dāng)0＜x2＜115.設(shè)函數(shù)f（x）＝-x2+4x,x≤4,log2x,x>4.解析：函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，由圖象可知f（x）在（a，a＋1）上單調(diào)遞增，需滿足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.答案：（－∞，1]∪[4，＋∞）16.已知f（x）＝xx-a（x（1）若a＝－2，試證明f（x）在（－∞，－2）上單調(diào)遞增；（2）若a＞0且f（x）在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.解：（1）證明：當(dāng)a＝－2時(shí)，f（x）＝xx設(shè)x1＜x2＜－2，則f（x1）－f（x2）＝x1x1+2－因?yàn)椋▁1＋2）（x2＋2）＞0，x1－x2＜0，所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（－∞，－2）上單調(diào)遞增.（2）設(shè)1＜x1＜x2，則f（x1）－f（x2）＝x1x1-a因?yàn)閍＞0，x2－x1＞0，所以要使f（x1）－f（x2）＞0，只需（x1－a）（x2－a）＞0恒成立，所以a≤1.綜上所述，a的取值范圍是（0，1].17.已知函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)镽，對任意x1，x2且x1≠x2，都有f(x1)-fA.y＝f（x）＋x是增函數(shù)B.y＝f（x）＋x是減函數(shù)C.y＝f（x）是增函數(shù)D.y＝f（x）是減函數(shù)解析：A不妨令x1＜x2，∴x1－x2＜0，由f(x1)-f(x2)x1-x2＞－1?f（x1）－f（x2）＜－（x1－x2）?f（x1）＋x1＜f（x2）＋x2，令g（x）＝f（x）＋x，∴g（x1）＜g（x2），又x1＜18.已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋1，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞－1.（1）求f（0）的值，并證明f（x）在R上是增函數(shù)；（2）若f（1）＝1，解關(guān)于x的不等式f（x2＋2x）＋f（1－x）＞4.解：（1）令x＝y(tǒng)＝0，得f（0）＝－1.在R上任取x1＞x2，則x1－x2＞0，所以f（x1－x2）＞－1.又f（x1）＝f[（x1－x2）＋x2]＝f（x1－x2）＋f（x2）＋1＞f（x2），所以函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù).（2）由f（1）＝1，得f（2）＝3，f（3）＝5.由f（x2＋2x）＋f（1－x）＞4得f（x2＋x＋1）＞f（3），因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在R上是增函數(shù)，所以x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，故原不等式的解集為{x｜x＜－2或x＞1}.第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義.2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性.3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性.1.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D且f（－x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)且f（－x）＝－f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)圖象特征關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱提醒函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件.2.函數(shù)的周期性（1）周期函數(shù)：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對每一個(gè)x∈D，都有x＋T∈D，且f（x＋T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期；（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)f（x）的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）函數(shù)y＝x2在x∈（0，＋∞）上是偶函數(shù). （）（2）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則一定有f（0）＝0.（）（3）若T是函數(shù)的一個(gè)周期，則nT（n∈Z，n≠0）也是函數(shù)的周期. （）答案：（1）×（2）×（3）√2.已知f（x）＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數(shù)，則a＋b＝ （）A.－13B.13C.12解析：B∵f（x）＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數(shù)，∴a－1＋2a＝0，∴a＝13.又f（－x）＝f（x），∴b＝0，∴a＋b＝13.（多選）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是 （）A.y＝x2sinx B.y＝x2cosxC.y＝ln｜x｜ D.y＝2－x解析：BC根據(jù)偶函數(shù)的定義知偶函數(shù)滿足f（－x）＝f（x），且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，A選項(xiàng)為奇函數(shù)；B選項(xiàng)為偶函數(shù)；C選項(xiàng)為偶函數(shù)；D選項(xiàng)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).4.已知f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x－1，則f（－4）＝.

解析：f（－4）＝－f（4）＝－（4－1）＝－1.答案：－15.已知函數(shù)f（x）滿足f（x＋3）＝f（x），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）＝x2＋4，則f（2024）＝.

解析：因?yàn)閒（x＋3）＝f（x），所以f（x）是以3為周期的周期函數(shù)，所以f（2024）＝f（674×3＋2）＝f（2）＝22＋4＝8.答案：81.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論（1）如果函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則一定有f（0）＝0；如果函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，那么f（x）＝f（｜x｜）；（2）奇函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.2.函數(shù)周期性常用結(jié)論對f（x）定義域內(nèi)任一自變量x：（1）若f（x＋a）＝－f（x），則T＝2a（a＞0）；（2）若f（x＋a）＝1f(x)，則T＝2a（（3）若f（x＋a）＝－1f(x)，則T＝2a（3.函數(shù)圖象的對稱性（1）若函數(shù)y＝f（x＋a）是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝a對稱；（2）若函數(shù)y＝f（x＋b）是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（b，0）中心對稱；（3）若對于R上的任意x都有f（2a－x）＝f（x）或f（－x）＝f（2a＋x）或f（a＋x）＝f（a－x），則y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.1.已知函數(shù)f（x）＝kx＋b（k≠0），則“f（0）＝0”是“函數(shù)f（x）為奇函數(shù)”的 （）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：C由f（0）＝0，所以b＝0，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為奇函數(shù)，且f（x）＝kx＋b（k≠0）的定義域?yàn)镽，由結(jié)論1知，f（0）＝0.所以“f（0）＝0”是“函數(shù)f（x）為奇函數(shù)”的充要條件.故選C.2.已知函數(shù)f（x＋1）是偶函數(shù)，當(dāng)1＜x1＜x2時(shí)，[f（x1）－f（x2）]（x1－x2）＞0恒成立，設(shè)a＝f-12，b＝f（2），c＝f（3），則a，b，c的大小關(guān)系為 （A.b＜a＜c B.c＜b＜aC.b＜c＜a D.a＜b＜c解析：A由結(jié)論3知，函數(shù)f（x）關(guān)于直線x＝1對稱，當(dāng)1＜x1＜x2時(shí)，[f（x1）－f（x2）]（x1－x2）＞0，則f（x2）＞f（x1），∴函數(shù)f（x）為（1，＋∞）上的增函數(shù)，∴a＝f-12＝f1-32＝f1+32＝f52，∵3＞52＞2＞1，因此，3.已知定義在R上的函數(shù)滿足f（x＋2）＝－1f(x)，當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）＝2x－1，則f（9解析：由結(jié)論2知T＝4，f（9）＝f（1）＝1.答案：1函數(shù)的奇偶性考向1函數(shù)奇偶性的判斷【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）＝x3－1x（2）f（x）＝x2-1（3）f（x）＝36-（4）f（x）＝x解（1）原函數(shù)的定義域?yàn)閧x｜x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對稱，并且對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都有f（－x）＝（－x）3－1-x＝－x3-1從而函數(shù)f（x）為奇函數(shù).（2）f（x）的定義域?yàn)閧－1，1}，關(guān)于原點(diǎn)對稱.又f（－1）＝f（1）＝0，f（－1）＝－f（1）＝0，所以f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).（3）由f（x）＝36-x2|x+3|-3，可知36-x2≥0,|x+3|-3≠0?-6≤x≤6,x≠0且x≠（4）法一（圖象法）：畫出函數(shù)f（x）＝x2+x,x<0,x2-x,x法二（定義法）：易知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（0，＋∞），關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x2－x，則當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，故f（－x）＝x2＋x＝f（x）；當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝x2＋x，則當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，故f（－x）＝x2－x＝f（x），故原函數(shù)是偶函數(shù).法三：f（x）還可以寫成f（x）＝x2－｜x｜（x≠0），故f（x）為偶函數(shù).｜解題技法｜函數(shù)奇偶性的判斷方法（1）定義法（2）圖象法（3）性質(zhì)法：設(shè)f（x），g（x）的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.提醒對函數(shù)奇偶性的判斷，不能用特殊值法，如存在x0使f（－x0）＝－f（x0），不能判定函數(shù)f（x）是奇函數(shù).考向2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【例2】（1）已知函數(shù)f（x）＝x（2x＋a×2－x）（x∈R），若f（x）是偶函數(shù)，則記a＝m，若f（x）是奇函數(shù)，則記a＝n，則m＋2n＝ （）A.0 B.1C.2 D.－1（2）設(shè)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝ex－1，則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝.

解析（1）當(dāng)f（x）是偶函數(shù)時(shí)，f（x）＝f（－x），即x（2x＋a×2－x）＝－x（2－x＋a×2x），即（1＋a）·（2x＋2－x）x＝0，因?yàn)樯鲜綄θ我鈱?shí)數(shù)x都成立，所以a＝－1，即m＝－1；當(dāng)f（x）是奇函數(shù)時(shí)，f（－x）＝－f（x），即－x（2－x＋a×2x）＝－x（2x＋a×2－x），即（1－a）（2x－2－x）x＝0，因?yàn)樯鲜綄θ我鈱?shí)數(shù)x都成立，所以a＝1，即n＝1，所以m＋2n＝1.（2）當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝ex－1，∴f（－x）＝e－x－1.又∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（x）＝－f（－x）＝－e－x＋1.答案（1）B（2）－e－x＋1｜解題技法｜函數(shù)奇偶性的應(yīng)用類型及解題策略（1）求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f（x）的方程（組），從而得到f（x）的解析式；（2）求函數(shù)值：將待求函數(shù)值利用函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上的函數(shù)值求解；（3）求參數(shù)值：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f（x）±f（－x）＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性，進(jìn)而得出參數(shù)的值.對于在x＝0處有定義的奇函數(shù)f（x），可考慮列等式f（0）＝0求解.1.函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[－1，0]時(shí)，f（x）＝aex＋1＋1e，若f（1）＝1，則f（0）＝（A.e B.－eC.1e D.－解析：C因?yàn)閒（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，則f（－1）＝f（1），即ae＋1＋1e＝1，解得a＝－1，所以f（0）＝－1＋1＋1e＝1e2.已知函數(shù)f（x），g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，f（x）＋g（x）＝2·3x，則函數(shù)f（x）＝.

解析：因?yàn)閒（x）＋g（x）＝2·3x，所以f（－x）＋g（－x）＝2·3－x，又f（x），g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），所以f（－x）＋g（－x）＝f（x）－g（x）＝2·3－x，則f(x)+g(x)=2·3x,f(x)-g(x)=2·3-x,兩式相加得，2答案：3x＋3－x函數(shù)的周期性【例3】（1）（2021·全國甲卷）設(shè)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f（1＋x）＝f（－x）.若f-13＝13，則f5A.－53 B.－C.13 D.（2）設(shè)f（x）是定義在R上周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈（－1，1]時(shí)，f（x）＝x2+2x+m,-1<x<0,x,0≤x≤1,解析（1）因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（－x）＝－f（x）.又f（1＋x）＝f（－x），所以f（2＋x）＝f[1＋（1＋x）]＝f[－（1＋x）]＝－f（1＋x）＝－f（－x）＝f（x），所以函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，f53＝f53-2＝f-13（2）∵f（x）是定義在R上周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈（－1，1]時(shí)，f（x）＝x2+2x+m,-1<x<0,x,0≤x≤1,∴f32＝f-12＝-122＋2×-12答案（1）C（2）1｜解題技法｜函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用（1）判定：判斷函數(shù)的周期只需證明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題；（2）應(yīng)用：根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能.在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT（k∈Z且k≠0）也是函數(shù)的周期.1.定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿足f（x＋4）＝－f（x），且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）＝－3x＋1，則f（22）＝ （）A.8 B.2C.－2 D.－8解析：A∵f（x＋4）＝－f（x），∴f（x＋8）＝－f（x＋4）＝f（x），即函數(shù)f（x）的周期為8，∴f（22）＝f（2×8＋6）＝f（6）＝f（－2）＝－f（2）＝－（－32＋1）＝8，故選A.2.已知f（x）是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x＜2時(shí)，f（x）＝x3－x，則函數(shù)y＝f（x）的圖象在區(qū)間[0，4]上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 （）A.2 B.3C.4 D.5解析：D當(dāng)0≤x＜2時(shí)，令f（x）＝x3－x＝x（x2－1）＝0，所以y＝f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1＝0，x2＝1.當(dāng)2≤x＜4時(shí)，0≤x－2＜2，又f（x）的最小正周期為2，所以f（x－2）＝f（x），所以f（x）＝（x－2）（x－1）（x－3），所以當(dāng)2≤x＜4時(shí)，y＝f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3＝2，x4＝3.又f（4）＝f（2）＝f（0）＝0，綜上可知，共有5個(gè)交點(diǎn).函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用考向1函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性【例4】已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（2x＋1）既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，f（3）＝2，則f（2x－1）＜－2的解集為 （）A.{x｜x＜－2} B.{x｜x＜－3}C.{x｜x＜－1} D.{x｜x＜0}解析因?yàn)閒（2x＋1）是奇函數(shù)，所以f（－2x＋1）＝－f（2x＋1），令x＝1，則f（－1）＝－f（3），又f（3）＝2，所以f（－1）＝－2，由f（2x－1）＜－2，可得f（2x－1）＜f（－1）.令t＝2x＋1，則函數(shù)t＝2x＋1是R上的增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)f（t）是R上的增函數(shù)，即函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，所以2x－1＜－1，解得x＜0，所以f（2x－1）＜－2的解集為{x｜x＜0}，故選D.答案D｜解題技法｜綜合應(yīng)用奇偶性與單調(diào)性解題的技巧（1）比較函數(shù)值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；（2）對于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)變形為f（x1）＞f（x2）的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為x1＜x2（或x1＞x2）求解.考向2函數(shù)的奇偶性與周期性【例5】定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（2－x）＝f（x），且當(dāng)－1≤x＜0時(shí)，f（x）＝2x－1，則f（log220）＝（）A.14 B.C.－15 D.－解析依題意，知f（2＋x）＝f（－x）＝－f（x），則f（4＋x）＝f（x），所以f（x）是周期函數(shù)，且周期為4.又2＜log25＜3，則－1＜2－log25＜0，所以f（log220）＝f（2＋log25）＝f（log25－2）＝－f（2－log25）＝－（22-log25－答案B｜解題技法｜綜合應(yīng)用奇偶性與周期性解題的技巧（1）根據(jù)已知條件及相關(guān)函數(shù)的奇偶性推得函數(shù)的周期；（2）利用函數(shù)的周期性將自變量較大的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為自變量較小的函數(shù)值，直到自變量的值進(jìn)入已知解析式的區(qū)間內(nèi)或與已知的函數(shù)值相聯(lián)系，必要時(shí)可再次運(yùn)用奇偶性將自變量的符號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（3）代入已知的解析式求解即得要求的函數(shù)值.考向3函數(shù)的對稱性與周期性相結(jié)合【例6】（多選）已知f（x）的定義域?yàn)镽，其函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝－3對稱，且f（x＋3）＝f（x－3），若當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）＝4x＋2x－11，則下列結(jié)論正確的是 （）A.f（x）為偶函數(shù)B.f（x）在[－6，－3]上單調(diào)遞減C.f（x）關(guān)于x＝3對稱D.f（100）＝9解析f（x）的圖象關(guān)于x＝－3對稱，則f（－x）＝f（x－6），又f（x＋3）＝f（x－3），則f（x）的周期T＝6，∴f（－x）＝f（x－6）＝f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，故A正確；當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）＝4x＋2x－11單調(diào)遞增，∵T＝6，故f（x）在[－6，－3]上也單調(diào)遞增，故B不正確；f（x）關(guān)于x＝－3對稱且T＝6，∴f（x）關(guān)于x＝3對稱，故C正確；f（100）＝f（16×6＋4）＝f（4）＝f（－2）＝f（2）＝9，故D正確.答案ACD｜解題技法｜綜合應(yīng)用對稱性與周期性解題的技巧函數(shù)f（x）滿足的關(guān)系f（a＋x）＝f（b－x）表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)f（x）滿足的關(guān)系f（a＋x）＝f（b＋x）（a≠b）表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個(gè)關(guān)系時(shí)不要混淆.1.定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x－2）＝－f（x），且在[0，1]上是增函數(shù)，則有 （）A.f14＜f-14B.f-14＜f14C.f14＜f32＜D.f-14＜f32解析：B由題設(shè)知f（x）＝－f（x－2）＝f（2－x），所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱.又函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，函數(shù)f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，故f（x）在[－1，0]上也是增函數(shù).綜上，函數(shù)f（x）在[－1，1]上是增函數(shù)，在[1，3]上是減函數(shù).又f32＝f2-32＝f12，所以f-14＜f12.函數(shù)f（x）＝x（ex＋e－x）＋1在區(qū)間[－2，2]上的最大值與最小值分別為M，N，則M＋N＝ （）A.－2 B.0C.2 D.4解析：C依題意，令g（x）＝x（ex＋e－x），顯然函數(shù)g（x）的定義域?yàn)镽，則g（－x）＝－x（e－x＋ex）＝－g（x），即函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，因此，函數(shù)g（x）在區(qū)間[－2，2]上的最大值與最小值的和為0，而f（x）＝g（x）＋1，則有M＝g（x）max＋1，N＝g（x）min＋1，于是得M＋N＝g（x）max＋1＋g（x）min＋1＝2，所以M＋N＝2.3.（多選）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f（x＋1）與f（x－1）都是偶函數(shù)，則 （）A.f（x）是偶函數(shù) B.f（x）是奇函數(shù)C.f（x＋3）是偶函數(shù) D.f（x）＝f（x＋4）解析：CD∵f（x＋1）是偶函數(shù)，∴f（－x＋1）＝f（x＋1），從而f（－x）＝f（x＋2）.∵f（x－1）是偶函數(shù)，∴f（－x－1）＝f（x－1），從而f（－x）＝f（x－2）.∴f（x＋2）＝f（x－2），f（x＋4）＝f（x），∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù).∵f（－x－1）＝f（x－1），∴f（－x－1＋4）＝f（x－1＋4），即f（－x＋3）＝f（x＋3），∴f（x＋3）是偶函數(shù).取f（x）＝1＋sinπ2x，滿足f（x＋1）＝1＋cosπ2x是偶函數(shù)，f（x－1）＝1－cosπ2x是偶函數(shù)，此時(shí)f（x）是非奇非偶函數(shù)，排除A、B.故選C微專題2抽象函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用抽象函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，也是近幾年高考試題的熱點(diǎn)，抽象函數(shù)與函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性相結(jié)合的題目往往難度較大，綜合性強(qiáng)，本專題就抽象函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用予以講解.一、抽象函數(shù)奇偶性的判斷及應(yīng)用【例1】（1）（2021·新高考Ⅱ卷）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x＋2）為偶函數(shù)，f（2x＋1）為奇函數(shù)，則 （）A.f-12＝0B.f（－1C.f（2）＝0 D.f（4）＝0（2）已知函數(shù)f（x）滿足：f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）對任意的實(shí)數(shù)x，y恒成立，且f（1）≠f（2），求證：f（x）是偶函數(shù).（1）解析法一（通解）：∵f（x＋2）是偶函數(shù)，則f（－x＋2）＝f（x＋2）.令x＝1得f（1）＝f（3），又∵f（2x＋1）是奇函數(shù)，則f（－2x＋1）＝－f（2x＋1）.令x＝0得f（1）＝－f（1）可得f（1）＝0.令x＝1得f（－1）＝－f（3）＝－f（1）＝0.故選B.法二（優(yōu)解）：可構(gòu)造f（x）＝cosπ2(x-2答案B（2）證明令x＝y(tǒng)＝0，得f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），∴f（0）＝0或f（0）＝1.令y＝0，若f（0）＝0，則f（x＋0）＋f（x－0）＝2f（x）·f（0），得f（x）＝0，與f（1）≠f（2）矛盾，∴f（0）＝1.令x＝0，y＝x，則有f（0＋x）＋f（0－x）＝2f（0）·f（x），即f（－x）＝f（x），∴f（x）是偶函數(shù).點(diǎn)評判斷或證明抽象函數(shù)的奇偶性，需要利用已知條件找準(zhǔn)方向，巧妙賦值，配湊出f（－x）與f（x）的關(guān)系，再利用函數(shù)奇偶性的定義加以判斷.①奇偶性問題主要是函數(shù)的等價(jià)關(guān)系，對?x∈D，－x∈D，f（x）＋f（－x）＝0?f（x）為奇函數(shù)；f（x）－f（－x）＝0?f（x）為偶函數(shù)；②常賦值0，－1，1.已知定義在R上的函數(shù)f（x），對任意實(shí)數(shù)x有f（x＋5）＝－f（x）＋5，若函數(shù)f（x－1）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，f（－3）＝2，則f（2023）＝ （）A.5 B.－2C.1 D.2解析：D由函數(shù)y＝f（x－1）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱可知，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，故f（x）為偶函數(shù)，又由f（x＋5）＝－f（x）＋5，得f（x＋5＋5）＝－f（x＋5）＋5＝－[－f（x）＋5]＋5＝f（x），所以f（x）是周期為10的偶函數(shù).所以f（2023）＝f（3＋202×10）＝f（3）＝f（－3）＝2，故選D.二、抽象函數(shù)的周期性【例2】（2022·新高考Ⅱ卷）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，則∑k=122f（kA.－3 B.－2C.0 D.1解析因?yàn)閒（1）＝1，所以在f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y）中，令y＝1，得f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）·f（1），所以f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）①，所以f（x＋2）＋f（x）＝f（x＋1）②.由①②相加，得f（x＋2）＋f（x－1）＝0，故f（x＋3）＋f（x）＝0，所以f（x＋3）＝－f（x），所以f（x＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），所以函數(shù)f（x）的一個(gè)周期為6.在f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y）中，令x＝1，y＝0，得f（1）＋f（1）＝f（1）f（0），所以f（0）＝2.令x＝1，y＝1，得f（2）＋f（0）＝f（1）f（1），所以f（2）＝－1.由f（x＋3）＝－f（x），得f（3）＝－f（0）＝－2，f（4）＝－f（1）＝－1，f（5）＝－f（2）＝1，f（6）＝－f（3）＝2，所以f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根據(jù)函數(shù)的周期性知，∑k=122f（k）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝1－1－2－1＝－3，答案A點(diǎn)評應(yīng)用抽象函數(shù)周期性解題的一般思路：①利用賦值法，結(jié)合題設(shè)條件的結(jié)構(gòu)特征，由特殊到一般尋找該函數(shù)的普通規(guī)律，即求出該函數(shù)的變化周期；②利用函數(shù)的周期性，可將待求區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的相應(yīng)問題，進(jìn)而求解；③求出f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的每一個(gè)相關(guān)的函數(shù)值，再利用周期性求和.已知f（x）是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f（1）＜1，f（5）＝2a-3a+1A.（－1，4） B.（－2，0）C.（－1，0） D.（－1，2）解析：A∵f（x）是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù).∴f（5）＝f（－1）＝f（1）＜1.從而2a-3a+1＜1，解得－1三、抽象函數(shù)的對稱性【例3】函數(shù)y＝f（x）對任意x∈R都有f（x＋2）＝f（－x）成立，且函數(shù)y＝f（x－1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，則f（2023）＋f（2024）＋f（2025）＝ （）A.0 B.1C.2 D.3解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（x－1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，所以函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對稱，即f（－x）＝－f（x），又因?yàn)閒（x＋2）＝f（－x）