高一數(shù)學(xué)選修課系列講座（一）--—--—－—--—-－——－—分式函數(shù)得圖像與性質(zhì)一、概念提出１、分式函數(shù)得概念形如得函數(shù)稱為分式函數(shù)。如，,等。２、分式復(fù)合函數(shù)形如得函數(shù)稱為分式復(fù)合函數(shù).如，，等。二、學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一:函數(shù)得圖像與性質(zhì)問題１：得圖像就是怎樣得?例１畫出函數(shù)得圖像，依據(jù)函數(shù)圖像,指出函數(shù)得單調(diào)區(qū)間、值域、對(duì)稱中心。小結(jié)：得圖像得繪制，可以經(jīng)由反比例函數(shù)得圖像平移得到,需要借助“分離常數(shù)”得處理方法。分式函數(shù)得圖像與性質(zhì):(1)定義域：；(２)值域：；（3)單調(diào)性：單調(diào)區(qū)間為；(4）漸近線及對(duì)稱中心：漸近線為直線，對(duì)稱中心為點(diǎn)；(5）奇偶性：當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)；(6)圖象：如圖所示問題2：得圖像就是怎樣得？例2、根據(jù)與得函數(shù)圖像，繪制函數(shù)得圖像，并結(jié)合函數(shù)圖像指出函數(shù)具有得性質(zhì)。小結(jié):分式函數(shù)得圖像與性質(zhì):（1）定義域：;（２)值域：；（3）奇偶性:;（４）單調(diào)性：在區(qū)間上就是增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù);（5）漸近線:以軸與直線為漸近線；（6）圖象:如右圖所示例3、根據(jù)與得函數(shù)圖像,繪制函數(shù)得圖像，并結(jié)合函數(shù)圖像指出函數(shù)具有得性質(zhì)。結(jié)合剛才得兩個(gè)例子,思考與得圖像又就是怎樣得呢？思考與得圖像就是怎樣得呢？得圖像呢?小結(jié)：得圖像如下:(i）(ii)（iｉi）(iｖ)得單調(diào)性、值域、奇偶性等，可以結(jié)合函數(shù)得圖像研究。探究任務(wù)二:函數(shù)得圖像與性質(zhì)問題3：例4函數(shù)得圖像就是怎樣得？單調(diào)區(qū)間如何?思考:函數(shù)得性質(zhì)如何呢？單調(diào)區(qū)間就是怎樣得呢？小結(jié):對(duì)于分式函數(shù)而言，分子次數(shù)高于分母時(shí)，可以采用問題3中得方法，將函數(shù)表達(dá)式寫成部分分式，再結(jié)合函數(shù)得圖像得平移，由熟悉得四類分式函數(shù)得圖像得到新得函數(shù)圖像,再結(jié)合函數(shù)得圖像研究函數(shù)得性質(zhì)。對(duì)于分子得次數(shù)低于分母得次數(shù)得時(shí)候,可以考慮分子分母同時(shí)除以分子(確保分子不為0），再著力研究分母得性質(zhì)與圖像,間接地研究整個(gè)函數(shù)得性質(zhì)。如:鞏固練習(xí):1、若則得最小值就是;2、函數(shù)得值域就是;3、已知內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)得取值范圍就是;4、不等式得在內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)得取值范圍就是;5、不等式得在內(nèi)恒成立,則實(shí)數(shù)得取值范圍就是；６、已知在區(qū)間單調(diào)遞減,求得取值范圍就是；7、函數(shù)得值域就是８、定義在上函數(shù)，集合為實(shí)數(shù)，且對(duì)于任意,且存在常數(shù)，對(duì)于任意，均有成立，則稱為函數(shù)在上得“定下界”.若,則函數(shù)在上得“定下界”＿_(dá)_＿_(dá)_____.9、設(shè)．(1）當(dāng)時(shí)，求得最小值;（2)當(dāng)時(shí)，判斷得單調(diào)性，并寫出得最小值。１0、已知函數(shù)得定義域?yàn)?為常數(shù))、(1）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上就是減函數(shù);(2）求函數(shù)在定義域上得最大值及最小值，并求出函數(shù)取最值時(shí)得值。11、(1)若函數(shù)得定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù)得取值范圍;(2）若函數(shù)得值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)得取值范圍。12、已知函數(shù)有如下性質(zhì):如果常數(shù)，那么該函數(shù)在上就是減函數(shù)，在上就是增函數(shù)。（1）如果函數(shù)在上就是減函數(shù)，在上就是增函數(shù)，求實(shí)常數(shù)得值;（2）設(shè)常數(shù)，求函數(shù)得最大值與最小值。分式函數(shù)得圖像與性質(zhì)一、概念提出1、分式函數(shù)得概念形如得函數(shù)稱為分式函數(shù).如，,等.2、分式復(fù)合函數(shù)形如得函數(shù)稱為分式復(fù)合函數(shù)。如，,等。二、學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一:函數(shù)得圖像與性質(zhì)問題1:得圖像就是怎樣得?例１、畫出函數(shù)得圖像，依據(jù)函數(shù)圖像，指出函數(shù)得單調(diào)區(qū)間、值域、對(duì)稱中心。【分析】,即函數(shù)得圖像可以經(jīng)由函數(shù)得圖像向右平移１個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位得到。如下表所示：由此可以畫出函數(shù)得圖像，如下:單調(diào)減區(qū)間:;值域：；對(duì)稱中心：。【反思】得圖像繪制需要考慮哪些要素？該函數(shù)得單調(diào)性由哪些條件決定？【小結(jié)】得圖像得繪制，可以經(jīng)由反比例函數(shù)得圖像平移得到,需要借助“分離常數(shù)”得處理方法。分式函數(shù)得圖像與性質(zhì)（1)定義域:；(2)值域:；(3)單調(diào)性：單調(diào)區(qū)間為；(4）漸近線及對(duì)稱中心：漸近線為直線，對(duì)稱中心為點(diǎn)；（5）奇偶性：當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)；（6)圖象：如圖所示問題2:得圖像就是怎樣得？例２、根據(jù)與得函數(shù)圖像,繪制函數(shù)得圖像,并結(jié)合函數(shù)圖像指出函數(shù)具有得性質(zhì).【分析】畫函數(shù)圖像需要考慮函數(shù)得定義域、值域、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間,奇偶性,周期性,凸凹性（此點(diǎn)不作要求)，關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)（最值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸交點(diǎn)）、輔助線(對(duì)稱軸、漸近線).繪圖過程中需綜合考慮以上要素，結(jié)合逼近與極限思想開展。解：函數(shù)得定義域?yàn)椋?根據(jù)單調(diào)性定義，可以求出得單調(diào)區(qū)間增區(qū)間:減區(qū)間:函數(shù)得值域?yàn)椋汉瘮?shù)得奇偶性:奇函數(shù)函數(shù)圖像得漸近線為：函數(shù)得圖像如下:【反思】如何繪制陌生函數(shù)得圖像？研究新函數(shù)性質(zhì)應(yīng)從哪些方面入手？【小結(jié)】分式函數(shù)得圖像與性質(zhì)：（1）定義域：；（2）值域:；（3）奇偶性:奇函數(shù)；（4）單調(diào)性：在區(qū)間上就是增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù);(５)漸近線：以軸與直線為漸近線;(6）圖象:如右圖所示例３、根據(jù)與得函數(shù)圖像,繪制函數(shù)得圖像，并結(jié)合函數(shù)圖像指出函數(shù)具有得性質(zhì).【分析】結(jié)合剛才得繪圖經(jīng)驗(yàn)，不難繪制出得圖像解：函數(shù)得定義域?yàn)?;根據(jù)單調(diào)性定義,可以判斷出得單調(diào)性，單調(diào)增區(qū)間為:函數(shù)得值域?yàn)?函數(shù)得奇偶性:奇函數(shù)函數(shù)圖像得漸近線為：函數(shù)得圖像如下：【反思】結(jié)合剛才得兩個(gè)例子，與得圖像又就是怎樣得呢？思考與得圖像就是怎樣得呢？得圖像呢？函數(shù)得圖像如下，繪制得過程可以根據(jù)剛才得繪圖經(jīng)驗(yàn)。【注】,由于與得圖像關(guān)于軸對(duì)稱,所以還可以根據(jù)得圖像,對(duì)稱得畫出得圖像。同樣得道理得圖像與得圖像關(guān)于軸對(duì)稱,所以圖像如下:【小結(jié)】得圖像如下:（i）(ｉi)（iii）（iv)［來源:學(xué)+科+網(wǎng)Z+X+X＋K]得單調(diào)性、值域、奇偶性等,可以結(jié)合函數(shù)得圖像研究。探究任務(wù)二:函數(shù)得圖像與性質(zhì)問題3：函數(shù)得圖像就是怎樣得?單調(diào)區(qū)間如何？【分析】所以得圖像與得圖像形狀完全相同,只就是位置不同。圖像得對(duì)稱中心為：單調(diào)增區(qū)間為：單調(diào)減區(qū)間為：值域：圖像如下:【反思】函數(shù)得性質(zhì)如何呢？單調(diào)區(qū)間就是怎樣得呢？【小結(jié)】對(duì)于分式函數(shù)而言，分子次數(shù)高于分母時(shí),可以采用問題3中得方法,將函數(shù)表達(dá)式寫成部分分式,在結(jié)合函數(shù)得圖像得平移,由熟悉得四類分式函數(shù)得圖像得到新得函數(shù)圖像，再結(jié)合函數(shù)得圖像研究函數(shù)得性質(zhì)。對(duì)于分子得次數(shù)低于分母得次數(shù)得時(shí)候，可以考慮分子分母同時(shí)除以分子（確保分子不為0)，再著力研究分母得性質(zhì)與圖像，間接地研究整個(gè)函數(shù)得性質(zhì)。如:例１、若則得最小值就是＿_(dá)__＿_(dá)__＿_(dá)。解：由，得[來源：］【注】此處可以借助函數(shù)得圖像與性質(zhì)【變式】若，求得取值范圍、例２、求函數(shù)得值域、解:，令，則,結(jié)合圖像與性質(zhì)，可知當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以【注】“換元”后必須注意新元得范圍。“換元法"就是轉(zhuǎn)化思想得一個(gè)非常重要得途徑.【變式】求函數(shù)得值域、例3、已知在區(qū)間單調(diào)遞增，求得取值范圍、【分析】先定性分析,再定量研究,借助分類討論思想展開、解:當(dāng)時(shí)，在區(qū)間顯然單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，結(jié)合得圖像與性質(zhì)，可知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以,所以綜上所述，實(shí)數(shù)得取值范圍為、【變式】已知在區(qū)間單調(diào)遞減,求得取值范圍、1、若則得最小值就是_＿＿_(dá)____。2、函數(shù)得值域就是___＿_(dá)___。3、已知內(nèi)單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)得取值范圍。［來源：學(xué)｜科|網(wǎng)］4、(1)若函數(shù)得定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù)得取值范圍;(2)若函數(shù)得值域?yàn)?求實(shí)數(shù)得取值范圍.5、設(shè)。(1)當(dāng)時(shí),求得最小值；（2）當(dāng)時(shí),判斷得單調(diào)性,并寫出得最小值。2、不等式得在內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)得取值范圍_＿_(dá)__＿＿_(dá).3、不等式得在內(nèi)恒成立,則實(shí)數(shù)得取值范圍______＿＿。４、函數(shù)得值域就是＿_(dá)______.5、定義在上函數(shù),集合為實(shí)數(shù),且對(duì)于任意,且存在常數(shù),對(duì)于任意,均有成立,則稱為函數(shù)在上得“定下界"。若,則函數(shù)在上得“定下界"_______＿_(dá)＿.7、已知函數(shù)得定義域?yàn)椋槌?shù)）、（1)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上就是減函數(shù);(2）求函數(shù)在定義域上得最大值及最小值，并求出函數(shù)取最值時(shí)得值．８、【06年上海】已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù),那么該函數(shù)在上就是減函數(shù)，在上就是增函數(shù)、(1)如果函數(shù)在上就是減函數(shù),在上就是增函數(shù)，求實(shí)常數(shù)得值；（2)設(shè)常數(shù),求函數(shù)得最大值與最小值;（３）當(dāng)就是正整數(shù)時(shí)，研究函數(shù)得單調(diào)性，并說明理由、9、【08年上海】已知函數(shù).(1)若,求得值;(２)若對(duì)于恒成立,求實(shí)數(shù)得取值范圍.