2023-2024學年度第二學期期中質量檢測八年級數學（試卷總分：120分，考試時間：120分鐘）一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1.下列二次根式是最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據最簡二次根式的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A、是最簡二次根式，故本選項正確，符合題意；B、，故本選項不是最簡二次根式，不符合題意；C、；故本選項不是最簡二次根式，不符合題意；D、，故本選項不是最簡二次根式，不符合題意；故選：A．【點睛】本題主要考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關鍵，注意：滿足下列兩個條件的二次根式叫最簡二次根式：①被開方數中的因數是整數，因式是整式，②被開方數中不含有能開得盡方的因數和因式．2.下列線段a，b，c組成的三角形中，能構成直角三角形的是（）A.a＝1，b＝2，c＝2 B.a＝2，b＝3，c＝4C.a＝3，b＝4，c＝6 D.a＝1，b＝1，c＝【答案】D【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理分別進行判斷，即可得出結論．【詳解】解：A、12+22=5≠22，此三條線段不能構成直角三角形，故此選項不符合題意；

B、22+32=13≠42，此三條線段不能構成直角三角形，故此選項不符合題意；

C、32+42=25≠62，此三條線段不能構成直角三角形，故此選項不符合題意；

D、12+12=2=（）2，此三條線段能構成直角三角形，故此選項符合題意．

故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．3.下列計算準確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據二次根式的運算法則逐項判斷即可．【詳解】解：A、，故正確；B、，故錯誤；C、，故錯誤；D、，故錯誤；故選：A．【點睛】本題考查二次根式的運算，解題的關鍵是掌握二次根式相關的運算法則．4.下列四邊形中不一定為菱形的是（）A.對角線相等的平行四邊形 B.對角線平分一組對角的平行四邊形C.對角線互相垂直的平行四邊形 D.用兩個全等的等邊三角形拼成的四邊形【答案】A【解析】【詳解】A.對角線相等的平行四邊形是矩形而不一定是菱形；B.對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形；C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；D.用兩個全等的等邊三角形拼成的四邊形四條邊形等是菱形；故選A.5.如圖，在?ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC邊于點E，則BE等于（）A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm【答案】A【解析】【分析】由平行四邊形對邊平行根據兩直線平行，內錯角相等可得∠EDA=∠DEC，而DE平分∠ADC，進一步推出∠EDC=∠DEC，在同一三角形中，根據等角對等邊得CE=CD，則BE可求解．【詳解】根據平行四邊形的性質得AD∥BC，∴∠EDA=∠DEC，又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=∠EDA，∴∠EDC=∠DEC，∴CD=CE=AB=6cm，即BE=BC﹣EC=8﹣6=2cm．故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質的應用，及等腰三角形的判定，屬于基礎題．6.如圖，矩形中，，，將矩形沿折疊，點落在點處，則重疊部分的面積為（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】C【解析】【分析】本題考查的是矩形的性質、翻轉變換的性質．根據矩形的性質得到，由折疊的性質得到，得到，根據等腰三角形的判定定理得到，根據勾股定理求出，根據三角形的面積公式計算即可．【詳解】解：四邊形是矩形，，，由折疊性質可知，，，，在中，，即，解得，，則的面積，故選：C．7.如圖，在數軸上點表示的數為，則的值為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先利用勾股定理求出BA=BD=，然后得到點A表示的數．【詳解】解：在直角三角形BCD中，根據勾股定理得，BD=，BA=BD=，故點A表示的數為-1+，故選D．【點睛】本題考查實數與數軸的關系，利用勾股定理表示出長度為無理數的線段是解決問題的關鍵．8.如圖，在菱形中，，，E、F為垂足，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題主要考查了中垂線的性質；菱形的性質．依題意，首先推出是等邊三角形，然后可知，，，故可得．【詳解】解：連接．，，，是等邊三角形，，又，，，，又，．故選：B．9.如圖，在矩形ABCD中，點M從點B出發沿BC向點C運動，點E、F別是AM、MC的中點，則EF的長隨著M點的運動（）A.不變 B.變長 C.變短 D.先變短再變長【答案】A【解析】【分析】由題意得EF為三角形AMC的中位線，由中位線的性質可得：EF的長恒等于定值AC的一半.【詳解】解：∵E，F分別是AM，MC的中點，

∴，

∵A、C是定點，

∴AC的的長恒為定長，

∴無論M運動到哪個位置EF的長不變，

故選A．【點睛】此題考查的是三角形中位線的性質，即三角形的中位線平行且等于第三邊的一半.10.如圖，點E是正方形ABCD外一點，連接AE、BE和DE，過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE＝AP＝1，PB＝3．下列結論：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③點B到直線AE的距離為；④S正方形ABCD＝8+．則正確結論的個數是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】①易知AE＝AP，AB＝AD，所以只需證明∠EAB＝∠PAD即可用SAS說明△APD≌△AEB；②易知∠AEB＝∠APD＝135°，則∠BEP＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，所以EB⊥ED；③在Rt△BEP中利用勾股定理求出BE值為，根據垂線段最短可知B到直線AE距離小于；則③錯誤；④要求正方形的面積，則需知道正方形一條邊的平方值即可，所以在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝1，BE＝，過點A作AH⊥BE交BE延長線于H點，在Rt△AHB中利用勾股定理AB2＝BH2+AH2即可．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°．∴∠DAP+∠BAP＝90°．又∠EAP+∠BAP＝90°，∴∠EAP＝∠DAP．又AE＝AP，∴△APD≌△AEB（SAS）．所以①正確；∵AE＝AP，∠EAP＝90°，∴∠APE＝∠AEP＝45°，∴∠APD＝180°﹣45°＝135°．∵△APD≌△AEB，∴∠AEB＝∠APD＝135°，∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，即EB⊥ED，②正確；在等腰Rt△AEP中，利用勾股定理可得EP＝，在Rt△BEP中，利用勾股定理可得BE＝．∵B點到直線AE的距離小于BE，所以點B到直線AE的距離為是錯誤的，所以③錯誤；在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝1，BE＝，如圖所示，過點A作AH⊥BE交BE延長線于H點．在等腰Rt△AHE中，可得AH＝HE＝AE＝．所以BH＝．在Rt△AHB中利用勾股定理可得AB2＝BH2+AH2，即AB2＝（）2+（）2＝8+，所以S正方形ABCD＝8+．所以④正確．所以只有①和②、④的結論正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質，解決復雜幾何圖形時要會分離圖形，分離出對解決問題有價值的圖形單獨解決．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11.如圖，中，，是的中點，，則______．【答案】10【解析】【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握該性質即可解題．【詳解】解：在中，，是的中點，線段是斜邊上的中線；又，．故答案為：．12.二次根式中x的取值范圍是______．【答案】全體實數【解析】【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件．根據二次根式有意義的條件，被開方數為非負數，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴∴二次根式中x的取值范圍是全體實數，故答案為：全體實數．13.已知，則______．【答案】1【解析】【分析】本題考查了解二元一次方程組，算術平方根的非負性．根據算術平方根與平方的和為0，可得算術平方根與平方同時為0，可得二元一次方程組，根據解二元一次方程組的方法，可得答案．【詳解】解：，，由①得，把代入②得，解得，則．故答案為：1．14.如圖，正方形ABCD中，AE=AB，直線DE交BC于點F，則∠BEF=_____度．【答案】45【解析】【分析】先設∠BAE=x°，根據正方形性質推出AB=AE=AD，∠BAD=90°，根據等腰三角形性質和三角形的內角和定理求出∠AEB和∠AED的度數，根據平角定義求出即可．【詳解】解：設∠BAE=x°．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD．∵AE=AB，∴AB=AE=AD，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣∠BAE）=90°﹣x°，∠DAE=90°﹣x°，∠AED=∠ADE=（180°﹣∠DAE）=[180°﹣（90°﹣x°）]=45°+x°，∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED=180°﹣（90°﹣x°）﹣（45°+x°）=45°．故答案為45．點睛：本題考查了三角形的內角和定理的運用，等腰三角形的性質的運用，正方形性質的應用，解答此題的關鍵是如何把已知角的未知角結合起來，題目比較典型，但是難度較大．15.如圖，菱形中，，，，分別是，上的點，，連接，則的面積最小值是______．【答案】【解析】【分析】此題考查了菱形的性質和等邊三角形的判定與性質，首先由是等邊三角形，即可得，以求得，然后利用平行線與三角形外角的性質，可求得，證得即可得，證得是等邊三角形，當時得出的面積最小值即可，解題的關鍵是熟練掌握知識點的應用．【詳解】如圖，連接，∵是等邊三角形，∴，，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，當時，的面積最小值，∴，∵，∴，∴，∵，由勾股定理得，過作于點，∴同理可得：，∵是等邊三角形，∴，∴的面積最小值，故答案為：．16.如圖，在中，，，，動點P從點B出發沿射線以1cm/s的速度移動，設運動的時間為t秒，當為等腰三角形時，t的取值為______．【答案】5或或【解析】【分析】本題考查了勾股定理以及等腰三角形的知識．當為等腰三角形時，分三種情況：①當時；②當時；③當時，分別求出的長度，繼而可求得值．【詳解】解：在中，，；①當時，如圖1，；②當時，如圖2，，；③當時，如圖3，，，，在中，，所以，解得：，綜上所述：當為等腰三角形時，或或．故答案為：5或或．三、解答題（一）（每小題6分，共18分）17.計算：．【答案】【解析】【分析】先算二次根式的乘除法，再算加減法，即可解答．【詳解】．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．18.如圖，已知的對角線，交于點O，E，F分別是，的中點．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】此題考查了平行四邊形的性質．由的對角線，交于點，易證得，又由，分別是，的中點，即可證得．【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，分別是，的中點，，，．19.古詩贊美荷花“竹色溪下綠，荷花鏡里香”，平靜的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10cm,忽見它隨風斜倚，花朵恰好浸入水面，仔細觀察，發現荷花偏離原地40cm(如圖).請部：水深多少？【答案】水深為75cm【解析】【詳解】試題分析：設水深為，則荷花的高因風吹花朵齊及水面，且水平距離為40cm，那么水深與水平40組成一個以為斜邊的直角三角形，根據勾股定理即可求出答案．試題解析：設水深為h，則荷花的高h+10，且水平距離為40cm，則解得h=75.答：水深75cm.四、解答題（二）（每小題8分，共24分）20.如圖，在ABCD中，F是AD的中點，延長BC到點E，使CE=BC，連結DE，CF．（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）由“平行四邊形對邊平行且相等”的性質推知AD∥BC，且AD=BC；然后根據中點的定義、結合已知條件推知四邊形CEDF的對邊平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四邊形CEDF是平行四邊形；（2）如圖，過點D作DH⊥BE于點H，構造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通過解直角△DCH和在直角△DHE中運用勾股定理來求線段ED的長度．【詳解】（1）證明：在?ABCD中，ADBC，且AD=BC∵F是AD的中點∴DF=AD又∵CE=BC∴DF=CE，且DFCE∴四邊形CEDF是平行四邊形；（2）如圖，過點D作DH⊥BE于點H．在?ABCD中，∵∠B=60°，∴∠DCE=60°．∵AB=4，∴CD=AB=4，∴CH=CD=2，DH=2．在?CEDF中，CE=DF=AD=3，則EH=1．∴在Rt△DHE中，根據勾股定理知DE=．21.已知：如圖，，，，，．（1）求證：是直角三角形（2）求圖形的面積．【答案】（1）見解析（2）24【解析】【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的運用．（1）連接，在中，，，可求；在中，由勾股定理的逆定理可證為直角三角形；（1）利用兩個直角三角形的面積差求圖形的面積．【小問1詳解】證明：連接，在中，，，，在中，，為直角三角形；【小問2詳解】解：圖形的面積為：．22.如圖，M是△ABC的邊BC的中點，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點N，延長BN交AC于點D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求證：BN=DN；（2）求△ABC的周長．【答案】（1）見解析，（2）41【解析】【分析】（1）證明△ABN≌△ADN，即可得出結論．（2）先判斷MN是△BDC的中位線，從而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，從而計算周長即可．【詳解】（1）證明：∵BN⊥AN于點N，∴，在△ABN和△ADN中，

∵，∴△ABN≌△ADN（ASA）．∴BN=DN．（2）∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB．又∵點M是BC中點，∴MN是△BDC的中位線．∴CD=2MN=6．∴△ABC的周長=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．五、解答題（三）（每小題10分，共30分）23觀察下列各式：請你根據上面三個等式提供的信息，猜想：（1）=________；（2）請你按照上面每個等式反映的規律，寫出用n（n為正整數）表示的等式：_____；（3）利用上述規律計算：（仿照上式寫出過程）．【答案】（1）；（2）（3）．【解析】【分析】（1）根據已知算式得出規律，再根據求出的規律進行計算即可；（2）根據已知算式得出規律即可；（3）原式先變形為，再根據得出的規律進行計算即可．小問1詳解】【小問2詳解】【小問3詳解】【點睛】本題考查了二次根式的性質與化簡，數字的變化類等知識點，解題的關鍵是能根據已知算式得出規律．24.如圖，點E、F為線段BD的兩個三等分點，四邊形AECF是菱形．（1）試判斷四邊形ABCD的形狀，并加以證明；（2）若菱形AECF的周長為20，BD為24，試求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）四邊形ABCD為菱形，證明過程見解析；（2）S四邊形ABCD=72．【解析】【分析】（1）連接AC，根據菱形的對角線互相垂直平分可得AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，再求出BO=OD，然后根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形證明；（2）根據菱形的四條邊都相等求出邊長AE，根據菱形的對角線互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根據菱形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解．【詳解】解：（1）四邊形ABCD為菱形．理由如下：如圖，連接AC交BD于點O，∵四邊形AECF是菱形，∴AC⊥BD，AO=OC，EO=OF．又∵點E、F為線段BD的兩個三等分點，∴BE=FD，∴BO=OD．∵AO=OC，∴四邊形ABCD為平行四邊形．∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD為菱形；（2）∵四邊形AECF為菱形，且周長為20，∴AE=5．∵BD=24，∴EF=8，OE=EF=×