2.5橢圓及其方程

2.5.1橢圓的標準方程

學習目標核心素養

1.掌握橢圓的定義，會用橢圓的定義

解決實際問題.（重點）1.通過橢圓的定義、標準方程的學習，

2.掌握用定義法和待定系數法求橢圓培養數學抽象素養.

的標準方程.（重點）2.借助于標準方程的推導過程，提升

3.理解橢圓標準方程的推導過程，并邏輯推理、數學運算素養.

能運用標準方程解決相關問題.（難點）

情境趣味導學情境導學。探新知預習素養感知

畬情境引入?助學助教

“嫦娥二號”衛星是探月二期工程的技術先導星，其主要目的是釋放月球車

為“嫦娥三號”任務實現月球軟著陸進行部分關鍵技術試驗，并對“嫦娥三號”

著陸區進行高精度成像.“嫦娥二號”進入太空軌道繞月球運轉時，其軌道就是

以月球為一個焦點的橢圓，本節我們將學習橢圓的定義及標準方程.

e新知初探m

1.橢圓的定義

（1）定義：如果為，歹2是平面內的兩個定點，。是一個常數，且2a＞尸1"|,

則平面內滿足|Pai+|PCI=2a的動點P的軌跡稱為橢圓.

（2）相關概念：兩個定點二稱為橢圓的焦點,兩個焦點之間的距離同耳

稱為橢圓的焦距.

思考1：橢圓定義中，將“大于|尸聲2|"改為“等于回尸2|”或“小于IF1&I”

的常數，其他條件不變，點的軌跡是什么？

［提示］2a與匹凡|的大小關系所確定的點的軌跡如下表：

條件結論

動點的軌跡是橢圓

2a>\FiF2\

2a=|尸i&l動點的軌跡是線段入巳

2a<\FiF2\動點不存在，因此軌跡不存在

2.橢圓的標準方程

焦點位置在X軸上在y軸上

eJ1

￡士『

標準方程

(a>b>0)(a>b>0)

圖形

焦點坐標(土c,0)(0,±c)

a,b,c的關系a2=b2-\-c2

思考2：確定橢圓標準方程需要知道哪些量？

［提示］a,b的值及焦點所在的位置.

思考3：根據橢圓方程，如何確定焦點位置？

［提示］把方程化為標準形式，%2,產的分母哪個大，焦點就在相應的軸上.

r初試

1.思考辨析(正確的打“J”，錯誤的打“x”)

(1)平面內與兩個定點Fi,后的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓.

()

92

(2)橢圓記+女=1的焦點坐標是(±3,0).()

2Q

(3)%+講=l(aW。)表示焦點在y軸上的橢圓.()

［答案］(1)X(2)X(3)X

［提示］(1)X需2a

⑵義(0,±3).

⑶Xa>6>0時表示焦點在y軸上的橢圓.

2.以下方程表示橢圓的是()

A.x2+y2=lB.2X2+3)；2=6

C.x2—y2=lD.2f—3;/=6

B［只有B符合橢圓的標準方程的形式［可化為了+］

3.以坐標軸為對稱軸，兩焦點的距離是2,且過點(0,2)的橢圓的標準方程

是()

A.f+^=l

B.f+^=l

c-或沼=1

D..+'=1或、+/

Y2*7

C［若橢圓的焦點在無軸上，則c=l,b=2,得〃=5,此時橢圓方程是5十

292

，=1;若焦點在y軸上，則a=2,c=l,則屬=3,此時橢圓方程是^■+；=：!.］

92

4.橢圓方+；=1的左、右焦點R,點P在橢圓上，若|尸￡|=4,則|。啊

2［由橢圓的定義知|尸乃|十|尸西|=6,所以|尸外|=6一|PB|=6—4=2.］

疑難問題解惑合作探究。釋疑難學科素養形成

、類型求橢圓的標準方程

【例1】根據下列條件，求橢圓的標準方程.

(1)兩個焦點坐標分別是(0,5)、(0,—5),橢圓上一點P到兩焦點的距離和為

26.

(2)經過點P。，!),兩焦點間的距離為2,焦點在x軸上.

72

(3)過(一3,2)且與］+；=1有相同的焦點.

［解］(1)：橢圓的焦點在y軸上，所以設它的標準方程為：，+胃=l(a>>

>0).

?2〃=26,2c=10,??Q=13,c=5.

Z72=6z2—<?=144.

27

...所求橢圓的標準方程為：嵩+市=1.

loy144

?2

(2)設橢圓的標準方程為卞+*=l(a>b>0),

,焦點在x軸上，2c=2,.'.a2=b2+l,

9

(3、14

又橢圓經過點尸［1,曲，???西廬=1,

解之得。2=3,：.cr=4.

92

...橢圓的標準方程為1.

72

(3)由方程g+：=1可知，其焦點的坐標為0),即c=小.

72

設所求橢圓方程為3十方=1(。>6>0),則/=反+5,因為過點(一3,2),代

94

入方程為"2=l(Q>Z?>0),

aci3

解得。2=15(〃2=3舍去),Z?2=io,

72

故橢圓的標準方程為5+言=1.

廠.......規法.......................

利用待定系數法求橢圓的標準方程

(1)先確定焦點位置；(2)設出方程；(3)尋求〃，乩。的等量關系；(4)求mb

的值，代入所設方程.

提醒：若橢圓的焦點位置不確定，需要分焦點在無軸上和在y軸上兩種情況

討論，可設橢圓方程為用/十町/二1(加m>0,n>0).

IJ

［跟進訓練］

1.求適合下列條件的橢圓的標準方程.

(1)焦點在X軸上，且。=4,c=2；

(2)經過點P生；)，Q(0,—￡).

［解］(l)ViZ2=16,C2=4,.,.?=16—4=12,

且焦點在x軸上，故橢圓的標準方程為京+近=1?

?2

(2)法一：①當橢圓的焦點在x軸上時，設標準方程為，+本=l(a>6>0),

1,

1,

0_1

a一予

解得q

廿4

因為a>6>0,所以方程組無解.

②當橢圓的焦點在y軸上時，設標準方程為=l(a>b>0),

、1

。=不

依題意,解得3

2

rX2

所以所求方程為1+-1-

4-5-

法二：設所求橢圓的方程為如^+〃》=1(機>0,”>0,且機W”),

m=5,

依題意得j]解得,

1?=4,

甲=1,

^

-

即

十1

故所求方程為5獷+4廣=1,-

4-5

、、類型J2'橢圓的定義及其應用

［探究問題］

1.如何用集合語言描述橢圓的定義？

［提示］P={M\\MFi\+\MF2\=2a,2a>\FiF2\}.

2.如何判斷橢圓的焦點位置？

［提示］判斷橢圓焦點在哪個軸上就栗判斷橢圓標準方程中X2項和V項的

分母哪個更大一些，即“誰大在誰上”.

3.橢圓標準方程中，a,b,c三個量的關系是什么？

［提示］橢圓的標準方程中，a表示橢圓上的點”到兩焦點間距離的和的一

半，可借助圖形幫助記憶.a,b,c（都是正數）恰是構成一個直角三角形的三條

邊，a是斜邊，所以a>b,a>c,且/二片+片（如圖所示）.

72

【例2】設P是橢圓:+今=1上一點，Fi,B是橢圓的焦點，若/F"

=60°,求的面積.

7525

［解］由橢圓方程知，a2=25,尻=1，???02=7，

c=2?2c=5?

在△PB廠2中，

222

IF1F2I=|PF］I+|PF2|-2|PF1|-|PF2|COS60°,

2

即25=\PF\|+\PF^~\PF}|.\PF2\.①

由橢圓的定義，得10=|PK|+|P又I,

即100=|PRI|2+|PR2F+2『B|.|PB|.②

②一①，得31PBi-|PR2|=75,

所以『人卜|尸夫|=25,

所以SAF1PF2=||PFiI-|PF2|-sin60°=巧叵.

［母題探究］

1.將本例中的“/FIPF2=60。”改為“NHPR2=30。”其余條件不變，求

的面積.

5

275225

［解］由橢圓方程知，a=25,尻=彳，；.c=-j-'.c=2,2c=5.

在△PBB中，

222

IF1F2I=|PF1|+|PF2|-2|PF1MPF2|-COS30°,

即25=|PB|2+|PR2|2一小1PBi①

由橢圓的定義得10=|PFI|+|PF2|,

即100=|尸四|2+|尸巳|2+2|尸乃卜|尸外|.②

②一①，得(2+5)|尸川?|尸4=75,

所以|PRiHP尸21=75(2一小),

175

所以5AFIPF2=I-\PFz\-sin30°=了(2-#).

72

2.將橢圓的方程改為“需+言=1”其余條件不變，求△RPE的面積.

［解］\PFi\+\PF2\=2a=20,又尸1代|=2°=12.

由余弦定理知：(2C)2=|PRF+|PR2|2-2|PBHPR2|-COS60°,

2

即：144=(|PFi|+|PF2|)-3|PFII-\PF2\.

?256

所以|尸乃卜|尸冏=丁，

164、公

所以SAFiPF2=2lPFi|-\PF2\-sm60°=—

1........規津方法...........................

橢圓定義的應用技巧

(1)橢圓的定義具有雙向作用，即若|MFi|+也*2|=2。(2。〉下1同)，則點”的

軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點〃到兩焦點的距離之和必為2a.

(2)橢圓的定義能夠對一些距離進行相互轉化，簡化解題過程.因此，解題

過程中遇到涉及曲線上的點到焦點的距離問題時，應先考慮是否能夠利用橢圓的

定義求解.

拓展延伸：橢圓中的焦點三角形

橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1,F2構成的APF1F2,稱為焦點三角形.解

關于橢圓的焦點三角形的問題，通常要利用橢圓的定義，結合正弦定理、余弦定

理等知識求解.

'類型與橢圓有關的軌跡問題

■fiL_3_________________________________________________

【例3】如圖，圓C：(%+1)2+產=25及點A(1,O),Q為圓上一點，AQ的

垂直平分線交CQ于求點M的軌跡方程.

［解］由垂直平分線性質可知|MQ=|AM|,

\CM\+\MA\=\CM\+\MQ\=\CQ\.

：.\CM\+\MA\=5.

...Af點的軌跡為橢圓，其中2a=5,

焦點為C(-1,O),A(1,O),

52521

.\a=2,c=l,/.b2=a2—c2=~^—1=~^.

72

所求軌跡方程為：^+^-=1.

......規律c方法......

求解與橢圓相關的軌跡問題的方法

/方法一

求

判

斷

得

軌方法二

曲

軌

跡

線

跡

問

類

方

題方法三

型

程

［跟進訓練］

2

2.已知兩圓G：(x—4)2+9=169,C2：(X+4)+/=9,動圓在圓G內部

且和圓C1相內切，和圓C2相外切，求動圓圓心的軌跡方程.

［解］如圖所示，設動圓圓心為M(x,y),半徑為r,

由題意動圓M內切于圓G,

A\MCi\=13~r.

圓般外切于圓。2,

/.\MC2\=3+r.

.,.|MCI|+|MC2|=16>|CIC2|=8,

...動圓圓心M的軌跡是以G、。2為焦點的橢圓，

且2a=16,2c=8,

〃="—/=64—16=48,

故所求軌跡方程為總+金=1?

課堂知識夯實課堂小結》提素養雙基盲點掃除

二必備素養二］

⑴平面內到兩定點F1、尸2的距離之和為常數，即|〃為|+也*2|=

r2a>|FiF2|,軌跡為橢圓

2a\2a=\FiF2\,線段BE

［2。<舊丑］,不存在

(2)求橢圓的方程，可以利用定義求出參數a,b,c其中的兩個量；也可以

用待定系數法構造三者之間的關系，但是要注意先確定焦點所在的位置，其主要

步驟可歸納為“先定位，后定量”.

(3)當焦點位置不確定時，可設橢圓方程為加>0,