第8單元不等式第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知非零實數，則下列說法一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】選項A：由不等式性質可知，是兩個正數存在，才有，本題的已知條件沒有說明是兩個正數，所以本選項是錯誤的；選項B：若，顯然結論不正確，所以本選項是錯誤的；選項C：，可以判斷的正負性，但是不能判斷出的正負性，所以本選項不正確；選項D：若，由，可以得到，若時，由不等式的性質可知：，，故由可以推出，故本選項正確，所以本題選D．2．不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，即，解得或，故選B．3．不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以，即得或，故選D．4．不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】不等式的解集等價于不等式的解集，由數軸標根法可知，不等式的解集為，故選C．5．設，，若是與的等比中項，則的最小值為（）A． B． C．3 D．【答案】C【解析】因為是與的等比中項，所以，故，因為，，所以，當且僅當，即時，取等號，故選C．6．已知滿足約束條件，則的最大值與最小值之和為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】繪制不等式組表示的平面區域如圖所示，目標函數，即，其中z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，據此結合目標函數的幾何意義可知目標函數在點處取得最大值，據此可知目標函數的最大值為，其中z取得最小值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最小，據此結合目標函數的幾何意義可知目標函數在點A處取得最小值，聯立直線方程，可得點的坐標為，據此可知目標函數的最小值為．綜上可得的最大值與最小值之和為8．故選C．7．已知是圓上任意一點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】表示圓上一點與點連線的斜率，由圖可知，當過的直線與圓相切時，目標函數取得最值，設過且與圓相切的直線方程為，即，因此根據點到直線距離公式可得，解得．所以，故選A．8．已知實數，滿足，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，，，則，，，又，，因此，故本題選B．9．設，且，則的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因為，∴，又由，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值是4，故選D．10．若不等式對一切實數都成立，則實數的取值范圍為（）A．或 B．或C． D．【答案】C【解析】顯然a=0，不等式不恒成立，所以不等式對一切實數都成立，則，即，解得，所以實數的取值范圍是．故選C．11．在上定義運算，若存在使不等式成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，因為，即，也就是，在時，，取最大值為6，所以，解得，故選C．12．已知函數，若對任意的正數，滿足，則的最小值為（）A．6 B．8 C．12 D．24【答案】C【解析】因為所以定義域為，因為，所以為減函數，因為，，所以為奇函數，因為，所以，即，所以，因為，所以（當且僅當，時，等號成立），故選C．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知實數，滿足約束條件，若的最小值為3，則實數____．【答案】【解析】由已知作可行域如圖所示，化為，平移直線，由圖象可知，的最小值在直線與直線的交點處取得，由，解得，，，故答案為．14．已知關于的不等式的解集是，則的解集為_____．【答案】【解析】由題意，關于的不等式的解集是，則，解得，，所以不等式，即為，即，即，解得，即不等式的解集為．15．已知不等式：①；②；③，如果且，則其中正確不等式的個數是_______．【答案】2【解析】因為且，所以，①化簡后是，顯然正確；②顯然正確；③化簡后是，顯然不正確．故正確的不等式是①②，共2個，故答案為2．16．已知，則的最小值為__________．【答案】【解析】因為，所以，，所以，當且僅當，即時等號成立．所以．三、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知下列三個不等式：①；②；③，以其中兩個作為條件，余下一個作為結論，則可組成幾個正確命題？【答案】可組成3個正確命題．【解析】（1）對②變形，得，由，得②成立，即①③②．（2）若，則，即①②③．（3）若，則，即②③①．綜上所述，可組成3個正確命題．18．（12分）已知函數．（1）求關于的不等式的解集；（2）若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，即，所以的解集為．（2）不等式對任意恒成立，由，得的最小值為1，所以恒成立，即，所以，所以實數的取值范圍為．19．（12分）若變量x，y滿足約束條件，求：（1）的取值范圍；（2）的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】作出可行域，如圖所示：由，解得點；由，解得點；由，解得點．（1），可看作可行域內的點與定點連線的斜率．所以在點，處取得最優解．所以，．所以的取值范圍為．（2）由，可得，故在點處取得最大值，則．20．（12分）已知是正實數，且，證明：（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】（1）是正實數，，，∴，，當且僅當時，取．（2），∴，∴，∴，當且僅當，即時，取．21．（12分）霧霾大氣嚴重影響人們的生活，某科技公司擬投資開發新型節能環保產品，策劃部制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且還要考慮可能出現的虧損，經過市場調查，公司打算投資甲、乙兩個項目，根據預測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為和，可能的最大虧損率分別為和，投資人計劃投資金額不超過9萬元，要求確保可能的資金虧損不超過萬元．（1）若投資人用x萬元投資甲項目，y萬元投資乙項目，試寫出x，y所滿足的條件，并在直角坐標系內作出表示x，y范圍的圖形；（2）根據（1）的規劃，投資公司對甲、乙兩個項目分別投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？【答案】（1）詳見解析；（2）用萬元投資甲項目，萬元投資乙項目．【解析】（1）由題意，知x，y滿足的條件為上述不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分含邊界（2）根據第一問的規劃和題設條件，依題意可知目標函數為，在上圖中，作直線：，平移直線，當經過直線與的交點A時，其縱截距最大，解方程與，解得，，即，此時萬元，所以當，時，z取得最大值，即投資人用5萬元投資甲項目，4萬元投資乙項目，才