第06講基本不等式【學習目標】1.掌握基本不等式2.結合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值的問題．【基礎知識】一、幾個重要的不等式1.eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0，b>0)2.a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．3.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．4.ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．5.eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.二、算術平均數與幾何平均數設a>0，b>0，則a，b的算術平均數為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．三、利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則1.如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y時，x＋y有最小值2eq\r(p).(簡記：積定和最小)2.如果和x＋y是定值p，那么當且僅當x＝y時，xy有最大值eq\f(p2,4).(簡記：和定積最大)3.應用基本不等式時的三個關注點(1)一正數：指式子中的a，b均為正數.(2)二定值：只有ab為定值時才能應用基本不等式，因此有時需要構造定值.(3)三相等：即“=”必須成立，求出的定值才是要求的最值.4.在利用基本不等式求最值時，要根據式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數的形式，然后再利用基本不等式．湊配法求最值的基本技巧：①配湊系數；②配湊常數；③配湊分子；④配湊分母；=5\*GB3⑤配湊項數5.條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法；二是將條件靈活變形，利用常數“1”代換的方法構造和或積為常數的式子，然后利用基本不等式求最值．求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)型最值問題，常通過“1”來進行轉化，但不是所有的最值都可以通過基本不等式解決，有一些看似可以通過基本不等式解決的問題，由于條件的限制，等號不能夠成立，這時就不能用基本不等式來解決，而要借助于其他求值域的方法來解決．四、基本不等式的其他應用1.基本不等式除具有求最值的功能外，還具有將“和式”轉化為“積式”以及將“積式”轉化為“和式”的放縮功能，常用于比較數(式)的大小2.一般地，對含參的不等式求范圍問題通常采用分離變量轉化為恒成立問題，對于“恒成立”的不等式，一般的解題方法是先分離然后求函數的最值．另外，要記住幾個常見的有關不等式的等價命題：(1)a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解?a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解?a＜f(x)max.3.利用基本不等式證明不等式的策略從已證不等式和問題的已知條件出發，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最后轉化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用.4.構造不等式求范圍利用或ab≤將式子轉化為含ab或a+b的一元二次不等式，將ab，(a+b)作為整體解出范圍5．函數法求最值：若利用基本不等式時等號取不到，則無法利用基本不等式求最值，則可將要求的式子看成一個函數，利用函數的單調性求最值.6.利用基本不等式解決實際問題的步驟解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉化為數學問題，再利用數學知識(函數及不等式性質等)解決問題.用基本不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：(1)先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數.(2)建立相應的函數關系式，把實際問題抽象為函數的最大值或最小值問題.(3)在定義域內，求出函數的最大值或最小值.(4)正確寫出答案.【考點剖析】考點一：利用基本不等式判斷命題的真假例1．(2022學年江西省贛州市贛縣高一下學期開學考試)下列說法正確的為(

)A．B．函數的最小值為4C．若則最大值為1D．已知時，，當且僅當即時，取得最小值8考點二：利用基本不等式比較大小例2．(2022學年黑龍江省哈爾濱市高一上學期期中)若a＞0，b＞0，且a≠b，則(

)A．＜＜ B．＜＜C．＜＜ D．＜＜考點三：利用基本不等式求最值例3．(2022學年吉林省延邊州高一上學期期末)已知，則函數的最小值是(

)A． B． C．2 D．考點四：利用基本不等式求范圍例4．(2022學年湖北省黃石市有色第一中學高一上學期期中)設，，且，求的取值范圍考點五：利用基本不等式證明不等式例5．已知均為正實數，且滿足證明：(1)；(2)．考點六：利用基本不等式求解恒成立問題例6.已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，則實數m的取值范圍是()A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥8考點七：基本不等式在實際問題中的應用例7.(2022學年河北省唐縣第一中學高一下學期5月月考)冬奧會期間，冰墩墩成熱銷商品，一家冰墩墩生產公司為加大生產，計劃租地建造臨時倉庫儲存貨物，若記倉庫到車站的距離為(單位：)，經過市場調查了解到：每月土地占地費(單位：萬元)與成反比，每月庫存貨物費(單位：萬元)與成正比；若在距離車站處建倉庫，則與分別為萬元和萬元.記兩項費用之和為.(1)求關于的解析式；(2)這家公司應該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項費用之和最小？求出最小值．【真題演練】1．(2020-2021學年陜西省榆林市第十中學高一下學期期末)若，且，則的最大值為(

)A．4 B．2 C． D．2.(2022學年福建省三明第一中學高一上學期學段考)已知，，，則下列結論一定成立的是(

)A． B． C． D．3．(2022學年貴州省六盤水紅橋學校高一上學期期中)設x，y，z為正實數，滿足，則的最小值是()A．4 B．2 C． D．4.(2022學年安徽省阜陽市太和縣三校高一上學期期中聯考)下列命題中正確的是(

)A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，5.(2022學年甘肅省金昌市永昌縣高一上學期期末)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則對于，下列說法準確的是(

)A．取得最小值時a＝ B．最小值是5C．取得最小值時b＝ D．最小值是6.(2022學年安徽省宣城市涇縣中學高一上學期10月月考)某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量(單位時間內經過測量點的車輛數，單位：輛/時)與車流速度(假設車輛以相同速度行駛，單位：米/秒)，平均車長(單位：米)的值有關，其公式為.如果不限定車型，，則最大車流量為__________輛/時.7.(2022學年廣西河池市高一上學期八校聯考)已知，求證.8.(2022學年湖北省孝感市高一上學期期中聯考)已知且，求的最小值．【過關檢測】1.(2022學年四川省南充市白塔中學高一下學期月考)已知，，則的最小值為(

)A． B． C． D．2.(2022學年江西省豐城中學高一下學期入學考試)已知都是正實數，若，則的最小值為(

)A．2 B．4 C．6 D．83.(2022學年四川省內江市威遠中學校高一下學期階段性測試)當時，不等式恒成立，則實數a的取值范圍是(

)A． B． C． D．4.(2022學年河南省開封市高一上學期期末)已知，都是正數，則下列命題為真命題的是(

)A．如果積等于定值，那么當時，和有最大值B．如果和等于定值，那么當時，積有最小值C．如果積等于定值，那么當時，和有最小值D．如果和等于定值，那么當時，積有最大值5.(多選)(2022學年山東省棗莊市滕州市高一上學期期末)設正實數滿足，則(

)A．的最小值為B．的最小值為2C．的最大值為1D．的最小值為26.(多選)(2022學年湖北省部分高中聯考協作體高一上學期期中)有下列4個關于不等式的結論，其中正確的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7.(2022學年上海市延安中學高一上學期期中)已知，，，則在下列不等式①；②；③；④；⑤其中恒成立的是___________.(寫出所有正確命題的序號)8.已知，，，則的最小值為__．9.(2022學年湖北省十堰市車城高中高一上學期9月月考)(1)已知，，，求的最小值；(2)已知，求的最大值.10.(2022學年江蘇省南通市海安市高一上學期期末)為宣傳2022年北京冬奧會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙(記為矩形，如圖)上設計三個等高的宣傳欄(欄面分別為一個等腰三角形和兩個全等的直角梯形)，宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為.為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為.設直角梯形的高為.(1)當時，求海報紙的面積；(2)為節約成本，應如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少(即矩形的面積最小)？第06講基本不等式【學習目標】1.掌握基本不等式2.結合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值的問題．【基礎知識】一、幾個重要的不等式1.eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0，b>0)2.a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．3.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．4.ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．5.eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.二、算術平均數與幾何平均數設a>0，b>0，則a，b的算術平均數為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．三、利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則1.如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y時，x＋y有最小值2eq\r(p).(簡記：積定和最小)2.如果和x＋y是定值p，那么當且僅當x＝y時，xy有最大值eq\f(p2,4).(簡記：和定積最大)3.應用基本不等式時的三個關注點(1)一正數：指式子中的a，b均為正數.(2)二定值：只有ab為定值時才能應用基本不等式，因此有時需要構造定值.(3)三相等：即“=”必須成立，求出的定值才是要求的最值.4.在利用基本不等式求最值時，要根據式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數的形式，然后再利用基本不等式．湊配法求最值的基本技巧：①配湊系數；②配湊常數；③配湊分子；④配湊分母；=5\*GB3⑤配湊項數5.條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法；二是將條件靈活變形，利用常數“1”代換的方法構造和或積為常數的式子，然后利用基本不等式求最值．求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)型最值問題，常通過“1”來進行轉化，但不是所有的最值都可以通過基本不等式解決，有一些看似可以通過基本不等式解決的問題，由于條件的限制，等號不能夠成立，這時就不能用基本不等式來解決，而要借助于其他求值域的方法來解決．四、基本不等式的其他應用1.基本不等式除具有求最值的功能外，還具有將“和式”轉化為“積式”以及將“積式”轉化為“和式”的放縮功能，常用于比較數(式)的大小2.一般地，對含參的不等式求范圍問題通常采用分離變量轉化為恒成立問題，對于“恒成立”的不等式，一般的解題方法是先分離然后求函數的最值．另外，要記住幾個常見的有關不等式的等價命題：(1)a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解?a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解?a＜f(x)max.3.利用基本不等式證明不等式的策略從已證不等式和問題的已知條件出發，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最后轉化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用.4.構造不等式求范圍利用或ab≤將式子轉化為含ab或a+b的一元二次不等式，將ab，(a+b)作為整體解出范圍5．函數法求最值：若利用基本不等式時等號取不到，則無法利用基本不等式求最值，則可將要求的式子看成一個函數，利用函數的單調性求最值.6.利用基本不等式解決實際問題的步驟解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉化為數學問題，再利用數學知識(函數及不等式性質等)解決問題.用基本不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：(1)先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數.(2)建立相應的函數關系式，把實際問題抽象為函數的最大值或最小值問題.(3)在定義域內，求出函數的最大值或最小值.(4)正確寫出答案.【考點剖析】考點一：利用基本不等式判斷命題的真假例1．(2022學年江西省贛州市贛縣高一下學期開學考試)下列說法正確的為(

)A．B．函數的最小值為4C．若則最大值為1D．已知時，，當且僅當即時，取得最小值8答案:C解析：對于選項,只有當時，才滿足基本不等式的使用條件，則不正確；對于選項,，令，即在上單調遞增，則最小值為,則不正確；對于選項,，則正確；對于選項,當時，，當且僅當時，即，等號成立，則不正確.故選.考點二：利用基本不等式比較大小例2．(2022學年黑龍江省哈爾濱市高一上學期期中)若a＞0，b＞0，且a≠b，則(

)A．＜＜ B．＜＜C．＜＜ D．＜＜答案:B解析：∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而＝＞0，∴＜，故選B考點三：利用基本不等式求最值例3．(2022學年吉林省延邊州高一上學期期末)已知，則函數的最小值是(

)A． B． C．2 D．答案:D解析：由題設，，∴，當且僅當時等號成立，∴函數最小值為.故選D.考點四：利用基本不等式求范圍例4．(2022學年湖北省黃石市有色第一中學高一上學期期中)設，，且，求的取值范圍解析：由得：，又(當且僅當時取等號)，，解得：或(舍)，，即的取值范圍為考點五：利用基本不等式證明不等式例5．已知均為正實數，且滿足證明：(1)；(2)．解析：(1)均為正實數，則當且僅當時取“”，同理可得：，當且僅當，時等號成立，故當且僅當時取“”，又，故.(2)當且僅當時取“”，同理當且僅當時取“”，當且僅當時取“”．又由，可知．當且僅當時取“”．所以，故．當且僅當時取“”．考點六：利用基本不等式求解恒成立問題例6.已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，則實數m的取值范圍是()A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥8答案:A解析：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，∴(x+2y)()4≥4+28．(當，即x＝2y時取等號)，∵不等式m2+7m成立，∴m2+7m≤8，求得﹣8≤m≤1．故選A．考點七：基本不等式在實際問題中的應用例7.(2022學年河北省唐縣第一中學高一下學期5月月考)冬奧會期間，冰墩墩成熱銷商品，一家冰墩墩生產公司為加大生產，計劃租地建造臨時倉庫儲存貨物，若記倉庫到車站的距離為(單位：)，經過市場調查了解到：每月土地占地費(單位：萬元)與成反比，每月庫存貨物費(單位：萬元)與成正比；若在距離車站處建倉庫，則與分別為萬元和萬元.記兩項費用之和為.(1)求關于的解析式；(2)這家公司應該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項費用之和最小？求出最小值．解析：(1)∵每月土地占地費(單位：萬元)與成反比，∴可設，∵每月庫存貨物費(單位：萬元)與(4x+1)成正比，∴可設，又∵在距離車站5km處建倉庫時，與分別為12.5萬元和7萬元，∴，.∴∴.(2)當且僅當，即x＝6.5時等號成立，∴這家公司應該把倉庫建在距離車站6.5千米處，才能使兩項費用之和最小，最小值為19萬元．【真題演練】1．(2020-2021學年陜西省榆林市第十中學高一下學期期末)若，且，則的最大值為(

)A．4 B．2 C． D．答案:A解析：因為，且，所以，當且僅當時取等號；故選A2.(2022學年福建省三明第一中學高一上學期學段考)已知，，，則下列結論一定成立的是(

)A． B． C． D．答案:D解析：因為，，，所以，當且僅當時，取等號，故AB錯誤；，當且僅當時，取等號，故C錯誤；，當且僅當時，取等號，故D正確.故選D.3．(2022學年貴州省六盤水紅橋學校高一上學期期中)設x，y，z為正實數，滿足，則的最小值是()A．4 B．2 C． D．答案:A解析：由題設，，∴，又x，y，z為正實數，則，∴，當且僅當時等號成立.∴的最小值是4.4.(2022學年安徽省阜陽市太和縣三校高一上學期期中聯考)下列命題中正確的是(

)A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，答案:ABCD解析：A中，因為，由基本不等式可知成立；B中，因為，所以，所以，所以成立；C中，因為，由基本不等式可知成立；D中，因為，由基本不等式可得成立.故選ABCD5.(2022學年甘肅省金昌市永昌縣高一上學期期末)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則對于，下列說法準確的是(

)A．取得最小值時a＝ B．最小值是5C．取得最小值時b＝ D．最小值是答案:AD解析：，當且僅當，即時取等號.故AD正確，BC錯誤.故選AD.6.(2022學年安徽省宣城市涇縣中學高一上學期10月月考)某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量(單位時間內經過測量點的車輛數，單位：輛/時)與車流速度(假設車輛以相同速度行駛，單位：米/秒)，平均車長(單位：米)的值有關，其公式為.如果不限定車型，，則最大車流量為__________輛/時.答案:1900解析：當時，.當且僅當11米/秒時等號成立，此時車流量最大為1900輛/時.7.(2022學年廣西河池市高一上學期八校聯考)已知，求證.解析：∵，①，②，③①+②+③得；.∴(當且僅當等號成立).8.(2022學年湖北省孝感市高一上學期期中聯考)已知且，求的最小值．答案:17．解析：因為所以，當且僅當即時，等號成立，所以當且僅當時，取得最小值為17．【過關檢測】1.(2022學年四川省南充市白塔中學高一下學期月考)已知，，則的最小值為(

)A． B． C． D．答案:D解析：因為，，所以(當且僅當，即時取等號)，即的最小值為4.故選D.2.(2022學年江西省豐城中學高一下學期入學考試)已知都是正實數，若，則的最小值為(

)A．2 B．4 C．6 D．8答案:D解析：由可知(當且僅當時等號成立)(當且僅當時等號成立)(當且僅當時等號成立)以上三個不等式兩邊同時相乘，可得(當且僅當時等號成立)故選D3.(2022學年四川省內江市威遠中學校高一下學期階段性測試)當時，不等式恒成立，則實數a的取值范圍是(

)A． B． C． D．答案:D解析：當時，不等式恒成立，對均成立．由于，當且僅當時取等號，故的最小值等于3，，則實數a的取值范圍是．故選D．4.(2022學年河南省開封市高一上學期期末)已知，都是正數，則下列命題為真命題的是(

)A．如果積等于定值，那么當時，和有最大值B．如果和等于定值，那么當時，積有最小值C．如果積等于定值，那么當時，和有最小值D．如果和等于定值，那么當時，積有最大值答案:D解析：由題意知，，A：，則，當且僅當時取到等號，所以有最小值，故A錯誤；B：，則，當且僅當時取到等號，所以有最大值，故B錯誤；C：，則，當且僅當時取到等號，所以有最小值，故C錯誤；D：，則，有，當且僅當時取到等號，所以有最大值，故D正確；故選D5.(多選)(2022學年山東省棗莊市滕州市高一上學期期末)設正實數滿足，則(

)A．的最小值為B．的最小值為2C．的最大值為1D．的最小值為2答案:CD解析：對于選項，，當且僅當且時，即，時取等號，則錯誤；對于選項，,當且僅當時等號成立，則，即的最大值為2，則錯誤；對于選項，，即，當且僅當時