《平面向量基本定理、正交分解及坐標表示》

目標分析

知識與技能

1.理解平面向量的基底的意義與作用，學會選擇恰當的基底，將簡單圖形中的任一向量表

示為一組基底的線性組合；

2.了解平面向量的基本定理，初步利用定理解決問題(如相交線交成線段比的問題等)。

過程與方法

1.通過平面向量基本定理，認識平面向量的“二維”性，并由此進一步體會“某一方向上

的向量的一維性”，培養“維數”的基本觀念；

2.通過對平面向量基本定理的探究過程，讓學生體會數學定理的產生、形成過程，體驗定

理所蘊含的轉化思想。

情感態度價值觀

1.培養學生主動探求知識、合作交流的意識，感受數學思維的全過程；

2.與物理學科之間的滲透，改善數學學習信念，提高學生學習數學的興趣。

《平面向量基本定理、正交分解及坐標表示》

教材分析

平面向量基本定理是溝通代數、幾何、三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背

景.其教育價值主要體現在有助于學生體會數學與實際生活的聯系，感受數學在解決實際

問題中的作用，有助于學生認識數學內容之間的內在聯系，體驗、領悟數學的創造性和普

遍聯系性，有助于學生發展智力，提高運算、推理能力

(1)應了解的內容：共線向量的概念，平面向量的基本定理，用平面向量的數量積處理有

關長度、角度和垂直的問題。應理解的內容：向量的概念，兩個向量共線的充要條件，平

面向量坐標的概念。應掌握的內容：向量的幾何表示，向量的加法與減法，實數與向量的

積，平面向量的坐標運算，平面向量的數量積及幾何意義，向量垂直的條件,。

(2)注意處理好新舊思維矛盾

學習向量運算與學習數的運算有類似之處：從學習順序上看，都是先定義運算，再研究運

算性質；從學習內容來看，向量運算具有與數的運算類似的良好性質。當引入向量后，運

算對象擴充了，不僅僅是數的運算了，向量運算是建立在新的運算法則上，向量的運算與

實數的運算不盡相同，向量不同于數量，它是一種新的量，關于數量的代數運算在向量范

圍內不都適用，它有一套自己的運算法則.但很多學生往往完全照搬數的運算法則，而不

注意向量運算法則的特點，因此常常出錯。在教學中要注意新舊知識之間的矛盾沖突，及

時讓學生加以辨別、總結，利于正確理解向量的實質。例如向量的加法與向量模的加法的

區別，向量的數量積與實數積的區別，在坐標表示中兩個向量共線與垂直的充要條件的區

別等等。

（3）注意數學思想方法的滲透

在這一章中，從引言開始，就注意結合具體內容滲透數學思想方法。例如，從帆船在

大海中航行時的位移，滲透數學建模的思想。通過介紹相等向量及有關作圖的訓練，滲透

平移變換的思想。由于向量具有兩個明顯特點一一“形”的特點和“數”的特點，這就使

得向量成了數形結合的橋梁，向量的坐標實際是把點與數聯系了起來，進而可把曲線與方

程聯系起來，這樣就可用代數方程研究幾何問題。

總之，本節教材內容具有以下幾個方面的特點：

1.向量在數學中的地位

向量是近代數學中重要的概念，它不僅是溝通代數與幾何的橋梁，還是解決許多實際問

題的重要工具，因此具有很高的教育價值。

2.本節在教學中的地位

平面向量基本定理是向量進行坐標表示，并由此進一步將向量運算轉化為坐標運算的重

要基礎；該“定理”以二維向量空間為依托，可以推廣到n維向量空間，是今后引出空

間向量用三維坐標表示的基礎。因此本節知識在本章中起承上啟下的作用。

3.本節在教學思維方面的培養價值

平面向量基本定理蘊含了轉化的數學思想。它是用基本要素用基本要素（基底、元）表

達事物（向量空間、具有某種性質的對象的集合），并把對事物的研究轉化為對事物基

本要素研究的典型范例，這是人們認識事物的一種重要方法。

《平面向量基本定理、正交分解及坐標表示》

學情分析

有利因素

1.學生在前面已經掌握了向量的基本概念和基本運算（特別是向量加法平行四邊形法則和

向量共線的充要條件）都為學生學習本節內容提供了知識準備；

2.學生在物理學科的學習中已經清楚了力的合成和力的分解，同時作圖習慣已經養成，這

為我們學習向量分解提供了認知準備。

不利因素

1.學生對向量加減法及數乘運算的意義與作用認識不夠，可能增加向量用基底表示時的難

度；

2.對于向量加減法及數乘運算停留在幾何直觀的理解上，缺乏從代數運算的角度理解向量

運算特征的感受，容易將平面向量基本定理的作用僅僅理解為形式上的變換。

3.如果不加啟發與引導，學生是不會從“基底”、“元”、“維數”這些角度去理解平面

向量基本定理的深刻內涵，也難以認識這個定理在今后用向量方法解決問題中的重要作

用。

2.3.1平面向量基本定理

2.3.2平面向量的正交分解及坐標表示

【教學目標】

1、知識與技能：

(1)理解平面向量的基底的意義與作用，學會選擇恰當的基底，將簡單圖形中的任一向量表

示為一組基底的線性組合；

(2)了解平面向量的基本定理，初步利用定理解決問題(如相交線交成線段比的問題等)。

2、過程與方法：

(1)通過平面向量基本定理，認識平面向量的“二維”性，并由此進一步體會“某一方向上

的向量的一維性”，培養“維數”的基本觀念；

(2)通過對平面向量基本定理的探究過程，讓學生體會數學定理的產生、形成過程，體驗定

理所蘊含的轉化思想。

3、情感態度、價值觀：

(1)培養學生主動探求知識、合作交流的意識，感受數學思維的全過程；

(2)與物理學科之間的滲透，改善數學學習信念，提高學生學習數學的興趣。

【教學重點】平面向量基本定理、向量的夾角與垂直的定義、平面向量的正交分解、平面向

量的坐標表示.

【教學難點】平面向量基本定理的理解及運用.

【教學過程】

(一)復習引入

1.向量加法與減法有哪幾種幾何運算法則？

平行四邊形法則、三角形法則

2.怎樣理解向量的數乘運算?

⑴模：|2a|=|2||a|；

(2)方向：2>0時，之￡與￡方向相同；2<0時，幾￡與［方向相反；4=0時，x￡=o.

3.平面向量共線定理是什么？

非零向量￡與向量B共線等價于存在唯一實數入，使石=47

4.在物理中，力是一個向量，力的合成就是向量的加法運算?力也可以分解，任何一個大小

不為零的力，都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來，就

會形成一個新的數學理論.

(-)學習新知

知識點I:平面向量基本定理

探究1：給定平面內任意兩個向量a，e2,如何求作向量3a+25和武一2H2?

探究2：在下列兩圖中，向量礪，麗，玩不共線，能否在直線OA、OB上分別找一點

M、N,使0廟+0河=。3？

探究3：在上圖中，設OA=et,OB=e2,OC^a,則向量加、ON分別與前，e2

的關系如何？從而向量M與七的關系如何？

OM=,oZ=4瓦.1=44+4瓦.

探窕4：若上述向量即，e2,7都為定向量，且詢，務不共線，則實數4,4是否存在？

是否唯一？

探究5：根據上述分析，平面內任一向量方都可以由這個平面內兩個不共線的向量與，備表

示出來，從而可形成一個定理.你能完整地描述這個定理的內容嗎？

若3，加是同一平面內的兩個不共線向量，則對于這一平面內的任意向量少，有且只有一

對實數4,4,使4=4幣+獲2?

探究6：上述定理稱為平面向量基本定理，不共線向量詢，J叫做表示這一平面內所有向

量的一組基底.那么：

①作為基底的這兩個向量是什么位置關系？

②同一平面內可以作基底的向量有多少組？

③當基底確定后向量的表示是否唯一？

練一練：

下面三種說法:①一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面的基底;②一個平面內

有無數多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底;③零向量不可以作為基底中的向量，

其中正確的說法是()

A.①②B.②③C.①③D.①②③

解：

平面內向量的基底是不唯一的.在同一平面內任何一組不共線的向量都可作為平面內所

有向量的一組基底;而零向量可看成與任何向量平行,故零向量不可作為基底中的向量.

綜上所述：②③正確.選B.

知識點n：平面向量的正交分解及坐標表示

探究1：不共線的向量有不同的方向，對于兩個非零向量］和5,作OA=a,OB=b,

如圖.為了反映這兩個向量的位置關系，稱NAOB為向量方與5的夾角.你認為向量的夾角

的取值范圍應如何約定為宜？

探究2：如果向量萬與B的夾角是90°,則稱向量萬與B垂直，記作互相垂直的兩

個向量能否作為平面內所有向量的一組基底？

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

探究3：在平面直角坐標系中，分別取與X軸、y軸方向相同的兩個單位向量：、j作為基底，

對于平面內的一個向量占，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y,使得

￡=xPkyj.我們把有序數對(x,y)叫做向量a的坐標，記作￡=(x,y).其中x叫做Z在x

軸上的坐標，y叫做￡在y軸上的坐標，上式叫做向量的坐標表示.那么x、y的幾何意義

如何？

探究4：相等向量的坐標必然相等，作向量麗=1,則礪=(x,y),此時點A的坐標

是什么？

練一練：

撲

0

如圖，已知向量i、j是兩個互相垂直的單位向量，向量占與：的夾角是30°,且同=4,

以向量；、j為基底，如何表示向量萬？

思考：如果以圖中的0為坐標原點，以向量：、j的方向分別為平面直角坐標系的x軸、y軸

的正方向，那么向量1的坐標是什么？

（三）應用舉例

例1：已知向量分02（如圖5）,求作向量一2.5q+3e2

作法：

（1）如圖，任取一點0,作

>—>?—?

OA-—2.5q,OB=3e,.

（2）作口OACB.

故OC就是求作的向量.

思考：還有其它解法嗎？

（因為2.51+31=31-2.51所以利用向量減法運算的三角形法則也可得到）

例2：如圖，寫出向量萬，b,c,，的坐標.

解：

由圖可知，a=AA[+AA2~xi+yj,

r.a=（2,3）.

同理,6=-2i+3j=（-2,3）;

c=-2i-3j=（-2,-3）;

d=2i-3j=（2,-3）.

本題小結：

本例要求用基底7、亍表示7、h,c,2,其關鍵是把7、h、7、Z表示為基底i、

j的線性組合.一種方法是把3正交分解,看Z在x軸、y軸上的分向量的大小.把向量Z用；、

1表示出來,進而得到向量。的坐標.

另一種方法是把向量Z移到坐標原點，則向量7終點的坐標就是向量￡的坐標.同樣的

方法，可以得到向量人、c、4的坐標.

例3：如圖，在平行四邊形ABCD中，A*=M,AD^b,E、M分別是AD、DC的中

點，點廠在8C上，且/，以為基底分別表示向量次和麗

處理方法:教師引導學生利用平面向量基本定理進行分解,讓學生自己動手、動腦.然后讓學

生到黑板上板書步驟,并對書寫認真且正確的同學提出表揚,對不能寫出完整解題過程的同

學給予提示和鼓勵.

解：由E、M、F所在位置，有

AM^AD+DM^AD+-DC

2

=ADH—AB=—a+b

22

EF^AF-AE^AB+BF-AE

^AB+-AD--AD=AB--AD

326

-1r

=a-b.

6

一題多解：向量而還有其它解法嗎？

本題小結：

用已知向量表示未知向量：

本質：利用向量的加法和減法對有關向量進行分解。

方法：結合圖像，從以下角度入手：

(1)要用基向量意識，把有關向量盡量統一到基向量上來；

(2)把要表示的向量標在封閉的圖形中，表示為其它向量的和或差的形式，進而尋找這些

向量與基向量的關系；

(3)用基向量表示一個向量時，如果此向量的起點是從基底的公共點出發的，一般考慮用

加法，否則用減法，如果此向量與一個易求向量共線，可用數乘。

拓展延伸：在上題中若改為設府=。，甌=5,試以為基底分別表示向量而和通

解：

一1—?―?

AD+-AB^AM

由例題的分析可知：（2，在本變式中由赤=5,而=5得:

AB--AD=EF

6

—■1——1-

AD+-AB=aAB=—（2萬+12b）

■_，解得_：

AB--AD=hAb^—（12a-6b）

6I13

（四）鞏固練習

1.已知向量。=q-26，b=2e1+e2,其中耳、g不共線，則Q+B與c=6q—羽的關

系（）

A.不共線B.共線C.相等D.無法確定

2.已知向量q、與不共線，實數無、y滿足（3x-4y）q+（2x-3y）e2=6,+3弓，則x-y

的值等于（）

A.3B,-3C.0,D.2

3.已知6為/^正（2的重心，設A月=G,AC=5,試用萬、B表示向量而.

4.是兩個不共線的向量，已知麗=3：+2j,CB=i+Aj,d=-2i+j,若

A、B、D三點共線，試求實數；I的值.

（五）本課小結

（I）知識點：

平面向量的基本定理；向量的夾角與垂直的定義；平面向量的正交分解；平面向量的坐標

表示.

（II）數學思想與方法：

待定系數法、歸納與類比、數形結合數學思想、方程的思想

（六）課后作業

1.必做題：課本102頁第3題

2.選做題：課本102頁第4題

3.課后探究作業：

請同學們課下小組合作探究下列命題正確與否：

對比今天所做的必做題：

錄與晟是同一平面內的兩個不共線向量，若存在實數4、4,使得41+&1=0,則

4=4=0.

試證明下面的問題：

［與1是同一平面內的兩個不共線向量,若存在實數、聲2,4m2,使得

a]e]+a2e2=b]el+b2e2,則q=4，〃2=82.

(七)板書設計：

課題

例題3：

1、平面向量基本定理(1)

2、向量的夾角(2)

多媒體課件展示影區

3、正交分解

4、向量的坐標

課堂合作探究1、2作圖專用紙（格點圖）

合作探究1：兩個人一組，一名同學在下面格點圖中任意畫出兩個向量,

另一名同學做出西土生?和七里

合作探究2：在下列兩圖中，向量五！而，無丕共線，能否在直線OA、OB上分別找一點

M、N,^,OM+ON=OC?"

《平面向量基本定理、正交分解及坐標表示》

評測練習

1.已知向量a=q—2e2,b=2et+e2,其中q、e2不共線，則a+B與c=6q—2e2的關

系（）

A.不共線B.共線C.相等D.無法確定

2.已知向量q、e?不共線，實數x、y滿足（3x-4y）q+（2￥-3、應=6^+3e2,則x—y

的值等于（）

A.3B.-3C.0.D.2

3.已知6為2^出（2的重心，設A月=①=試用汗、5表示向量店.

4.i,j是兩個不共線的向量，已知而=3i+2j,而=：+衍，麗=一2：+j,若

A、B、D三點共線，試求實數4的值.

5.證明下列兩個結論：

（1）1與］是同一平面內的兩個不共線向量，若存在實數4、%,使得41+4最=0,則

4=4=o.

（2）［與1是同一平面內的兩個不共線向量，若存在實數叫候2，%12，使得

%%+a2e2=4q+b2e2,貝U%=bva2=b2.

《平面向量基本定理、正交分解及坐標表示》

效果分析

1.本節課內容是為了研究向量方便而引入的一個新定理一一平面向量基本定理.教科書

首先通過“思考”：讓學生思考對于平面內給定的任意兩個向量進行加減的線性運算時所表

示的新向量有什么特點,反過來,對平面內的任意向量是否都可以用形如Xiei+X2e2的向量

表示.

2.教師應該多提出問題，多讓學生自己動手作圖來發現規律,通過解題來總結方法，引導

學生理解“化歸”思想對解題的幫助，也要讓學生善于用“數形結合”的思想來解決這部分

的題.

3.如果條件允許，借助多媒體進行教學會有意想不到的效果.整節課的教學主線應以學

生練習為主，教師給與引導和提示.充分讓學生經歷分析、探究并解決實際問題的過程，這也

是學習數學,領悟思想方法的最好載體.學生這種經歷的實踐活動越多,解決實際問題的方法

就越恰當而簡捷.

《平面向量基本定理、正交分解及坐標表示》

觀評記錄

吳老師點評：

賈老師的教學特點如下：

1、教學設計好，教學流程清楚，環節緊湊、流暢，由易到難，層次分明，知識梳理清

晰，既有對集體備課形成的教學案的使用吸收，又有個人的創新、獨到之處，注重了基本數

學方法的培養與基本數學思想的滲透，讓學生從整體、系統的角度領悟復習要求，從整體上

處理教材內容，從系統上把握要求，整個設計把教學過程變成學生對知識的理解應用過程,

變成了學生自己探索提升的過程，讓學生的能力得到了提高。

2、教學定位非常準。上課能與學生的有效溝通，雖說上這節講評課時間緊，內容和知

識點多，上課舍得把時間給學生去交流思考思路、去講解解決問題過程;不僅自己板書示范，

還讓學生板書解題過程，老師充分放手讓學生自己動手，動口，老師只引導點撥，使學生主

動獲取知識，在潛移默化中領悟知識，使學生完全成為課堂主人，達到知識學習與能力培養

的統一，說明她善于啟發調動學生學習的主動性，有較強的駕馭課堂的能力。

建議：

本節課是概念定理講授課，是否可以把橫向綜合性比較強、能力要求比較抽象的題目放

在下節課，再在本節定理理解上再深入點、多花點時間呢。

付老師：

賈老師的課：（1）注重了學生動手操作能力的培養，如動手畫一畫環節讓學生畫向量

的和得結論。（2）注重及時總結梳理知識。（3）注重學生推理能力的培養。（4）注重分層指

導和分層作業。（5）注意學生的板演糾正。

劉老師:

賈老師的課：（1）注重學生學習興趣的培養。（2）注重好習慣的培養，如做筆記的

習慣，回答問題過程嚴謹敘述的習慣，一題多解的習慣。