奧數數論基礎知識一質數與合數(1)一個數除了1與它本身,不再有別得約數,這個數叫做質數(也叫做素數)。一個數除了1與它本身,還有別得約數,這個數叫做合數。(2)自然數除0與1外,按約數得個數分為質數與合數兩類。任何一個合數都可以寫成幾個質數相乘得形式。要特別記住:0與1不就是質數,也不就是合數。(3)最小得質數就是2,2就是唯一得偶質數,其她質數都為奇數;最小得合數就是4。(4)質數就是一個數,就是含有兩個約數得自然數。互質數就是指兩個數,就是公約數只有一得兩個數,組成互質數得兩個數可能就是兩個質數(３與５),可能就是一個質數與一個合數(３與４),可能就是兩個合數(４與９)或1與另一個自然數。(５)如果一個質數就是某個數得約數,那么就說這個質數就是這個數得質因數。把一個合數用質因數相乘得形式表示出來,叫做分解質因數。(６)１００以內得質數有２５個:２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７.二整除性(１)概念一般地,如a、b、c為整數,b≠0,且a÷b=c,即整數a除以整除b(b不等于0),除得得商c正好就是整數而沒有余數(或者說余數就是0),我們就說,a能被b整除(或者說b能整除a)。記作b｜a、否則,稱為a不能被b整除,(或b不能整除a),記作ba。如果整數a能被整數b整除,a就叫做b得倍數,b就叫做a得約數。(２)性質性質1:(整除得加減性)如果a、b都能被c整除,那么它們得與與差也能被c整除。即:如果c｜a,c｜b,那么c｜(a±b)。例如:如果2｜10,2｜6,那么2｜(10＋6),并且2｜(10—6)。也就就是說,被除數加上或減去一些除數得倍數不影響除數對它得整除性。性質2:如果b與c得積能整除a,那么b與c都能整除a、即:如果bc｜a,那么b｜a,c｜a。性質3:(整除得互質可積性)如果b、c都能整除a,且b與c互質,那么b與c得積能整除a。即:如果b｜a,c｜a,且(b,c)=1,那么bc｜a。例如:如果2｜28,7｜28,且(2,7)=1,那么(2×7)｜28。性質4:(整除得傳遞性)如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。即:如果c｜b,b｜a,那么c｜a。例如:如果3｜9,9｜27,那么3｜27。(３)數得整除特征①能被2整除得數得特征:個位數字就是0、2、4、6、8得整數、②能被5整除得數得特征:個位就是0或5。突破口③能被3(或9)整除得數得特征:各個數位數字之與能被3(或9)整除。判斷能被3(或9)整除得數還可以用“棄３(或９)法”:例如:８３５１７４６能被９整除么？解:８＋１＝９,３＋６＝９,５＋４＝９,在數字中只剩７,７不就是９得倍數,所以８３５１７４６不能被９整除。④能被4(或25)整除得數得特征:末兩位數能被4(或25)整除。⑤能被8(或125)整除得數得特征:末三位數能被8(或125)整除。⑥能被11整除得數得特征:這個整數得奇數位上得數字之與與偶數位上得數字之與得差(大減小)就是11得倍數。⑦能被7(11或13)整除得數得特征:一個整數得末三位數與末三位以前得數字所組成得數之差(以大減小)能被7(11或13)整除,依此反復檢驗。例如:判斷能否被13整除？解:把分為3546與725兩個數、因為3546-725=2821、再把2821分為2與821兩個數,因為821—2＝819,又13｜819,所以13｜2821,進而13｜3546725、上述辦法也可以用來判斷余數與末位數;對于其她得數,可以將其分解成上述幾個互質得數得乘積,再逐個考慮。三約數與倍數(１)公約數與最大公約數幾個數公有得約數,叫做這幾個數得公約數;其中最大得一個,叫做這幾個數得最大公約數。例如:４就是１２與１６得最大公約數,可記做:(１２,１６)＝４(２)公倍數與最小公倍數幾個數公有得倍數,叫做這幾個數得公倍數;其中最小得一個,叫做這幾個數得最小公倍數。例如:36就是12與18得最小公倍數,記作[12,18]=36。(３)最大公約數與最小公倍數得關系如果用a與b表示兩個自然數１、那么這兩個自然數得最大公約數與最小公倍數關系就是:(a,b)×[a,b]=a×b。(多用于求最小公倍數)２、(a,b)≤a,b≤[a,b]３、[a,b]就是(a,b)得倍數,(a,b)就是[a,b]得約數４、(a,b)就是a＋b與a－b得約數,也就是(a,b)＋[a,b]與(a,b)－[a,b]得約數(４)求最大公約數得方法很多,主要推薦:短除法、分解質因數法、輾轉相除法。例如:１、(短除法)用一個數去除30、60、75,都能整除,這個數最大就是多少？解:∵(30,60,75)=5×3=15這個數最大就是15。２、(分解質因數法)求１００１與３０８得最大公約數就是多少？解:１００１＝７×１１×１３(這個質分解常用到),３０８＝７×１１×４所以最大公約數就是７×１１＝７７在這種方法中,先將數進行質分解,而后取它們“所有共有得質因數之積”便就是最大公約數。３、(輾轉相除法)用輾轉相除法求4811與1981得最大公約數。解:∵4811=2×1981+849,1981=2×849+283,849=3×283,∴(4811,1981)=283。補充說明:如果要求三個或更多得數得最大公約數,可以先求其中任意兩個數得最大公約數,再求這個公約數與另外一個數得最大公約數,這樣求下去,直至求得最后結果。(５)約數個數公式一個合數得約數個數,等于它得質因數分解式中每個質因數得個數(即指數)加1得連乘得積。例如:求240得約數得個數。解:∵240＝24×31×51,∴240得約數得個數就是(4＋1)×(1+1)×(1＋1)=20,∴240有20個約數。四奇偶性(1)奇數與偶數整數可以分成奇數與偶數兩大類、能被2整除得數叫做偶數,不能被2整除得數叫做奇數。偶數通常可以用2k(k為整數)表示,奇數則可以用2k+1(k為整數)表示。特別注意,因為0能被2整除,所以0就是偶數。最小得奇數就是１,最小得偶數就是０.(2)奇數與偶數得運算性質性質1:偶數±偶數=偶數,奇數±奇數=偶數。性質2:偶數±奇數=奇數。性質3:偶數個奇數相加得偶數。性質4:奇數個奇數相加得奇數。性質5:偶數×奇數=偶數,奇數×奇數=奇數。偶數×偶數=偶數(３)反證法例:桌上有9只杯子,全部口朝上,每次將其中6只同時“翻轉”、請說明:無論經過多少次這樣得“翻轉”,都不能使9只杯子全部口朝下。解:要使一只杯子口朝下,必須經過奇數次“翻轉”、要使9只杯子口全朝下,必須經過9個奇數之與次“翻轉”、即“翻轉”得總次數為奇數、但就是,按規定每次翻轉6只杯子,無論經過